3. импульс

2 Динамика
151
2 .2 hмп3льс. Цен2р масс. gа*он сохранения имп3льса
2.2.1 Частица массы m движется со скоростью v, а частица
массы 2m движется со скоростью 2v в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На, каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2v направлении, обратном первоначальному. Определите скорость
второй частицы.
Решение:
1 Определим изменение импульса первого тела в результате действия постоянной силы
Δp = p1* − p1 ,
F
p*
1
Δp
m
p1
где р1 = - mv, p1* = 2mv . Таким образом,
p2*
p2
Δp = 2mv − (− mv) = 3mv .
(1)
Δp
2 Поскольку на второе тело массой 2m,
движущееся со скоростью 2v действует
2m
такая же сила, как и на первое тело, а движется оно перпендикулярно первому телу, то импульс второго
тела представится следующим образом
p*2 = p 22 + Δp 2 =
(2m ⋅ 2v )2 + (3mv)2
= 5mv .
(2)
3 Скорость второго тела после действия силы определится так
p*2 = 2mv*2 = 5mv, ⇒ v*2 =
5
v.
2
(3)
2.2.2. Первоначально неподвижное тело массой m, находящееся на горизонтальной плоскости, начали тянуть за привязанную к нему веревку с постоянной горизонтальной силой F. Через
время Δt действие этой силы прекратилось. Какой коэффициент
трения имел место во время его движения, если тело остановилось спустя время ЗΔt? после начала движения?
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
152
Решение:
1 Для определения скорости, при1
v=0
F
2 обретенной телом при воздействии силы целесообразно воспользоваться
x теоремой об изменении импульса. С
FТр
mg 3Δt
учётом начала движения из состояния
покоя, уравнение теоремы представится так
FΔt = mv, v =
FΔt
.
m
(1)
2 После прекращения действия силы F, тело продолжит движение при воздействии только силы трения. Сила тяжести и нормальная реакция связи перпендикулярны направлению перемещения, поэтому не учитываются, их работа равна нулю. С учётом
остановки тела через время 3Δt теорема примет вид
μmg ⋅ 3Δt = mv ,
откуда
μ=
v
F
.
=
3gΔt 3mg
(2)
2.2.3. Космический корабль должен, изменив курс, двигаться
с прежним по модулю импульсом р под углом α к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить
двигатель с силой тяге F ?
p1
α Δp
p2
x
Решение:
1 По условию задачи импульс космического корабля при манёвре не меняется по модулю, т.е.
r
r
(1)
p1 = p 2 = p .
2 Изменение импульса определится
равенством
r
Δp = p 2 + p 2 − 2p 2 cos α = 2p 2 (1 − cos α ) ,
или
r
1
α
Δp = 2p (1 − cos α ) = 2p sin .
2
2
(2)
2 Динамика
153
3 С другой стороны, изменение импульса корабля, в соответствии с теоремой об изменении импульса, равно импульсу действующей силы
Δp
,
(3)
F
после подстановки в (3) значения Δp из (2), окончательно полуΔp = FΔt , ⇒ Δt =
чаем
Δt =
2p sin (α 2 )
.
F
(4)
2.2.4 В масс пролетном спектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно и пролетают через первый датчик
D1, находящийся на расстоянии L от
сетки. За сеткой по нормали к ней на
частицы действует электрическая сила
F. Частицы поворачиваются и вылетают
через сетку назад, пролетая через второй датчик D2, находящийся на том же расстоянии от сетки. От
напряжения источника зависит скорость вылетающих частиц, но
точное ее значение остается неизвестным. Меняя напряжение,
измеряют время между срабатываниями датчиков и находят наименьшее его значение Δt. Какова масса частицы?
Решение:
1 По условию задачи при изменении траектории заряженных частиц сеткой модуль их импульса остаётся неизменным, т.е.
r
r
p1 = p 2 = p ,
L
F
D1
x
α
С
p
кроме того, при взаимодействии с
p
β
1
2
потенциалом сетки импульс изменяет направление на угол β = π - α.
Δp
2 Определим изменение импульса частицы при её взаимодействии с электрическим полем
сетки
154
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
r
Δp = 2p 2 − 2p 2 cos(π − α ) = 2p 2 + 2p 2 cos α ,
r
1
α
α
Δp = 2p (1 + cos α ) = 2p cos = 2mv cos .
2
2
2
(1)
3 Запишем кинематическое уравнение движение частицы на
отрезке датчик – сетка
x=
Δt aΔt 2
L
=v −
.
cos(α 2)
2
8
(2)
4 Ускорение частицы на перемещении х определим из условия равенства нулю скорости в точке поворота
v c = v − at = 0 ⇒ a
2v
.
Δt
(3)
5 Подставим далее значение ускорения из (3) в уравнение
движения (2)
L
vΔt 2vΔt 2 2
=
−
= vΔt ,
cos(α 2)
2
8
8
откуда
v=
4L
.
cos(α 2)Δt
(4)
6 Совмещая (1) и (4), получим
r 8mL
.
Δp =
Δt
(5)
7 Импульс частицы (5) и импульс действующей силы связаны
известным уравнением теоремы об изменении импульса, что позволяет определить искомую массу частицы
FΔt 8mL
FΔt 2
.
=
, ⇒ m=
Δt
2
16L
(6)
2.2.5 Ящик с песком массы М лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения, с которой равен μ. Под углом α к
вертикали в ящик со скоростью v влетает пуля массы m и почти
мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, начав двигаться, остановится?
2 Динамика
155
Решение:
1 Горизонтальная составляющая им- m
пульса пули, передаваемого ящику, будет
α N
расходоваться на придание ему горизонv
тальной скорости, а вертикальная составv0
ляющая будет увеличивать силу трения.
Закон сохранения импульса в этом случае
Mg
FТр
запишется следующим образом
mv sin α = (M + m )v 0 + μmv cos α , (1)
откуда начальная скорость ящика определится как
v0 =
mv(sin α − μ cos α )
.
(M + m )
x
(2)
2 Воспользовавшись далее кинематическими уравнениями
равнозамедленного движения ящика, определим проделанный им
путь
v 0 − at = 0, ⇒ a = v 0 t ,
(3)
x = v0 t −
at 2 v 0 t
=
.
2
2
(4)
3 Кинетическая энергия ящика, расходуется при его движении
по шероховатой поверхности на работу против силы трения
(M + m )v02
2
= μ(M + m )g ⋅
v0 t
,
2
(5)
откуда при подстановке в (5) значения v0 из (2), получим для
времени движения ящика
t=
mv(sin α − μ cos α )
.
μg (M + m )
(6)
4 Уравнение (6) представляется корректным при t > 0, т.е.
mv sin α = μmv cos α ,
или при tgα > μ , если же tgα ≤ μ , то движение не возникнет.
2.2.6 На покоящееся тело массы m1 налетает со скоростью v
тело массы m2. Сила, возникающая при взаимодействии тел, линейно зависящая от времени, растет от нуля до значения F0 за
время to, а затем равномерно убывает до нуля за то же время.
156
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
Определите скорость тел после
взаимодействия, считая, что
все движения происходят по
одной прямой.
Решение:
1 Поскольку, судя по привеm1
денному
графику зависимости
v
силы взаимодействия от времени, остаточных деформаций нет
x
(при t = 2t0, F = 0), то взаимодейm2
ствие можно полагать абсолютно
m1
u2
u1
упругим.
2 Теорема об изменении имx
пульса в данном случае в общем
виде запишется так: Δp = F0 t 0 .
3 Скорости тел после соударения определятся посредствам
закона сохранения импульса, который для покоящегося первоначально тела массой m1 запишется в виде:
m2
F0 t 0 = m1u1 , ⇒ u1 =
для тела массой m2
F0 t 0
,
m1
(1)
F0 t 0 = m 2 v − m 2 u 2 ,
откуда
u2 = v −
F0 t 0
.
m2
(2)
2.2.7 Космический корабль перед отделением последней ступени ракеты-носителя имел скорость v. После отбрасывания последней ступени его скорость стала равной 1,01v, при этом отделившаяся ступень удаляется относительно корабля со скоростью
0,04 v. Какова масса последней ступени, если масса корабля m0?
Решение:
2 Динамика
157
1 Задачу можно решать как в системе отсчёта связанной с
Землёй или другой планетой, а так же в системе отсчёта, связанной с кораблём, движущимся с постоянной скоростью, причём
второй способ, на наш
m0
v
взгляд, более оправдан, так
как уравнение закона сохранения импульса получа(m0 -m)
ется более компактным и
m 0,97v
очевидным.
2 До отделения послед1,01v
ней ступени космический
корабль имел постоянную скорость v, а его импульс был равен
m0v, после отделения ступени импульс системы корабль – ступень обязан сохраняться, т.к. разделение происходит при действии только внутренних сил, которые, как известно, импульса не
меняют.
