Лекция 48

266
Таким образом, точка А является точкой глобального максимума, а точка Мточкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D.
§15 Эмпирические формулы. Определение параметров эмпирических формул
методом наименьших квадратов.
Постановка задачи. При эмпирическом (экспериментальном) изучении зависимости y от x производят ряд измерений величины y при различных значениях x .
Результаты измерений ( x i , y i ) i = 1, n обычно представляют в виде таблицы
xi
yi
x1
y1
x2
y2
x3
y3
...
...
xi
yi
...
...
xn
yn
или точечной диаграммы.
Важное практическое значение имеет задача: найти аналитическое выражение
зависимости y от x , т.е. подобрать функцию y = ϕ ( x ) , такую, чтобы y i = ϕ ( x i )
(y
i
)
≈ ϕ ( x i ) . Функции, полученные в результате решения такого типа задач, называют
эмпирическими или аппроксимирующими.
Подбор аппроксимирующей функции по экспериментальным данным ( x i ; y i )
i = 1, n можно осуществить по разному. Осветим два подхода:
1. Интерполяционная модель Пусть некоторая функция y = f ( x ) задана таблицей значений ( x i , y i ) i = 1, n . Значения функции y при выбранных значениях x i будем
считать точно известными, а ее аналитическое выражение y = f ( x ) в общем случае
неизвестным. Требуется по таблице значений y = f ( x ) подобрать эмпирическую
функцию y = ϕ ( x ) , удовлетворяющую условиям: ϕ ( x i ) = y i , i = 1, n .
Геометрически задача подбора функции ϕ ( x ) по заданным частным значениям
функции y = f ( x ) означает построение кривой y = ϕ ( x ) , проходящей через точки
плоскости с координатами ϕ ( x i ) = y i . Очевидно, что такая задача имеет множество
различных решений. Таким образом, задача подбора эмпирической функции y = ϕ ( x )
267
по точным значениям (узлам интерполяции) ( x i , y i ) i = 1, n , неизвестной функции не
определена.
Предположим, что неизвестная функция - многочлен степени n − 1 (n- число
узлов). Тогда задача вполне определена: по таблице значений ( x i , y i ) i = 1, n , неизвестной функции y = f ( x ) построить аппроксимирующий многочлен Pn−1 ( x ) степени
n − 1 , удовлетворяющий условиям Pn −1 ( x i ) = y i i = 1, n . Этот многочлен называется интерполяционным многочленом.
2. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов (МНК). Пусть
результаты измерений ( x i , y i ) i = 1, n приведены в виде таблицы или точечной диаграммы. Аналитическое выражение функции y = f ( x ) неизвестно. Значения функции
y = f ( x ) при x = x i определены приближенно с некоторой случайной погрешностью.
Наличие случайных погрешностей делает нецелесообразным подбор такой эмпирической функции y = ϕ ( x ) , которая бы точно описывала все экспериментальные данные,
т.е. график проходим бы через точки ( x i , y i ) i = 1, n . В этом случае предпочтительно
подобрать такую аппроксимирующую функцию ϕ ( x ) , которая "сглаживала" бы случайные погрешности измерений.
Задача построения аппроксимирующей функции состоит из двух этапов: 1) определение вида аппроксимирующей функции ϕ ( x ) , т.е. класса функций, к которому
принадлежит аппроксимирующая функция (линейна, квадратичная, показательная и
т.д.); 2) определение параметров (различного рода коэффициентов) аппроксимирующей функции выбранного вида.
Определение вида аппроксимирующей функции.
Заметим, что не существует строгой теории для определения класса аппроксимирующей функции. Можно дать ряд общих рекомендаций.
268
1. При подборе аппроксимирующей функции y = ϕ ( x ) следует учитывать характер расположения экспериментальных точек ( x i , y i ) i = 1, n на точечной диаграмме.
Если на точечной диаграмме точки ( x i , y i ) i = 1, n располагаются вдоль некоторой линии, например вдоль прямой, тогда в качестве аппроксимирующей функции
рекомендуется выбрать линейную функцию ϕ ( x ) = b0 + b1 x , зависящую от двух параметров b0 и b1 .
Если расположение точек ( x i , y i ) i = 1, n на точечной диаграмме напоминает параболу, то в качестве аппроксимирующей функции рекомендуется выбрать
ϕ ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 , где b0 , b1 , b2 - параметры аппроксимирующей функции.
