Левоинвариантные формы на группе Ли и их свойства

ОПИСАНИЕ ООП ПО НАУЧНОЙ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
Научная специальность
01.01.04 – Геометрия и топология
Уровень образования
послевузовское профессиональное образование
Нормативный срок обучения
3 года
Форма обучения
очная
Срок действия государственной
аккредитации образовательной
программы
до 29 мая 2015,
копия свидетельства о государственной
аккредитации
Федеральные
государственные
требования
Утверждены приказом Министерства образования
и науки Российской Федерации от 16 марта 2011
года № 1365 (зарегистрировано в Минюсте РФ 10
мая 2011 г. № 20700)
Федеральные государственные требования устанавливают требования к структуре
основной
профессиональной
образовательной
программы
послевузовского
профессионального образования для обучающихся в аспирантуре, в том числе
соотношение частей образовательной программы послевузовского профессионального
образования и их объемы.
Основная профессиональная образовательная программа (ООП) послевузовского
профессионального образования, реализуемая вузом по специальности 01.01.04 –
Геометрия и топология, представляет собой систему документов, разработанную и
утвержденную высшим учебным заведением с учетом требований рынка научных и научнопедагогических кадров на основе Федеральных государственных требований к структуре
ОПОП послевузовского профессионального образования.
ООП регламентирует цели, ожидаемые результаты, содержание, условия и
технологии реализации образовательного процесса, оценку качества подготовки аспиранта
по данной специальности и включает в себя: учебный план, рабочие программы дисциплин
(модулей) и другие материалы, обеспечивающие качество подготовки аспирантов, а также
программы практик, календарный учебный график и методические материалы,
обеспечивающие реализацию соответствующей образовательной технологии.
Выпускники аспирантуры являются научными кадрами высшей квалификации,
способными самостоятельно ставить и решать научные и производственные проблемы, а
также проблемы образования в различных областях математики, механики.
Выпускник аспирантуры является специалистом высшей квалификации и
подготовлен:

к самостоятельной (в том числе руководящей) научно-исследовательской
деятельности, требующей широкой фундаментальной подготовки в современных
направлениях отраслевой науки, глубокой специализированной подготовки в выбранном
направлении, владения навыками современных методов исследования;

к научно-педагогической работе в высших и средних специальных учебных
заведениях различных форм собственности.
Полный текс ООП
Перечень учебных дисциплин и копии рабочих программ
Аннотации к рабочим программам
ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ
Обязательные дисциплины:
История
и философия
науки
Программа дисциплины предназначена для освоения аспирантами
при подготовке к сдаче кандидатского экзамена по истории и
философии науки. Изучение дисциплины требует знания
философии в объеме программы магистратуры.
Освоение дисциплины предусматривает изучение разделов:
природа техники, ее место и функции в общественной жизни.
Исторические этапы развития техники и ее влияние на
современное общество. Методологическое обеспечение
исторических наук. Взаимосвязь естественных наук с
техническими и гуманитарными. Предмет философии науки.
Возникновение науки и основные стадии ее исторической
эволюции. Закономерности развития науки. Динамика порождения
нового знания. Научная теория. Структура и функции научной
теории. Принципы построения и обоснования научных теорий.
Методы научного познания. Диалектика, синергетика, системный
подход. Особенности современного этапа развития науки.
Перспективы научно-технического прогресса.
Иностранный
язык
Программа дисциплины предназначена для освоения аспирантами
при подготовке к сдаче кандидатского экзамена по иностранному
языку. Изучение дисциплины требует знания иностранного языка в
объеме магистратуры.
Данная дисциплина необходима для расширения языковой
компетенции в сфере иноязычной культуры профессионального
общения и повышения общего культурного уровня.
Дисциплина предусматривает овладение языковой нормой в
рамках курса, избирательностью и вариативностью в выборе
языковых средств, восприятием иностранной речи на слух,
навыками делового общения в рамках выбранного направления.