3 Запишем уравнение закона сохранения импульса в проекции
на направление движения корабля и определим массу отделившейся ступени
m 0 v = 0,97 mv + 1,01(m 0 − m) v, ⇒ m =
m0
.
4
2.2.8 Протон с начальной скоростью v летит прямо на первоначально покоящееся ядро гелия. Какова скорость частиц при
наибольшем их сближении? Масса ядра гелия близка к учетверенной массе протона.
Решение:
1 Протон и ядро имеют одноимённый заряд, поэтому схема их
взаимодействия зависит от скорости протона. Если предположить, что протон не проникает в ядро гелия, которое, по сути,
является, так называемой α - часm 4m
тицей, то взаимодействие станет
u
протекать по неупругой схеме.
При приближении протона к ядру
будет преобладать над остальными кулоновская сила, которая об-
158
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
ратно пропорциональна квадрату расстояния. Другими словами,
ввиду несущественного различия масс частиц они будут двигаться в одну сторону и с одинаковой скоростью. Закон сохранения
импульса представится так:
mv = (m + 4m )u ,
откуда
1
u1 = u 2 = u = v .
5
2.2.9 Снаряд разрывается в наивысшей точке траектории на
расстоянии L по горизонтали от пушки на два одинаковых осколка. Один из них вернулся к пушке по первоначальной траектории
снаряда. Где упал второй осколок?
Решение:
mm
1 Чтобы осколок вернулся в точку О необходимо, в
v
отсутствие сопротивления
C 2m
сообщить ему ту же скоh
рость, с которой к точке С
подлетел
снаряд, но с обратA
B x ным знаком, т.е. первый осo
x2
x1 =L
колок должен после разрыва
полететь горизонтально в направлении обратном первоначальному, до разрыва. Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось позволят в данном случае сразу определить скорость второго осколка, которая обязана быть направлена по направлению первоначального полёта снаряда в точке С
2mv = −mv + mu ,
(1)
откуда
u = 3v .
(2)
2 Как известно из кинематических соотношений, время падения тел зависит, без учёта сопротивления, только от высоты, т.е.
v
y
u
h=
gt 2
, ⇒ t1 = t 2 =
2
2h
.
g
(3)
2 Динамика
159
3 Вдоль оси ох движение любого тела брошенного горизонтально, а именно этот тип движения имеет место после разрыва
снаряда, происходит с постоянной скоростью
x1 = vt, x 2 = ut = 3vt, ⇒ x 2 = 3x1 = 3L .
(4)
4 Таким образом, от места старта второй осколок упадёт на
расстоянии
OB = x1 + x 2 = L + 3L = 4L .
(5)
2.2.10 Артиллерист стреляет из пушки ядром массы m так,
чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетевшее из
пушки ядро вскакивает небезызвестный барон Мюнхгаузен, масса
которого 5m. Какую часть пути до неприятельского лагеря барону
придётся идти пешком?
Решение:
1 Предположим, что барон оседлает ядро сразу после его вылета из пушки, при этом скорость ядра v2 уменьшится до величины v2 вследствие увеличения массы. Закон сохранения импульса
в проекции на горизонтальную ось запишется так
mv1 = (5m + m )v 2 ⇒ v 2 =
mv1
.
(M + m )
(1)
2 Запишем далее кинематические соотношения для дальности
полёта ядра х1 и ядра с бароном х2, считая их телами, брошенными под углом α к горизонту
v12 sin 2α
x1 =
,
g
v 22 sin 2α
x2 =
.
g
(2)
3 Перепишем уравнение для х2 с учётом (1)
m 2 v12 sin 2α
.
x2 =
(M + m )2 g
(3)
4 Если дальность полёта ядра без барона принять за единицу,
то пешую часть пути в общем виде можно представить так
2
⎛ m ⎞ 2
v sin 2α − ⎜
⎟ v1 sin 2α
x1 − x 2
1 35
6m ⎠
⎝
z=
=
=1−
=
.
2
x1
v1 sin 2α
36 36
2
1
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
160
2.2.11 Частица массы m1, имеющая скорость v, налетела на
покоящееся тело массы m2 и отскочила от него со скоростью u
под прямым углом к направлению первоначального движения.
Определите вектор скорости массы m2?
m1 v1
Решение:
1 Определим изменение импульса
тела массой m1
u1
m2
Δp1 =
(m1v1 )2 + (m1u1 )2 ,
Δp1 = m1 v12 + u12 ,
(1)
v2 = 0
u2
2 Изменение импульса первого тела
должно быть по модулю равно изменению импульса второго тела массой m2,
первоначально покоящегося v2 = 0
m 2 u 2 − m 2 v 2 = Δp1 = m1 v12 + u12 ,
а так как v2 = 0, то
m1
v12 + u12 .
m2
r r
3 Угол между векторами u 2 и v1 определится как:
α = arctg(u1 v1 ) .
u2 =
(2)
(3)
2.2.12 При β - распаде покоящегося первоначально нейтрона
образуются протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона и
электрона pр и ре равны по модулю а угол между ними α = 1200.
Определите импульс нейтрино.
pe
α
n
pp
pν
Решение:
1 Суммарный импульс электрона и
протона, с позиций закона сохранения,
должен быть равен по модулю импульсу
нейтрино, потому что распад происходит
исключительно под действием внутренних сил, которые изменить движения не
могут. Импульс нейтрино по модулю будет равен сумме импульсов электрона и
2 Динамика
161
r
r
протона, а направлен – в сторону противоположную p p + p e
r
p ν = p 2p + p e2 + 2p p p e cos1200 ,
(1)
r
r
или с учётом того, что p p = p e = p , уравнение (1) перепишется в
виде
r
pν = p2 + p2 − p2 = p .
2.2.13 Радиоактивное ядро распалось на три осколка массы m1, m2, m3,
имеющих скорость v1, v2, v2 соответственно. Какова была скорость ядра до
распада?
(2)
v2
v1
Решение:
1 Как и в предыдущем
случае, распад ядра происp0
ходит под действием внутренних сил, поэтому справедлив закон сохранения
импульса, т.е. вектор импульса ядра до распада
p1+p2
должен быть равен сумме
векторов импульсов всех
компонент распада. Сумp1
марный импульс осколков
определится по правилам
сложения векторов
v3
= p1+p2+p3
r
r r r
r
r
r
p 0 = p1 + p 2 + p3 = m1v1 + m 2 v 2 + m3 v3 .
p2
p3
(1)
2 Закон сохранения импульса в векторной форме запишется в
виде
(m1 + m 2 + m3 )ur = m1vr 1 + m 2 vr 2 + m3vr 3 ,
(2)
откуда
r
r
r
r m1v1 + m 2 v 2 + m3 v3
u=
.
m1 + m 2 + m 2
162
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
2.2.14 Космонавт массы m1 приближается к космическому кораблю массы m2 с помощью легкого троса. Первоначально корабль и космонавт неподвижны, а расстояние между ними равно
L. Какое расстояние пройдут корабль и космонавт до встречи?
Решение:
1 Импульс системы корабль – космонавт при отсутствии
внешних сил должен сохраняться. Взаимное сближение космонавта и корабля происходит под действием внутренних сил, сумма которых для любой системы точек равна нулю, поэтому закон
сохранения импульса в проекции на направление прямолинейного перемещения примет вид:
m1v1 − m 2 v 2 = 0 .
(1)
2 Считая скорости корабля и космонавта постоянными, можно записать для них следующие уравнения
v1 =
x1
,
t
v2 =
(L − x1 ) ,
t
(2)
где х1 – перемещение космонавта за время t, х2 = (L – x1) – перемещение космического корабля за то же время.
3 Подставляя (2) в (1) получим
m1x1 m 2 (L − x1 )
m2L
−
, ⇒ x1 =
,
t
t
m1 + m 2
m1L
x 2 = L − x1 =
.
m1 + m 2
(3)
(4)
2.2.15 Определите, где находится центр масс однородного
прутка длиной L, согнутого посередине под прямым углом?
Решение:
1 Положение центра масс системы материальных точек относительно выбранной системы отсчёта определяется следующим
радиус – вектором
k =n
r
rC =
∑m
k =1
M
r
r
k k
,
(1)
2 Динамика
163
r
где m k и rk - масса и радиус – вектор некоторой k-й точки рассматриваемой системы. В данном случае ввиду однородности прутка его
можно рассматривать, состоящим
из двух элементов, центры масс
которых су и сх располагаются на
расстоянии L/4 от торцов.
