Амплитудно-частотная характеристика

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Нижегородский государственный технический университет
им. Р. Е. Алексеева
Кафедра «Вычислительные системы и технологии»
Курсовая работа
по дисциплине “Основы теории управления”
Вариант № 60
Выполнил:
Студенты группы 10-В-1
Субботин А.Н.
Сидоренко О.О.
Проверил:
Никулин.Е.А
г. Нижний Новгород
2013 г.
Содержание
1. Исследование всех свойств типовых звеньев структурной схемы и построение их
принципиальных схем на операционных усилителях....................................................................3
2. Вывод ПФ Wр (s) разомкнутой системы. ..................................................................................23
3. Исследование устойчивости разомкнутой системы от буквенного параметра методами
Гурвица и Михайлова. .....................................................................................................................27
4. Вывод ПФ Wз (s) замкнутой системы с единичной ООС. Исследование ее устойчивость от
параметра методом Гурвица. Получение диапазонов устойчивых и неустойчивых значений
параметра. .........................................................................................................................................29
5. По согласованию с преподавателем составить список параметров из всех граничных
значений и по одному из каждой области устойчивости и неустойчивости замкнутой
системы. Для каждого параметра построить годограф Михайлова разомкнутой системы и
найти число правых корней ее характеристического полинома. ................................................31
6. Для каждого значения параметра построить все необходимые частотные характеристики и
исследовать устойчивость ЗС по критериям Найквиста и Михайлова. .....................................35
7. Для данного преподавателем параметра, при котором разомкнутая система устойчива (в
отсутствие устойчивости — нейтральна), построить и исследовать каноническую схему
моделирования системы на операционных усилителях. .............................................................42
8. Оценки качества временных характеристик разомкнутой системы спектральными
методами и методами с использованием ЛАЧХ и ЛФЧХ. ..........................................................49
9. Рассчитать частотными методами временные характеристики РС, построить их графики и
сравнить показатели качества с полученными ранее оценками. ................................................52
10. Рассчитать реакцию РС на заданное в табл. П.6 входное воздействие x(t) при нулевых
предначальных условиях. Проанализировать графики входного и выходного сигналов. .......57
11. Методом, соответствующим табл. П.7, рассчитать ПФ последовательного регулятора,
доставляющего замкнутой системе желаемые показатели качества: .........................................59
12*(на 5). Рассчитать переходную характеристику ЗС и сравнить ее статические и
динамические показатели качества с желаемыми. Построить схему моделирования
замкнутой системы управления с последовательным регулятором на операционных
усилителях. .......................................................................................................................................62
2
1. Исследование всех свойств типовых звеньев
структурной схемы и построение
ихпринципиальных схем на операционных
усилителях.
Структурная схема устройства
𝐾= 5
Типовые звенья
𝑊2 (𝐾) = 𝐾𝑠
𝐾
𝑊3 (𝐾) =
𝑠
𝐾
𝑊4 (𝐾, 𝑇) =
1 + 𝑇𝑠
Передаточная функция:
𝑦
𝑊(𝑠) = 𝑥 , где
𝑦 - измерение или выходной сигнал измерительного устройства, y=W(s)*x
𝑥 - управление или входной сигнал регулятора
Заменим sна
d
dt
Типовое звено 𝐖𝟐
𝑊2 (𝐾) = 𝐾𝑠 – дифференцирующее устройство, где
𝐾- Коэффициент усиления;
𝑊2 (𝐾) = 𝐾𝑠
Коэффициент усиления равен:
𝐾 = 0.1
𝑊2 (10) = 0.1𝑠
𝑦
0.1𝑠 =
𝑥
𝑦 = 0.1𝑠𝑥 = 0.1𝑥′
Мы получили алгебраическое уравнение:
𝑦 = 0.1𝑥′
y сразу принимает установившееся значения от x, переходного процесса нет.
W(K)=0.1s
Частотные характеристики 𝐖𝟐
Вещественная частотная характеристика
𝑃(𝜔) = 𝑅𝑒(𝑊(𝑗𝜔)) = 0
3
ВЧХ нулевой из-за отсутствия вещественной части передаточной функции.
При изменении знака и модуля K, ВЧХ не изменяется.
Мнимая частотная характеристика
𝑄(𝜔) = 𝐼𝑚(𝑊(𝑗𝜔)) = 𝐾𝜔
С ростом модуля коэффициента K, происходит растяжение графика характеристики МЧХ по
оси Q.
Изменение знака коэффициента приводит к отражению графика МЧХ от оси ω.
Амплитудно-частотная характеристика
𝐴(𝜔) = |𝑊(𝑗𝜔)|
1
0.8
A(  K)
0.6
0.4
0.2
0
2
4
6
8
10

Увеличение модуля К приводит к растяжению графика АЧХ по оси Q.
Знак коэффициента на АЧХ не влияет.
Фазо-частотная характеристика
𝑄(𝜔)
𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
)
𝑃(𝜔)
4
Изменение знака K смещает характеристику ФЧХ на 180 градусов.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
𝐿(𝜔) = 20 lg(𝐴(𝜔))
ЛАЧХ
0
 20
 40
L(  )
 60
 80
0.01
0.1
1
10

Увеличение модуля К приводит к параллельному сдвигу характеристики ЛАЧХ вверх.
Знак коэффициента на ЛАЧХ не влияет.
Логарифмическая фазо-частотная характеристика
Φ(𝜔) = 𝜑(lg(𝜔))
5
Изменение знака коэффициента сдвигает ЛФЧХ на 180 градусов.
Годограф
𝐴(𝜑)
Временные характеристики𝐖𝟐
ℎ(𝑡)-переходная характеристика
𝑤(𝑡)-импульсная характеристика
𝑊𝑠 (𝑠) = 𝐾𝑠
Переходная характеристика
𝑊2 (𝑠)
ℎ(𝑡) = 𝐿−1 (
) = 𝐿−1 (𝐾) = 𝐾𝐿−1 (1)
𝑠
По таблице обратного преобразования Лапласа,
изображение 𝐹(𝑠) = 1
соответствует оригиналу𝑓(𝑡) = 𝛿(𝑡)
ℎ(𝑡) = 𝐾𝛿(𝑡)
6
60
40
h( t )
20
 0.1
0
0.1
t
Увеличение модуля К растягивает график по оси h.
Импульсная характеристика
𝑤(𝑡) = 𝐾𝛿 ′ (𝑡)
Dirac1( t) 
Dirac( t)  Dirac( t   )

