Программа по математике на базе 11 классов

ФГОУ СПО
«Армавирский юридический техникум»
УТВЕРЖДЕНО
Директор ГОУ СПО «АЮТ»
__________ А.Н. Савинов
«___»___________2009 г.
ПРОГРАММА
вступительного испытания (экзамена)
по математике на базе среднего (полного) общего образования
(11 классов)
Рассмотрено и утверждено
на заседании ПЦК
компьютерных и математических
дисциплин
Протокол №
от «
» февраля 2009 г.
Председатель ПЦК
__________ И.А.Макуха
Армавир, 2009
2
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по подготовке к испытаниям по математике
для абитуриентов, поступающих на базе 11 классов
Программа по математике составлена на основании Примерной программы
вступительных испытаний в образовательные учреждения среднего профессионального образования по математике для поступающих на базе среднего (полного)
общего образования, разработанных Главным управлением развития общего среднего образования Министерства образования РФ.
В Армавирский юридический техникум вступительные испытания по математике проводятся для абитуриентов, поступающих на базе 11 кл.
Абитуриенты, подавшие документы для обучения сдают экзамен по математике (устно). Экзаменационный билет содержит один теоретический вопрос и два
практических задания.
Теоретические вопросы на экзамене соответствуют вопросам II раздела
программы по математике, а темы практических заданий перечислены в III разделе
указанной программы.
В связи с обилием учебников по математике вопросы II раздела программы
в некоторых учебниках могут называться иначе, формулироваться в виде задач или
совсем отсутствовать, но это не освобождает поступающего от необходимости
знать их.
Для подготовки к испытаниям по математике следует пользоваться школьными учебниками «Математика», «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия» (511кл.), любыми справочниками по математике для средней школы, решебниками
заданий к билетам письменного экзамена по математике (11кл.), математикой для
подготовительных курсов техникумов (на базе 11кл.) и другими. При этом неважно,
кто является автором этих учебников и методических пособий, но желательно, чтобы издание этого пособия было не ранее 2000, 2001 года.
Во время испытания по математике желательно иметь с собой калькулятор
и чертежные инструменты (линейка, циркуль и т.п.).
3
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ
Общие положения
Абитуриент на испытании должен показать знания указанного вопроса и
выполнить предложенное задание.
Содержание программы сгруппировано вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числа и вычисления», «Тождественное преобразование
выражений», «Уравнения и неравенства», «Элементарные функции», «Элементы
математического анализа», «Приложения математического анализа», «Геометрия».
На экзамене по математике поступающие в средние специальные учебные
заведения должны показать:
1) четкое знание определений математических понятий, формулировок теорем, основных формул;
2) умение доказывать теоремы и выводить формулы, проводить доказательные
рассуждения в ходе решения задач в устном и письменном изложении;
3) уверенное владение основными умениями и навыками, предусмотренными
программой, умение решать типовые задачи.
Программа по математике для поступающих в средние специальные учебные заведения состоит из трех разделов.
Первый раздел программы содержит перечень основных понятий и фактов
алгебры, начала анализа и геометрии, которые должны знать поступающие.
Второй раздел содержит теоремы и формулы, которые надо уметь доказывать. Вопросы этого раздела являются основной теоретической частью экзамена.
В третьем разделе указаны основные математические умения и навыки, которыми должен владеть экзаменуемый.
4
I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ
Арифметика, алгебра и начала анализа
Числа и вычисления
1. Натуральные числа. Простые и составные числа. Делитель, кратное.
Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Делимость натуральных
чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
2. Целые числа. Рациональные числа, их сложение, вычитание, умножение
и деление. Сравнение рациональных чисел. Действительные числа, их представление в виде десятичных дробей. Сравнение действительных чисел, умножение и деление действительных чисел.
3. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
Тождественное преобразование выражений
1.Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на
множители.
2. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Степень с рациональным показателем и её свойства. Арифметический корень. Корень n-ой степени и его
свойства. Тождественные преобразования выражений, содержащих степени и корни.
3. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула п -го члена и
суммы первых п членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы п
членов геометрической прогрессии.
4. Логарифмы, их свойства. Логарифмические тождества. Тождественные
преобразования логарифмических выражений.
5. Основные тригонометрические тождества; их применение в вычислениях и тождественных преобразованиях. Формулы приведения. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы). Преобразование в произведение сумм
sin a ± sin ß; cos a ± cos ß. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Уравнения и неравенства
1. Уравнение. Корни уравнения. Линейные уравнения с одним неизвестным.
Квадратное уравнение: формулы корней. Теорема Виета. Понятие о равносильных
уравнениях. Решение рациональных уравнений. Простейшие тригонометрические,
показательные и логарифмические уравнения. Иррациональные уравнения.
2. Система уравнений. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными и его геометрическая интерпретация. Решение простейших показательных и
логарифмических систем уравнений.
3. Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных неравенствах. Метод интервалов для решения неравенств. Показательные и логарифмические неравенства. Решение системы неравенств.
5
4. Решение текстовых задач методом составления уравнения и системы
уравнений.
Элементарные функции
1. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения.
Множество значений функции.
2. График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность,
четность, нечетность.
3. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке.
Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема
Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке.
4. Определение и основные свойства функции:
линейной (у = кх + b),
квадратичной (у = ах2 + bх + с),
степенной (у = ахn, n N,
y  k ),
x
показательной (у = ах, а  О),
логарифмической,
тригонометрических функций (у = sinх; у = cosx ; y = tgx; y = ctgx),
арифметического корня ( у  х ).
Преобразования графиков функций. Построение графиков функций.
Элементы математического анализа
1. Приращение функции. Понятие о пределе и непрерывности функции.
Производная, её геометрический и физический смысл. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного двух функций.
Производная функции вида у = f(kx + b).
2. Первообразная. Основное свойство первообразной. Таблица первообразных. Простейшие правила вычисления первообразных.
3. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Приложения математического анализа
1. Применение производной к исследованию функций, построению графиков и решению задач на отыскание наибольших и наименьших значений функции.
Уравнение касательной к графику функции. Производная в физике и технике.
2. Геометрический смысл определенного интеграла. Применение интеграла
к вычислению площадей и объемов. Интеграл в физике.
Геометрия
1. Прямая, луч, отрезок, ломаная, длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы и их свойства.
2. Параллельные прямые, перпендикулярные прямые на плоскости.
3. Выпуклые фигуры. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
6
4. Треугольник. Сумма углов треугольника. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора.
5. Признаки равенства и подобия треугольников.
6. Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат,
трапеция.
7. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к
окружности. Дуга окружности, сектор.
8. Центральные и вписанные углы.
9. Выпуклые многоугольники. Правильные многоугольники. Выражение
стороны правильного многоугольника через радиус описанной около него
окружности.
10. Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма,
ромба, квадрата, трапеции.
11. Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла.
Площадь круга и площадь сектора.
12. Подобие. Подобие фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
13. Векторы. Операции над векторами.
14. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
15. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельные,
пересекающиеся и скрещивающиеся прямые.
16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Признак параллельности прямой и плоскости. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости. Теоремы о параллельности прямых и
плоскостей.
17. Перпендикуляр и наклонная к плоскости, проекция наклонной на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах.
18. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между
плоскостями. Признак параллельности двух плоскостей. Взаимосвязь параллельности прямых и плоскостей: две параллельные плоскости пересеченные третьей; отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями. Перпендикулярность плоскостей. Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.
19. Двугранные углы.
20. Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Призма, ее элементы.
Прямая и правильная призма. Параллелепипеды их виды. Пирамида, ее элементы.
Правильная пирамида.
21. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус
сферы и шара. Касательная плоскость к сфере.
22. Формула площади поверхности и объема призмы.
23. Формула площади поверхности и объема пирамиды.
