Решение единственное или существует

1
Решение единственное или существует
Лекции В.В.Шеломовского
1
Решение единственное
Если в задаче требуется установить, при каких значениях параметра уравнение или система
уравнений имеет единственное решение, то целесообразно помнить следующее.
Уравнение вида f(x) = 0, в котором функция f(x) чётная, имеет единственный корень х = 0.
Уравнение вида f(x – x0) = 0 если функция f(x) чётная, имеет единственный корень х = x0 .
Остальные корни парные t и 2x0 – t.
Если пара переменных входит во все уравнения симметрично, то есть f(x,у) = f(у,х), то
единственное решение имеет вид х = у.
1.1 Задание
Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение
 z cos( x − y ) + (2 + xy ) sin( x + y ) = z ,

x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = a + 2 x,
система уравнений 
 ( x + y + a sin 2 z )((1 − a ) ln(1 − xy ) + 1) = 0.

Решение: Запишем второе уравнение в виде (x – 1)2 + (у – 1)2 +z2 = a + 1.
Во все уравнения пара переменных (x,у) входит симметрично, то есть f(x,у) = f(у,х).
Решение единственное только если оно имеет вид х = у. При этом cos(x – y) = 1:

(2 + x 2 ) sin 2 x = 0,

2( x − 1) 2 + z 2 = a + 1,

 (2 x + a sin 2 z )((1 − a ) ln(1 − x 2 ) + 1) = 0.

ОДЗ: |x| ≤ 1 ( из третьего уравнения). Из первого уравнения получаем, что x = 0.
z 2=a−1,
Система приняла вид:
a sin2 z=0.
Если система имеет корень z0, то она имеет и корень (– z0).
Значит, единственное решение только z0 = 0. Это решение получаем при а = 1.
Ответ: 1.
1.2 Задание
Найдите все значения р, при каждом из которых существует единственная пара чисел (x;y),
{
 x 2 + 2 px + 3 p 2 + 3 p + 3 ≤ 3 sin y − 4 cos y,
удовлетворяющая условиям 