w( t)  K Dirac1( t)
5
110
4
510
w( t )
 0.01
0
0.01
4
 510
5
 110
t
Увеличение модуля коэффициента К растягивает импульсную характеристику по оси w.
Изменение знака К отражает характеристику от оси времени.
Синтез схемы на операционном усилителе
Передаточная функция:
W(K)=0.1s
Вычислим суммы коэффициентов усиления по прямому и инверсному входам
𝑆1 (𝑠) = 0.1𝑠
𝑆2 (𝑠) = 0
Условие баланса:
𝑆1 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1
0.1𝑠 ≠ 0 + 1
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции
𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию
𝑆1 (𝑠) + 𝑊10 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1 + 𝑊20 (𝑠)
7
Получим:
𝑊10 = 1 ; 𝑊20 = 0.1𝑠
Эскизная схема:
Для прямого входа:
𝑊10
1
𝑍11 =
=
𝑍
𝑊11
0.1𝑠 10
Отсюда,
𝑍10 = 0.1𝑠𝑍11 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Видим, что удобно взять:
1
𝑍11 = 𝑐 𝑠 ; 𝑍10 = 𝑅10 т.к. в этом случае s в уравнении сократится.
11
Получаем:
0.1𝑠
1
𝑅10 =
=
𝑐11 𝑠
10𝑐11
Для инверсного входа:
𝑍0
𝑍20 =
𝑊20
тогда получаем:
𝑍0 = 𝑍20 ∙ 0.1𝑠
Так же видим, удобно представить
1
𝑍20 = 𝑐 𝑠 ; 𝑍0 = 𝑅0 , тогда получаем
20
1
1
𝑅0 =
0.1𝑠 =
𝑐20 𝑠
10𝑐20
Получили уравнения:
1
1
𝑅10 =
; 𝑅0 =
10𝑐11
10𝑐20
Положим, C11=1 мкФ, C20=1 мкФ, тогда R0 = R10 =0.1 MОм
Получили:
𝐶11 = 1мкФ; 𝐶20 = 1мкф
𝑅0 = 0.1 𝑀Ом ; 𝑅10 = 0.1 𝑀Ом
Итоговая схема:
8
Типовое звено 𝐖𝟑
𝐾
𝑊3 (𝐾) = 𝑠 – интегрирующее устройство, где
𝐾- Коэффициент усиления;
𝑑
𝑠 = 𝑑𝑡 - Оператор дифференцирования.
𝐾=2
2
𝑊3 (2) =
𝑠
2 𝑦
2𝑥 𝑑𝑦
= 𝑦 =>
=
= 2𝑥 => 𝑦 ′ = 2𝑥
𝑠 𝑥
𝑠
𝑑𝑡
Мы получили алгебраическое уравнение первого порядка и переходных процессов нет.
Частотные характеристики𝐖𝟑
𝐾
𝑊(𝑗𝜔) =
𝑠
Вещественная частотная характеристика
𝐾
𝑃(𝜔) = 𝑅𝑒 ( ) = 0
𝑗𝜔
P(  K)  Re( W3( j   K) )
ВЧХ нулевой из-за отсутствия вещественной части передаточной функции.
При изменении знака и модуля K, ВЧХ не изменяется.
9
Мнимая частотная характеристика
𝐾
2
𝑄(𝜔) = 𝐼𝑚 ( ) = −
𝑗𝜔
𝜔
Q(  K)  Im( W3( j   K) )
Увеличение модуля К приводит к растяжению графика МЧХ по обоим осям.
Измененный знак коэффициента отражает график от оси абсцисс.
Амплитудно-частотная характеристика
2
𝐴(𝜔) = √𝑃2 (𝜔) + 𝑄 2 (𝜔) =
𝜔
2
A(  k)  P(  k)  Q(  k)
2
АЧХ
Увеличение модуля К приводит к растяжению графика АЧХ по обоим осям.
Знак коэффициента на АЧХ не влияет.
Фазо-частотная характеристика
2
−
𝑄(𝜔)
𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−∞) = −90
𝑃(𝜔)
0
 (  K)  atan2( P(  K) Q(  K) )  deg
1
10
Изменение знака коэффициента смещает график на 180..
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
2
𝐿(𝜔) = 20 lg(𝐴(𝜔)) = 20 lg ( ) = 6 − 20 lg(𝜔)
𝜔
Не зависит от К
Логарифмическая фазо-частотная характеристика
Ф(𝜔) = −90° при 𝐾 > 0
Изменение знака коэффициента отражает график от оси ординат.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (Годограф )
11
Изменение знака коэффициента отражает график от оси ординат.
Временные характеристики𝐖𝟑
h(t)-переходная характеристика
𝑤(𝑡)-импульсная характеристика
2
𝑊3 (𝑠) =
𝑠
Переходная характеристика
𝑊3 (𝑠)
2
1
ℎ(𝑡) = 𝐿−1 (
) = 𝐿−1 ( 2 ) = 2𝐿−1 ( 𝑛 )
𝑠
𝑠
𝑠
По таблице обратного преобразования Лапласа,
1
изображение 𝐹(𝑠) = 𝑠𝑛
𝑡 𝑛−1
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = (𝑛−1)! , где n=2
ℎ(𝑡) = 2
𝑡 2−1
= 2𝑡
(2 − 1)!
при t<0 h(t)=0
h ( t)  h ( t)  ( t)
Увеличение модуля К приводит к растяжению графика АЧХ по оси h(t).
Изменение знака коэффициента отражает график от оси абсцисс.
Импульсная характеристика
2
1
𝑤(𝑡) = 𝐿−1 (𝑊3 (𝑠)) = 𝐿−1 ( ) = 2𝐿−1 ( )
𝑠
𝑠
По таблице обратного преобразования Лапласа,
1
изображение 𝐹(𝑠) = 𝑠𝑛
12
𝑡 𝑛−1
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = (𝑛−1)! , где n=1
𝑡1−1
𝑤(𝑡) = 2
=2
(1 − 1)!
w( t)  w( t)  ( t)
Увеличение модуля К приводит к растяжению графика АЧХ по оси h(t).
Изменение знака коэффициента отражает график от оси абсцисс.
Синтез схемы на операционном усилителе
Передаточная функция:
2
𝑊3 (2) =
𝑠
Вычислим суммы коэффициентов усиления по прямому и инверсному входам
2
𝑆1 (𝑠) =
𝑠
𝑆2 (𝑠) = 0
Условие баланса:
𝑆1 = 𝑆2 + 1
2
≠ 0+1
𝑠
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции
𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию
𝑆1 (𝑠) + 𝑊10 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1 + 𝑊20 (𝑠)
Получаем, что для соблюдения равенства W10 и W20 равны:
2
𝑊10 = 1 ; 𝑊20 =
𝑠
Схема:
13
Для прямого входа:
𝑊10 𝑠
𝑍11 =
= 𝑍
𝑊11 2 10
𝑠
𝑍11 = 𝑍10
2
Из полученного соотношения видно, что удобно взять:
1
𝑍10 =
; 𝑍11 = 𝑅11
𝑐10 𝑠
т.к в этом случае в s в уравнении сократится. После подстановки получаем:
𝑠 1
1
𝑅11 = ∙
=
2 𝑐10 𝑠 2𝐶10
Для инвертирующего входа:
𝑍0
𝑍0 𝑠
𝑍20 =
=
𝑊20
2
𝑍20 = 0.5 ∙ 𝑠 ∙ 𝑍0
Из полученного соотношения видно, что удобно взять:
1
𝑍0 =
; 𝑍20 = 𝑅20
𝑐0 𝑠
т.к. в этом случае s в уравнении сократится. После подстановки получаем:
1
𝑅20 = 0.5 𝑠
𝑐0 𝑠
или,
1
𝑅20 =
2𝐶0
Получили уравнения:
1
𝑅11 =
2 𝑐10
1
𝑅20 =
2𝐶0
Положим 𝐶10 = 1 мкФ, 𝐶0 = 1 мкФ , тогда получим 𝑅11 = 0.5 МОм, 𝑅20 = 0.5 МОм
𝐶10 = 1 мкФ,
𝐶0 = 1 мкФ
𝑅11 = 0.5 МОм 𝑅20 = 0.5 МОм
Итоговая схема:
14
Типовое звено 𝑾𝟒
𝐾
𝐾
𝑊4 (𝐾, 𝑇) = 1+𝑇𝑠Т= 2𝑊4 (𝐾, 2) = 1+2𝑠
𝐾
𝑦
= 𝑦 + 2𝑦 ′ = 𝑘𝑥𝐾 = 5, −5, 0.5
1 + 2𝑠 𝑥
дифференциальное уравнение первого порядка.
Частотные характеристики𝐖𝟒
𝑊(𝑗𝜔) =
5
1−4𝜔2
Вещественная частотная характеристика
При уменьшении 𝑘 график ВЧХ сжимается вдоль оси P.
При изменении знака отражается от оси 𝜔
Мнимая частотная характеристика
15
При уменьшении 𝑘 график МЧХ сжимается вдоль оси Q.
