А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О

реклама
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
скалярное произведение
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
1 / 12
Скалярное произведение векторов I
Определение
→
−
−
Углом между двумя векторами →
a и b называется угол, не превосходящий π,
→
−
→
−
−
−
между векторами →
a 0 и b 0 , равными →
a и b соответственно и имеющими общее
начало.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
2 / 12
Скалярное произведение векторов II
Определение
→
−
→
−
−
−
Скалярным произведением →
a · b двух векторов →
a и b называется
произведение их модулей на косинус угла между ними, т. е.
→
−
→
−
→
−
−
a · b = |→
a | · | b | cos ϕ.
→
− →
→
−
→
−
−
−
−
Если →
a = 0 или b = 0 , то →
a · b = 0,
√
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
a ·→
a = |→
a |2 , т. е. |→
a|= →
a ·→
a , причём →
a ·→
a > 0, если →
a — ненулевой
вектор.
Определение
Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
3 / 12
Скалярное произведение векторов III
Свойства скалярного произведения
1
2
3
4
→
−
→
− −
→
−
a · b = b ·→
a (коммутативность);
→
−
→
−
→
−
−
λ( a · b ) = (λ→
a ) · b (ассоциативность относительно числового множителя);
→
− −
→
− −
−
−
−
(→
a + b )·→
c =→
a ·→
c + b ·→
c (дистрибутивность относительно суммы
векторов);
→
−
−
−
−
−
−
a ·→
a > 0, если →
a — ненулевой вектор; →
a ·→
a = 0, если →
a — нулевой вектор.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
4 / 12
Скалярное произведение векторов IV
Теорема 1.
→
−
−
Скалярное произведение двух векторов →
a и b , заданных в произвольной
→
−
−
→
−
→
−
a (x1 , y1 , z1 ) и
аффиной системе координат O e 1 e 2 e 3 своими координатами →
→
−
b (x2 , y2 , z2 ), находятся по формуле
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
a · b = x 1 x 2 (→
e 1 ·→
e 1 )+(x1 y2 +x2 y1 )(→
e 1 ·→
e 2 )+y1 y2 (→
e 2 ·→
e 2 )+(x1 z2 +x2 z1 )(→
e 1 ·→
e 3 )+
−
−
−
−
+(y1 z2 + y2 z1 )(→
e2·→
e 3 ) + z 1 z 2 (→
e2·→
e 2 ).
Определение
−
−
Величины gij = →
ei ·→
e j , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, называются метрическими
−
−
−
e 3.
e 2→
коэффициентами системы координат O→
e 1→
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
5 / 12
Скалярное произведение векторов V
−
Следствие 1. Модуль произвольного вектора →
a (x1 , y1 , z1 ) в произвольной аффинной системе координат вычисляется по формуле
−
|→
a|=
√
→
−
−
a ·→
a =
q
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
x21 g11 + y12 g22 + z12 g33 + 2x1 y1 g12 + 2x1 z1 g13 + 2y1 z1 g23 .
2013г.
6 / 12
Скалярное произведение векторов VI
→
−
−
Следствие 2. Угол ϕ между двумя векторами →
a (x1 , y1 , z1 ) и b (x2 , y2 , z2 ) в
→
−
→
−
→
−
аффинной системе координат O e 1 e 2 e 3 находится по формуле
ϕ = arccos
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
→
−
→
−
a · b
→
− .
−
|→
a|·| b|
2013г.
7 / 12
Скалярное произведение векторов VII
Следствие 3. Для ДПСК справедливы формулы:
p
→
−
−
−
n=3: →
a · b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 , |→
a | = x21 + y12 + z12 ,
x 1 x 2 + y1 y2 + z 1 z 2
p
ϕ = arccos p
;
x21 + y12 + z12 · x22 + y22 + z22
p
→
−
−
−
a · b = x1 x2 + y1 y2 , |→
a | = x21 + y12 ,
n=2: →
x 1 x 2 + y1 y2
p
;
ϕ = arccos p
x21 + y12 · x22 + y22
→
−
x1 x2
−
−
a · b = x1 x2 , |→
a | = |x1 |, ϕ = arccos
n=1: →
.
|x1 | · |x2 |
Расстояние между двумя точками A(xA , yA , zA ) и B(xB , yB , zB ) в трёхмерном
−→
пространстве равно модулю вектора AB(xB − xA , yB − yA , zB − zA ), то в ДПСК
получаем следующие формулы:
p
n = 3 : d(A, B) = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 ;
p
n = 2 : d(A, B) = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ;
n = 1 : d(A, B) = |xB − xA |.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
8 / 12
Скалярное произведение векторов VIII
Теорема 2.
Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых
→
−
−
векторов в трёхмерном пространстве →
a (x1 , y1 , z1 ) и b (x2 , y2 , z2 ), заданных в
ДПСК своими координатами
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
9 / 12
Скалярное произведение векторов IX
Теорема 3.
−
Декартовы прямоугольные координаты вектора →
a (x1 , y1 , z1 ) равны скалярным
произведением этого вектора на соответствующие базисные векторы:
→
−
−
x1 = →
a · i,
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
→
−
−
y1 = →
a · j,
→
−
−
z1 = →
a · k.
2013г.
10 / 12
Скалярное произведение векторов X
−−→
−
Рассмотрим в ДПСК вектор OM , приведённый в общее начало с ортом →
e.
Определение
−
Косинусы углов α, β, γ, которые составляет орт →
e с базисными векторами
−
−−→
→
− →
− →
i , j , k , называются направляющими косинусами вектора OM .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
11 / 12
Скалярное произведение векторов XI
Теорема 4.
Направляющие косинусы векторов суть координаты орта данного вектора.
Следствие. Для направляющих косинусов справедливо соотношение cos2 α +
cos β + cos2 γ = 1.
2
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
12 / 12
Скачать