1. îÁÊÄÉÔÅ ÛÅÓÔÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) = x21+1 × ÔÏÞËÅ x = 0. ïÔ×ÅÔ: −720. òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÌÏÖÉÍ ÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ × ÔÏÞËÅ x = 0: f (x) = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÉ x6 ÒÁ×ÅÎ −1, ÎÏ Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÎ ÒÁ×ÅÎ f (6) (0)=6! ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔ×ÅÔ f (6) (0) = −6! . 2. çÒÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÈÉÍ, ÅÓÌÉ × Î£Í ÎÅ ÍÅÎÅÅ 10 ÞÅÒ×ÅÊ. ÷ ÌÕËÏÛËÅ 91 ÐÌÏÈÏÊ ÇÒÉÂ, É 10 ÈÏÒÏÛÉÈ. íÏÖÅÔ ÌÉ ÔÁË ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÅÒ×ÑËÉ ÐÅÒÅÐÏÌÚÕÔ ÎÁ ÄÒÕÇÉÅ ÇÒÉÂÙ, ×ÓÅ ÇÒÉÂÙ ÓÔÁÎÕÔ ÈÏÒÏÛÉÍÉ? ïÔ×ÅÔ: ÎÅ ÍÏÖÅÔ. òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË ÐÌÏÈÏÊ ÇÒÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 10 ÞÅÒ×ÅÊ, Á × ÌÕËÏÛËÅ ÉÍÅÅÔÓÑ 91 ÐÌÏÈÏÊ ÇÒÉÂ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÒ×ÅÊ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 910. ÷ÓÅÇÏ × ÌÕËÏÛËÅ 101 ÇÒÉÂ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÇÒÉÂÙ ÓÔÁÌÉ ÈÏÒÏÛÉÍÉ, ÚÎÁÞÉÔ, × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÎÉÈ ÐÏÓÅÌÉÌÏÓØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 9 ÞÅÒ×ÑËÏ×, Á ÚÎÁÞÉÔ, ×ÓÅÇÏ ÞÅÒ×ÑËÏ× ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 909. ïÄÎÁËÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÒ×ÅÊ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÐÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ ÇÒÉÂÙ ÎÅ ÓÍÏÇÕÔ ÓÔÁÔØ ÈÏÒÏÛÉÍÉ. 3. îÁ ÓÔÏÒÏÎÅ AB ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÏÔÍÅÞÅÎÁ ÔÏÞËÁ M ÔÁË, ÞÔÏ AM : MB = 2, Á ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ BC | ÔÏÞËÁ N ÔÁË, ÞÔÏ BN : NC = 2. ôÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÔÒÅÚËÏ× CM É AN ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ X . îÁÊÄÉÔÅ AX : XN É CX : XM . ïÔ×ÅÔ: AX : XN = 6, CX : XM = 34 . −→ −−→ òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒ×ÙÊ−−ÓÐÏÓÏÂ. ÷×ÅÄ£Í ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ~u = BA, ~v = BC → É ÒÁÚÌÏÖÉÍ ×ÅËÔÏÒ BX ÐÏ ÂÁÚÉÓÕ (~u; ~v) Ä×ÕÍÑ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ. ó ÏÄÎÏÊ −−→ −−→ −−→ ÓÔÏÒÏÎÙ, AN = −~u + 32 ~v, ÔÏÇÄÁ AX = AN = −~u + 23 ~v ÄÌÑ −−→ −−→ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ , É ÏÔÓÀÄÁ BX = ~u + AX = (1 − )~u + 32 ~v. ó ÄÒÕ−−→ −−→ −−→ ÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, CM = 13 ~u − ~v, ÔÏÇÄÁ CX = CM = − 31 ~u − ~v ÄÌÑ −−→ −−→ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ , É ÏÔÓÀÄÁ BX = ~v + CX = 31 ~u + (1 − )~v. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÐÒÅÄÓÔ×ÌÅÎÉÊ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ 1 ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ É : ( 1 − = 13 2 = 1 − 3 ; ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÕÀ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, = 76 , = 73 , ÏÔËÕÄÁ ÌÅÇËÏ ÎÁÈÏÄÉÍ ÉÓËÏÍÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: AX : XN = 1− = 6, CX : XM = 1− = 43 . ÷ÔÏÒÏÊ ÓÐÏÓÏÂ. ðÏÍÅÓÔÉÍ × ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÇÒÕÚÙ ÍÁÓÓÏÊ 1 × ÔÏÞËÕ A, ÍÁÓÓÏÊ 2 × ÔÏÞËÕ B É ÍÁÓÓÏÊ 4 × ÔÏÞËÕ C . îÁÊÄ£Í ÃÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË Ä×ÕÍÑ ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ. íÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ Ä×Á ÇÒÕÚÁ × ÔÏÞËÁÈ A É B ÏÄÎÉÍ Ó ÓÕÍÍÁÒÎÏÊ ÍÁÓÓÏÊ 3, ÎÁÈÏÄÑÝÉÍÓÑ × ÉÈ ÃÅÎÔÒÅ ÍÁÓÓ | ÔÏÞËÅ M . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÃÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ CM É ÄÅÌÉÔ ÅÇÏ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 3 : 4. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÚÁÍÅÎÑÑ ÇÒÕÚÙ × ÔÏÞËÁÈ B É C ÎÁ ÏÄÉÎ ÇÒÕÚ ÍÁÓÓÏÊ 6, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊÓÑ × ÉÈ ÃÅÎÔÒÅ ÍÁÓÓ | ÔÏÞËÅ N , ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÃÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ AN É ÄÅÌÉÔ ÅÇÏ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 6 : 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÃÅÎÔÒ ÍÁÓÓ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÏÔÒÅÚËÏ× | ÔÏÞËÅ X É ÄÅÌÉÔ ÜÔÉ ÏÔÒÅÚËÉ × ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ. 4. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) | Þ£ÔÎÁÑ, Á ÆÕÎËÃÉÑ g(x) = f (2011 − x) | ÎÅÞÅÔÎÁÑ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f (x) | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, É ÎÁÊÄÉÔŠţ ÐÅÒÉÏÄ. ïÔ×ÅÔ: 8044. òÅÛÅÎÉÅ. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÓÌÅÄÕÅÔ f (x + 4022) = f (2011 − (−x − 2011)) = g(−x − 2011) = −g(x + 2011) = −f (2011 − (x + 2011)) = −f (−x) = −f (x). éÔÁË, f (x + 4022) = −f (x). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ f (x + 8044) = −f (x + 4022) = f (x). úÎÁÞÉÔ, 8044 | ÐÅÒÉÏÄ ÆÕÎËÃÉÉ f (x). úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ìÀÂÏÅ ËÒÁÔÎÏÅ 8044 ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÐÅÒÉÏÄÏÍ. 5. ÷ ÏÄÎÕ ÉÚ ÇÒÁÎÅÊ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ËÕÂÁ ×ÐÉÓÁÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, Á ÏËÏÌÏ ÓÍÅÖÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÏÐÉÓÁÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. √ √ ïÔ×ÅÔ: ( 3 − 2)=2. 2 òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÔÒÏÉÍ Ä×Å ËÏÎÃÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÓÆÅÒÙ, Ó ÃÅÎÔÒÁÍÉ × ÃÅÎÔÒÅ ËÕÂÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÄÁÎÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÅÒ×ÁÑ ÓÆÅÒÁ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÅÂÅÒ ËÕÂÁ, Á ×ÔÏÒÁÑ ÏÐÉÓÁÎÁ √ √ ×ÏËÒÕÇ ÎÅÇÏ. òÁÄÉÕÓ ÐÅÒ×ÏÊ ÓÆÅÒÙ ÒÁ×ÅÎ 2=2, Á ×ÔÏÒÏÊ | 3=2. íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ √ √ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÓÆÅÒÙ ÒÁ×ÎÏ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÏ× ( 3 − 2)=2. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÁÒÙ ÔÏÞÅË ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ, ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÁÒÁ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ÐÏ ÏÄÎÏÊ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÏÄÎÏÍÕ ÌÕÞÕ, ×ÙÈÏÄÑÝÅÍÕ ÉÚ ÃÅÎÔÒÁ ËÕÂÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÐÒÏÅÃÒÕÅÍ ÉÚ ÃÅÎÔÒÁ ÍÁÌÅÎØËÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ ÂÏÌØÛÕÀ ÓÆÅÒÕ. ìÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚ ÐÒÉ ÐÒÏÅËÃÉÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÂÏÌØÛÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ (ÉÚ ÞÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÚÙ ËÏÎÃÏ× ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÍÁÌÅÎØËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÐÅÒÐÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÇÏ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÂÏÌØÛÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÌÅÖÁÔ ÐÏ ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ ÜÔÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. úÎÁÞÉÔ, ÏÂÒÁÚ ÍÁÌÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÜÔÕ ÐÌÏÓËÏÓÔØ, Á ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ É ÂÏÌØÛÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. 