О НЕПУСТОТЕ НЕЧЕТКОГО ЯДРА КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

О НЕПУСТОТЕ НЕЧЕТКОГО ЯДРА
КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ОБМЕНА
∗
В.А.Васильев
Введение
В
докладе
распределений
в
анализируются
условия
существования
классической
модели
экономического
неблокируемых
обмена,
когда
возможности блокирования расширяются за счет так называемых нечетких
коалиций [1]. В основе предлагаемого подхода лежит распространение понятия
сбалансированного покрытия [2] на случай произвольных конечных систем
нечетких коалиций. Указанное распространение позволяет ввести естественный
аналог сбалансированности для рассматриваемых обобщенных кооперативных
игр, учитывающих возможности нечетких коалиций модели обмена. Как
показывает полученный автором аналог известной теоремы Скарфа о непустоте
ядра [3], именно сбалансированность обобщенной игры оказывается главным
условием,
гарантирующим
(при
некоторых
дополнительных
технических
предположениях) наличие дележей, не блокируемых никакой нечеткой коалицией.
Интересно отметить, что сбалансированность как обычной, так и обобщенной
игры модели обмена гарантируется при выполнении одних и тех же стандартных
предположений о выпуклости потребительских множеств и квазивогнутости
функций полезности участников.
1. Используемые понятия и результаты теории кооперативных игр
Пусть n - произвольное натуральное число. Положим N = {1, . . . , n} и
через 2N обозначим совокупность подмножеств множества N. Напомним [1],
что в традиционной теоретико-игровой терминологии элементы множества N
называются игроками, а элементы семейства 2N - коалициями. Коалиции в ряде
случаев удобно отождествлять с соответствующими вершинами единичного nмерного куба I n = {(τ1 , . . . , τn ) ∈ RN | τi ∈ [0, 1], i ∈ N } (здесь и далее R
- множество вещественных чисел). Именно, как обычно, для любой коалиции
S ⊆ N через eS будем обозначать ее индикаторную функцию: (eS )i = 1 для
∗
Работа поддержана грантом РФФИ № 10-06-00168a
1
i ∈ S, и (eS )i = 0 для i ∈ N \ S. Эти индикаторные функции eS и сопоставляются
коалициям S при их отождествлении с элементами из I n .
Как известно [1,5], наряду с вершинами - обычными коалициями - важную
роль при описании вальрасовских и эджвортовских распределений играют и
другие элементы куба I n . В целом, речь идет о так называемых нечетких
коалициях, совокупность которых обозначается через σF и определяется формулой
σF = I n \ {0}. Напомним [1], что величина компоненты τi нечеткой коалиции
τ = (τ1 , . . . , τn ) трактуется как степень участия игрока i в координации усилий
участников большой коалиции N. Как обычно, носителем нечеткой коалиции
τ ∈ σF будем называть множество N (τ ) = {i ∈ N | τi > 0}.
Определение 1.1. Обобщенной кооперативной игрой n лиц будем называть
многозначное отображение τ 7→ G(τ ), τ ∈ σF , сопоставляющее каждой коалиции
τ ∈ σF подмножество G(τ ) пространства RN (τ ) . Элементы множества G(τ )
будем называть дележами коалиции τ, а дележи коалиции eN будем называть
также дележами игры G. Как обычно, доопределяем G в нуле, полагая G(0) = ∅.
Поскольку определение 1.1 не требует непустоты множеств G(τ ), полезно ввести
специальное обозначение для совокупности "дееспособных"коалиций игры G,
обеспечивающих нетривиальный эффект кооперации.
Определение 1.2. Эффективным множеством игры G будем называть
совокупность e(G) всех нечетких коалиций τ, имеющих непустое множество
дележей: e(G) = {τ ∈ σF | G(τ ) 6= ∅}. Элементы множества e(G) будем
называть блокирующими коалициями.
Определение 1.3. Обобщенную кооперативную игру G будем называть
регулярной, если множества G(e{1} ), . . . , G(e{n} ) и G(eN ) непусты и замкнуты.
Всюду далее, для краткости, наряду с обозначениями eS будем использовать
и символы S для указания соответствующих вершин гиперкуба I n , отвечающих
обычным коалициям S ⊆ N. Кроме того, как обычно, одноэлементные коалиции
{i} будем иногда сокращенно обозначать через i.
Введем ключевое для настоящей работы понятие F -сбалансированного
покрытия, когда в качестве "покрывающих"допускаются не только обычные, но
и собственно нечеткие коалиции † .
Определение 1.4. Конечное семейство нечетких коалиций {τ k }k∈K будем
†
Классическое понятие сбалансированного покрытия предполагает, что все элементы
покрытия являются стандартными коалициями [2]).
2
называть F -сбалансированным покрытием множества N , если существуют
P
неотрицательные числа {λk }k∈K такие, что k∈K λk τ k = eN .
Чтобы сформулировать понятие F -сбалансированной обобщенной игры G,
определим сначала аналог G-сбалансированного дележа для такой игры. Далее,
как обычно, через uS ∈ RS будем обозначать сужение вектора u = (u1 , . . . , un ) на
множество S ⊆ N, полагая (uS )i = ui ,
i ∈ S.