Пример. При исследовании зависимости длины y (в м) тормозного пути от
скорости движения (в км/ч) автомобиля получены следующие экспериментальные
данные:
xi
yi
10
7,5
15
8,8
20
9,8
25
12,5
30
15
35
20
40
27
Необходимо найти вид аппроксимирующей функции.
Исходя из вида точечной диаграммы в качестве аппроксимирующей функции может
быть выбрана одна из следующих функций:
1) параболическая ϕ ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 ,
2) степенная ϕ ( x ) = b0 x b ,
3) показательная ϕ ( x ) = b0 e b x .
1
1
2). При выборе аппроксимирующей функции y = ϕ ( x ) рекомендуется, если это
возможно, провести ее "линеаризацию", т.е. сделать такую замену переменных, которая сводила бы нелинейную функцию y = ϕ ( x ) к линейной.
Предположим, что замена переменных t = t( x ) , z = z( y ) приводит нелинейную
функцию y = ϕ ( x ) к линейной z = b0 + b1 t . Если теперь в системе координат Otz построить точечную диаграмму ( t i , z i ) , i = 1, n , то точки должны располагаться вдоль прямой линии. В противном случае не рекомендуется выбирать функцию ϕ ( x ) в качестве
аппроксимирующей функции.
Приведем таблицу в которой указана замена переменных, приводящая нелинейные функции к линейным (в последних четырех строках нелинейные функции
сводятся к параболическим).
269
Функция, полученная в результате
замены переменной
Замена переменных
№ п/п
Исходная функция
1
2
3
y = b0 x b1
z = a + b1 t
z = ln y , t = ln x
y = b0 e b1x
b
y = b0 + 1 x
z = a + b1 t
z = ln y , t = x
z = a + b1 t
z = y, t = 1 x
z = 1 y, t = x
4
1
b0 + b1 x
x
y=
b0 + b1 x
y = b0 + b1 ln x
y=
5
6
7
z = a + b1 t
z = a + b1 t
y = e b0 + b1x + b2 x
1
y=
b0 + b1 x + b2 x 2
z = b0 + b1 t + b2 t 2
x
b0 + b1 x + b2 x 2
b b
y = b0 + 1 + 22
x x
z = b0 + b1 t + b2 t 2
2
8
10
1
, t=x
y
x
z= , t=x
y
1
z = y, t =
x
z = b0 + b1 t + b2 t 2
y=
9
x
, t=x
y
z = y , t = ln x
z = ln y , t = x
z=
z = a + b1 t
z=
z = b0 + b1 t + b2 t 2
Как правило, "линеаризация" достигается логарифмированием исходной функции.
Пример. С помощью метода линеаризации проверить, можно ли в качестве аппроксимирующей функции взять степенную функцию ϕ ( x ) = b0 x b или экспоненциальную функцию ϕ ( x ) = b0 e b x .
Сделаем замену переменных z = ln y , t = ln x , получим следующую таблицу экспериментальных данных:
1
1
t i = ln x i
z i = ln y i
2,3
2,01
2,71
2,17
3,00
2,28
3,22
2,53
3,4
2,71
3,56
3,00
3,69
3,30
Построив точечную диаграмму, убеждаемся, что характер расположения точек "нелинейный".
Сделав замену переменных t = x , z = ln y и построив точечную диаграмму, заметим, что точки располагаются вдоль прямой, следовательно функцию ϕ ( x ) = b0 e b x
можно взять в качестве аппроксимирующей.
3. При подборе аппроксимирующей функции следует по возможности сочетать характер расположения точек на точечной диаграмме с логически - профессиональным анализом.
1
270
4. Для простоты дальнейших этапов построения аппроксимирующих функций
ϕ ( x ) = ϕ ( x , b0 , b1 ,..., bk ) желательно, чтобы они были линейными относительно параметров bk .
5. При подборе аппроксимирующих функций для описания "криволинейных" зависимостей рекомендуется использовать параболы степени не выше третьей.
Предположим, что использовав приведенные выше рекомендации, мы определили класс аппроксимирующей функции. После этого переходим к следующему этапу; определению параметров b0 , b1 ,..., bn аппроксимирующей функции выбранного типа.
Определение параметров аппроксимирующих функций по методу наименьших квадратов.
Пусть вид аппроксимирующей функции ϕ ( x ) = ϕ ( x , b0 , b1 ,..., bk ) известен. Подбор
параметров b0 , b1 ,..., bk этой функции по методу наименьших квадратов (МНК) производится таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений
y i от ординат аппроксимирующей функции была минимальной, т.е.
n
n
i =1
i =1
(
S = ∑ ei2 = ∑ y i − ϕ ( x i , b0 , b1 ,..., bk )
)
2
= min .