Геометрия и
топология
Программа дисциплины предназначена для освоения аспирантами
при подготовке к сдаче кандидатского экзамена по геометрии и
топологии. Изучение дисциплины требует знания математики в
объеме программы бакалавриата или магистратуры. Настоящая
дисциплина охватывает основополагающие разделы топологии
гладких многообразий, дифференциальной геометрии и теории
основных геометрических структур на гладких многообразиях.
Топология гладких многообразий. Гомотопическая
эквивалентность. Гомотопические классы отображений.
Фундаментальная группа топологического пространства.
Гомологии и когомологии. Когомологии ДеРама и Чеха.
Когомологии проективных пространств. Гомологии многообразий
Грассмана, клетки Шуберта. Накрытия. Лемма о накрывающей
гомотопии. Универсальное накрытие. Накрытие и
фундаментальная группа. Аксиома о накрывающей гомотопии и
расслоение в смысле Серра. Локально тривиальные расслоения.
Точная гомотопическая последовательность расслоения. Основные
понятия теории препятствий.
Дифференциальная геометрия. Теория кривых и поверхностей в
трехмерном пространстве: натуральный параметр, кривизна и
кручение кривой, формулы Френе, первая и вторая квадратичные
формы поверхности, гауссова и средняя кривизны, главные
направления и главные кривизны, теорема Менье и формула
Эйлера. Деривационные формулы. Риманова метрика и римановы
многообразия. Подмногообразия в евклидовом пространстве и
индуцированная метрика. Геометрия Лобачевского. Проективная
геометрия.
Геометрические структуры на гладких многообразиях: риманова,
почти комплексная, эрмитова, комплексная, кэлерова. Понятие о
препятствиях к существованию структур. Симплектическая
структура. Примеры симплектических многообразий. Теорема
Дарбу. Существование почти комплексной структуры на
симплектическом многообразии. Скобка Пуассона. Примеры
пуассоновых многообразий. Гамильтоновы векторные поля и
гамильтоновы системы. Первые интегралы гамильтоновых систем.
Контактные структуры и контактные многообразия. Примеры.
Слоения и распределения. Теорема Фробениуса.
Дисциплины по выбору аспиранта:
Дифференцируемые Гладкие многообразия. Криволинейные координаты. Гладкие
отображения и дифференциал. Диффеоморфизм.
многообразия
Подмногообразия. Ориентация. Касательные векторы и
касательные расслоения. Примеры гладких многообразий. Тензоры
и тензорные поля на гладких многообразиях. Симметрические и
кососимметрические тензоры. Производная Ли. Внешние
дифференциальные формы, внешнее дифференцирование.
Интегрирование внешних дифференциальных форм. Формула
Стокса. Точные и замкнутые формы. Когомологии де Рама.
Теорема де Рама (без доказательства). Оператор Лапласа и
гармонические формы. Двойственность Пуанкаре.
Вложения и погружения. Теорема Уитни о вложении и погружении
в евклидовы пространства. Субмерсии и гладкие расслоения.
Особые и регулярные точки гладких отображений. Лемма Сарда
(формулировка). Степень отображения, ее гомотопическая
инвариантность. Применения степени отображения. Степень
отображения и интеграл. Теорема Гаусса—Бонне. Расслоение
Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в
двумерную. Инвариант Хопфа. Индекс особой точки векторного
поля и теорема Эйлера—Пуанкаре.
Исчисление струй. Топологии Уитни в пространствах гладких
отображений. Теоремы трансверсальности. Теорема
трансверсальности Тома и ее следствия: лемма Морса, слабая
теорема Уитни.
Классификация двумерных замкнутых поверхностей. Группы
гомологий и фундаментальные группы двумерных поверхностей.
Узлы и зацепления.
Группы
и алгебры Ли
Определение группы Ли. Примеры матричных групп Ли. Пример
нематричной группы Ли. Гомоморфизмы групп Ли. Подгруппы Ли.
