Первообразные корни и индексы.

Первообразные корни и индексы.
с14
05.12.2011
Первообразные корни.
(вся теория из книжки Виноградова "Основы теории чисел")
Определение 1. Для (g, m) = 1 назовём порядком числа g по модулю m такое минимальное k,
что g k ≡ 1 (mod m). Обозначение: ord(g). При (g, m) ̸= 1 будем считать, что ord(g) = ∞.
1. Найти порядок а) 1 ∈ Zm ; б) −1 ∈ Zm ; в) 2 ∈ Z3 ;
2. Выпишите порядки элементов Zm при m = 4, 5, 6, 7.
3. Пусть ord(g) = k, g ∈ Zm . Докажите, что а) 1, g, g 2 , . . . , g k−1 ∈ Zm — попарно различные
′
числа б) Если k|l − l′ , то g l = g l в Zm . в) g s = 1 ⇔ k|s.
ord(g)
4. Докажите, что ord g l =
.
(l, ord(g))
Решение. Пусть (g l )s = 1, ord(g) = k. Тогда g ls = 1, значит, k|ls. Так как s — минимальное
.
положительное число такое, что ls..k, то ls = [l, k] (по определению НОК).
Отсюда используя формулу [a, b](a, b) = ab, имеем:


l·k
k
ord(g)
[l, k]
(l, k)
s=
=
=
=
.
l
l
(l, k)
(l, ord(g))
Обозначим через ϕ(m) (функция Эйлера) количество чисел, меньших m и взаимно простых
с m.
5. а) Найдите ϕ(p) для p — простого.
б) Докажите, что ϕ(m) = m · (1 − p11 ) . . . (1 − p1s ), где m = pl11 . . . plss .
Определение 2. Число g называется первообразным корнем по модулю m, если ord(g) = ϕ(m).
6. Найдите первообразные корни для Zm , m 6 7.
7. Может ли быть квадратичный вычет в Zp быть первообразным корнем?
8. Существует ли m такое, что не существует первообразных корней по модулю m?
9. Если ord(g) = k, то k|ϕ(m).
В силу задачи 3 в) достаточно доказать, что g ϕ(m) = 1 (теорема Эйлера). Доказательство
такое же, как и малой теоремы Ферма: пусть
(Zm )∗ = {l ∈ Zm | (l, m) = 1} = {a1 , . . . , ak }.
Рассмотрим ga1 , ga2 , . . . , gak . Тогда gai ̸= gaj , и поэтому (ga1 ) . . . (gak ) = a1 . . . ak , а значит,
g
= 1, но |(Zm )∗ | = ϕ(m) по определению. Теорема 1. Пусть c = ϕ(m) = pk11 . . . pks s — разложение на простые, (g, m) = 1. В этом случае
g — первообразный
корень тогда
и только тогда, когда
g не является решением ни одного из
c
c
c
p1
p2
p
s
сравнений g ≡ 1 (mod m), g ≡ 1 (mod m), . . ., g ≡ 1 (mod m).
Если g — первообразный корень, то по определению, он не может удовлетворять данным
сравнениям.
c
С другой стороны, если k — порядок элемента g, то k|c и, если для какого-то i k| , то g
pi
c
c
удовлетворяет сравнению g pi ≡ 1 (mod m). Иначе k ̸ | , из чего следует, что k = c. pi
Теорема 2. (была на лекции) Для любого m = pα , 2pα , где p — простое, существует первообразный корень.
Алгоритм нахождения первообразного корня по простому модулю.
1) Применяя теорему 1, выпишем условия на первообразный корень.
2) Перебирая g = 2, 3, . . . , находим корень. (Упрощение: квадраты (4, 9, . . . ) можно не
рассматривать).
10. Найти первообразный корень по модулю 11.
Решение. ϕ(m) = 10, g — первообразный корень, если g 2 ̸≡ 1 (mod 11),g 5 ̸≡ 1 (mod 11).
Берём g = 2. Тогда 22 = 4 ̸≡ 1 (mod 11), 25 = 32 = −1 ̸≡ 1 (mod 11). Значит, 2 — первообразный корень.
11. Найти первообразный корень по модулю 17.
|(Zm )∗ |
с14
Первообразные корни и индексы.
Страница 2
Решение. ϕ(m) = 16, g — первообразный корень, если g 8 ̸≡ 1 (mod 17).
пробуем 2: 24 = 16 ≡ −1, значит 28 ≡ 1.
3: 34 = 81 ≡ −4, 38 = (−4)2 = −1. Ура! 3 — первообразный корень.
