Эврика! Линейная функция (документ).

1
Эврика! Линейная функция
Жиленков Никита Андреевич
РФ, Курская область, г.Курск, МБОУ «СОШ №55 им. А. Невского», 7 класс
Рано или поздно всякая правильная
математическая идея находит
применение в том или ином деле.
А.Н. Крылов
Введение
Математика – один из моих самых любимых предметов. Я считаю, что ни одно
явление,
ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без
математического описания. Одним из инструментов описания реального мира является
функция.
Проблема.
На уроках алгебры в этом учебном году я познакомился с понятием линейной
функции, ее графиком и свойствами, узнал от чего зависит взаимное расположение
графиков линейных функций.
На уроках алгебры были рассмотрены частные случаи
линейной функции, понятие линейного уравнения с двумя переменными, способы
решения систем уравнений. Но я мало знал о том, где в реальной жизни
можно
встретиться с этой математической моделью.
Актуальность темы.
Мне стало интересно: с какими реальными ситуациями связано понятие
«линейная функция», т.е. между какими величинами можно установить линейные
зависимости? Каким образом устанавливается зависимость между величинами? Как
установленную зависимость можно записать, или
использовать установленные зависимости?
изобразить и каким образом
2
Гипотеза: Я предположил, что в окружающем мире есть величины, которые
связаны между собой линейными зависимостями.
Объект исследования: Таким образом,
объектом моего исследования стали
функциональные зависимости величин.
Цель:
Изучить функциональные зависимости между величинами и выявить среди
них линейные зависимости.
Задачи:
Обобщить имеющиеся знания о линейной функции;
1.
Добыть новые знания по теме проекта из различных источников
2.
информации;
3.
Выяснить, находит ли применение линейная функция в других областях
знаний, в повседневной жизни;
4.
Провести работу по выявлению зависимостей;
5.
По результатам исследования выявить линейные зависимости.
Новизна работы.
В своей работе я постарался найти на практике подтверждение существования
линейной функциональной зависимости между величинами и установил связь между
теоретическим материалом и реальными ситуациями окружающего мира.
Практическая ценность.
Я считаю, что этот проект будет полезен
моим сверстникам, желающим
расширить свои знания о линейных функциях и их приложениях.
Методы исследования:
Работа с литературой, работа в сети Интернет, сбор информации, экскурсии,
наблюдение, анализ, обобщение.
3
1. Основная часть.
1. Поиск линейных зависимостей в различных областях знаний.
1.1. Линейные зависимости в математике
С применением линейной функциональной зависимости для описания различных
реальных процессов мы столкнулись уже на уроках математики. Достаточно вспомнить,
что расстояние, пройденное пешеходом, поездом, автомашиной при постоянной скорости
движения, - линейные функции времени движения. Приведу пример математической
задачи.
Автомобиль, выехавший из пункта А в настоящее время находится от него в 10 км.
На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t часов, если он
будет двигаться в том же направлении со скоростью 10 км/ч?
Ответ будет выражаться линейной функцией вида S=10t+10.
1.1.2.Зависимость длины окружности от длины её радиуса
Опытным путём на уроке математики было установлено, что длина окружности
зависит от её радиуса. Эта зависимость выражается формулой C=2πR и является прямой
пропорциональной зависимостью с угловым коэффициентом равным 2 π.
1.1.3. Зависимость между градусными мерами смежных углов
На уроке геометрии мы познакомились со свойством смежных углов. Не трудно
заметить, что зависимость их градусных мер является линейной зависимостью, где k= -1,
b=180.
1.2. Линейные зависимости в физике
1.2.1.Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры
может быть найдена по формуле: v=331+0,6t, v – скорость в м/с, t – температура в
градусах Цельсия.
1.2.2. Длина рельсов является линейной функцией температуры: l=l0(1+at) –
линейное расширение твердых тел.
4
1.2.3. Зависимость давления жидкости на дно сосуда (P) от высоты столба
жидкости (h) – линейная зависимость и задаётся формулой: P=gρh, где ρ – плотность
жидкости, g≈10
м
с2
Я построил график зависимости, взяв в качестве жидкости воду: P=1000∙10 ∙h, т. е.
P=10000 ∙h. Эта зависимость – линейная.
1.3. Линейные зависимости в биологии, экологии и медицине
1.3.1. В биологии тоже встречаются линейные функции. Так, например, из
энциклопедии я узнал, что волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4
мм в сутки. Таким образом, имеет место формула:
l=l0+0,4t, где l – длина в мм, l0 –
первоначальная длина волос в мм, t – количество дней. Я построил график такой
зависимости.
1.3.2. А зависимость численности сине-зелёных водорослей от концентрации
общего фосфора в воде выражается следующей формулой: а=0,983р+50,6, где а –
численность сине-зелёных водорослей, р – концентрация общего фосфора. Эта
зависимость – линейная, и её можно использовать для прогнозирования качества воды.
Показателем качества воды служит количество сине-зелёных водорослей. Чем их больше,
тем хуже качество воды. На численность сине-зелёных водорослей влияет концентрация
фосфорного удобрения, попадающего в водоёмы вместе с талой водой.
1.3.3.Медиками установлено, что для нормального развития ребёнок или
подросток, которому Т лет (Т<18) должен спать t часов. Зависимость продолжительности
Т
сна t (ч) от возраста человека T (лет) задаётся формулой t=17 - 2.Таким образом, после
рождения ребёнок должен спать не менее 17 часов.
1.4. Линейные зависимости в географии
А эта линейная зависимость была обнаружена в кабинете географии на карте
города Курска с масштабом 1:80000
5
Это означает, что расстояние на местности в 80000 раз больше, чем расстояние на
карте. В переводе на язык функций получаем линейную зависимость: L= 80000 l, где L –
расстояние на местности, l – расстояние на карте.
1.5. Линейные зависимости в литературе
Есть ли линейные функции в устном народном творчестве, например, в
поговорках? Вероятно, да! Вот как, на мой взгляд, можно изобразить некоторые из них с
помощью графиков линейных функций.