При изменении знака отражается от оси 𝜔.
Амплитудно-частотная характеристика
При уменьшении 𝑘 график АЧХ сжимается вдоль оси A.
Изменение знака на график не влияет.
Фазо-частотная характеристика
𝑄(𝜔)
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑇𝜔)при 𝐾 > 0
𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
)={
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑇𝜔) + 180° при 𝐾 < 0
𝑃(𝜔)
и T=const
Изменения модуля K не влияет на ФЧХ
Изменении знака опускает график на 180 градусов.
16
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
При уменьшении |𝑘| график ЛАЧХ сдвигается вниз от оси 𝐿.
Изменении знака на график не влияет.
Логарифмическая фазо-частотная характеристика
𝑄(𝜔)
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑇𝜔)при 𝐾 > 0
𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
)={
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑇𝜔) + 180° при 𝐾 < 0
𝑃(𝜔)
При изменении знака кривая сдвигается вниз на 180 градусов.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (Годограф )
P( )
K
2
2
1 T  
Q( )
K  T  
2
2
1 T  
17
При уменьшении 𝑘 график сжимается к началу координат, а при изменении знака на
противоположный график отражается от начала координат.
Временные характеристики 𝑾𝟒
ℎ(𝑡)-переходная характеристика
𝑤(𝑡)-импульсная характеристика
5
𝑊4 (𝑠) =
1 + 2𝑠
Переходная характеристика
𝑊4 (𝑠)
5
1
ℎ(𝑡) = 𝐿−1 (
) = 𝐿−1 (
) = 5𝐿−1 (
)
𝑠
𝑠(1 + 𝑇𝑠)
𝑠(1 + 𝑇𝑠)
По таблице обратного преобразования Лапласа,
1
изображение 𝐹(𝑠) = 𝑠(1+𝑇𝑠)
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) = 1 − 𝑒 −∝𝑡 , где ∝= 1/2
𝑡
ℎ(𝑡) = −5 ∙ (𝑒 −2 − 1)
ty  3T
Импульсная характеристика
𝑤(𝑡) = 𝐿−1 (𝑊4 (𝑠)) = 𝐿−1 (
По таблице обратного преобразования Лапласа,
5
1
) = 5𝐿−1 (
)
1 + 𝑇𝑠
1 + 𝑇𝑠
18
1
изображение 𝐹(𝑠) = 1+Ts
соответствует оригиналу 𝑓(𝑡) =∝∙ 𝑒 −∝𝑡 , где ∝= 1/2
𝑡
1
𝑤(𝑡) = ∙ 𝑒 −2
2
Синтез схемы на операционном усилителе
𝑘
𝑊4 (𝑘, 2) =
1 + 𝑇𝑠
1)
k=5
Вычислим суммы коэффициентов усиления по прямому и инверсному входам
5
𝑆1 (𝑠) =
1 + 2𝑠
𝑆2 (𝑠) = 0
Условие баланса:
𝑆1 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1
5
≠0+1
1 + 2𝑠
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции
𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠), удовлетворяющие условию
𝑆1 (𝑠) + 𝑊10 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1 + 𝑊20 (𝑠)
W
W
10
20
K 
K
1  Ts
K
Получим
5
5 ∙ 2𝑠
=
1 + 2𝑠 1 + 2𝑠
=5−1=4
𝑊10 = 5 −
𝑊20
19
Эскизная схема имеет вид:
Для прямого входа:
𝑊10
5 ∙ 2𝑠 1 + 2𝑠
𝑍11 =
𝑍10 =
∙
∙ 𝑍10
𝑊11
1 + 2𝑠
5
𝑍11 = 2𝑠𝑍10
1
Из полученного соотношения видно, чтоудобно взять: 𝑍10 = 𝐶 𝑠- конденсатор с ёмкостью 𝑐10 ,
так как при выборе конденсатора в уравнении сократится 𝑠.
𝑇
2
𝑍11 =
=
= 𝑅11
𝐶10 𝐶10
𝑍0
𝑍20 =
𝑊20
𝑍20 = 𝑍0
Из полученного соотношения видно, что
удобно взять: 𝑍0 = 𝑅0
𝑍20 = 𝑅20
𝑅0 = 1 МОм
𝑅20 = 0,25 МОм
𝐶10 = 1 мкФ
𝑅11 = 2 МОм
Получим схему:
10
2) 𝐤 = −𝟓
Вычислим суммы коэффициентов усиления по прямому и инверсному входам
−5
𝑆2 (𝑠) =
1 + 2𝑠
𝑆1 (𝑠) = 0
Условие баланса:
𝑆1 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1
−5
0≠
+1
1 + 2𝑠
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции
𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠), удовлетворяющие условию
𝑆1 (𝑠) + 𝑊10 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1 + 𝑊20 (𝑠)
20
Возьмем
5
1 + 2𝑠
𝑊10 = 1
Сумма коэффициентов усиления прямого входа равна нулю, сумма коэффициентов усиления
инвертирующего входа - не равна нулю, значит схема - инвертирующий усилитель,
следовательно прямой вход заземлен
Получим схему:
𝑊20 =
Для инверсного входа:
𝑍0
𝑍20 =
== (0.2 + 0.4𝑠)𝑍0
𝑊20
Из полученного соотношения видно, что для избегания появления индуктивности или ёмкости
на входе схемы, удобно взять: 𝑍20 = 𝑅20
Тогда мы получим параллельное соединение резистора и конденсатора:
𝑅20
𝑅20
5∙𝑅20
𝑍0 = 0.2+0.4𝑠
= 0.2(1+2𝑠)
= 1+2𝑠
,
2
R 0 = 5R 20
C0 =
R 20
Пусть R 20 = 10кОм, тогда R 0 = 50кОм C0 = 0.2мкФ
Получим схему:
3) 𝒌 = 𝟎. 𝟓
Вычислим суммы коэффициентов усиления по прямому и инверсному входам
0.5
𝑆1 (𝑠) =
1 + 2𝑠
𝑆2 (𝑠) = 0
Условие баланса:
𝑆1 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1
21
0.5
≠1
1 + 2𝑠
Условие баланса не выполняется, поэтому необходимо подобрать передаточные функции
𝑊10 (𝑠) и 𝑊20 (𝑠) с положительными коэффициентами, удовлетворяющие условию
𝑆1 (𝑠) + 𝑊10 (𝑠) = 𝑆2 (𝑠) + 1 + 𝑊20 (𝑠)
Пусть
0,5
+ 𝑊10 (𝑠) = 0 + 1 + 𝑊20 (𝑠)
1 + 2𝑠
Для оптимальной схемы предположим 𝑊20 (𝑠) = 0
0,5
1 + 2𝑠 − 0.5 0.5 + 2𝑠
𝑊10 (𝑠) = 1 −
=
=
1 + 2𝑠
1 + 2𝑠
1 + 2𝑠
Оба полинома с положительным коэффициентом, следовательно предположение верно и
𝑊20 (𝑠) = 0
Эскизная схема имеет вид:
Можем заменить Z0 проводом, т.к. проходимый ток через Z0 равен 0, но сама связь должна
оставаться, т.к. обеспечивает равенство напряжений.
Для прямого входа:
𝑊11 ∗ 𝑍11 = 𝑊10 ∗ 𝑍10 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
0,5
0,5 + 2𝑠
∗ 𝑍11 =
∗ 𝑍10 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
1 + 2𝑠
1 + 2𝑠
𝑍11 = (1 + 4𝑠) ∗ 𝑍10
1
Из полученного соотношения видно, что удобно взять: 𝑍10 = 𝐶 𝑠- конденсатор с ёмкостью 𝑐10 ,
так как при выборе конденсатора в уравнении сократится 𝑠.
(1 + 4𝑠)𝑅
𝑍11 =
=> 𝑅𝐶 = 4
1 + 𝑅𝐶𝑠
Из полученного соотношения видно, что
удобно взять: 𝑍0 = 𝑅0
𝑅0 = 1Мом
1
𝑅20 =
= 0,2МОм
−0,5
𝐶10 = 1 мкФ
Получим схему:
10
22
2. Вывод ПФ W р (s) разомкнутой системы.
Метод структурных преобразований:
23
24
WA
W4  ( W2  W3)
1  WA  W3  W4
1  W2
W4  ( W2  W3)
1