12. Пусть g — первообразный корень по модулю m. Докажите, что g l — первообразный корень
тогда и только тогда, когда (l, ord(g)) = 1.
Решение. Это следствие задачи 4.
13. Найти количество первообразных корней по модулю p.
14. Найдите все первообразные корни по модулю 11.
Решение. Знаем: 2 — первообразный корень. Остальные корни можно получить, взяв 2 в
степенях, взаимно простых с 10. Выпишем степени 2: 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1. Итого ответ: 2, 8, 7, 6.
15. Найдите все первообразные корни по модулю 17.
Решение. Аналогично, выписываем степени 3: 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, 1. Итого:
первообразные корни: 3,10,5,11,14,7,12,6. 16. Найти все первообразные корни по модулю 23.
Решение.
23. ϕ(23) = 22. Проверяем степени 2 и 11.
22 = 4, 211 = 25 · 25 · 2 = 9 · 9 · 2 = 81 · 2 = 12 · 2 = 1
32 = 9, 311 = 273 · 9 = 43 · 9 = (−5) · 9 = −45 = 1
52 = 2, 511 = 25 · 5 = 160 = −1
5 — первообразный корень. Степени: 5, 2, 10, 4, 20, 8, 17, 16, 11, 9, 22, 18, 21, 3, 15, 6, 7, 12, 14, 1
Остальные первообразные корни: 10, 20, 17, 11, 21, 15, 7, 14.
Нахождение корней по модулю pα .
Теорема 3. (была на лекции) Если g — первообразный корень по модулю p, то существует t
такое, что g + pt является первообразным корнем по модулю pα при любом α > 1. Данное t
должно быть таким, что в равенстве (g + pt)p−1 = 1 + pu, u не делится на p.
17. Найти первообразный корень по модулям 27, 49.
Решение. 27: Знаем первообразный корень 2 по модулю 3.
Ищем число вида 2 + 3t такое, что (2 + 3t)2 =
̸ 1 (mod 9). Для t = 0 имеем: 22 ̸= 1 (mod 9).
Значит, 2 — первообразный корень по модулю 3s , s > 2. В частности, для 27.
49: наем первообразный корень 3 по модулю 7.
Ищем число вида 3+7t такое, что (3+7t)6 ̸= 1 (mod 49). Для t = 0 имеем: 36 = 81·3·3 = 32·3·3 =
= −2 · 3 = −6 ̸= 1 (mod 49). Значит, 3 — первообразный корень по модулю 49.
18. Найти первообразный корень по модулю 289.
Индексы.
Зафиксируем первообразный корень g. Пусть (a, m) = 1.
Индексом числа a по модулю m при основании g называется такое число γ, что a ≡ g γ
(mod m). Обозначение: γ = ind a.
Для каждого a индекс существует (следует из определения g — его степени пробегают все
остатки по одному разу). Все индексы числа a имеют вид γ + kϕ(m).
Выполнено очевидное свойство: ind ab = ind a + ind b.
Можно составить таблицы индексов: для нахождения индекса по числу и числа по индексу.
19. Составьте таблицы индексов по модулям 17, 23.
Надо нарисовать табличку, по степеням первообразного корня.
Предположим теперь, что надо решить сравнение xn ≡ a (mod m), где m = pα , 2pα , c = ϕ(m),
(a, m) = 1, (n, c) = d.
20. Данное сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда ind a кратен d. В этом случае
сравнение имеет d решений.
Сравнение xn ≡ a (mod m) равносильно сравнению n ind x ≡ ind a (mod c), которое разрешимо тогда и только тогда, когда ind a кратен d (если не кратен, то не существует решений
уравнения n ind x + ck = a, а если кратен, то по Алгоритму Евклида находим решение).
Если же сравнение разрешимо, то существует ровно d несравнимых по модулю c значений
ind x: им отвечает d несравнимых по модулю m значений для x. 21. Решите сравнения x8 ≡ 5 (mod 17), x4 ≡ 4 (mod 17).
с14
Первообразные корни и индексы.
Страница 3
Решение. Первое сравнение. Имеем: (8, 16) = 8, причём ind 5 = 5 не делится на 8. Значит,
решений нет.
Второе сравнение. Имеем: (4, 16) = 4, ind 4 = 12 делится на 4. Надо решить сравнение
4 ind x ≡ 12 (mod 16). Получаем: ind x = 3, 7, 11, 15. Ответ: x ≡ 10, 11, 7, 6 (mod 17).