Алгебра Ли. Примеры алгебр Ли. Левоинвариантные векторные
поля и их свойства. Алгебра Ли группы Ли. Примеры алгебр Ли
матричных групп. Алгебра Ли группы вращений трехмерного
пространства. Структурные константы алгебры Ли. Матричная
экспонента. Однопараметрические подгруппы. Нормальные
координаты.
Левоинвариантные формы на группе Ли и их свойства.
Каноническая форма Маурера-Картана. Накрывающие
пространства. Элементы теории представлений. Инвариантные
подпространства. Неприводимые, вполне приводимые
пространства. Теорема Шура. Матричные элементы
представлений. Присоединенное представление. Форма КиллингаКартана. Пример группы SU(2).
Полупростые алгебры Ли. Разрешимые и нильпотентные алгебры
Ли. Структура полупростых алгебр Ли. Подалгебра Картана.
Корни. Примеры.
Геометрия
однородных
пространств
Группа Ли. Действие группы на многообразии. Однородное
пространство. Транзитивное действие. Стационарная подгруппа.
Грассманово многообразие. (Вещественно, комплексно,
кватернионно) проективное пространство, многообразие Штифеля.
Риманово однородное пространство. Форма Киллинга-Картана.
Инвариантная метрика на однородном пространстве. Кривизна
Римана. Кривизна Риччи. Скалярная кривизна.
Понятие симметрического пространства. Примеры
симметрических пространств. Классификация симметрических
пространств.
Расслоенные
пространства
и связности
Расслоенные пространства. Морфизмы расслоений. Произведения
и суммы Уитни расслоений. Локально тривиальные расслоения.
Векторные расслоения. Главные расслоенные пространства.
Ассоциированные расслоения.
Связности в главном расслоенном пространстве. Параллельный
перенос слоёв вдоль кривой в главном расслоенном пространстве.
Группы голономии. Форма кривизны и структурное уравнение
связности в главном расслоенном пространстве. Отображения
связностей. Теорема редукции. Теорема о голономии. Плоские
связности. Инвариантные связности. Связности векторном
расслоении. Ковариантная производная для связности в векторном
расслоении. Линейные связности. Примеры. Тензоры кручения и
кривизны линейной связности и их свойства. Выражения
связности, тензоров кручения и кривизны в локальных
координатах. Тождество Бьянки. Параллельный перенос линейной
связности. Аффинные связности. Геодезические линейной
связности. Символы Кристоффеля. Аффинные отображения и
аффинные преобразования. Инфинитезимальные аффинные
преобразования. Римановы связности. Тензор кривизны Римана,
тензор Риччи и скалярная кривизна.
Характеристические классы. Гомоморфизм Вейля. Инвариантные
полиномы. Классы Черна. КлассыПонтрягина. Классы Эйлера.
Риманова
геометрия
Римановы многообразия. Существование римановой структуры.
Риманова связность. Связность Леви-Чевита, ее существование.
Пример римановой связности и параллельного переноса на сфере.
Геодезические и нормальные координаты. Тождества для кривизн.
Тензор Риччи и скалярная кривизна. Секционная кривизна.
Эйнштейновы метрики. Конформно эквивалентные метрики.
Подмногообразия в Rn . Иммерсии и вложения. Гиперповерхности
в Rn. Первая и вторая фундаментальные формы. Формулы Гаусса и
Вейнгартена. Гауссова и средняя кривизны, главные направления и
главные кривизны.
Алгебраическая
топология
Путь в топологическом пространстве. Произведение путей.
Гомотопия. Петля. Фундаментальная группа. Действие
непрерывного отображения на фундаментальную группу.
Фундаментальная группа окружности. Теорема Брауэра о
неподвижной точке. Фундаментальная группа произведения.
Гомотопический тип и гомотопическая эквивалентность
пространств. Свободные группы. Теорема Зейферта-Ван Кампена.
Применение теоремы Зейферта-Ван Кампена.
Цепные комплексы. Гомологии цепных комплексов. Группа
гомологий цепного комплекса. Понятие симплекса.