1
W4  ( W2  W3)
1  W2
 W3  W4
( 1  W2)  W4  ( W2  W3)  W3  W4  ( 1  W2)
W4  ( W2  W3)
W4  ( W2  W3)
1  W2  W4  W2  W4  W3  W4  W3  W4  W3  W2
1  W2  W4  W2  W3  W4  W2
Метод алгебраических преобразований:
Составим систему уравнений:
𝑒1 = 𝑥 − 𝑒2 𝑤2
{ 𝑒2 = 𝑒1 𝑤4 − 𝑦
𝑦 = 𝑒2 𝑤2 − 𝑒1 𝑤3 𝑤4
Проведем преобразования:
𝑒2 = (𝑥 − 𝑒2 𝑤2 )𝑤4 − 𝑦
𝑦 = (𝑥 − 𝑒2 𝑤2 )𝑤4 − 𝑒2
𝑒2 𝑤2 − (𝑥 − 𝑒2 𝑤2 )𝑤3 𝑤4 = (𝑥 − 𝑒2 𝑤2 )𝑤4 − 𝑒2
𝑒2 𝑤2 − 𝑥𝑤3 𝑤4 + 𝑒2 𝑤2 𝑤3 𝑤4 = 𝑥𝑤4 − 𝑒2 𝑤2 𝑤4 − 𝑒2
𝑒2 𝑤2 + 𝑒2 𝑤2 𝑤3 𝑤4 + 𝑒2 𝑤2 𝑤4 + 𝑒2 = 𝑥𝑤3 𝑤4 + 𝑥𝑤4
Получим:
𝑤3 𝑤4 + 𝑤4
)
𝑤2 + 𝑤2 𝑤3 𝑤4 + 𝑤2 𝑤4 + 1
𝑤2 + 1
𝑒1 = 𝑥(
)
𝑤2 + 𝑤2 𝑤3 𝑤4 + 𝑤2 𝑤4 + 1
𝑒2 = 𝑥(
𝑤2 𝑤4 − 𝑤3 𝑤4
𝑤2 + 𝑤2 𝑤3 𝑤4 + 𝑤2 𝑤4 + 1
Подставим в получившуюся формулу значения:
𝑦=𝑥
2
5
𝑤2 = 0.1𝑠𝑤3 = 𝑤4 =
𝑠
1 + 2𝑠
Тогда:
5
𝑦=𝑥∙
2
5
0.1𝑠 ∙ 1+2𝑠 − 𝑠 ∙ 1+2𝑠
2
5
5
0.1𝑠 + 0.1𝑠 ∙ 𝑠 ∙ 1+2𝑠 + 0.1𝑠 ∙ 1+2𝑠 + 1
0.5𝑠 2 − 10
𝑦=𝑥∙
0.2𝑠 3 + 2.6𝑠 2 + 2𝑠
Тогда передаточная функция:
𝑦
0.5𝑠 2 − 10
𝐵(𝑠)
𝑊(𝑠) = =
=
3
2
𝑥 0.2𝑠 + 2.6𝑠 + 2𝑠 𝐴(𝑠)
Проверим вычисления при помощи MathCad:
W ( W2 W3 W4) 
Find ( y e1 e2) 0
x