6. ðÕÓÔØ á É ÷ | Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ 3-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÐÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉÃÙ ÷ | ÅÄÉÎÉÃÙ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ det A = 0, det(A + B ) = 1. îÁÊÄÉÔÅ det(A + 2011 · B ). ïÔ×ÅÔ: 2011. òÅÛÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = det(A + x · B ). ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏÔ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ, ×ÙÞÉÔÁÑ ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ É ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÒÏË ÐÅÒ×ÕÀ, É ÒÁÚÌÏÖÉÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÐÏ ÐÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ f (x) | ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÔÏ ÅÓÔØ f (x) = ax + b. éÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ b = f (0) = 0, a + b = f (1) = 1, ÓÌÅÄÕÅÔ a = 1, b = 0. ïÔÓÀÄÁ f (x) = x É det(A + 2011 · B ) = f (2011) = 2011. 7. þÁÓÔÉÃÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÐÏ ÐÒÑÍÏÊ ÌÉÎÉÉ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÍÅÎÑÔØÓÑ. ÷ ËÁÖÄÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÃÙ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 1 Í=ÓÅË2 ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ. þÅÒÅÚ 1 ÓÅË ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÞÁÓÔÉÃÁ ×ÅÒÎÕÌÁÓØ × ÎÁÞÁÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Å£ ÓËÏÒÏÓÔØ ÞÅÒÅÚ 0:5 ÓÅË ÐÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 0:25 Í=ÓÅË. òÅÛÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÏÐÅÒÉÒÏ×ÁÔØ ÂÅÚÒÁÚÍÅÒÎÙÍÉ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ, ÐÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÉ ×ÒÅÍÅÎÉ ×ÙÒÁÖÅÎÙ × ÓÅËÕÎÄÁÈ, Á ÐÒÏÍÅÖÕÔËÉ ÄÌÉÎÙ | × ÍÅÔÒÁÈ. 3 ðÕÓÔØ v(t) | ÓËÏÒÏÓÔØ, Á a(t) | ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÃÙ R× ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ t. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ |a(t)| = |v0 (t)| 6 1 É 01 v(t)dt = 0. ôÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÃÅÎÉÔØ v(0:5). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÏÄÕÌØ ÜÔÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ: ¯ ¯ Z 1 ¯ ¯ v(t)dt¯¯ = |v (0:5)| = |v (0:5) − 0| = ¯¯v (0:5) − 0 ¯ ¯ ¯Z 1 ¯ Z 1 Z 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯v(0:5) dt − v(t)dt¯ = ¯ (v(0:5) − v(t)) dt¯¯ : 0 0 0 éÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ìÁÇÒÁÎÖÁ: v(0:5) − v(t) = v0 (c)(0:5 − t), ÇÄÅ c(t) ∈ [0:5; t]. ôÏÇÄÁ ¯ Z 1 ¯Z 1 ¯ ¯ 0 v (c)(0:5 − t)dt¯¯ 6 |v 0 (c)(0:5 − t)| dt = |v (0:5)| = ¯¯ 0 0 Z 1 = |v 0 (c)| · |(0:5 − t)|dt: 0 îÏ |v0 (t) 6 1|. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |v (0:5)| 6 Z 1 0 |0:5 − t|dt = Z 0:5 0 (0:5 − t)dt + Z 1 0:5 (t − 0:5)dt = 1 : 4 8. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f (x), ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÁÑ ÎÁ ×ÓÅÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÓÉ, ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ f (f (x)) = −x2011 ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ R? ïÔ×ÅÔ: ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÅ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ðÕÓÔØ s = f (0). ôÏÇÄÁ f (s) = f (f (0)) = −02011 = 0. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ s = f (0) = f (f (s)) = −s2011 . ðÏÜÔÏÍÕ s = 0. éÔÁË, s(0) = 0. ðÕÓÔØ u = f (1). ôÏÇÄÁ f (u) = f (f (1)) = −12011 = −1. ðÕÓÔØ v = f (−1). ôÏÇÄÁ f (v) = f (f (−1)) = 12011 = 1. ïÔÓÀÄÁ f (f (u)) = v, f (f (v)) = u. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (f (f (f (u)))) = u, ÔÏ ÅÓÔØ u20112 = u. ïÔÓÀÄÁ u = 0, 1 ÉÌÉ −1. òÁÚÂÅÒ£Í ÜÔÉ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ ÐÏ ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï u = 0 ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ f (u) = −1 É f (0) = 0. åÓÌÉ u = 1, ÔÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ u = f (1), ÐÏÌÕÞÁÅÍ f (1) = 1 É f (f (1)) = 1. ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. åÓÌÉ u = −1, ÔÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ f (u) = −1, ÐÏÌÕÞÁÅÍ f (−1) = −1 É f (f (−1)) = −1. é × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÉÛÌÉ Ë ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. 4 9. òÅÛÉÔÅ × ÃÅÌÙÈ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ |2x − 3y | = 1. ïÔ×ÅÔ: x = 1, y = 1; x = 2, y = 1; x = 3, y = 2. òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ x = 1 ÉÌÉ 2, ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÅÇËÏ ÎÁÊÔÉ ÐÅÒÅÂÏÒÏÍ. äÁÌÅÅ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ x > 3. òÁÚÂÅÒ£Í ÏÔÄÅÌØÎÏ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ ÚÎÁËÁ ÐÒÉ ÒÁÓËÒÙ×ÁÎÉÉ ÍÏÄÕÌÑ. ðÅÒ×ÙÊ ÓÌÕÞÁÊ 2x − 3y = 1. ôÏÇÄÁ 3y ≡ −1 mod 8, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ÷ÔÏÒÏÊ ÓÌÕÞÁÊ 2x − 3y = −1. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 3y ≡ 1 mod 8, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ Þ£ÔÎÙÈ y. ôÏÇÄÁ 2x = (3y=2 + 1)(3y=2 − 1). ëÁÖÄÙÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÓÔÅÐÅÎØÀ Ä×ÏÊËÉ. üÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ y = 2. 10. ÷ ÓÔÒÁÎÅ áÎÞÕÒÉÉ ÐÏÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÐÁÒÔÉÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÍÏÖÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÄÅÎØ. îÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÄÅÎØ ÐÏÓÌÅ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÏÎÁ ÒÁÓËÁÌÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ Ä×Å ÆÒÁËÃÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂßÑ×ÌÑÀÔ ÓÅÂÑ ÎÏ×ÙÍÉ ÐÁÒÔÉÑÍÉ. ðÒÉ ÓÏÚÄÁÎÉÉ ÌÀÂÏÊ ÐÁÒÔÉÉ ËÁÖÄÙÊ Å£ ÞÌÅÎ ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÐÁÒÔÉÊÎÙÊ ÂÉÌÅÔ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÎØ 2011 ÖÉÔÅÌÅÊ ÓÔÒÁÎÙ ÓÏÚÄÁÌÉ ÐÁÒÔÉÀ. þÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ÐÏÓÌÅ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÁÓËÏÌÏ× ÏÂÒÁÚÏ×ÁÌÉÓØ 2011 ÐÁÒÔÉÊ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ËÁÖÄÁÑ. ëÁËÏÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ É ËÁËÏÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÐÁÒÔÂÉÌÅÔÏ× ÍÏÇÌÏ ÂÙÔØ ×ÙÄÁÎÏ × ÔÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÇÏ ÐÒÏÃÅÓÓÁ? ïÔ×ÅÔ: 24095 É 2025076. òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ h(n) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÄÁÎÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×, ÅÓÌÉ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÂÙÌÁ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ÐÁÒÔÉÑ ÉÚ n