Самостоятельная работа №2 Решение систем уравнений методом Гаусса Цель работы: овладеть методом Гаусса при решении систем линейных уравнений Студент должен: Знать: символику и формы записи систем линейных уравнений что такое совместная и несовместная система уравнений методы решения СЛАУ(метод Гаусса) Уметь: применять метод Гаусса КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ: 1. В каком случае система имеет единственное решение? 2. В каком случае система имеет бесконечное множество решений? 3. В чем достоинство метода Гаусса по сравнению с другими методами? Форма выполнения задания: решение задач (письменно) Время выполнения 45 мин Основной теоретический материал Метод Гаусса. Этот способ заключается в обнулении элементов основной расширенной матрицы системы уравнений, находящихся под главной диагональю. Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы Алгоритм метода Гаусса 1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы; 2. Приводим матрицу к "треугольному" виду; 3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений; 4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения; Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей: Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какойлибо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число. Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной. На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули: На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней. Решение типовых заданий Решить систему трех линейных уравнений методом Гаусса Ответ: х=1, y=2, z=3. Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему: Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно: Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на : В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма. На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: из третьего; из второго, подставив полученное из первого, подставив полученные и . Ответ: (2; 3; -1). Решить самостоятельно системы линейных уравнений по вариантам: 10 вариантов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Оформить отчет Требования к оформлению самостоятельной работы Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета. Шкала оценки образовательных достижений Процент результативности (правильных ответов) 90-100 80-89 70-79 менее 70 Оценка уровня подготовки Балл (оценка) Вербальный аналог 5 отлично 4 хорошо 3 удовлетворительно 2 неудовлетворительно Интернет ресурсы http://math1.ru/education/sys_lin_eq/gauss.html http://www.bestreferat.ru/referat-180751.html