2 Рассматривая далее прямоугольный треугольник, например
UОСсх, для модуля радиус-вектора
центра масс, можно записать
2
y
cy
rc
L
4
o
C
cx
L/4
L/2
2
r
L
⎛L⎞ ⎛L⎞
2.
rC = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
4
⎝4⎠ ⎝4⎠
r
3 Направление rC определится углом
r r
0,25L
rC ; i = arcsin
= arcsin 0,707 ≅ 450 .
0,35L
( )
x
(2)
(3)
2.2.16 Определите положение центра масс пластинки в виде
произвольного треугольника.
Решение:
D
1 Разобьём площадь треугольника ADB прямыми, параллельными стороне AD, на
F
E
большое число узких полосок,
С
которые можно рассматривать
как отрезки материальной
B
A
прямой линии. Центр масс каL
ждой такой полоски лежит на
её середине, т.е. на медиане FB.
2 Естественно предположить, что и центр масс всего треугольника располагается где-то на этой медиане. Установить эту
конкретную точку можно разбиением площади треугольника полосками параллельными другой стороне, например, DB. Центры
164
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
масс новых полосок будут располагаться на медиане AE. Точка
пересечения медиан BF и AE даст искомую точку С – центр масс.
3 Как известно из геометрии
1
CL = DL .
3
2.2.17 Определите положение центра масс
круглой пластины радиуса R, с вырезом в виде
прямоугольника со сторонами a и b.
b a
R
Решение:
1 При определении положения
y
центра масс фигур с вырезами пользуются, как правило, способом дополнения, считая массы вырезанных
a
частей отрицательными.
C
b
O
2 Рассматриваемая пластина с
x
вырезом имеет ось симметрии, на
R
которой и следует искать центр масс.
3 Дополним пластину до полного
круга, площадь которого определится
как S0 = πR 2 . Центр масс этого круга совпадает с его геометрическим центром О, где и расположим начало системы координат.
Абсцисса центра масс полного круга х0 = 0.
4 Площадь вырезанного прямоугольника S1 = a⋅b. Абсцисса
центра масс этой фигуры равна x1 = а/2.
5 Координату центра масс заданной фигуры определим по
уравнению
i=n
xC =
∑S x
i
i =1
i
S
πR 2 0 − ab
S x −S x
xC = 0 0 1 1 =
S0 − S1
πR 2 − ab
,
a
2 =−
a 2b
.
2(πR 2 − ab )
2 Динамика
165
2.2.18 На первоначально неподвижной тележке установлены два вертикальных цилиндрических сосуда, соединенных тонкой трубкой. Площадь сечения
каждого сосуда S, расстояние между их
осями L. Один из сосудов заполнен жидкостью плотности ρ. Кран на соединительной трубке открывают. Найдите скорость тележки в момент
времени, когда скорость уровней жидкости равна v. Полная масса
всей системы М.
Решение:
1 Движение сосуда при перетекании жидкости обусловлено
изменением положения центра масс. Очевидно, что импульс перемещающейся жидкости по закону сохранения импульса должен
быть равен по модулю импульсу системы
(1)
Mu = m v ,
где u – скорость тележки, m – масса жидкости.
2 Выразим массу жидкости через её плотность и объём
m = ρV = ρsL .
(2)
3 Перепишем (1) с учётом (2)
Mu = ρsLv ,
откуда
u=
ρsLv
.
M
(3)
2.2.19 На гладком полу стоит сосуд, заполненный водой плотности ρ0; объем воды
Vo. Оказавшийся на дне сосуда жук объема V
плотности ρ через некоторое время начинает
ползти по дну сосуда со скоростью u относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время остается горизонтальным.
Решение:
1 Система «жук + сосуд» замкнута, т.к. все внешние силы
перпендикулярны рассматриваемому перемещению жука и сосу-
166
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
да. Сумма проекций импульсов жука и сосуда на горизонтальную
ось сохраняется и равна нулю, поскольку насекомое сначала сидит неподвижно.
2 Жук подвержен воздействию силы Архимеда, поэтому нормальная реакция связи определится в виде разности
r
N = mg − FA = ρgV − ρ0gV = gV(ρ − ρ0 ) .
(1)
3 После того, как жук начал ползти прямолинейно и равномерно, его импульс приобрёл значение
p = uV(ρ − ρ0 ) .
(2)
4 При этом сосуд с ползущим жуком будет обладать импульсом
p 0 = v(ρV + ρ0 V0 ) .
(3)
5 Приравнивая (2) и (3) и разрешая полученное уравнение относительно скорости сосуда v, получим
v=
uV(ρ − ρ0 )
.
ρV + ρ0 V0
(4)
2.2.20 Для создания искусственной силы тяжести два отсека
орбитальной станции (отношение масс 1:2) развели на расстояние R друг от друга и раскрутили вокруг их общего центра масс.
Определите время полного оборота отсеков, если в более массивном отсеке искусственная сила тяжести в два раза меньше
силы тяжести на Земле.
Решение:
1 Вращающаяся вокруг центра масс станция обладает симметрией относительно горизонтальной оси, проведенной через
центры блоков, центр масс станции будет лежать на этой оси
i=n
z
2m
C
xC =
R
2/3R
m
∑m x
i =1
i=n
i
∑m
i =1
i
=
2mR + m0 2
= R.
3m
3
i
2 Ускорение в более массивном
блоке станции обусловлено вращением вокруг оси Сz
2 Динамика
167
1
1
a n = ω2 r = ω2 R = g ,
3
2
(1)
откуда
ω=
3g
.
2R
(2)
3 Перейдём далее от угловой скорости ω к периоду Т
T=
ω
2R
= 2π
.
2π
3g
(3)
2.2.21 Два тела массы m1 и m2 связаны натянутой нитью длины L и движутся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что первое тело неподвижно, а скорость второго тела, равная
u, перпендикулярна нити. Определите
силу натяжения нити.
Решение:
1 Воспользовавшись вторым законом Ньютона, определим
абсолютное ускорение
a1 =
F
F
m + m2
,
; a2 =
; a = a1 + a 2 = F 1
m1
m2
m1m 2
(1)
где F – натяжение нити, а1,а2 – ускорение тел
2 Покой тела с массой m1 и направление скорости тела с массой m2 показывают, что они вращаются вокруг подвижной оси,
которая в данный момент времени проходит перпендикулярно
плоскости чертежа через тело массой m2. Таким образом, тела
будут обладать нормальным ускорением, т.е.
a ≡ an =
v2
m + m2
,
=F 1
L
m1m 2
(2)
откуда, натяжение нити определится как
F=
m1m 2 v 2
.
(m1 + m 2 )L
(3)
168
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
2.2.22 Космическая станция состоит из двух отсеков массы
m1 и m2, соединенных длинным однородным тросом длины L.
Станция вращается вокруг оси, перпендикулярной тросу. Какова
угловая скорость вращения, если сила натяжения троса вблизи
первого отсека равна T1, а вблизи второго – T2?
Решение:
1 Определим ускорение отсеков космической станции
a1 =
T1
T
; a2 = 2 .
m1
m2
(1)
2 Абсолютное ускорение определится в виде суммы
a = a1 + a 2 =
T1m 2 + T2 m1
.
m1m 2
(2)
3 Так как блоки станции вращаются, то ускорение будет нормальным, а именно
a ≡ a n = ω2 L =
T1m 2 + T2 m1
.
m1m 2
(3)
4 Решая (3) относительно угловой скорости ω, получим
ω=
T1m 2 + T2 m1
.
m1m 2 L
(4)
2.2.23 В сосуде, наполненном водой плотности ρ, с ускорением а всплывает пузырек воздуха, объем которого V. Найдите
силу давления со стороны сосуда на опору. Масса сосуда вместе
с водой равна m.
Решение:
1 Сосуд с пузырьком воздуха можно раса
сматривать как некий объём со сферической
полостью ( плотность воды 1000 кг/м3, а возρ
духа при нормальных условиях 1,3 кг/м3),
который будет иметь центр масс. При
V
всплывании пузырька центр масс будет перемещаться. Ускоренное движение пузырька
приведёт к возникновению дополнительной
нагрузки на опорную поверхность.
2 Определим массу вытесненной пузырьком жидкости
2 Динамика
169
m 0 = ρV .
(1)
3 Сила давления сосуда на опорную поверхность равна нормальной реакции связи N , взятой с обратным знаком. Так как N
представляет собой в общем случае сумму проекций всех сил на
нормаль к поверхности, т.е.
k =n
N = ∑ Fkn ,
k =1
поэтому
N = mg + m 0a = mg + ρVa .
(2)
2.2.24 На тросе висит небольшой ящик с песком, в котором
застревают пули, летящие горизонтально со скоростью v. Масса
пули m1 много меньше массы ящика m2. Трос отклоняется от вертикали на угол α. Какое число пуль попадает в песок за единицу
времени?