Задача, определения тех значений параметров, которые обеспечивают наименьшее значение суммы S, сводится к решению системы уравнений:
∂S
∂S
∂S
= 0,
= 0, ...,
= 0.
∂ b0
∂ b1
∂ bk
Рассмотрим методику определения параметров некоторых типов аппроксимирующих
функций по МНК.
1. Определение параметров линейной аппроксимирующей функции по МНК.
Пусть экспериментальные точки ( x i , y i ) , i = 1, n располагаются на точечной диаграмме вдоль прямой линии. Выберем в качестве аппроксимирующей функции линейную функцию:
ϕ ( x ) = b0 + b1 x .
Подберем параметры b0 и b1 таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была
минимальной:
n
S = ∑ ( y i − b0 − b1 x i ) = min .
2
i=1
n
Для нахождения минимума функции S = ∑ ei2 , являющейся функцией двух переменi =1
ных b0 и b1 , необходимо приравнять нулю частные производные этой функции по b0
и b1 :
⎧ n
⎧∂S
=
0,
⎪∑ ( 2( y i − b0 − b1 x i )( − 1)) = 0,
⎪∂ b
⎪ 0
⎪ i=1
⇒⎨ n
⎨
⎪ ∂ S = 0,
⎪ ( 2( y − b − b x )( − x )) = 0.
i
i
0
1 i
⎪⎩ ∂ b1
⎪⎩∑
i =1
После преобразований система примет вид:
271
n
n
⎧
nb
+
b
x
=
⎪ 0 1 ∑ i ∑ yi ,
⎪
i =1
i =1
⎨ n
n
n
2
⎪b
x
+
b
x
=
xi yi .
∑
∑
∑
⎪⎩ 0 i=1 i 1 i=1 i
i =1
Решая последнюю систему относительно b0 и b1 , получаем:
n
n
n
∑ x i ∑ y i − n∑ x i y i
i =1
b1 =
i =1
i =1
2
n
⎛
⎞
2
⎜ ∑ x i ⎟ − n∑ x i
⎝ i=1 ⎠
i =1
n
b0 =
,
n
⎞
1⎛ n
y
b
−
⎜ ∑ i 1 ∑ xi ⎟.
⎠
n ⎝ i=1
i =1
2. Определение параметров квадратичной аппроксимирующей функции по
МНК.
Пусть расположение экспериментальных точек ( x i , y i ) i = 1, n на точечной диаграмме напоминает участок параболы. Тогда в качестве аппроксимирующей функции
возьмем параболу
ϕ ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 .
Подберем параметры b0 , b1 , b2 таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений было наименьшим:
n
n
i =1
i =1
S = ∑ ei2 = ∑ ( y i − b0 + b1 x + b2 x 2 ) = min
2
Находим частные производные по параметрам b0 , b1 , b2 и приравняем их к нулю. Получаем:
⎧n
⎧∂ S
2
0
,
=
⎪∑ (2( y i − b0 − b1 x i − b2 x i )( − 1)) = 0,
⎪∂ b
⎪ i =1
⎪ 0
⎪n
⎪∂ S
= 0, ⇒ ⎨∑ (2( y i − b0 − b1 x i − b2 x i2 )( − x i )) = 0, ⇔
⎨
⎪ i =1
⎪ ∂ b1
⎪n
⎪∂ S
2
2
0
,
=
⎪∑ (2( y i − b0 − b1 x i − b2 x i )( − x i ) ) = 0,
⎪
⎩ i =1
⎩ ∂ b2
n
n
n
⎧
2
⎪b0 n + b1 ∑ x i + b2 ∑ x i = ∑ y i ,
i =1
i =1
i =1
⎪
n
n
n
⎪ n
2
3
⇔ ⎨b1 ∑ x i + b1 ∑ x i + b2 ∑ x i = ∑ x i y i ,
i =1
i =1
i =1
⎪ i=1
n
n
n
n
⎪
2
3
3
2
⎪b0 ∑ x i + b1 ∑ x i + b2 ∑ x i = ∑ x i y i .
i =1
i =1
i =1
⎩ i=1
Решая полученную систему, находим искомые параметры b0 , b1 , b2 параболической аппроксимирующей функции ϕ ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 .