Симплициальный комплекс. Барицентричекие координаты. Группы
симплициальных гомологий симплициальных комплексов. Циклы.
Границы. Примеры вычисления групп гомологий. Гомологии
двумерных поверхностей. Группы сингулярных гомологий.
Свойства групп сингулярных гомологий. Аксиомы теории
гомологий. Гомологии клеточного комплекса. Когомологии.
Когомологии де Рама.
Факультативные дисциплины:
Педагогика и
психология
высшей школы
Изучение курса по проблемам педагогики высшей школы
предполагает овладение знаниями о педагогической деятельности.
Теоретические знания, которыми овладевают аспиранты, дают
возможность познакомиться с сущностными характеристиками
этой деятельности, сформулировать свою педагогическую
позицию. Изучение курса способствует пониманию
педагогических основ процесса развития обучающегося как
будущего профессионала, грамотной организации педагогического
процесса в различных типах учебных заведений и его
совершенствованию в изменяющихся социально-экономических
условиях.
История
педагогики и
образования
В ходе освоения дисциплины «История педагогики и
образования» у аспирантов формируется и развивается историкопедагогическое мышление, а также умение видеть проблемы
современного образования и находить возможные пути их
разрешения с использованием адекватных методологических
подходов и методического инструментария. Изучение данной
дисциплины позволяет аспирантам расширить
общепедагогический и общекультурный кругозор; выработать
собственные профессионально-оценочные суждения к
педагогическому наследию прошлого и умение выбирать в нем
рациональные элементы актуальные для педагогики наших дней;
научиться
системному, концептуальному видению ситуаций и процессов в
области педагогики и образования; выявить проблемы и
противоречия в педагогической теории и практике; освоить
теоретические основы проектирования, организации и
осуществления современного образовательного процесса с позиций
исторического развития; сформировать положительную мотивацию
к исследовательской работе в области педагогики и образования. В
ходе освоения дисциплины у аспирантов формируются не только
знания и умения в области педагогики, но и личностнопрофессиональные качества, профессиональные позиции.
Психология
развития и
деятельности
человека
Данный курс предполагает развитие научного психологического
мышления; основывается на умении анализировать факты
развития; различать стратегии, методы и методики исследования
развития ребенка, подростка, взрослого, пожилого человека; за
внешней картиной поведения человека выделять возрастные
закономерности развития. Курс ориентирован на углубление
представления о направлении, углубление представления о
возрастной психологии развития как фундаментальной отрасли
психологии и ее роли в решении научно-исследовательских,
диагностических и развивающих (коррекционных) задач
современной психологии. В учебной программе особое внимание
уделяется освещению основных современных методологических
подходов к исследованию проблем изменчивости психики и ее
основных форм в образовательной среде; ознакомлению
аспирантов с современным состоянием знаний о решении
фундаментальных психологических проблем, таких как проблема
возраста, развития, его условий, движущих сил, цели;
изменчивости психики в образовательной среде. Целью освоения
дисциплины являются формирование у аспирантов научного
мировоззрения, вооружение знанием основных закономерностей
развития психики человека с ориентацией на достижение зрелости
в разные возрастные периоды, обеспечение подготовки высококвалифицированных специалистов, обладающих глубокими
знаниями в области современной возрастной психологии и
психологии развития, владеющих научно-исследовательскими
методами работы, навыками самоанализа развития и способных к
самостоятельной деятельности.
Основы
профессиональной
деятельности и
педагогического
мастерства
преподавателя вуза
Предлагаемый курс ориентирован на раскрытие целевых
установок, основных принципов, закономерностей и механизмов
профессиональной деятельности преподавателя вуза.