0 ≤ y ≤ 2π .
Размышляем. Выполним оценки частей первого неравенства:
∣3sin y−4cos y∣≤√ 32 + 42=5,
то есть правая часть принимает любые значения на отрезке [–5; 5], причём значения (–5) и 5
принимаются ровно при одном значении y∈[0; 2π].
x 2 +2 p x +3 p 2 +3 p+ 3=( x+ p )2 +2 p 2 +3 p+ 3≥2 p2 +3 p+3.
Левая часть первого неравенства принимает значения 2р2+3р+3 и большие. Правая часть –
значения 5 и меньшие. Решение x = – p и единственное y, если 2р2+3р+3 = 5, то есть при р = –2
или р = 0,5.
Решение. Заметим, что x 2 +2 p x +3 p 2 +3 p+ 3=( x+ p )2 +2 p 2 +3 p+3.
∣3sin y−4cos y∣≤√ 32 + 42=5.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
2
Пусть р = –2 или р = 0,5.
Тогда (x + р)2 + 5 ≤ 3 sin y – 4 cos y ≤ 5. Решение единственное x = – p и единственное y.
Если 2р2+3р+3 > 5, то решений нет, так как левая часть больше правой.
Если 2р2+3р+3 < 5, то решение не единственное, так как при x = – p есть по крайней мере
два решения уравнения 3 sin y – 4 cos y = 2р2+3р+3 < 5.
Ответ: –2, 0,5.
1.3 Задание
Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение
|( x −1)2 −21−a |+| x−1|+(1− x)2 +2 a−1=4+4 a имеет единственное решение. Найдите эти решения.
Решение. Функция левой части чётная относительно (x – 1).
Значит если есть решение x = x0, то есть и решение x = 2 – x0.
Единственное решение x = 1.
При этом уравнение принимает вид 21−a + 2a −1=4+ 4 a .
Это уравнение имеет единственный корень а = – 1.
Если а ≥ 1, то 21−a < 4, 2 a−1< 4 a , решений нет.
Если a < 1, то правая часть монотонно возрастает, левая монотонно убывает, корень только
один, его легко подобрать.
Ответ: при а = – 1 решение x = 1.
При других а решение не может быть единственным.
1.4
Экстремум достигается в одной точке
Найдите все значения а∈(–1;1), при которых выражение 5−77 √ x −2 a x+ y −8 y +17
принимает наибольшее значение лишь при одной паре чисел (x;y).
Размышляем. Выполняем оценки:
2
2
2
2
2
2
x −2 a x+ y −8 y +17=x −2 axy+(a y ) +(1−a ) y −8 y+17=
2
42
42
4
1−17 a 2
2
2
=( x−a y )2 +( 1−a 2 ) y 2−2⋅4 y +
−
+17=(x−a
y
)
+
1−a
y
−
+
.
√
1−a2 1−a 2
√ 1−a 2 1−a 2
В исходном выражении под корнем сумма двух квадратов и числа, зависящего от
параметра, которое может изменять знак. Корень в изучаемом выражении стоит со знаком
минус, значит, выражение принимает наибольшее значение, если подкоренное выражение
принимает наименьшее допустимое значение. Если выражение может изменять знак, то
наименьшее допустимое значение – это нуль. Это значение достигается во всех точках, где
подкоренное выражение равно нулю. Записывая решение, нужно найти хотя бы два корня
уравнения, две точки, где достигается наибольшее значение исходной функции. Иначе
наименьшее значение может достигаться и в одной точке.
2
4
1−17 a 2
2
2
2
2
+
.
Решение. Заметим, что g= x −2 a x + y −8 y +17=( x−a y ) + √1−a y −
√ 1−a 2 1−a 2
1
1
1−17 a 2
;
, то
Если a ∈ −
≥0 . Наименьшее значение g достигается в
1−a 2
√ 17 √ 17
4
1−a 2 y−
=0,
√
единственной точке, где равны нулю оба квадрата, то есть при:
√1−a 2
x−a y=0,
2
(
)
(
[
2
)
]
{
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
3
{
4
,
2
2
2
4
1−17 a
1−a
2
2
⇔
+
В этой точке функция 5−77 ( x−a y) + √ 1−a y−
принимает
2
2
4a
1−a
1−a
√
x=
.
1−a 2
наибольшее значение.
1
1
1−17 a 2
∪
; 1 , то
Если a ∈ −1 ;−
<0. Наибольшее значение функции равно 5 и
1−a 2
√ 17
√ 17
достигается в каждой точке, где подкоренное выражение равно нулю, например, в следующих
2
17 a 2−1
4
2 1−17 a
,
двух точках y=
(
x−ay
)
+
=0⇔
x=ay±
.
2
1−a 2
1−a 2
1−a
1
1
;
.
Ответ: a ∈ −
√ 17 √ 17
y=
√
(
)(
[
(
)
)
√
]
2
Решение хотя бы одно
2.1
Задание
Найдите все значения а∈[0;2π], при которых
{
2
2
x + y +2 z ( x + y + z )−2 sin a=0,
a
3a
(2 x +1) sin 2 +3 y 2 √ x+ a 2 √ z +sin
=0 ,
2
2
имеет хотя бы одно решение.
a
3a
. Тогда t=sin
=t (3−4 t 2).
2
2
( x+ z) 2+( y + z )2=2sin a ,
Система примет вид
2 x t 2+ 3 y 2 √ x +a 2 √ z=t (t−1)(3+4 t ).
Число уравнений меньше, чем число неизвестных. Значит, решать надо, находя некоторое
противоречие. Обычно противоречие связано со знаками. Нужно найти все возможные значения
параметра и представить для каждого из них хотя бы одно решение системы.
a
3a
=t (3−4 t 2) .
Решение. ОДЗ: x ≥ 0; z ≥ 0. Пусть t=sin . Тогда t=sin
2
2
Система примет вид
Размышляем. ОДЗ: x ≥ 0; z ≥ 0. Пусть t=sin
{
{
( x+ z) 2+( y + z )2=2sin a ,
2 x t 2+ 3 y 2 √ x +a 2 √ z=t (t−1)(3+4 t ).
a
По условию, а∈[0;2π], 0,5а∈[0;π], t=sin ∈[ 0 ; 1 ] , t(t – 1)(3 + 4t) ≤ 0.
2
Левая часть второго уравнения неотрицательная.
Значит, обе части второго уравнения равны нулю. Отсюда t(t – 1)(3 + 4t) = 0.
Если t = 0, то а = 0 или а = 2π. Если t = 1, то а =π.
Во всех случаях 2sin a = 0 и система имеет решение x = y = z = 0.
Ответ: а = 0; π; 2π.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
4
2.2 Задание
Найдите все значения а, при которых следующая система имеет хотя бы одно решение
64⋅25−√ y +(8−40 a)⋅5−√ y −5 a≤0,
40⋅5−√ y =80⋅2 x +5 a +a⋅2− x .
Размышляем. ОДЗ: y ≥ 0. Пусть u=8⋅5−√ y . Тогда u∈( 0 ;8 ] , u2=64⋅25−√ y .
u 2+(1−5 a)u−5 a≤0,
( u+1)(u−5 a)≤0,
0 < u ≤ 5a.
x
−x ⇔
5 u=80⋅2 +5 a +a⋅2 ,
5 u−5 a=80⋅2 x + a⋅2−x .
Левая часть уравнения не больше, чем 20а, правую оценим с помощью неравенства между
средним арифметическим и средним геометрическим. Необходимо найти все возможные
значения параметра и представить для каждого из них хотя бы одно решение системы. Пример
решения выберем из условия минимальности правой части второго уравнения.
{
{
{
Решение. ОДЗ: y ≥ 0. Пусть u=8⋅5−√ y . Тогда u∈(0 ; 8 ] , u2=64⋅25−√ y .
u 2+(1−5 a)u−5 a≤0,
( u+1)(u−5 a)≤0,
x
−x ⇔
5 u=80⋅2 +5 a +a⋅2 ,
5 u−5 a=80⋅2 x + a⋅2−x .
Из первого неравенства 0 < u ≤ 5a. Поскольку а > 0, то
{
{
20 a=5⋅5 a−5 a≥5 u−5 a=80⋅2 x + a⋅2−x ≥2 √ 80⋅2 x⋅a⋅2−x =4 √ 20 a .
Следовательно,
√ 20 a≥4, a≥0,8 .
Решение может существовать, только в случае если а∈[0,8; +∞).
Пример решения выберем из условия минимальности правой части второго уравнения.
a
log 2
a
a
80
80⋅2 x =a⋅2−x ⇔ 22 x = ⇔ 2 x =
,⇔x=
.
80
80
2
5 u=80⋅2 x +5 a +a⋅2−x =8 √ 5 a+5 a .
√
√
a a
+ . Для больших а пользуемся y =0, для малых
5 8
Ответ: а∈[0,8; +∞).
Значит, 5−√ y ≤
(√ )
√ y=−log 5
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
a a
+ .
5 8