Решение:
1 Теорема об изменении импульса для
единичной пули запишется следующим обα T y
разом
f1Δt = m1v ,
(1)
m1v
2 В единицу времени для n = N/Δt пуль,
x
уравнение (1) перепишется в виде
F
F = nm1v .
(2)
m
g
2
3 Статическое положение отклонённого
из положения равновесия ящика позволяет
составить на основе второго закона Ньютона следующую систему уравнений, решение которой определяет величину n
F − T sin α = 0, ⎫
⎬,
T cos α − m 2g = 0.⎭
tgα =
F
nm1v
,
, ⇒ tgα =
m 2g
m 2g
tgαm 2g
.
n=
nm1v
(3)
(4)
(5)
170
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
2.2.25 На чаше весов прыгает N шариков массы m каждый.
Какова средняя сила, действующая на чашу весов, если скорость
шариков по модулю не меняется? Увеличивается или уменьшается эта сила, если после удара скорость каждого шарика уменьшается?
Решение:
1 Если модуль скорости шариков при отскоке не меняется,
значит их взаимодействие с чашкой весов происходит по абсолютно упругой схеме. Это значит, что средний импульс чашки не
изменяется во время отскока.
2 При соприкосновении шарика с поверхностью происходит
упругая деформация его объёма, которая в короткое время исчезает, сообщая шарику скорость в обратном направлении.
3 На показания весов оказывают влияние только те шарики
которые за исследуемый промежуток времени находились на
чашке. Таким образом, средняя, за некоторый промежуток времени, больший, чем время прыжка шарика, сила будет равна
суммарному весу всех шариков
F = Nmg .
2.2.26 Внутри сферы радиуса R со
скоростью v движется частица массы m,
упруго ударяясь о ее стенки. Скорость
частицы образует угол ψ с радиусом,
проведенным в точку удара. Какова по
модулю средняя сила, действующая со
стороны стенок сферы на частицу? Какое давление создаёт частица? Как изменится давление, если внутри сферы
содержится N таких не взаимодействующих частиц?
Решение:
1 Найдём перпендикулярную поверхности сферы составляющую импульса частицы
p ⊥ = 2mv cos ψ .
(1)
2 Путь АВ, который способна проделать частица после первого удара о поверхность АВ = 2Rcosψ.
2 Динамика
171
3 Число ударов частицы о стенку с единицу времени составит
ν=
v
.
2R cos ψ
(2)
4 Сумма всех импульсов одной частицы, сообщённых стенке
за единицу времени, составит
k =z
∑p
k =1
⊥k
= 2mv cos ψ
v
mv 2
=
.
2R cos ψ
R
(3)
5 Импульс в единицу времени равен силе, действующей со
стороны частицы на стенку, т.е.
F=
mv2
.
R
(4)
6 Давление, оказываемое частицей на стенку, определим, поделив силу (4) на площадь сферы
P=
F 1 mv2
mv2 1 mv2
.
=
=
=
s R 4πR 2 4πR 3 3 VСф
(5)
7 Если внутри сферы с указанной скоростью будут летать N
молекул, то, создаваемое ими давление определится как
PN =
1 Nmv2
.
3 VСф
(6)
2.2.27 Ракета массы m зависла над поверхностью Земли.
Сколько топлива в единицу времени она должна расходовать при
этом, если скорость истечения газа u? Как изменится результат,
если ракета поднимается с ускорением а?
Решение:
1 Зависание ракеты над Землёй означает, что сила
тяжести компенсируется силой тяги двигателей. Так
как ракетные двигатели имеют реактивный принцип
движения, то теорема об изменении импульса будет m
иметь вид
mgΔt = μΔtu ,
(1)
где μ - секундный расход топлива, превращающегося
в газы, истекающие со скоростью u. Сокращая (1) на
g
u
172
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
время, получим
μ = mg u .
(2)
2 При движении ракеты с ускорением а вверх, уравнение для
расхода топлива примет вид
μa =
m(g + a )
.
u
(3)
2.2.28 Ракета сечения S, двигаясь в космическом пространстве со скоростью u, попадает в облако неподвижной пыли плотности ρ. Какую силу тяги должны развивать двигатели ракеты, чтобы та могла продолжать двигаться с той же постоянной скоростью? Удары пылинок о ракету считать абсолютно неупругими.
Изменением массы ракеты пренебречь.
Решение:
1 Продвижение ракеты в пылевидном облаке будет сопровождаться её торможением, потому что ракета часть своего импульса будет отдавать при неупругом взаимодействии пылинкам.
Чтобы определить количественно импульс надо найти массу
взаимодействующих с корпусом ракеты пылинок.
2 Путь, проделанный ракетой в облаке за данный промежуток
времени:
L = uΔt.
(1)
3 Объём, образованный следом ракеты при перемещении в
пылевом облаке:
V = suΔt.
(2)
4 Масса пылинок заключённых в объёме V может быть определена через плотность пылевого облака
m = ρV = ρsuΔt .
(3)
5 Изменение импульса ракеты при неупругом взаимодействии
с пылинками запишется так
Δp = ρsuΔt ⋅ u .
(4)
6 Для компенсации суммарного импульса пылинок необходимо обеспечить изменение импульса силы тяги на величину ΔFΔt
FΔt = ρsu 2 Δt , ⇒ F = ρsu 2 .
(5)
2 Динамика
173
2.2.29 Определите силу тяги воздушно-реактивного двигателя самолета, летящего со скоростью v. Массовый расход топлива
и поступающего в двигатель воздуха равен μ1 и μ2 соответственно. Скорость продуктов сгорания относительно самолета на выходе из двигателя u.
Решение:
1Определим относительную скорость поступающего в камеру
сгорания воздуха
v1 = u − v .
(1)
2 Самолёт описанного в условии типа имеет реактивный
принцип движения, для него справедлива теорема об изменении
импульса, т.к. систему «окислитель – топливо - самолёт» можно
считать замкнутой. Все внешние силы перпендикулярны направлению полёта, поэтому
FΔt = μ 2 Δt (u − v ) + μ1Δtu ,
(2)
откуда
F = μ 2 (u − v ) + μ1u .
(3)
2.2.30 Водометный катер движется в спокойной воде. Сила
сопротивления воды движению катера F = kv2. Скорость выбрасываемой воды относительно катера u. Определите установившуюся скорость катера, если сечение потока захваченной двигателем воды S, плотность воды ρ.
Решение:
1 Чтобы катеру с водомётным движителем перемещаться с
постоянной скоростью необходимо, чтобы импульс силы сопротивления был равен импульсу выбрасываемой жидкости
FΔt = m f v ,
(1)
где mf – масса жидкости, перемещаемая водомётом за время Δt.
2 Определим эту массу: m f = ρs(u − v )Δt .
3 Подставим в (1) значение массы и силы сопротивления
kv 2 = ρsuv − ρsv 2 ,
v=
ρsu
.
ρs + k
(2)
174
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
2.2.31 Труба радиуса r заполнена пористым веществом плотности ρ0. Поршень, на который действует постоянная сила F, двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности ρ. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение вещества происходит
скачком, т.е. в трубе перемещается с некоторой скоростью граница раздела, справа от которой плотность вещества ρ, а слева ρ0? В начальный момент эта граница совпадает с поверхностью
поршня.
Решение:
1 Определим изменение объёма
вещества при перемещении поршня
за время Δt
s
ΔV = svΔt = πr 2 vΔt .
(1)
v
F
2 Получим уравнение, описывающее процесс изменения плотности вещества, т.е. эквивалентную плотность из следующих соображений
ρ0
ρ
V=
m
m
ΔV 1 1 1
, V0 = , ⇒
=
− = ,
ρ
ρ0
m ρ0 ρ ρ э
ρρ
ρэ = 0 .
ρ − ρ0
(2)
3 Запишем далее теорему об изменении импульса
FΔt = mv = ρэ ΔVv , или F = πr 2 v 2
ρρ 0
.
ρ − ρ0
(3)
4 Выразим из уравнения (3) искомую скорость поршня
v=
F(ρ − ρ0 )
.
πr 2ρρ0
(4)
2.2.32 На чаше весов стоят песочные часы. Когда песок внизу, показания весов — 2-Ро. Вес песка равен Рц. Часы переворачивают. Нарисуйте график зависимости показания весов от времени. Время падения каждой песчинки Д/, время протекания песка Т.
2 Динамика
175
2.2.33 Однородная цепочка одним концом подвешена на нити
так, что другим она касается поверхности стола. Нить пережигают. Определите зависимость силы давления цепочки на стол от
длины еще не упавшей ее части. Удар звеньев о стол неупругий,
масса цепочки m, ее длинаL.
Решение:
1 Определим массу единицу длины цепи
как
mk = m L .