24. Формула площади поверхности и объема цилиндра.
25. Формула площади поверхности и объема конуса.
26. Формула объема шара.
27. Формула площади сферы.
7
II. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ
Алгебра и начала анализа
1. Функция у = kх + b, ее свойства и график.
2. Функция
y  k , ее свойства и график.
x
3. Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график.
4. Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения. Теорема
Виета.
5. Квадратный трехчлен и его разложение на множители.
6. Числовые неравенства и их свойства.
7. Степенная функция (у = хn, n N), ее свойства и график.
8. Показательная функция (у = ах, а  0,), ее свойства и график.
9. Логарифмическая функция (у = loga х, а  0, а ≠1), ее свойства и график.
10. Логарифмы и их свойства. Доказательство одной из теорем (по выбору
абитуриента).
11. Функция у = sin х, ее свойства и график.
12. Функция у = cos x, ее свойства и график.
13. Функция у = tg x, ее свойства и график.
14. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента.
15. Формулы сложения. Тригонометрические функции двойного аргумента.
16. Формулы суммы и разности синусов (косинусов). Доказательство одной
из формул (по выбору абитуриента).
17. Производная функции. Теорема о производной суммы двух функций.
Геометрия
1. Свойства равнобедренного треугольника. Доказательство одного из них
(по выбору абитуриента).
2. Признаки параллельности прямых на плоскости. Доказательство одного
из них (по выбору абитуриента).
3. Теорема о сумме углов треугольника.
4. Теорема Пифагора.
5. Признаки подобия треугольника. Доказательство одного из них (по выбору абитуриента).
6. Параллелограмм и его свойства. Доказательство одного из них (по выбору абитуриента).
7. Окружность, описанная около треугольника.
8. Окружность, вписанная в треугольник.
9. Теорема об углах, вписанных в окружность.
10. Формулы площади параллелограмма и треугольника.
11. Формула площади трапеции.
12. Признак параллельности прямой и плоскости.
8
13. Признак параллельности плоскостей.
14. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
15. Теорема о трех перпендикулярах.
16. Признак перпендикулярности плоскостей.
17. Теорема о боковой поверхности прямой призмы.
18. Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды.
III. ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ
Экзаменуемые должны уметь:
1. Производить арифметические действия над числами, заданными в виде
десятичных и обыкновенных дробей.
2. Решать основные задачи на проценты, составлять и решать пропорции.
3. Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей,
содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
4. Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной,
логарифмической и тригонометрических функций. Свободно «читать» графики. Отражать свойства функции на графике.
5. Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и
неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой
и второй степени приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие
уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические
и тригонометрические функции.
6. Применять аппарат математического анализа (таблицы производных и
первообразных, формулы дифференцирования и правила вычисления первообразных) для нахождения производных, первообразных и простейших определенных интегралов.
7. Исследовать элементарные функции с помощью методов математического анализа, строить на основе такого исследования графики функций.
8. Вычислять площади криволинейных трапеций при помощи определенного интеграла.
9. Изображать геометрические тела, указанные в условиях теорем и задач.
10. Проводить обоснования в ходе теоретических рассуждений и при решении задач, используя для этого изученные в планиметрии и стереометрии теоретические сведения.
11. Вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и
объемов), используя изученные формулы, а также аппарат алгебры, математического анализа и тригонометрии.
9
Образцы билетов вступительных испытаний:
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №1
1.
Функция у = kx + b, ее свойства и график.
2.
При каких значениях k прямая у = kx + 1 является касательной графику
функции у 
3.
4х  2 ?
Радиус основания цилиндра равен 27 см, площадь боковой поверхности
вдвое меньше площади основания. Найдите объем цилиндра.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №2
1.
Признаки подобия треугольника. Доказательство одного из них (по выбору
абитуриента).
2.
Решите уравнение сos2x + sin x = 0.
3.
Для каждого c решите уравнение
х 2  6х  с  х  3 .
10