5.9. закон джоул

5.9. Закон Джоуля − Ленца
Если на концах неподвижного проводника имеется разность потенциалов U = (ϕ2 − ϕ1 ) ,
то электрический заряд Δq , перемещаясь из точки 2 с большим потенциалом, в точку 1, с
меньшим потенциалом теряет часть своей энергии на преодоление сопротивления
dW = dq ⋅ (ϕ2 − ϕ1 ) = dq ⋅ U .
(5.84)
Заряд можно выразить через силу тока и время
dq
I=
(5.85)
, ⇒ dq = Idt ,
dt
энергия с учётом этого запишется так
dW = IUdt .
(5.86)
Вполне резонен вопрос: «Куда девается эта энергия?». В кинетическую энергию она явно
не переходит, т.к. никаких движений в макроскопическом варианте не возникает. В
неподвижном проводнике движущиеся носители заряда сталкиваются с ионами металла и,
отдавая им энергию, повышают тем самым температуру проводника. Это было замечено и
экспериментально, что всякий проводник, по которому течёт ток, имеет температуру выше
окружающей среды.
Другими словами, носители заряда, получая энергию от электрического поля, часть её
расходуют на нагревание проводника, таким образом, работа, производимая при
перемещении заряда, имеет вполне определённый тепловой эквивалент
t2
Q = ∫ IUdt .
(5.87)
t1
Если сила тока и разность потенциалом во времени не меняются, то (5.87) упрощается
U2
ΔQ = IUΔt = I 2 RΔt =
Δt .
(5.88)
R
Уравнение (5.88) выражает собой закон Джоуля – Ленца. Этот закон установлен был в
1841г. Дж. Джоулем и в 1842 г. независимо, Эмилем Христофоровичем Ленцем,
профессором Петербургского университета.
Закону можно придать иное математическое выражение, если ввести в рассмотрение
параметры сопротивления и плотность тока для проводника конечной длинны
dl
dt = ρ R j2sdldt ,
(5.89)
s
(5.90)
Q = ρR j2 Vdt ,
где V – объём проводника, ρR – удельное сопротивление.
Рассмотрим пример применения закона Джоуля − Ленца при замыкании обкладок
конденсатора ёмкостью С, заряженного до разности потенциалов U на сопротивление R.
Определим количество выделившегося при этом тепла.
Запишем формулу (5.78) в следующем виде
δQ = I 2ρ R
t∞
∞
0
0
Q = ∫ IUdt = ∫ i 2 (t )Rdt .
Подставим зависимость силы тока от времени из уравнения (5.64)
2t
U 2 RC CU 2
U 2 ∞ − RC
=
=
.
e
Q=
R 2
2
R ∫0
148
(5.91)
(5.92)
Сравнивая уравнения (3.35) и (5.92) можно видеть, что вся электрическая энергия,
запасённая в конденсаторе, переходит в тепло. Тепловая мощность (энергия, выделяемая в
единицу времени) при этом определится как
ΔQ
U2
= IU = I 2 R =
.
(5.93)
N=
R
Δt
Определим далее мощность, выделяемую в единице объёма проводника, т.е. плотность
теплового потока в проводнике длиной l и площадью поперечного сечения S. Разность
потенциалов на концах проводника в уравнении (5.93) можно выразить через напряжённость
поля U = El , а его сопротивление − через удельное сопротивление
l
ρl
,
(5.94)
R=
=
S λS
откуда следует, что
λS
U2
(5.95)
= E 2l 2
= VλE 2 .
N=
l
R
Плотность тепловой мощности из уравнения (5.95) запишется следующим образом
r r
N
ϖ = = λE 2 = j ⋅ E .
(5.96)
V
149