Определение 1.5. Пусть G - произвольная обобщенная кооперативная игра
n лиц. Вектор u ∈ RN будем называть G-сбалансированным дележом, если
существует F -сбалансированное покрытие {τ k }k∈K множества N такое, что
uN (τ k ) ∈ G(τ k ) для всех k ∈ K.
Определение 1.6. Игра G называется F -сбалансированной, если любой Gсбалансированный дележ принадлежит G(N ).
Сфомулируем одно из ключевых понятий доклада - определение ядра
обобщенной кооперативной игры G.
Определение 1.7. Будем говорить, что коалиция τ ∈ e(G) блокирует дележ
u = (u1 , . . . , un ) ∈ G(N ), если существует дележ v = (vi )i∈N (τ ) ∈ G(τ ) такой, что
vi > ui для всех i ∈ N (τ ). Совокупность всех дележей из G(N ), не блокируемых
никакой коалицией τ ∈ e(G), обозначается через C(G) и называется ядром игры
G. Элементы ядра C(G) будем называть неблокируемыми дележами игры G.
Положим
u0i = sup {ui ∈ R | ui ∈ G(ei )},
и
определим
i ∈ N,
(1.1)
множество
индивидуально-рациональных
дележей
b ) = {u ∈ G(τ ) | u ≥ u0 }, где
"большой"коалиции N по формуле: G(N
u0 = (u01 , . . . , u0n ) - вектор, компоненты которого даны соотношениями (1.1).
Напомним еще, что множество X ⊆ Rm называется насыщенным снизу, если
вместе с каждым элементом x из X множество X содержит любой элемент
y, удовлетворяющий условию y ≤ x. Будем говорить, что игра G является
насыщенной снизу, если насыщенны снизу все множества G(τ ), τ ∈ e(G).
Основной результат доклада, приводимый далее, в разделе 2, опирается на
следующее обобщение классической теоремы Скарфа о непустоте ядра.
Теорема 1.1 [3]. Если регулярная обобщенная кооперативная игра G является
насыщенной снизу и F -сбалансированной, все множества G(τ ) замкнутые, а
b ) ограничено сверху, то ядро игры G непусто.
множество G(N
3
2. Непустота нечеткого ядра модели обмена
Покажем, что применение теоремы 1.1 - обобщения известной теоремы Скарфа
на случай нечеткого блокирования - позволяет установить довольно неожиданный
результат: стандартные условия непустоты обычного ядра модели экономического
обмена достаточны и для непустоты существенно более узкого нечеткого ядра
этой модели. Формальное описание рассматриваемой далее модели обмена имеет
следующий вид:
E = hN, {Xi , ui , wi }i∈N i,
где N = {1, . . . , n} - множество участников, Xi ⊆ Rl , wi ∈ Rl , ui : Xi →
R - их потребительские множества, начальные запасы и функции полезности,
соответственно. Число l ≥ 1 обозначает количество продуктов, участвующих в
обмене.
Cтратегические возможности X(τ ) = XE (τ ) нечеткой коалиции τ = (τ1 , . . . , τn )
в этой модели имеют следующее описание (см., например, [1]):
XE (τ ) = {(xi )i∈N (τ ) ∈
Y
X
¯ X
τi wi },
Xi ¯
τi xi =
i∈N (τ )
i∈N (τ )
τ ∈ σF .
(2.1)
i∈N (τ )
В частности, стратегические возможности XE (N ) большой коалиции N
определяются как совокупность всевозможных перераспределений суммарного
¯P
Q
начального запаса участников обмена: XE (N ) = {(xi )i∈N ∈ i∈N Xi ¯ i∈N xi =
P
i
а стратегические возможности одноэлементных коалиций {i}
i∈N w },
исчерпываютя одноэлементными множествами {wi } (при условии, что wi
принадлежит потребительскому множеству Xi ; в противном случае XE (ei ) = ∅).
Напомним
определение
F -блокирования
(блокирования
нечеткими
коалициями) в модели E, обобщающее стандартное понятие блокированя
(ниже все множества XE (τ ), τ ∈ σF , определены по формуле (2.1)).
Определение 2.1. [1] Будем говорить, что коалиция τ ∈ σF блокирует
распределение x = (xi )i∈N ∈ XE (N ), если существует x̃ = (x̃i )i∈N (τ ) ∈ XE (τ )
такой, что ui (x̃i ) > ui (xi ) для каждого i ∈ N (τ ). Совокупность распределений из
XE (N ), не блокируемых никакой коалицией из σF , будем обозначать через CF (E)
и называть нечетким ядром модели E.
Опишем обобщенную кооперативную игру GFE , характеризующую уровни
полезности, достижимые усилиями нечетких коалиций τ в модели экономического
обмена E.