2 С учётом (1) масса цепи, лежащей на
полу в зависимости от х (длины не упавшей
цепи)запишется следующим образом
m1 =
m
(L − x ) = m⎛⎜1 − x ⎞⎟ .
L
⎝ L⎠
N
x
L
mk
(1)
m1g
3 Сила, с которой цепь действует на пол,
будет иметь две составляющие: статическую, обусловленную веслом упавшей цепи и динамическую, вызванную передачей падающими звеньями импульса при неупругом взаимодействии с полом
N = m1g + FD .
(2)
4 Динамическую составляющую можно определить по теореме об изменении импульса
1
⎛ x⎞
FD Δt = m1v = m⎜1 − ⎟gΔt .
2
⎝ L⎠
(3)
5 Величина динамической составляющей силы давления при
падении цепи изменяется от нуля до некоторого значения FD, в
этой связи, средняя величина определится как FD/2
⎛ x⎞
FD = 2mg⎜1 − ⎟ .
⎝ L⎠
(4)
6 Подставим уравнения (2) и (4) в (1)
⎛ x⎞
⎛ x⎞
N = mg⎜1 − ⎟ + 2mg⎜1 − ⎟ ,
⎝ L⎠
⎝ L⎠
⎛ x⎞
N = 3mg⎜1 − ⎟ .
⎝ L⎠
(5)
176
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
2.2.34 С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v? Масса змеи m, ее длина L.
Решение:
1 Для подъёма своего тела кобра должна совершить работу
чтобы изменить положение своего центра масс и сообщить ему
скорость. Если предположить, что кобра становится на хвост, то
центр тяжести приподнимется над поверхностью земли на расстояние L/2.
2 Энергетическое состояние кобры перед прыжком определится в виде суммы кинетической энергии, обусловленной движением вертикально вверх и потенциальной энергией конечного
положения центра масс. Таким образом
A=
mv 2
L
L mv2
L
+ mg , F =
+ mg ,
2
2
2
2
2
m 2
F=
v + gL .
L
(
)
2.2.35 Цепь с неупругими звеньями перекинута
через блок, причем часть ее лежит на столе, а
часть - на полу. После того как цепь отпустили, она
начала двигаться. Найдите скорость установившегося равномерного движения цепи. Высота стола h.
Решение:
1 Движение цепи обусловлено изменением положения центра
масс участка, соответствующего высоте стола h. Если за нулевой
уровень потенциальной энергии принять пол, то центр масс этого
участка цепи расположен на расстоянии h/2 от пола.
2 Таким образом, величина кинетической энергии цепи при её
движении будет определяться потенциальной энергией центра
масс участка цепи протяжённостью h
mv2
h
= mg , ⇒ v = gh .
2
2
2 Динамика
177
2.2.36 Две лодки массами М1 = 500 кг и М2 = 1000 кг, в каждой
из которых находится груз массой m =100 кг следуют встречными
параллельными курсами со скоростями v1 = 3 м/с и v2 = 6 м/с. Когда лодки находятся напротив друг друга, с каждой лодки во
встречную перебрасывают груз m. Определите, с какой скоростью
после этого станут двигаться лодки.
Решение:
М1
1 В данном случае целесообразm
но выделить две замкнутые систеv1
мы материальных точек: первая
лодка массой М1 и груз второй лодx
ки m; вторая система – лодка М2 и v
2
груз первой лодки m. Для этих сисm
М2
тем закон сохранения импульса при
перебрасывании груза в проекции на ось х запишется следующим образом
M1v1 − mv 2 = (M1 + m )u1 ,
(1)
− M 2 v 2 + mv1 = −(M 2 + m )u 2 .
(2)
2 Разрешая полученную систему уравнений относительно
скоростей лодок u1 и u2 после перебрасывания груза, получим
M1v1 − mv2
м
= 1,5 ,
M1 + m
c
M v − mv1
м
= 5,2 .
u2 = 2 2
M2 + m
c
u1 =
(3)
(4)
2.2.37 Кусок однородного каната висит вертикально, причём
нижний конец доходит до горизонтального стола. Покажите, что
если верхний конец каната освободить, то в любой момент его
падения сила давления на стол будет в три раза больше веса
каната, уже лежащего на столе.
Решение:
1 Дополнительное давление каната на стол обусловлено потерей импульса падающим канатом. Пусть μ масса единицы длины
178
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
каната, за единицу времени в таком случае на стол упадёт его
масса dm = μdx , где dx – элемент длины каната.
2 Определим величину силы, действующей на стол со стороны каната, которую иногда называют динамической составляющей
ΔFdt = dm ⋅ v ,
или
ΔF =
μdxv
= μv 2 .
dt
(1)
3 Величину скорости можно определить из закона сохранения
энергии
mv2
= mgx ⇒ v 2 = 2gx ,
2
(2)
где х – длина части каната уже лежащей на столе.
4 Совмещая (1) и (2) получим,
ΔF = 2μgx ,
(3)
таким образом, суммарная сила, действующая на стол равна
FΣ = μgx + 2μgx = 3μgx .
(4)
Что, собственно, и требовалось доказать. Аналогичный результат
был получен для цепи в задаче 2.2.35
2.2.38 На плоскость, наклонённую под углом α = 450 к горизонту с высоты h = 5 м без начальной скорости отпускают шарик, который падает без сопротивления, упруго отражается от плоскости
и продолжает полёт. Опишите дальнейшее движение шарика относительно плоскости и определите его основные параметры.
Решение:
1 Абсолютно упругий удар шарика предполагает, что угол
падения равен углу отражения, причём, в соответствии с законом
сохранения импульса, скорость шарика будет менять направление, но останется постоянной по модулю. Таким образом, шарик,
отразившись от плоскости, будет иметь горизонтальную начальную скорость v0 (т.к. α = 450), следовательно, относительно плоскости после отскока шарик будет двигаться как тело, брошенное
под углом к горизонту.
2 Используя кинематические соотношения определим скорость которую будет иметь шарик в момент касания плоскости
2 Динамика
h=
gt 2
, ⇒ t=
2
179
2h
≅ 1c, (1)
g
y
v = gt = 2gh ≅ 10м. / с
(2)
3 Определим дальность полёта шарика над плоскостью с учётом того,
что модуль скорости при касании
плоскости равен модулю начальной
скорости дальнейшего полёта по параболической траектории
xm =
v 02 sin 2α
≅ 10м .
g
(3)
h
v0
α
xm
x
4 Пролетев xm = 10м над плоскостью, и достигнув максимальной высоты
ym
2
(
v0 sin α )
=
2g
≅ 2,5м ,
(4)
шарик снова через время
τ=
2v 0 sin α
≅ 1,4c ,
g
(5)
коснётся плоскости, затем всё повторимся.
2.2.39 Деревянный шар массой М=1кг лежит на штативе,
верхняя часть которого выполнена в виде кольца. Снизу в шар
попадает вертикально летящая пуля массой 10 г. В момент прохождения через шар пули его центр масс поднимается на высоту
ΔхС=0,1 м. На какую высоту поднимется пуля над кольцом, если
её скорость перед проникновением в шар была равна v=200 м/с?
Решение:
1 Закон сохранения импульса системы «шар – пуля» в проекции на вертикальную ось запишется следующим образом
mv = (M + m )u + mv1 ,
(1)
где u – скорость шара при прохождении в нём пули, v1 – скорость
пули после прохождения шара.
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
180
2 Скорость шара определим, используя теорему о движении
центра масс
u = 2gΔx c ≅ 1,41м / с .
(2)
3 Определим из уравнения (1) скорость пули при вылете из
шара
v1 =
(M + m ) 2gΔx ≅ 59 м .
mv − (M + m )u
=v−
c
m
m
c
(3)
4 Высоту подъёма пули над кольцом можно определить двумя
способами: используя закон сохранения энергии и из кинематических соображений, считая пулю телом, брошенным вертикально вверх
h = v1t −
gt 2
v
v2
, t = 1 , ⇒ h = 1 ≅ 180м .
2
g
2g
(4)
2.2.40 Ракета, масса которой в начальный момент времени m0
= 1500 кг запущена вертикально вверх. Определите ускорение
ракеты через 5 с полёта, если скорость расхода горючего μ = 100
кг/с, а относительная скорость выхода продуктов сгорания u = 200
м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение:
1 В данном случае целесообразно использовать закон сохранения импульса, записанный в форме уравнения Мещерского для
тел с переменной массой
k =n
(m − μt )a = ∑ Fke − μu ,
(1)
k =1
где ΣFe – равнодействующая внешних сил, приложенных к ракете. Поскольку по условию задачи сопротивление отсутствует, то
внешней является только сила тяжести, т.е.