W2  W4  x  W3  W4  x
x  ( W2  W2  W4  W2  W3  W4  1)
simplify 
W4  ( W2  W3)
W2  W2  W4  W2  W3  W4  1
Given
e1 x  W2( s )  e2
e2 W4( s )  e1  y
y W2( s )  e2  W3( s )  W4( s )  e1
25
Find ( y e1 e2)
0
substitute W2
0.1  s
substitute W3
2
x
substitute W4
2

s
5
5.0  s  100.0
3
2
2.0  s  26.0  s  20.0  s
1  2s
Выражения полученные разными способами совпадают.
26
3. Исследование устойчивости разомкнутой
системы от буквенного параметра методами
Гурвица и Михайлова.
Выделим в передаточной функции характеристический полином
C(s) = A(s) = 2s 3 + (𝑘 + 21)𝑠 2 + (2𝑘 + 10)𝑠 + 0
Исследование устойчивости методом Гурвица.
Для устойчивости системы должно выполняться условие: (sgn(𝑐𝑛 ))𝑖 𝑀𝑖 > 0∀𝑖 = 1, 𝑛
𝑐2 𝑐0
Где Mi– миноры матрицы Гурвица и 𝑀1 = 𝑐2 ; 𝑀2 = ∣∣∣𝑐 𝑐 ∣∣∣ = 𝑐2 𝑐1 − 𝑐0 𝑐3 ; 𝑀3 =∣ Г ∣= 𝑐0 𝑀2
3
1
Определим матрицу Гурвица:
 c2 c0 0   k  21
0
0


 
G  c3 c1 0   2
2k  10 0 

 0 c c   0
k  21 0 
2 0

𝑀1 = k + 21
𝑘
+
21
0 ∣
𝑀2 = ∣∣∣
∣ = 2𝑘 2 + 52𝑘 + 210
2
2𝑘 + 10∣
𝑀3 = 0
M3 = 0, т. к. c0 = 0. При этом характеристический полином имеет простой корень s1=0, а
система имеет астатизм первого порядка и находится на апериодической границе устойчивости.
Определим области устойчивости. Для этого решим неравенства, согласно условиям: M2>0 и
(c0, c2, c3>0 или c0, c2, c3<0)
M2>0
2𝑘 2 + 52𝑘 + 210 > 0 при k<-21 и k>-5
c0>0 ни при каких k
c2>0 при k>-21
c3>0 при любых k
Определим как ведет себя система в каждой из областей. Для этого будем брать k из области
или на границе области и определять знаки членов следующей последовательности: 𝑀 =
{𝑐𝑛 ; 𝑀1 ; 𝑀1 𝑀2 ; 𝑀2 𝑀3 ; . . . ; 𝑀𝑛−1 𝑀𝑛 }. При этом, если есть чередование знаков, то система
неустойчива.
При k=-22<-21
𝑀 = {+; −; −; 0} – система неустойчива
При k=-10>-21
𝑀 = {+; +; −; 0} – система неустойчива
При k=-21
𝑀 = {+; 0; 0; 0} – система неустойчива
При k=0>-5
𝑀 = {+; +; +; 0} – система на апериодической границе
При k=-5
𝑀 = {+; +; 0; 0} - система неустойчива
Исследование устойчивости методом Михайлова
Переходная характеристика:
𝐵(𝑠)
𝐾𝑠 2 − 20𝐾
= 3
𝐴(𝑠) 2𝑠 + (𝐾 + 21)𝑠 2 + (2𝐾 + 10)𝑠
Характеристический полином равен:
𝐶(𝑠) = 2𝑠 3 + (𝐾 + 21)𝑠 2 + (2𝐾 + 10)𝑠
Видим, что свободный член равен нулю, то есть c0=0. Это означает, что система не может быть
устойчивой , но может быть на границе устойчивости.
𝑊(𝑠, 𝐾) =
27
Чтобы выполнялось требование нейтральности системы используем правило перемежаемости
корней на полиноме D(s), равном:
𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠) =
= 2 𝑠 2 + (𝐾 + 21)𝑠 + (2𝐾 + 10)
𝑠
При замене s на jw получим:
𝐷(𝑗𝑤) = −2 ∗ 𝑤 2 + (𝐾 + 21)𝑗𝑤 + 2𝐾 + 10
Найдем нули реальной части этого полинома.
𝑅𝑒(𝐷(𝑗𝑤)) = −2𝑤 2 + 2𝐾 + 10 = 0
2𝐾 + 10
𝑤12 =
2
Найдем нули мнимой части этого полинома:
𝐼𝑚(𝐷(𝑗𝑤)) = (𝐾 + 21)𝑤 = 0
𝑤02 = 0
При K, удовлетворяющих условию
𝑑 (𝑠) ∗ 𝑑2 (𝑠) > 0
{ 1
𝑤02 < 𝑤12
Система будет на границе устойчивости. Решим систему.
(2𝐾 + 10)(𝐾 + 21) > 0
𝑑1 (𝑠) ∗ 𝑑2 (𝑠) > 0
𝐾 < −21 𝐾 > −5
2𝐾 + 10
{
→{
→{
𝐾 > −5
𝑤02 < 𝑤12
0<
2
Получаем, что система находится на границе устойчивости при K>-5,
Неустойчива при K<-5
Полученные интервалы устойчивости:
28
4. Вывод ПФ W з (s) замкнутой системы с
единичной ООС. Исследование ее устойчивость от
параметра методом Гурвица. Получение
диапазонов устойчивых и неустойчивыхзначений
параметра.
Определим структурную схему замкнутой системы с единичной ООС.
z= x−y
{y = z ∗ W(s)
y
z=
W(s)
{
y
x=
+y
W(s)
𝑦
W(s)
𝑥
=
W(s) + 1
ПФ замкнутой системы с единичной ООС:
2
Wooc ( s)
k  s  20k
3
2
2
2s  ( k  21)s  ( 2k  10)s

3
2
2
3
2
2s  ( k  21)s  ( 2k  10)s k  s  20k  2s  ( k  21)s  ( 2k  10)s
k  s  20k
3
2
2s  ( 2k  21)s  ( 2k  10)s  20k
Характеристический полином:
𝐶(𝑠) = 2𝑠 3 + (2𝑘 + 21)𝑠 2 + (2𝑘 + 10)𝑠 − 20𝑘
По аналогии с предыдущим пунктом составим матрицу Гурвица
 c2 c0 0   2k  21 20k
0 