Актуализируется необходимость и возможности достижения
творческого уровня профессионального мастерства за счет
овладения педагогической техникой, развития педагогических
способностей и умений, расширения функционально-ролевого
репертуара современного преподавателя вуза. Практико-ориентированный характер занятий обеспечивает результативность
формирования индивидуального стиля педагогической
деятельности, развитие педагогического мышления, За счет
расширения представлений о механизмах
научного творчества, формируется практическая готовность к
преподавательской и самостоятельной научно-исследовательской
деятельности
Технологии
профессиональноориентированного
обучения
Курс ориентирован на теоретическую и практическую подготовку
аспирантов в области использования в учебном процессе вуза
современных технологий обучения традиционного и
нетрадиционного типов. Цель освоения дисциплины: дать общее
теоретическое и практическое представление о современных
технологиях профессионально - ориентированного обучения,
которые могут использоваться в системе профильной и высшей
школы. В основе курса – теоретический и практический блоки,
позволяющие расширить и систематизировать знания аспирантов в
области современных образовательных технологий, а также помочь
педагогам в выборе оптимальной стратегии преподавания в
зависимости от уровня подготовки обучающихся. В процессе
занятий рассматриваются следующие основные вопросы:
традиционные («Технология полного усвоения знаний»,
«Технология уровневой дифференциации, «Технология
концентрированного обучения», «Технология модульного и
проблемно-модульного обучения», «Технология КОС» и др.) и
нетрадиционные технологии обучения («Технология «УниверСАМ
инноваций», «Технология создания шпаргалки», «Технология
витагенного обучения с голографическим методом проекций» и
др.); методические и технологические проблемы современной
дидактики высшей школы (на примерах ряда конкретных
дисциплин); анализируются основные виды и формы учебной
деятельности преподавателя в вузе (технологии подачи учебного
материала в виде нестандартных лекционных и практических
занятий); рассматривается влияние содержания конкретной
дисциплины на выбор технологии обучения.
Педагогическая
инноватика
Цели и содержание предлагаемого курса направлены на
формирование аспирантами современных представлений по
вопросам организации инновационных процессов в образовании и
педагогической практике. Продуктивность
нововведений в образовании связана с необходимостью
теоретического осмысления, практического владения и гибкого
использования новых технологий. Эффективность деятельности
преподавателя зависит от уровня его профессионального
мастерства, качества подготовки, переподготовки и повышения
квалификации в различных видах учреждений общего,
профессионального и дополнительного образования, предметных и
отраслевых областях. Совершенствование профессиональной
деятельности преподавателя будет способствовать его участию в
инновационных процессах в области образования
Нормативноправовые
основы
высшего
профессионального
образования
Образовательное законодательство РФ и особенности.
Государственные образовательные стандарты. Нормативноправовые и организационные основы деятельности
образовательных учреждений. Правовой статус преподавателей и
студентов. Правовое регулирование управления качеством
образования. Основные правовые акты международного
образовательного законодательства и правовые аспекты вхождения
российского образования в мировое образовательное пространство
Практика:
Педагогическая
практика
Освоение основ педагогической и учебно-методической работы в
высших учебных заведениях, овладение педагогическими
навыками проведения отдельных видов учебных занятий и
подготовки учебно-методических материалов по специальности
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ СОТАВЛЯЮЩАЯ
Научно-исследовательская работа аспиранта и выполнение диссертации на
соискание учёной степени кандидата наук
Подготовка к защите диссертации на соискание учёной степени кандидата наук
Требования к организации практик.
Научно-педагогическая практика проводится на кафедрах высшего учебного заведения и
предназначена для ознакомления аспиранта с организацией и методическим обеспечением
преподавания математических дисциплин в вузе и приобретения опыта непосредственной
педагогической работы со студентами.
Форма выполнения задач научно-педагогической практики:

участие в разработке и постановке новых лабораторных работ, проведение
лабораторных занятий;

руководство НИРС на кафедре;

чтение лекций по отдельным разделам выбранной профильной дисциплины (при
контроле преподавателя – наставника);

участие в написании методических указаний для проведения лабораторных и
практических занятий по дисциплинам кафедры.
Обеспеченность основной учебной и методической литературой всех дисциплин
ООП соответствует федеральным государственным требованиям.
Учебный план ООП