1
∑ F = (m − μt )g .
e
k
(2)
0
2 Подставляя (2) в (1) и разрешая полученное равенство относительно ускорения, получим
a=−
м
μu
+ g ≅ −10 2 ≅ g .
m − μt
c
(3)
2 Динамика
181
2.2.41 Используя данные о ракете предыдущей задачи, определить скорость ракеты через τ = 10 с после её вертикального
старта. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
1 Используя уравнение (3) предыдущей задачи, с учётом направления скорости вертикально вверх, можно прийти к следующему дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными
a=
dv
μu
μu
=
− g , dv =
dt − gdt .
dt m − μt
m − μt
(1)
2 Проинтегрируем (1)
τ
τ
dt
m
м
− g ∫ dt = u ln
− gτ ≅ 120 .
m − μt
m − μτ
c
0
0
v = μu ∫
2.2.42 На судне массой m = 200 т установлен водомётный
движитель, выбрасывающий ежесекундно μ = 200 кг/с воды с относительной скоростью u = 5 м/с. Определите скорость судна
через τ = 5 мин после старта без начальной скорости. Сопротивление воды движению судна не учитывать.
Решение:
1 Работа водомётного движителя без учёта сопротивления
основывается на взаимодействии внутренних сил. Закон сохранения импульса системы «движущаяся вода – судно» для этого способа реактивного движения запишется следующим образом
mv = m(v + dv ) + (v + u )μdt ,
(1)
где (v + dv ) - изменение скорости судна за время dt, (v + u ) - абсолютная скорость воды в проточной части движителя, μ⋅dt –
масса жидкости протекающей через сечение насадка за время dt.
2 Разделив в уравнении (1) переменные
mv = mv + mdv + (v + u ) μdt ,
dv
μ
= − dt ,
(v + u ) m
проинтегрируем его
(2)
182
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
v
∫
0
τ
μ
dv
= − ∫ dt ,
(v + u ) m 0
(3)
откуда, после интегрирования приходим к уравнению для скорости катера
⎡
м
⎛ μ ⎞⎤
v = −u ⎢1 − exp⎜ − t ⎟⎥ ≅ 1,3 .
c
⎝ m ⎠⎦
⎣
(4)
2.2.43 Определите скорость ракеты в момент полного выгорания топлива, если начальная масса ракеты m0 = 100 кг, масса заряда mз = 50 кг, относительная скорость выхода продуктов сгорания u = 800 м/с. Сопротивление воздуха и ускорение силы тяжести не учитывать.
Решение:
1 Запишем уравнение закона сохранения импульса для материальной точки переменной массы
mv = (m − dm )(v + dv ) + dm(u + v ) ,
(1)
где m – текущая масса ракеты, dm – изменение массы ракеты за
бесконечно малое время dt, dv – изменение скорости ракеты за
время dt, (u + v) – абсолютная скорость продуктов сгорания.
2 Преобразуем уравнение (1) к виду, удобному к разделению
переменных и последующему интегрированию
mv = mv − vdm − dmdv + mdv + dmu + dmv ,
mdv + dmu − vdm = 0 , ⇒
dv
dm
.
=
u−v m
(2)
3 Проинтегрируем (2) с учётом того, что скорость меняется от
0 до v, а масса от m0 до m
v
m
m
m
dv
dm
∫0 u − v = m∫ m , ⇒ v = u ln m0 = u ln m0 −0m з ≅ 555 м/с.
0
2.2.44 Два куска глины одинаковой массы начали двигаться
одновременно вертикально навстречу друг другу: один с земли с
начальной скоростью v0, а другой с высоты
h = v 02 2g = 20м без
начальной скорости. Определите, через какое время после
встречи куски упадут на землю. Сопротивление отсутствует.
2 Динамика
183
Решение:
1 Запишем кинематические уравнения движения для обоих
кусков глины и определим время их встречи при условии равенства координат, т.е. y1 = y2
gt 2 ⎫
,
2
2
2 ⎪⎪ ⇒ h − gt − v t + gt = 0 ,
⎬
0
2
2
gt 2 ⎪
y2 = v0 t −
2 ⎪⎭
y1 = h −
(1)
откуда
ti =
h
=
v0
v 02
2gv
2g
2g
2
0
=
v0
.
2g
(2)
2 Встреча кусков произойдёт на расстоянии yi от поверхности
земли
yi = h −
g v 02
v 02 v 02 v 02 3 v 02 3
=
h
−
=
−
=
= h.
2 4g 2
8g 2g 8g 8 g 4
(3)
3 Определим модули скоростей кусков в момент их встречи
v 2 = gt i = 10м / с, v1 = v0 − gt i = 10м / с .
(4)
Таким образом, встречное движение с одинаковыми по модулю
скоростями кусков глины приведёт к их остановке. Более просто
этот результат можно получить, используя закон сохранения импульса для неупругого столкновения в проекции на вертикальную ось
mv1 − mv 2 = (m + m )u , ⇒ u = 0 .
(5)
4 Время падения слипшихся кусков определим как
yi =
3h
gt 2k 3
= h, ⇒ t k =
≅ 1,73c .
2g
2
4
(6)
2.2.45 В современных комплексах загрузка железнодорожных
платформ вертикально падающим углем производится на ходу.
При прохождении платформы на неё падает μ = 1т/с угля, при
этом платформа равномерно перемещается за Δt = 10c на х =
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
184
10м. Какая сила тяги должна обеспечивать перемещение платформы. Трение и сопротивление отсутствуют.
Решение:
1 Запишем теорему об изменении импульса для загружающегося на ходу углем вагона в проекции на направление перемещения
FΔt = (m 0 + m) v − vm0 = mv = μΔt
откуда
F=
Δx
,
Δt
(1)
μx
≅ 2,5 ⋅ 10 4 H .
Δt
(2)
2.2.46 Платформа массы m0 начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на неё сыплется песок. Скорость
погрузки постоянна и равна μ кг/с. Найдите зависимость от времени скорости и
ускорения платформы.
Решение:
1 Теорема об изменении импульса в данном случае может
быть записана в проекции на горизонтальную ось следующим
образом
Fdt = (m 0 + μt )dv .
(1)
2 Разделим в (1) переменные, проинтегрируем
v
τ
∫ dv = ∫
0
0
Fdt
⎛
μt ⎞
⎟⎟
m 0 ⎜⎜1 +
⎝ m0 ⎠
, ⇒
v=
Fτ
⎛
μτ ⎞
⎟⎟
m 0 ⎜⎜1 +
⎝ m0 ⎠
,
(3)
где τ - время в течение, которого на платформу сыплется песок.
2 Ускорение платформы определим, как производную скорости по времени
a
dv
F
=
.
dt m 0 (1 + μt m 0 )2
(4)
2 Динамика
185
2.2.47 Замкнутая цепочка массы m =
360 г соединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины и
вращается с постоянной угловой скоростью ω = 35 рад/с. При этом нить составляет угол ϑ =450 с вертикалью. Определите расстояние от центра масс цепочки
до оси вращения, а так же силу натяжения нити.
Решение:
1 Приложим все действующие силы к центру масс цепочки и будем
рассматривать его движение по окружности радиуса r. Составим для
точки С уравнение второго закона
Ньютона в проекции на оси координат
T sin ϑ = mω2 r,⎫
⎬
T cos ϑ = mg. ⎭
(1)
2 Поделим уравнения одно на дру-
y
r
α
T
x
С
mg
гое
tgϑ =
ω2 r
gtgϑ
, ⇒ r = 2 ≅ 8 ⋅ 10− 3 м .
g
ω
(2)
3 Натяжение нити определится при подстановке величины r в
первое уравнение системы (1)
T sin ϑ =
mω2gtgϑ mg sin ϑ
mg
=
, ⇒ T=
≅ 5H .
2
cos ϑ
cos ϑ
ω
2.2.48 Круглый конус А массы m =
3,2 кг и углом раствора 2α = 200 катится равномерно без скольжения по
круглой конической поверхности В так,
что его вершина О остаётся неподвижной. Центр масс конуса А находит
(3)
186
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
ся на одном уровне с точкой О и отстоит от оси вращения на L =
17 см. Ось конуса движется с угловой скоростью ω = 1 рад/с. Определите силу трения покоя, действующую на конус А.
Решение:
1 В соответствии с теоремой о
движении центра масс представим
L
конус в виде материальной точки С и
О
Fi С
приложим к неё все действующие на
FТр
конус силы. Если к Ньютоновским
силам, обусловленным взаимодейстr
вием с окружающими телами, добаα
вить силу инерции, то центр масс коmg
нуса можно рассматривать как неподвижный объект. Основное уравнение динамики для него в проекции на ось, совпадающую с образующей поверхности В и с направлением силы трения покоя,
определится как
(1)
FТр − mg sin α − mω2 r = 0 ,
где r – расстояние от центра масс до оси вращения.