Чем дальше в лес, тем больше дров
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)

Много снега - много хлеба
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)

Дальше в спор - больше слов
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)

Больше почёт, больше хлопот.
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)

Как аукнется – так и откликнется. (y=x)

Тише едешь – дальше будешь
(прямая пропорциональность, к – меньше нуля)
6

Долго думал, да ничего не выдумал.
(линейная функция, к=0)

Светит, но не греет
(ось абсцисс)
2. Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни.
Открытия, сделанные в первой части работы, подтолкнули меня к мысли,
что линейные зависимости окружают нас и в повседневной жизни. Я отправился собирать
необходимую информацию и проводить новые исследования. Эта работа оказалась не
менее увлекательной и интересной. Она побудила меня к творческому процессу: мне
захотелось самому найти линейные зависимости в нашей реальной жизни, вывести их
задающие формулы, построить графики этих зависимостей.
Кстати, следует заметить, что скорость развития общества находится в
прямо пропорциональной зависимости от скорости обмена информации, поэтому я
торопился.
2.1. Зависимость цены букета от количества роз
Мое первое исследование должно было ответить на вопрос: «Как зависит цена
букета (у)
от количества роз (х)?» Мной была собрана информация, произведены
подсчёты, составлена формула зависимости,
по полученным данным построены
диаграмма и график зависимости.
Стоимость упаковки
Стоимость одной розы
100 рублей
90рублей
х
3
5
7
9
11
у
370
550
730
910
1090
y  90  x  100
7
После чего мной был сделан вывод: «Зависимость цены букета от количества роз –
линейная зависимость».
2.2. Зависимость калорийности молочного продукта от его жирности
Чтобы ответить на вопрос «Как зависит калорийность молочного продукта от его
жирности?» я отправился в магазин. После сбора информации я увидел, что с
увеличением процента жира в сметане калорийность продукта увеличивается.
Массовая доля жира в продукте, (х)
Калорийность продукта, (у)
10%
115ккал
15%
162ккал
20%
204ккал
25%
250ккал
30%
291ккал
8
Тогда я предположил, что эта зависимость линейная и сделал подсчёты.
204  20  k  b,

291  30  k  b;
Решив систему уравнений, нашёл к и в, составил формулу зависимости.
y  8,7 x  30
х
10
у
117
15
160,5
20
204
25
247,5
30
291
После чего сделал проверку остальных значений по формуле и построил точки в
координатной плоскости.
9
Сделал вывод: эта зависимость линейная.
Такие же расчеты я провёл для молока.
Массовая доля жира в продукте, (x)
Калорийность продукта, (y)
0,5%
31 ккал
1,5%
44 ккал
2,5%
53 ккал
3,2%
58 ккал
3,5%
61 ккал
4,5%
71 ккал
6%
84 ккал
44  1,5  k  b,