 
G  c3 c1 0   2
2k  10 0 

 0 c c   0
2k  21 20k 
2 0

Область устойчивости
М2=(2k+21)*(2k+10)+2*20k>0 при K<-23.24107 и K>-2.2589
с0>0 при K<0
с2>0 при K>-10.5
с3>0 при любых K
Объединяязначения, получим область устойчивости системы при -2.2589<k<0
При остальных kсистема неустойчива
Полученные интервалы устойчивости:
29
30
5. По согласованию с преподавателем составить
список параметров из всех граничных значений и
по одному из каждой области устойчивости и
неустойчивости замкнутойсистемы. Для каждого
параметра построить годограф Михайлова
разомкнутой системыи найти число правых
корней ее характеристического полинома.
Список параметров:
 k=-21;
 k1=-2,258;
 k2=-1;
 k3=5;
При всех k годограф выходит из начала координат, а значит необходим дополнительный анализ
условий нейтральности ХП.
Используем метод вариации коэффициентов ХП для к1, к2, к3.
При k=-2,258. Вариации k=-2,258±0,25 порождают k =-2,008 и k =-2,508, однако годограф попрежнему выходит из начала координат. Аналогично и для k2и k3.
31
Т.к. изменение коэффициента не дало результата (свободный член ХП не зависит от k), то
изменим коэффициент с0, который в нашем ХП равен нулю. Это будет идентично сдвигу
годографа вдоль вещественной оси в положительную и отрицательную стороны на малое
расстояние.
Для всех годографов, сдвинутых вправо(c0>0,c0≈0) оказалось, что система не имеет правых
корней, а значит – устойчива. Это следует из изменения комплексной функции в квадрантах на
каждом из трех участков годографа:
𝑛−∆k
3−3
Суммарное изменение ∆k=+3, а значит число правых корней равно 𝑛+ = 2 = 2 = 0,
т.е. система является устойчивой.
А для всех годографов, сдвинутых влево (c0<0,c0≈0), наоборот, система неустойчива, т.е. в
системе при этом имеются правые корни:
Суммарное изменение комплексной функции в квадрантах ∆k=+1 (приращение на 1
𝑛−∆k
3−1
квадрант в положительном направлении), а число правых корней: 𝑛+ = 2 = 2 = 1, т.е.
система является неустойчивой.
Далее на графиках изменение коэффициента c0 будет отражено сдвигом графика, потому что
свободный коэффициент ХП при замене sна jwостанутся в реальной части и вызовут сдвиг
годографа Михайлова соответствующего ХП
К примеру, при k=-2.258:
32
Годограф, сдвинутый право, дает приращение в квадрантах ∆k=+3.
𝑛 − ∆k 3 − 3
𝑛+ =
=
=0
2
2
Получаем, что сдвинутый вправо годограф соответствует устойчивой системе(т.к. правых
корней нет).
В то же время, годограф сдвинутый влево дает приращение в квадрантах ∆k=+1.
𝑛 − ∆k 3 − 1
𝑛+ =
=
=1
2
2
Есть один правый корень. Получаем, что при сдвиге годографа Михайлова влево
соответствующая система неустойчива.
Идентичную ситуацию имеем с k=-1, k=5:
33
Отсюда можно сделать вывод, что при k1,k2 и k3система нейтральна – находится на границе
устойчивости.
При k=-21.
При этом коэффициенте годограф направлен вертикально вниз из начала координат. Сдвинем
сам график по вещественной оси в положительную и отрицательную стороны.
𝑛−∆k
3−1
При сдвиге в отрицательную сторону получим ∆k=+1, а 𝑛+ = 2 = 2 = 1 - один правый
корень – система неустойчива.
𝑛−∆k
3+1
При сдвиге в положительную сторону: ∆k=-1, а 𝑛+ = 2 = 2 = 2 – два правых корня –
система неустойчива.
Следовательно, и при k=-21 система - неустойчива.
34
6. Для каждого значения параметра построить все
необходимые частотные характеристики и
исследовать устойчивость ЗС по критериям
Найквиста и Михайлова.
Критерий Михайлова:
При k1=-2,258 годограф проходит через начало координат, т.е. он может характеризовать
нейтральную систему. Для разрешения граничной неопределенности используем метод
вариации коэффициентов ХП.
Вариации параметра k=-2.258±0,5 дают k=-2.758. при этом изменение аргумента ∆k=-1 (первая
часть годографа дает приращение +1, часть далее дает отрицательное приращение -2) и число
𝑛−∆k
3+1
правых корней 𝑛+ =
=
= 2, а значит, система неустойчива. При также порожденном
2
2
параметре k=-1.758 изменение аргумента ∆k=+3 (годограф последовательно обходит 3
𝑛−∆k
3−3
квадранта против часовой стрелки) и число правых корней 𝑛+ = 2 = 2 = 0 , а значит,
система устойчива.
Теперь можно сказать, что при k=-2.258 система находиться на границе устойчивости.
35
При k=-1 годограф последовательно обходит три квадранта против часовой стрелки, а значит
𝑛−∆k
3−3
имеет ∆k=+3 и число правых корней 𝑛+ = 2 = 2 = 0 – т.е. система устойчива
При k=5 - приращение годографа в 1 квадрант, т.е. ∆k=+1 и число правых корней 𝑛+ =
3−1
2
𝑛−∆k
2
=
= 1 - система неустойчива
36
При k=-21 изменение комплексной функции в квадрантах дает ∆k=-1 и соответственно число
𝑛−∆k
3+1
правых корней 𝑛+ = 2 = 2 = 2, т.е. система неустойчива
Критерий Найквиста:
Найдем контурную передаточную функцию по формуле:
Wк (s)=W(s)*W0(s)
𝑘 ∗ 𝑠 2 − 20𝑘
𝑊𝑘 (𝑠, 𝑘) =
2 ∗ 𝑠 3 + (2𝑘 + 21) ∗ 𝑠 2 + (2𝑘 + 10) ∗ 𝑠 − 20𝑘
Рассмотрим годограф Найквиста при k=-21:
В предыдущем пункте получили, что годограф Михайлова при k=-21 показал, что система
неустойчива и имеет 2 положительных корня
n+=2
Годограф имеет следующий вид:
Видим, что пересечения годографа с осью абсцисс левее точки Найквиста нет. Это означает,
что Δk=0 в данном случае.
Для устойчивости замкнутой системы с контурной передаточной функцией 𝑊𝐾 (𝑠), имеющей 𝑛
правых полюсов, необходимо и достаточно, чтобы контурный годограф 𝑊(𝑗𝜔, 𝑘) пересекал
1
действительную ось левее точки Найквиста в сумме 2n+ раз.
Количество положительных корней по Михайлову: 2
2≠0, поэтому получаем, что система при k=-21 неустойчива по частотномукриетрию Найквиста.
При k= -2.258
37
Видим, что контурный годограф проходит через точку Найквиста, значит система может
находится на границе устойчивости.
Тот же график в мелком масштабе:
Построим контурные годографы с коэффициентами k=-2,2588 ± ε, ε=0.1
Тот же график в мелком масштабе:
38
1)При k = -2.2588 правых корней нет.
2) При k+ε = -2.1588 годограф пересекает ось абсцисс снизу вверх. Значит здесь Δk=-1. Число
правых корней n+ равно 2. -1≠1. Следовательно при k+ ε система неустойчива.
3)При k-ε = -2.3588контурный годограф выходит из точки (1;j0) , приходит в точку (0;j0)
пересекая ось абсцисс правее точки найквиста. Δk=0. Число положительных корней при k-ε n+
равно 0. 0=0, значит система устойчива при k-ε.
Так как при k+ε система устойчива, а при k-ε - нет, можем заключить, что при k=-2.2588
система находится на границе устойчивости.
Логарифмический критерий устойчивости Найквиста
При K=-1
Пострим Логарифмическую амплитудную характеристику контурной передаточной функции.
ЛАЧХ отдельных звеньев и полная:
39
Видим, что L(w) >0 только при частотах, меньших примерно двух.
Теперь построим логарифмическую частотную характеристику контурной передаточной
функции.(ЛФЧХ)
Видим, что есть переход через граничное значение фазы происходит в окрестности двухю
Выясним, принадлежит ли частота достижения граничного уровня фазы области, где L(w)>0.
Возьмем контрольное значение 1.9:
Видим, что при этом значении граничный уровень фазы еще не достигнут, а L уже
отрицательно. Для подтверждения этого вывода увеличим масштаб графиков:
И так, видим, что L становится отрицательной до достижения граничного уровня фазы.
Кроме этого пересечения графиком функции граничных уровней фазы не обнаружено.
Следовательно здесь Δk=0.
Число положительных полюсов при K=-1 , как было рассчитано ранее равно n+ =0.
0=0, следовательно система устойчива по логарифмическому критерию Найквиста при K=-1.
При K=5
Разложим контурную функцию при K=5:
на множителитипичных звеньев:
40
Строим ЛАЧХ типичных звеньев и контурной функции:
ЛФЧХ звеньев и контурной функции:
Видим, что ЛФЧХ не пересекает граничные значения фазы вообще. Это означает, что
здесь 𝛥𝑘=0. При K=5 годограф Михайлова контурной функции дал 1 положительный корень,
1
n+=1. 0≠2 . Получаем, что система при K=5 по логарифмическому критерию Найквиста
неустойчива.
41
7. Для данного преподавателем параметра, при
котором разомкнутая система устойчива (в
отсутствие устойчивости — нейтральна),
построить и исследовать каноническуюсхему
моделирования системы на операционных
усилителях.
Сравните ЛЧХ схемы на ОУ с ЛЧХ из п.6 и оцените по ним и по ПФ численные показатели и качественный вид переходной характеристики. Сравнить оценку ПХ с ее видом в схеме моделирования и с графиком, построенным в MathCAD. Построить реакцию схемы на заданное входное воздействие x(t) и сравнить ее с графиком, рассчитанным в MathCAD.
Построим частотные характеристики системы
42
Синтез схемы
𝑦
0.5𝑠 2 − 10
𝐵(𝑠)
𝑊(𝑠) = =
=
𝑥 0.2𝑠 3 + 2.6𝑠 2 + 2𝑠 𝐴(𝑠)
𝐵(𝑠) = 0.5𝑠 2 − 10 = 𝑏2 𝑠 2 −𝑏0
𝑏0 = 10
𝑏2 = 0.5
𝐴(𝑠) = 0.2𝑠 3 + 2.6𝑠 2 + 2𝑠 = 𝑎3 𝑠 3 + 𝑎2 𝑠 2 + 𝑎1 𝑠
𝑎1 = 2
𝑎2 = 2.6
𝑎3 = 0.2
𝑦 = 𝑏2 𝑣′′−𝑏0 𝑣
1
𝑎2
𝑎1
𝑣 ′′′ = 𝑥 − ( 𝑣 ′′ + 𝑣 ′ )
𝑎3
𝑎3
𝑎3
′′′
′′
𝑣 = 5𝑥 − (13𝑣 + 10𝑣 ′ )
Получим схему:
Выходной сумматор:
𝑦 = 0.5𝑠 2 − 10
𝑘11 = 𝑏2 = 0.5
𝑘21 = 𝑏0 = 10
43
𝑠1 (𝑠) = ∑ 𝑘1𝑖 = 0.5
𝑖
𝑠2 (𝑠) = ∑ 𝑘2𝑖 = 10
𝑖
s1 s   1 s2 s 
𝑠1 (𝑠) + 𝑊10 = 𝑠2 (𝑠) + 1
0.5 + 𝑊10 = 10 + 1
𝑊10 = 10.5
Получим схему:
Для прямого входа:
𝑊10
10.5
𝑅11 =
𝑅10 =
𝑅 = 21𝑅10
𝑘11
0.5 10
Возьмем 𝑅10 = 100кОм, тогда 𝑅11 = 2.1МОм
Для инверсного входа:
𝑅0
𝑅21 =
= 0.1𝑅0
𝑘21
Возьмем 𝑅0 = 1МОм, тогда 𝑅21 = 100кОм
Входной сумматор:
𝑣 ′′′ = 5𝑥 − (13𝑣 ′′ + 10𝑣 ′ )
𝑘11 = 5
𝑘21 = 13
𝑘22 = 10
𝑠1 (𝑠) = ∑ 𝑘1𝑖 = 5
𝑖
𝑠2 (𝑠) = ∑ 𝑘2𝑖 = 23
𝑖
s1 s   1 s2 s 
𝑠1 (𝑠) + 𝑊10 = 𝑠2 (𝑠) + 1
5 + 𝑊10 = 23 + 1
𝑊10 = 19
Получим схему:
44
Для прямого входа:
𝑊10
19
𝑅11 =
𝑅10 =
𝑅
𝑘11
5 10
Возьмем 𝑅10 = 500кОм, тогда 𝑅11 = 1.9МОм
Для инверсного входа:
𝑅0
𝑅21 =
= 0.1𝑅0
𝑘21
𝑅0
1
𝑅22 =
=
𝑅
𝑘22 13 0
Возьмем 𝑅0 = 1.3МОм, тогда 𝑅21 = 130кОм, а 𝑅22 = 100кОм
Составим итоговую схему:
Итоговая схема на операционных усилителях в EWB:
45
Для анализа переходной характеристики и ЛЧХ к выходу схемы подключен BodePlotter, а на
входе подключен генератор, который дает в наальные момент времени выдаст перепад с 0до 1
В.
Используя BP получим изображения ЛАЧХ. Оно полностью совпадает с полученным
изображения в MathCAD:
ЛАЧХ
40
20
L( w)
0.01
0.1
1
10
100
 20
 40
w
Выберем две точки на BP, обозначающие начало и конец изгиба графика. На BP это точки с
частотой 33мГц и 3,7Гц, что соответствует 0,21рад/с и 23,3рад/сна графике в MathCAD,
которые также означают начало и конец изгиба графика.
Аналогичная ситуация и с ЛФХЧ в BP и в MathCAD – графики подобны друг другу.
46
ЛФЧХ
180
90
ϕ ( w)
0.01
0.1
1
10
100
 90
 180
w
2 π
Осциллограф в EWB, подключенный к выходу схемы способен показать переходную
характеристику.
В MathCAD также можно построить переходную характеристику:
47
Переходная характеристика
2
10
0
2
4
6
8
10
0
0.5
1
1.5
2
 10
h( t )
h( t)  20
2
 30
 40
4
 50
t
t
Заметим, что графики и в MathCAD и в осциллографе идентичны. Разница в графиках после
нескольких секунд объясняется особенностью построения графика осциллографом в EWB.
Оценим общий вид переходной характеристики:
Используя ЛАЧХ можно сказать, что в начальный момент времени t0=0 амплитуда также равна
0, т.к. на бесконечной частоте усиление стремиться к -∞. Учитывая, что типовое звено – K/s,
определим, что в начале график идет под наклоном вверх. Затем видим, что на ЛФЧХ фаза
плавно изменилась, теперь график переходной характеристики наклонен вниз и продолжает
убывать в IV четверти.
48
8. Оценки качества временных характеристик
разомкнутой системы спектральными методами и
методами с использованием ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Спектральный метод:
Он основан на качественном расположении на комплексной плоскости полюсов si и нулей zi
передаточной функции системы.
Найдем корни передаточной функции из условия B(s)=0
2
0.5s  10 0
s
4.472
1
s
4.472
2
Это нули ПФ.
Найдем полюса передаточной функции из условия A(s)=0
3
2
0.2s  2.6s  25
s
12.179
s
1
0
2
0.821
s
3
0
Это полюса ПФ.
Построим полюса и нули на комплексной плоскости.
Круглые точки показывают нули ПФ, треугольные – полюса ПФ.
Заметим, что не все полюса левые, а значит ПХ не сходиться к конечному значению.
Вычислим основные спектральные параметры:

Степень устойчивости: невозможно вычислить, т.к. не выполнены условия. А значит
примем ή=0

Степень быстродействия: расстояние от мнимой оси до наиболее удаленного левого
полюса ПФ. γ=12,179

Степень жесткости – отношение показателя затухания самой быстрой к самой медленной
составляющей ПХ
49
r=
γ
η , r= ∞. Степень жесткости бесконечно большая, а значит система жесткая

Степень колебательности – тангенс угла раствора для ближайших к линии оси левых
комплексных полюсов.
ω
k
μ = tg( ψ) =
η , 𝜇 = 𝜔 = ∞. Степень колебательности бесконечно большая.
0
Определим основные спектральные оценки качества устойчивой ПХ. Однако наша система на
границе устойчивости, поэтому некоторые характеристики попросту не имеют смысла.

Время установления
3
γ

t 
y
3
η , т.к. врехняя граница бесконечно большая получим: 0.25≤tу
Перерегулирование:

Верхняя граница перерегулирования определяется степенью колебательности:   e
σ≤100%

Степень затухания:
−2𝜋

 100,
−2𝜋
𝜉 = 1 − 𝑒 𝜇 = 1 − 𝑒 ∞ = 0 – затухание отсутствует

Число колебаний:
𝜇
𝑁𝑘 = 2 = ∞. Колебания не затухают, а значит и число колебаний будет бесконечно большим

Влияние нулей:
Правый ноль может дать отрицательное перерегулирование, тем самым ухудшив качество
переходной характеристики.
Попытаемся найти оценки при помощи логарифмических ЧХ.
Взглянем еще раз на построенную ЛАЧХ.
ЛФЧХ
180
90
ϕ ( w)
0.01
0.1
1
10
100
 90
 180
w
2 π
Такая ЛАЧХ не даёт в полной мере получить необходимые оценки – в знаменателе ПФ
отсутствуют комплексные корни. При их наличии на ЛАЧХ был бы виден резонансный пик,
что и дало бы почву для исследований. При наличии комплексных корней на ЛФЧХ был бы
резкий перепад на 180◦, но в нашем случае резкого перепада нет, а есть лишь плавное
изменение фазы, что также не даёт получить полностью необходимые оценки.
Однако при помощи ЛЧХ можно установить начальное и последующие значения ПХ.
В начальный момент времени t0=0 амплитуда также равна 0, т.е. начальное значение ПХ - 0, т.к.
ЛАЧХ на бесконечной частоте усиление стремиться к -∞.
50
Это видно и при проверке в MathCAD:
h 
0
lim
W(s )  0
s 
После непродолжительного времени заметим – фаза на ЛФЧХ плавно изменилась, теперь
график переходной характеристики наклонен вниз и продолжает убывать в IV четверти, т.е.
дальное значение ПХ будет бесконечно большим по модулю.
Проверка в MathCAD, к сожалению, не дала результатов. Предел h   lim W ( s ) не был
s 0
подсчитан. Однако считая вручную увидим, что h = -∞

Переведем полученные оценки в таблицу:
Параметр
Спектральный метод
Степень устойчивости
0
Степень быстродействия
12,179
Степень жесткости
∞
Степень колебательности
∞
Время установления
0,25 ≤ 𝑡𝑦
Перерегулирование
≤100%
Степень затухания
0
Число колебаний
∞
Начальное значение
Дальние значения
С использованием ЛЧХ
0
-∞
51
9. Рассчитать частотными методами временные
характеристики РС, построить ихграфики и
сравнить показатели качества с полученными
ранее оценками.
9.1. Расчет ПХ с помощью обратного преобразования Лапласа.
Так как Y(s ) X(s ) W(S), а для получения ПХ на вход РС подают сигнал, имеющий вид функции
Хевисайда, для которой операторный вид
преобразование Лапласа к W(s)/s..
X( s )
1
s
, то ПХ можно найти, применив обратное
Переходная характеристика.
Производим расчёт по методу разложения Хевисайда.
Для этого раскладываем передаточную функцию на простые множители.
Передаточная функция:
0.5𝑠 2 − 10
𝐵(𝑠)
𝑊(𝑠) =
=
3
2
0.2 ∗ 𝑠 + 2.6 ∗ 𝑠 + 2 ∗ 𝑠 𝐴(𝑠)
Разложим ее на множители:
Передаточная функция имеет вид:
5 ∗ (𝑠 + 4.47213)(𝑠 − 4.47213)
𝑊(𝑠) =
(𝑠 + 0.82110) ∗ (𝑠 + 12.17890) ∗ 𝑠
𝑊(𝑠)
5 ∗ (𝑠 − 4.47213) ∗ (𝑠 + 4.47213)
𝐹(𝑠) =
= 2
𝑠
𝑠 ∗ (𝑠 + 0.82110) ∗ (𝑠 + 12.17890)
Разобьем дробь на слагаемые, чтобы осуществить обратное преобразование Лапласа
5 ∗ (𝑠 − 4.47213) ∗ (𝑠 + 4.47213)
𝐴
𝐶
𝐷
𝐹(𝑠) = 2
= 2+
+
(𝑠 + 0.82110) (𝑠 + 12.17890)
𝑠 ∗ (𝑠 + 0.82110) ∗ (𝑠 + 12.17890) 𝑠
𝐴𝑠 + 𝐵
𝐶
𝐷
+
+
=
2
(𝑠 + 0.82110) (𝑠 + 12.17890)
𝑠
(𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 + 0.82110) ∗ (𝑠 + 12.17890) + 𝐶𝑠 2 ∗ (𝑠 + 12.17890) + 𝐷𝑠 2 ∗ (𝑠 + 0.82110)
=
𝑠 2 ∗ (𝑠 + 0.82110) ∗ (𝑠 + 12.17890)
Далее работаем с числителем этой дроби:
(𝐴𝑠 + 𝐵) ∗ (𝑠 + 0.82110) ∗ (𝑠 + 12.17890) + 𝐶𝑠 2 ∗ (𝑠 + 12.17890) + 𝐷𝑠 2 ∗ (𝑠 + 0.82110)
Перемножим скобки и сгруппируем коэффициенты:
52
Приравняем это выражение к B(S), получим:
При s=0 получим:
10*B=-50
B=-5
Возьмем коэффициенты при s3, получим:
A +C+D=0
Коэффициенты при s2:
12,1789*С + 13*А + 0,8211*D + B = 2.5
При s:
13*B + 10*A=0
Получили систему уравнений:
B=-5
A +C+D=0
12,1789*С + 13*А + 0,8211*D + B = 2.5
13*B + 10*A=0
Решаем ее в MathCad, получаем:
A=6.5
B=-5
C=-6.31
D=-0.19
6.5𝑠 − 5
−6.31
−0.19
𝐹(𝑠) =
+
+
(𝑠 + 0.8211) (𝑠 + 12.1789)
𝑠2
Преобразование Лапласа для слагаемых этой функции:
6.5𝑠 − 5
⇨ 6.5 − 5 ∗ 𝑡
𝑠2
−6.31
⇨ −6.31 ∗ 𝑒 −0.8211𝑡
(𝑠 + 0.8211)
−0.19
⇨ −0.19 ∗ 𝑒 −12.1789𝑡
(𝑠 + 12.1789)
ℎ(𝑡) = 6.5 − 5 ∗ 𝑡 − 6.31 ∗ 𝑒 −0.8211𝑡 − 0.19 ∗ 𝑒 −12.1789𝑡
Построим переходную характеристику:
53
График функции переходной характеристики не сходится, уходит в минус бесконечность при
tстремящемся к бесконечности.
lim ℎ(𝑡) = −∞
𝑡→∞
Это подтверждает факт, что система не является устойчивой при выбранном параметре K.
Синим пунктиром на графике указана переходная характеристика без расходящейся
составляющей 6.5-5t
Построим h(t) с помощью MathCad:
54
Тот же график в крупном масштабе:
Видим, что передаточная функция, полученная вручную идентична той, которая была получена
только средствами MathCad.
Показатели качества переходного процесса:
1) начальное и установившееся значения:
h(0)=0
h(∞)=-∞
9.2. Расчет импульсной характеристики w(t)
При нулевых начальных условиях изображение импульсной характеристики системы есть ее
передаточная функция W(s). И наоборот, w(t) есть оригинал изображения
Воспользуемся этим правилом и найдем импульсную характеристику операторным методом:
55
Видим, что импульсная характеристика сходится к -5.
Переведем полученные оценки в таблицу:
Параметр
Спектральный метод
Степень устойчивости
Степень
быстродействия
Степень жесткости
Степень
колебательности
Время установления
Перерегулирование
Степень затухания
Число колебаний
Начальное значение
Дальние значения
С использованием
ЛЧХ
Частотные методы
0
0
-∞
∞
0
12,179
∞
∞
0,25 ≤ 𝑡𝑦
≤100%
0
∞
56
10. Рассчитать реакцию РС на заданное в табл.
П.6 входное воздействие x(t) при нулевых
предначальных условиях. Проанализировать
графики входного и выходного сигналов.
Входное воздействие:
Запишем входное воздействие в MathCAD:

x( t)  2 sin 0.2 t    cos ( t)
6

Преобразуем выражения входного воздействия по Лапласу
2
X( s )  x( t) laplace 
8.6602540378443864676 s  24.0 s  8.6602540378443864676
4
2
25.0 s  26.0 s  1.0
Используя ПФ W(s) получим выходное выражение:
2
0.5 s  10
W ( s ) 
3
2
0.2 s  2.6 s  2 s
Y( s )  W ( s )  X( s ) 
0.5s 2  1024.0s  8.6602540378443864676s 2  8.6602540378443864676
2s  2.6s 2  0.2s 326.0s 2  25.0s 4  1.0
Выполним обратное преобразование выражения выходного сигнала:
Теперь мы можем построить и входной и выходной сигналы. Помести их на один график в
MathCAD.
20
0
x( t )  20
 40
y ( t)
 60
 80
 100
0
3
6
9
12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
t
Немного изменим масштаб осей.
57
10
5
x( t )
y ( t)
0
5
 10
 15
 20
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 5.7
6
t
Аналогично сделаем на осциллографе в EWB, конечно, заранее подав на вход схемы сигнал.
Также следует изменить масштаб выходного сигнала, иначе есть риск ничего на графике не
увидеть.
Заметим, что графики полностью идентичны.
Выходной сигнал имеет свободный коэффициент, поэтому график смещен ниже оси абсцисс.
Для sin(0.2t) и амплитуде 2 получим коэффициент усиления приблизительно равный 50. Для
cos(t) коэффициент усиления приблизительно равен √10 ≈ 3,16. Из-за разницы коэффициентов
усиления мы и видим такой выходной график. Для вычисления коэффициентов усиления
использовалсиь коэффициенты m и n перед sin() и cos() соответственно и 𝐾 = √𝑚2 + 𝑛2
58
11. Методом, соответствующим табл. П.7,
рассчитать ПФ последовательного регулятора,
доставляющего замкнутой системе желаемые
показатели качества:
• астатизм первого порядка с коэффициентом статической ошибки c1 , не менее чем в 10
раз меньшим коэффициента c1 в ЗС с единичной ООС;
• время установления tу в ≥10 раз меньше, чем в РС;
• перерегулирование σ≤20%;
• запасы устойчивости Lз ≥6 дБ и ϕз ≥30° .
Метод логарифмических частотных характеристик заключается в построении желаемых ЛЧХ,
обеспечив требуемые показатели качества.
Запишем еще раз ПФ РС и ЗС
2
W ( s ) 
2
0.5 s  10
3
5 s  100
Wooc( s ) 
2
0.2 s  2.6 s  2 s
3
2
2 s  31 s  20 s  100
Разложим W(s) на множители, выделим типовые звенья:
W(s )
2
1
0.5 s  20 
5
s 2
s  13 s  10
Получим:

Форсирующее звено второго порядка K(1 + 2ξTs + T2s2)
𝐾

Интегрирующее звено 𝑠

𝐾
Колебательное звено1 + 2ξTs + T2s2
Найдем частоты сопряжений:
Для форсирующего звена 𝜔сопр ≈ 4,5рад/с
Для колебательного звена 𝜔сопр ≈ 3,2рад/с
Построим асимптоты графика ЛАЧХ.
При низких частотах график идет под наклоном -20дБ/дек, пересекает ось ординат в точке
20 log(5) ≈ 14. При частоте 3,2рад/с наклон меняется на -40дБ/дек, а при пересечении границы
в 4,5рад/с наклон восстанавливает прежнее значение -20дБ/дек, благодаря смены наклона на
+40дБ/дек от форсирующего звена.
59
График построен в графическом редакторе без автоматического построения.
Построим желаемую ЛАЧХ.
Определимся с требованиями к системе.
Астатизм первого порядка и коэффициент ошибки c1 меньший в 10 раз, чем есть.
Требуется: c0=0 и c1≤c1/10
a b a b
1 0
Текущие значения: c0=0; c1
0 1
a0  b 0
2
0.2
Следовательно требуется c1≤ -0,02
Время установки требуется в 10 раз меньше чем есть. Однако в нашей системе нет времени
установки, возьмем ty=10с, тогда требуемое время ty=0.1*10=1с
Значение K≥1/с1 по условию(требуется первый порядок астатизма), т.е. K≥1/0,02=50.
При низких частотах ЛАЧХ должна идти с наклоном -20дБ/дек, пересекая L(1)=26дБ.
На средних частотах ЛАЧХ пересекает ось частот в частоте среза 𝜔ср, которую можно
определить по ноограмме В.В. Солодовникова, используя необходимые значения
перерегулирования и времени установления. Наклон при этом должен остаться -20дБ/дек.
2,8𝜋
σ=20%, а значит Pm≈1,1, определим время установления по шкале: 𝑡п ≈ 𝜔ср , откуда 𝜔ср =
2,8𝜋
= 8,8рад/с
По другойноограмме определим предельные значения логарифмических амплитуд: L=20дБ
Границы среднечастотного диапазона выбираются в следующих областях:
1
L

1
10
20
L
 cp
0.88

2
10
20
 cp
88
ω1≤0,88рад/с ω2≥88рад/с
60
Выясним как ведет себя сопрягающая часть между низкочастотной и среднечастотной частью:
Эти части не имеют пересечений, поэтому возьмем сопряжение с наклоном -40дБ/дек. Пусть
сопряжение со средней частью будет на частоте ωсчн=0,8рад/с, тогда на низкочастотной части
частота сопряжения будет видна по графику.
Частоту сопряжения с высокочастотной частью положим ωсчв=90рад/с, откуда найдем
постоянную времени фильтра низких частот Tв=1/90=0,11
Построим график асимптот желаемой ЛАЧХ, по которому восстановим в дальнейшем ПФ.
Синий график – желаемое ЛАЧХ
Отметим, что низкочастотная часть сопрягается на частоте ωнчс=0,4рад/с
Составим ПФ:
Дополним функцию известными коэффициентами:
Рассчитаем передаточную функцию последовательного регулятора:
61
12*(на 5). Рассчитать переходную характеристику
ЗС и сравнить ее статические идинамические
показатели качества с желаемыми. Построить
схему моделирования замкнутой системы
управления с последовательным регулятором на
операционных усилителях.
Построить и проанализировать выходной сигнал
слежения ЗC за входным сигналом x(t).
Передаточная функция замкнутой системы с регулятором:
Логарифмическая Амплитудно-Частотная Характеристика передаточной функции:
Логарифмическая Фазово-Частотная Характеристика передаточной функции:
62
Видим, что запас амплитуды явно больше 6 дБ. Такой вывод можно сделать, потому что ЛФЧХ
пересечет на частоте, большей 100. Это будет частота граничного значения фазы. Так как при
w=100 ЛАЧХ показывает где-то -35 дБ и убывает говорит о том, что запас больше 35 дБ.
Переходная характеристика передаточной функции, рассчитанная с помощью обратного
преобразования Лапласа:
Построим график переходной характеристики:
Видим, что время установления равно T_UST = 0.71529 с.
Желаемое время установление, рассчитанное в пункте 11 tж=1 с.
Видим, что T_UST<tж. Условие выполнено.
Чтобы узнать линейное отставание - при астатизме первого порядка оценим разность линейного
сигнала и линейной уставки и построим их графики:
63
Построим график функции отставания в зависимости от t:
Видим, что с течением времени значение отставания быстро приближается к желаемому
значению, описанному в 11 пункте, равному -0.02. Условие выполнено.
Синтез схемы
64
y = 100v ′ + 255v ′′ + 187.5v ′′′ + 31.25v IV
vV =
1
1.305 IV
2.25 ′′′
2.61 ′′
10
x+
v −
v −
v −
v′
0.138
0.138
0.138
0.138
0.138
Выходной сумматор:
y = 100v ′ + 255v ′′ + 187.5v ′′′ + 31.25v IV
𝑆1 (𝑠) = 0
𝑆2 (𝑠) = 573.75
𝑊10 + 𝑆1 (𝑠) = 1 + 𝑆2 (𝑠)
𝑊10 = 574.75
Пусть 𝑅0 = 187.5кОм
W
R
11
K
10
R
10
- сопротивление бесконечно велико, а значит входной ток равен 0 и этот элемент
11
можно заменить обычным проводом
R
R
21
K
21
R
R
22
K
23
K
24
K
0
23
R
R
0
22
R
R
0
0
24
187.5
100
187.5
255
187.5
187.5
187.5
31.25
1.875кОм
0.73кОм
1кОм
6кОм
65
Входной сумматор:
1
1.305 IV
2.25 ′′′
2.61 ′′
10
vV =
x+
v −
v −
v −
v′
0.138
0.138
0.138
0.138
0.138
1
𝑆1 (𝑠) =
0,138
13,555
𝑆2 (𝑠) =
0,138
𝑊10 + 𝑆1 (𝑠) = 1 + 𝑆2 (𝑠)
14,693
𝑊10 =
0,138
W
R
11
R
R
K
21
22
K
K
23
K
24
K
0
22
0
23
R
R
0
21
R
R
1
R
10
14.693 кОм
R
R
14.693
10
1кОм
R
R
R
11
10
11
10
0
24
0.138 R
0
0.262 кОм
0
1 кОм
0
1.17 кОм
0
2 кОм
10
0.138 R
2.61
0.138 R
2.25
0.138 R
1.305
66
Итоговая схема с последовательным регулятором:
67
Список литературы
Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные
методы анализа и синтеза систем. Учеб.пособие / Нижегород. гос. техн.
ун-т. Н.Новгород, 2012. 601 с.
2. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы.-М.:
Машиностроение, 1982. 504 с.
1.
68