4
Определение 2.2. Обобщенной кооперативной игрой, ассоциированной с
моделью E, будем называть игру GFE , определяемую формулой
¯
GFE (τ ) = {v ∈ RN (τ ) ¯ ∃(xi )i∈N (τ ) ∈ XE (τ )[vi ≤ ui (xi ), i ∈ N (τ )]},
τ ∈ σF .
Приведем условия F -сбалансированности обобщенной кооперативной игры,
ассоциированной с моделью обмена E.
Предложение 2.1. Если потребительские множества Xi модели обмена E
выпуклые, а функции полезности ui - квазивогнутые, то игра GFE является F сбалансированной.
Доказательство. Пусть {τ k }k∈K - некоторое конечное семейство коалиций из
σF , образующее сбалансированное покрытие коалиции N с весами λk , k ∈ K.
Рассмотрим произвольный вектор v ∈ Rn , удовлетворяющий соотношениям: vNk ∈
GFE (τ k ) для всех k ∈ K, где Nk = N (τ k ), k ∈ K. Согласно определению функции
GFE для каждого k ∈ K найдется распределение (xk,i )i∈Nk ∈ X(τ k ) такое, что
vi ≤ ui (xk,i ),
i ∈ Nk .
(2.2)
Положим µki = λk τik , i ∈ Nk , k ∈ K, и определим распределение x̄ = (x̄i )i∈N
формулой
x̄i =
X
µki xk,i ,
i ∈ N,
k∈Ki
где, как и ранее, Ki = {k ∈ K | i ∈ Nk }, i ∈ N. Учитывая, что
(2.3)
P
k∈K
λk τ k = eN ,
на основании определения величин µki имеем: µki ≥ 0 для всех k ∈ K и i ∈ N
P
и, кроме того,
k∈Ki µki = 1 для всех i ∈ N. Отсюда, ввиду выпуклости
множеств Xi из включений xk,i ∈ Xi , и формулы (2.3), определяющей наборы
x̄i , получаем: x̄i ∈ Xi для каждого i ∈ N. Еще раз используя тот факт,
что наборы x̄i являются выпуклыми комбинациями элементов потребительских
множеств Xi , в силу квазивогнутости функций ui и неравенств (2.2) имеем:
ui (x̄i ) ≥ vi для каждого i ∈ N. Для завершения проверки включения v ∈ GFE (N )
остается убедиться, что для распределения x̄ = (x̄i )i∈N выполняется равенство
P
P
i
i
x̄
=
i∈N
i∈N w . Проводя необходимые элементарные преобразования, с учетом
P
i
формулы (2.3) получаем для левой части проверяемого
равенства:
i∈N x̄ =
´
³
P
P
P
P
P
P
k,i
k k,i
. Но последняя
= k∈K i∈Nk µki xk,i = k∈K λk
i∈N
k∈Ki µki x
i∈Nk τi x
P
P
k i
k k,i
сумма, в силу соотношений
=
i∈Nk τi w , преобразуется к виду
i∈Nk τi x
P
P
k i
k∈K λk (
i∈Nk τi w ). Меняя в полученном выражении порядок суммирования,
P
P
P
имеем: i∈N ( k∈Ki µki )wi = i∈N wi , что и требовалось доказать.
5
Опуская
достаточно
гарантирующие для GFE
стандартную
аргументацию,
приведем
условия,
выполнение остальных требований (помимо F -
сбалансированности), фигурирующих в теореме 1.1.
Предложение 2.2. Если потребительские множества Xi , i ∈ N, модели
E являются замкнутыми, ограниченными снизу и включают начальные запасы
участников (wi ∈ Xi , i ∈ N ), а функции полезности ui - непрерывные для
каждого i ∈ N , то множества GFE (τ ) непусты, замкнуты и насыщенны снизу
bF (N ) непусто и ограничено сверху.
для всех коалиций τ ∈ σF , а множество G
E
Применяя вышеуказанные предложения и теорему 1.1, получаем, что при тех
же условиях, при которых ранее была установлена известная теорема о непустоте
обычного ядра модели чистого обмена [4], имеет место реализуемость значительно
более тонкого принципа оптимальности.
Теорема 2.1. Если начальные запасы участников модели E принадлежат
их потребительским множествам, и при этом Xi - выпуклые, замкнутые и
ограниченные снизу для каждого i ∈ N, а функции полезности ui - непрерывные
и квазивогнутые для всех i ∈ N , то нечеткое ядро CF (E) этой модели непусто.
Литература
1. Aubin J.-P. Mathematical methods of game and economic theory. Amsterdam:
North-Holland, 1979.
2. Бондарева О.Н. Теория ядра для игры n лиц // Вестник ЛГУ, 1962. Сер.
мат., мех., астрон. Вып. 13, № 3. С.141-142.
3. Васильев В.А. Об одном обобщении теоремы Скарфа о непустоте ядра.
Препринт Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2012, №283,
41 с.
4. Scarf H. The core of an N person game // Econometrica, 1967. V.35, № 1. P.
50-69.
5. Vasil’ev V.А. On Edgeworth equilibria for some types of nonclassic markets //
Siberian Advances in Mathematics, 1996. V. 6, № 3. P.96-150.
6