53  2,5  k  b;
y  9 x  30,5
х
0,5
1,5
у
35
44
2,5
53
3,2
59,3
3,5
4,5
6
62
71
84,5
10
Хотя в последнем случае точки достаточно разбросаны, всё же можно провести
аппроксимирующую (т.е. приближённую) прямую, вдоль
которой они расположены.
Учитывая, что некоторые собранные данные о калорийности продуктов были округлены
мной до целых, можно считать такое приближение вполне разумным. Таким образом,
зависимость калорийности молочного продукта от его жирности является линейной
функцией.
2.3. Зависимость цены билета от зоны пункта назначения
Для проведения следующего исследования мне пришлось отправиться на
железнодорожный вокзал города Курска и познакомиться со схемой расположения
остановочных пунктов в пригородных направлениях. Так я выяснил, что стоимость
проезда одной зоны составляет 15 рублей. Не трудно было заметить, что:
Номер зоны ,(х)
Цена билета, (у)
1
15 рублей
2
30 рублей
3
45 рублей
4
60 рублей
5
75 рублей
6
90 рублей
7
105 рублей
y  15  x
11
Зависимость цены билета от зоны пункта назначения – линейная зависимость.
2.4. Зависимость цены доставки посылки от её массы
При отправлении посылки сам собой возник вопрос: «Как зависит цена доставки
посылки от её массы?» В филиале ФГУП «Почта России» я узнал, что:
Расстояние и способы пересылки
По первому магистральному
Плата за массу до 500 г (до 10
Плата за каждые
кг, с максимальным размером
последующие
425*265*380 мм)
полные/неполные 500 г
130,9 руб.
10 руб.
132,7 руб.
11,6 руб.
138,1 руб.
16,9 руб.
поясу до 600 км включительно
По второму магистральному
поясу от 600 км до 2000 км
включительно
По третьему магистральному
поясу от 2000 км до 5000 км
включительно
12
Мои подсчёты для трёх магистральных поясов:
х
у
0
130,9
Х
У
у
140,9
0
138,1
2
144,3
0
2
150,9
1
132,6
х
1
155,9
1
155
y  10 x  130,9
3
5
160,9
170,9
180,9
3
4
5
167,5
179,1
190,7
2
171,9
4
3
188,8
y  11,6 x  132,7
4
205,7
5
223,6
y  16,9 x  138,1
13
Итак, зависимость цены доставки посылки от количества дополнительных 500 г её
веса – линейная.
2.5. Зависимость стоимости поездки в такси от расстояния
Как зависит стоимость поездки в такси от расстояния?
Для ответа на этот вопрос достаточно знать, что:
Стоимость подачи такси
Стоимость одного километра поездки
30 рублей
7рублей
y  7 x  30
Тогда,
х
0
1
2
3
4
5
у
30
37
44
51
58
65
14
Таким образом, зависимость стоимость поездки в такси (у) от расстояния (х) –
линейная функция.
Заключение.
Конечно, проведенные мной исследования нельзя считать исчерпывающими.
Остается много вопросов о линейности и нелинейности окружающих величин.
Но, я
считаю, что цель моей работы достигнута и выдвинутая мною гипотеза о том, что в
окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными
зависимостями нашла свое подтверждение. Надеюсь, что этот проект будет полезен моим
сверстникам, желающим расширить свои знания о линейных функциях и их приложениях.
15
Литература.
1.
Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей «Математика», том 11 – М.:
Аванта+, 2000 г.
2.
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике - М.: Просвещение, 1985 г.
3.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике - М.: Наука, 1973 г.
4.
Есипенко Г.Е. Математика в жизни – Новосибирское книжное издательство,
5.
Муравин Г. К., «Исследовательские работы в школьном курсе алгебры»,
1970 г.
журнал «Математика в школе» №1, 1990 г.
6.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры / книга для учащихся./ - М.:
Просвещение, 1990 г.
7.
Савин А. П.. Энциклопедический словарь юного математика – М.:
Педагогика, 1989 г.
8.
Савин и др. Я познаю мир: математика: детская энциклопедия: математика
– М.: АСТ, 1995 г.
9.
Татьянкин Б.А. Исследовательская деятельность учащихся в профильной
школе – М.: 5 за знания, 2007 г.