2 Так как r = L cos α , то
FТр = m g sin α − ω2 L cos α ≅ 6H .
(
)
(2)
2.2.49 Мотоциклист едет по внутренней поверхности вертикальной цилиндрической стенки радиуса R = 5 м. Центр масс системы «человек – мотоцикл» расположен на расстоянии y = 0,8 м
от стенки. Коэффициент трения между колёсами и стенкой равен
μ = 0,34. Определите, с какой минимальной скоростью может
ехать мотоциклист по горизонтальной окружности?
Решение:
1 В соответствии с теоремой о движении центра масс, систему «мотоцикл –
человек» можно рассматривать как некую
материальную точку С к которой приложены все, действующие в данной ситуации силы, т.е. сила тяжести, сила трения,
и нормальная реакция связи. Нормальная
y
FТр
Fi
C
R-y
v
mg
2 Динамика
187
реакция связи в данном случае определяется не как обычно силой
тяжести, а равна по модулю силе инерции
r
r
mv2
N = Fi =
.
R−y
(1)
2 Сила трения в этом случае определится как
FТр = μ
mv 2
.
R−y
(2)
3 Мотоцикл будет двигаться по стационарной круговой орбите, если сила трения будет превосходить силу тяжести
μ
откуда
v min =
mv 2
≥ mg ,
R−y
g(R − y)
м
≅ 15 .
c
μ
(3)
2.2.50 Две частицы массами m1 и m2, соединены невесомой
пружиной. В момент времени t = 0 частицам сообщают скорости
r
r
v1 и v 2 , после чего они начинают двигаться в однородном поле
тяжести Земли. Не учитывая сопротивления воздуха, найдите
зависимости от времени импульса системы и радиус-вектора её
центра масс относительно начального положения.
Решение:
1 Заданные частицы в данном случае представляют собой
систему, т.к. вследствие наличия между ними связи в виде пружинки, они не могут занимать в пространстве произвольного по-
r
ложения. Импульс центра масс системы PC в начальный момент
времени равен сумме импульсов, входящих в неё тел
r
r r
PC = p1 + p 2 ,
(m1 + m 2 )vr C = m1vr 1 + m 2 vr 2 .
(1)
2 Определим из (1) начальную скорость центра масс системы
r
r
r
m1v1 + m 2 v 2
vC =
.
m1 + m 2
(2)
188
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
3 Система частиц в независимости от величин и направлений
начальных скоростей, будучи предоставленная самой себе, в поле
Земного тяготения будет наряду с заданным внешними силами
движением падать с ускорением g. Импульс силы тяжести определится как (m1 + m 2 )gΔt , где Δt - время свободного полёта частиц в поле тяжести. Суммарный импульс частиц запишется в виде соотношения
r
r
r
P = m1v1 + m 2 v 2 + (m1 + m 2 )gΔt .
(3)
4 Радиус-вектор центра масс должен учитывать перемещение,
полученное в начальный момент времени и вертикальное падение
с ускорением g
r
r r
gΔt 2
rC = v0 Δt +
.
2
(4)
2.2.51 Сталкиваются две частицы, причём масса второй частицы в два раза превышает массу первой. В результате столкновения образуется составная частица. Определите вектор скорости образовавшейся частицы, если перед столкновением их ско-
r
r
r r
r
r
рости были равны: v1 = 2 i + 3 j, v 2 = 4 i − 5 j , где компоненты
скорости даны в СИ.
Решение:
1 Взаимодействие частиц происходит без влияния внешних
сил, поэтому к ним применим закон сохранения импульса по неупругому взаимодействию
(m1 + m 2 )vr = m1vr 1 + m 2 vr 2 , 3mvr = m(vr 1 + 2vr 2 ) ,
(1)
откуда можно найти вектор скорости образовавшейся частицы
[(
) (
)] (
)
r r
r
r
r
r 1 r r
1 r
v = 2 i + 3 j + 2 4 i − 5 j = 10 i − 7 j = 3,3 i − 2,3 j . (2)
3
3
2 Уравнение вектора скорости (2) позволяет определить модуль скорости
r
v = v 2x + v 2y = 3,32 + 2,32 ≅ 4м / c .
r r
r
3 Направление вектора скорости: v; i = arccos(v x v ) ≅ 340.
( )
2 Динамика
189
2.2.52 Пушка массы М начинает скользить вниз по наклонной
плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Пушка, пройдя
расстояние L, произвела горизонтальный выстрел и остановиr
лась, импульс вылетевшего снаряда был равен p . Пренебрегая
массой снаряда по сравнению с пушкой, определите время движения снаряда по каналу ствола.
Решение:
1 Предположим, что пушка начинает
A
скользить по наклонной плоскости из
L
y
точки А и пройдя расстояние L до точки
B α h
В, опускается на высоту h, что позволяет p
определить скорость пушки v в момент
α
v
выстрела
x
v = 2gh = 2gL sin α .
(1)
Mg
2 Движение пушки вниз по плоскости
будет происходить исключительно под действием проекции силы
тяжести на ось ох (Mg )x = Mg sin α .
3 Импульс пушки перед выстрелом определится, таким образом, как
p1 = M 2gL sin α .
(2)
4 Запишем теорему об изменении импульса системы «снарядпушка» с учётом полной остановки пушки после выстрела
Mg sin αΔt = p cos α − M 2gL sin α ,
(3)
откуда и определим время выстрела
Δt =
p cos α − M 2gL sin α
.
Mg sin α
(4)
2.2.53 Платформа с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с вектором скорости. Через люк в дне песок высыпается на землю с постоянной скоростью μ кг/с. Определите ускорение и скорость платформы в момент времени τ, если движение
началось из состояния покоя при начальной массе платформы с
песком m0. Трение и сопротивление отсутствуют.
190
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
Решение:
1 Теорема об изменении импульса системы «Платформа - песок» в проекции на направление перемещения может быть представлена следующим образом:
(m0 − μt )dv = Fdt .
(1)
2 Из уравнения (1) можно непосредственно найти величину
ускорения в момент времени τ
dv
F
=a=
.
(m 0 − μτ)
dt
(2)
3 Значение скорости получится при разделении переменных в
уравнении (1) и последующего интегрирования в соответствующих пределах
τ
Fdt
Fdt
F
m0
.
dv =
,⇒ v = ∫
= ln
(m 0 − μt )
(m 0 − μt ) μ (m0 − μτ)
0
(3)
2.2.54 Частица массы m, несущая заряд е находится в однородном магнитном поле, напряжённость которого подчиняется
уравнению: E (t ) = 5m sin 0,5πt . Определите скорость частицы v
через τ = 6с после начала движения.
Решение:
1 Сила, действующая на частицу в электрическом поле, может
быть определена как:
F(t ) = eE = 5em sin 0,5t ,
(1)
уравнение силы от времени выражается, судя по (1), функцией
одной переменной, поэтому можно полагать, что движение будет
прямолинейным со сменой, в определённые моменты времени
направления движения.
2 Запишем уравнение теоремы об изменении импульса частицы в проекции на направление движения, считая что началось
оно в положительном направлении оси
τ
mv − mv0 = ∫ 5em sin 0,5t ,
0
так как по условию задачи v0 = 0, а τ = 6 с, то
(2)
2 Динамика
191
6
6
π
π ⎤
20e
⎡10e
v = 5e ∫ sin tdt = ⎢
cos t ⎥ =
= 6,3e .
2
2 ⎦0
π
⎣ π
0
(3)
2.2.55 Определите скорость, которую нужно сообщить телу,
чтобы оно поднималось вверх по плоскости наклонённой под углом α = 300 к горизонту в течение 4с, в среде с сопротивлением
R = mge− t , при коэффициенте трения μ = 0,2.
Решение:
1 Запишем теорему об изменении
импульса тала в проекции на оси координат в следующем виде
t
n
mv x − mv x 0 = ∫ ∑ Fkx dt ,
(1)
y
v
x
N
0 1
t
(2)
0 1
2 Определим суммы проекций сил
на оси координат в предположении,
что все они приложены в центре масс
4
α
n
mv y − mv y 0 = ∫ ∑ Fky dt .
R
α
mg
FТр
∑F
= −mg sin α − mge− t − μmg cos α ,
(3)
∑F
= − mg cos α + mg cos α = 0 .
(4)
kx
1
4
ky
1
3 Перепишем уравнения (1) и (2) с учётом равенства нулю
конечной скорости тела и отсутствием движения по вертикальной
оси
t
(
)
mv0 = ∫ mg sin α + mge − t + μmg cos α dt ,
(5)
0
далее проинтегрируем (5) в заданных пределах изменения t
4
(
)
[
v0 = ∫ g sin α + μ cosα + e− t dt = g(sin α + μ cos α)t − e− t
0
]
4
0
≅36м/с.