ÞÌÅÎÏ×, É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÓËÏÌ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÌ ÎÁ Ä×Å ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÎÅÒÁ×ÎÙÅ ÐÏ ÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÆÒÁËÃÉÉ (ÔÏ ÅÓÔØ, ËÏÇÄÁ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÓÔÏÑÌÁ ×ÓÅÇÏ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÅÒÅÚ l(n) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÄÁÎÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÓËÏÌ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÌ ÎÁ Ä×Å ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÒÁ×ÎÙÅ ÆÒÁËÃÉÉ (ÔÏ ÅÓÔØ, ÌÉÂÏ ÎÁ ÒÁ×ÎÙÅ, ÌÉÂÏ ÎÁ ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÐÏ ÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÕ, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ Þ£ÔÎÏÓÔÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÞÌÅÎÏ× ÒÁÓÐÁÄÁÀÝÅÊÓÑ ÐÁÒÔÉÉ). éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ h(n) É l(n) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ: h(1) = 1; h(n) = h(1) + h(n − 1) + n ÐÒÉ n > 2; l(1) = 1; l(n) = l(bn=2c) + l(dn=2e) + n ÐÒÉ n > 2; 5 ÇÄÅ bxc | ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ x, dxe | ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÅ x. íÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ h(n) É l(n): n2 + 3n − 2 ; l(n) = (r + 1)n + 2s; h(n) = 2 (ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ r É s | ÔÁËÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÃÅÌÙÅ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÞÔÏ n = 2r + s É 0 6 s < 2r ). ïÎÉ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕËÃÉÉ. ÷×ÅÄ£Í ÔÁËÖÅ Ä×Å ÆÕÎËÃÉÉ h0 (n) = h(n + 1) − h(n) = n + 2; l0 (n) = l(n + 1) − l(n) = r + 3: úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÅ ÆÕÎËÃÉÉ l0 (n) É h0 (n) ÎÅÕÂÙ×ÁÀÝÉÅ. äÏËÁÖÅÍ ÐÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ, ÞÔÏ l(n) É h(n) | ÜÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÄÁÎÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×, ÅÓÌÉ ÉÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÐÁÒÔÉÑ ÓÏÓÔÏÑÌÁ ÉÚ n ÞÌÅÎÏ×. âÁÚÁ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ûÁÇ ÉÎÄÕËÃÉÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× h(n1 ) + h(n2 ) 6 h(1) + h(n − 1); l(n1 ) + l(n2 ) > l(bn=2c) + l(dn=2e) ÐÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ n1 + n2 = n. âÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ n1 + n2 = const, ÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ h(n1 ) + h(n2 ) É l(n1 ) + l(n2 ) ÔÅÍ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÎÏÓÔØ |n2 − n1 |. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ × ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÉ n1 6 n2 ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á h(n1 ) + h(n2 ) 6 h(n1 − 1) + h(n2 + 1); l(n1 ) + l(n2 ) 6 l(n1 − 1) + l(n2 + 1) ôÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÏÎÉ Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ h0 (n1 − 1) 6 h0 (n2 ); l0 (n1 − 1) 6 l0 (n2 ); ËÏÔÏÒÙÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù × ÓÉÌÕ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÒÁÎÅÅ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÊ h0 (n) É l0 (n). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÄÁÎÎÙÈ ÐÁÒÔÉÊÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ× ÒÁ×ÎÏ l(2011) = 24095, Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ | h(2011) = 2025076. 6