192
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
2.2.56 Матрос массой m = 70 кг прыгает с кормы шлюпки массой M = 150 кг с относительной скоростью v = 5 м/с, направленной под углом 450 к горизонту. Определите, долетит ли моряк до
края пирса, если до него в момент прыжка было L = 2м?
y
Решение:
1 Система «шлюпка – матрос» является незамкнутой в
M
B
направлении оси Оу, потоo
α
му, что вода не позволяет
x
C m
u
двигаться лодке вниз, т.е.
L
блокирует
вертикальный
импульс лодки, а в горизонтальном направлении внешние силы
отсутствуют, поэтому систему анализируемых тел можно считать
замкнутой. Проекция импульса на ось Ох сохраняется
mv cos α − mu = Mu .
(1)
2 Определим скорость шлюпки на горизонтальную ось
v
u=
mv cos α
,
M+m
(2)
проекция абсолютной скорости матроса на ось Ох, в этом случае,
представится как
v x = v cos α − v cos α
m
m ⎞
⎛
= vcocα⎜1 −
⎟.
M+m
⎝ M+m⎠
(3)
3 Время полёта моряка определим из условия равенства нулю
вертикальной скорости в верхней точке траектории
2v sin α
.
g
4 Дальность полёта x m = v x t m , или
1⎛
m ⎞
x m = 2v2 cos α sin α ⎜1 −
⎟;
g⎝ M+m⎠
tm =
xm =
v2 sin 2α ⎛
m ⎞
⎜1 −
⎟ ≅ 1,7м
g
⎝ M+m⎠
другими словами, придётся матросу на этот раз искупаться.
(4)
2 Динамика
193
2.2.57 Лягушка массой m = 0,1кг сидит на краю доски массой
М = 1 кг длиной 2 м. Доска плавает в воде. Будучи безумно хитрой, лягушка прыгает под углом α = 450 к горизонту вдоль доски с
начальной скоростью v = 4 м/с. Определите, на какое расстояние
нужно прыгнуть лягушке, чтобы попасть на противоположный
край доски. Определите скорость, которую имела доска в момент
падения лягушки. Сила сопротивления движению доски в воде
постоянна и пропорциональна скорости: R= ku, где k ≅ 1 кг/с .
Решение:
1 Очевидно, что
y
лягушке до края досv
ки нужно пролететь
меньшее расстояние,
чем длина доски, поB
тому что горизонo
α
тальная
составляюx
щая импульса лягушu
ки сообщит доске скоxm
рость u, направленL
ную в сторону противоположную прыжку. Начальную скорость доски определим по
закону сохранения импульса системы «лягушка – доска» в горизонтальном направлении
u 0 = mv cos α M .
(1)
2 Найдём зависимость скорости доски от времени, с учётом
действия силы сопротивления со стороны воды. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Ох представится так
ku = M
du
, ⇒
dt
k
du
dt =
, ⇒
M
u
t
u
k m
du
dt = ∫ ,
∫
M 0
u
u0
откуда,
u = u 0e
−
kt m
M
,
(2)
где tm – время полёта пресмыкающегося, которое можно определить из кинематических соображений, считая, что полёт проходит по параболической траектории : t m = 2 v sin α g .
3 Подставим в (2) значение u0 из (1) и tm
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
194
u=
⎛ 2kv sin α ⎞
mv cos α
⎟ ≅0,16 м/с
⋅ exp⎜⎜ −
M
Mg ⎟⎠
⎝
(3)
4 Перемещение доски по водной глади будет равнозамедленным с ускорением a = kv m , поэтому её смещение за время полёта лягушки составит
x1 =
at 2m kv 4 v 2 sin 2 α 2kv3 sin 2 α
=
⋅
=
≅0,64 м.
2
2m
g2
mg 2
(4)
5 Дальность полёта лягушки определится очевидным образом
x m = L − x1 ≅ 1,36м .
2.2.58 Хоккейная шайба массой m1 0,2 кг отправлена в полёт
силой F = 50 Н, направленной под углом 450 к горизонту. Действие силы продолжалось Δ t = 0,06с. В конце полёта, на поверхности льда шайба попадает в комок снега массой m2 = 1 кг и начинает скользить с ним по льду. Определите величину и время
полного перемещения шайбы по воздуху и по льду до полной её
остановки, если коэффициент трения при движении по льду равен μ = 0,1. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение:
y
F
m1
o
α R
x1
m1+m2
u
A
x2
vA
1 Воспользовавшись теоремой об изменении имvB=0 x пульса, определим модуль
начальной скорости шайB
бы. Так как FΔt = m1v 0 ,
то v 0 = FΔt m1 ≅ 15 м/с.
2 Время полёта шайбы по параболической траектории составит t1 = (2 v 0 sin α ) / g ≅2,1с , дальность броска определится как
x1 = v 02 sin 2α g ≅22,5м.
(1)
3 Поскольку о сопротивлении во время полёта ничего не говорится в условии задачи, то модуль начальной скорости шайбы
r
r
будет равен модулю конечной скорости, т.е. v 0 = v A .
2 Динамика
195
4 Начальную скорость комка снега u0 с застрявшей в нём
шайбой можно определить приближённо, используя закон сохранения импульса (справедливость этого закона в данном случае, в
некотором смысле, условна вследствие наличия силы сопротивления)
m1v 0 cos α = (m1 + m 2 )u 0 , ⇒ u 0 =
m1v 0 cos α
≅1,75м/с. (2)
M
5 Применим во второй раз теорему об изменения импульса на
перемещении х2
− RΔt 2 = (m1 + m 2 ) v B − (m1 + m 2 )u 0 , Δt 2 =
Δt 2 =
v0 cos α
≅1,75с.
μMg
Mu 0
,
R
(3)
6 Общее время движения шайбы определится в виде суммы
τ = Δt1 + Δt 2 = 3,85с.
(4)
7 Величина перемещения шайбы по льду
x 2 = u 0 Δt 2 −
μg 2
Δt ≅ 1,5 м.
2
(5)
8 Полное перемещение шайбы запишется в виде суммы перемещений вдоль горизонтальной оси x = x1 + x 2 = 23м .
2.2. 59 По гладкому горизонтальному столу высотой Н = 0,8 м
из состояния покоя катится шарик массой m1 = 0,1 кг в соответствии с уравнениями: x = 2t2 + 2, y = 1,5t2 +1. Через t = 1c после
начала движения шарик налетает на неподвижный кусок пластилина массой m2 = 0,2кг, лежащий на краю стола. Определите вектор импульса системы «шарик - пластилин» при её соприкосновении с полом.
Решение:
1 Установим вид траектории по которой движется шарик, для
чего из заданных уравнений исключим время
x−2
= 1,33 ⇒ y = 0,75x - 0,5 .
y −1
(1)
Шарик движется прямолинейно, потому что траектория описывается уравнением первой степени.
196
2.2 Импульс. Центр масс. Закон сохранения импульса
2 Определим вектор скорости шарика в момент перед соприкосновением с пластилином, через 1с после начала движения
r
v1 =
(dx dt )2 + (dy dt )2
= 5м / с .
(2)
3 Взаимодействие шарика с пластилином будет происходить
по неупругой схеме. Т.к. все внешние силы перпендикулярны
направлению движения, то можно полагать, что в проекции на
горизонтальную ось, совпадающую с перемещением справедлив
закон сохранения импульса. Это позволяет определить начальную скорость системы «пластилин – шарик»
m1v1 = (m1 + m 2 )v 0 , ⇒ v0 =
m1v1
mv
= 1 1.
m1 + m 2
M
(3)
4 Движение шарика с пластилином будет происходить в поле
силы тяжести, т.е. скорость в конечной токе полёта определится
r
v 2 = v 02 + 2gH ≅ 4,3м / с . Направление вектора конечной
r r
r
скорости: i ; v 2 = arccos(v 0 v 2 ) ≅ 67 0 .
как:
( )
5 Модуль импульса системы «шарик – пластилин»:
r
p = M v 2 ≅ 1,3 кг⋅м/с.
2.2.60 Два шара массами m1 и m2 начинают
одновременно скользить с одинаковой высоты
R по внутренней поверхности сферы. Шарики
не упруго сталкиваются и слипаются в один шар. Определите, на
какую высоту поднимется этот шар?
Решение:
1 Встреча шаров произойдёт в нижней точки их траекторий,
когда векторы их скоростей горизонтальны. Закон сохранения
импульса даёт
m1v − m 2 v = (m1 + m 2 )u .
(1)
2 Скорости в (1) можно определить из кинематических соображений: v = 2gR , u = 2gh , тогда
2
(
m1 − m 2 )
h=
R
(m1 + m 2 )2