Геометрия и топология I. Элементы векторной алгебры в пространстве 1) Геометрическое векторное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость векторов и их геометрический смысл. Базис векторного пространства. Координаты векторов относительно базиса. Теорема о размерности геометрического векторного пространства. 2) Скалярное произведение векторов. Свойства и применение к решению задач. Векторное и смешанное произведения векторов. Их свойства. Площадь параллелограмма и треугольника. Объем параллелепипеда и тетраэдра. Приложения к решению задач. II. Плоскости и прямые пространства 3) Способы задания плоскостей и прямых пространства. Взаимное расположение плоскостей. Взаимное расположение прямых, взаимное расположение прямой и плоскости. 4) Расстояние от точки до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми. 5) Приложения теории плоскости и прямой к решению задач школьного курса геометрии. III. Линии и поверхности второго порядка 6) Эллипс, гипербола и парабола и их основные свойства. 7) Асимптотические направления линий второго порядка. Центры и диаметры линий второго порядка и их основные свойства. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Классификация линий второго порядка. 8) Типы поверхностей второго порядка. Поверхности вращения, цилиндрические и конические поверхности. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. IV. Преобразования плоскости и их приложение к решению задач 9) Движения плоскости и их свойства. Классификация движений. Группа движений и ее подгруппы. Применение движений к решению задач. 10) Преобразования подобия и их свойства. Применение подобия к решению задач. Группа подобий и ее подгруппы. 11) Аффинные преобразования плоскости и их свойства. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Перспективно-аффинные преобразования, их свойства и типы. Применение аффинных преобразований к решению задач. V. Методы изображений 12) Изображения плоских фигур в параллельной проекции и их связь с аффинными отображениями плоскостей. Теорема Польке-Шварца. 13) Изображение пространственных фигур в параллельной проекции. Аксонометрическое проектирование. Позиционные задачи на изображение в параллельной проекции. Примеры построения сечений многогранников. VI. Квадратичные формы и квадрики 14) Квадратичная форма и ее ранг. Приведение квадратичной формы к нормальному виду. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы. 15) Аффинное n-мерное пространство. Аксиомы Вейля. k-плоскости. Квадрики в аффинном пространстве. Аффинная классификация квадрик. 16) Евклидово n-мерное пространство. Основные понятия евклидова пространства по Вейлю. Понятия равенства отрезков и длины отрезка. Примеры доказательства теорем. Квадрики в трехмерном евклидовом пространстве. VII. Проективная геометрия 17) Проективная плоскость и ее свойства. Модели проективной плоскости. Проективный репер и проективные координаты точек и прямых. Принцип двойственности. Прямая и обратная теоремы Дезарга. 18) Двойное отношение четверки коллинеарных точек и его свойства. Гармонические четверки точек и их связь с полными четырехвершинниками. 19) Проективные преобразования проективной плоскости и их свойства. 1 20) Гомология и ее свойства 21) Аналитическое задание проективных преобразований. 22) Проективные и перспективные отображения прямых и пучков. Инволюция. 23) Линии второго порядка на проективной плоскости. Полюс и поляра. Поляритет. Прямая и обратная теоремы Штейнера. VIII. Элементы геометрии Лобачевского 24) Плоскость Лобачевского. Параллельные и расходящиеся прямые на плоскости Лобачевского и их свойства. Угол параллельности и функция Лобачевского. Свойства треугольников на плоскости Лобачевского. 25) Три типа пучков прямых на плоскости Лобачевского. Окружность, эквидистанта и орицикл и их основные свойства. 26) Гиперболическое пространство Лобачевского. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского. IX. Топология 27) Топология и топологические пространства. Примеры. Метрическая и евклидова топологии. Подпространства топологического пространства. 28) Внутренние, внешние и граничные точки подмножеств топологического пространства. Оператор замыкания и его свойства. 29) Связные и несвязные топологические пространства и их свойства. Примеры. Строение несвязных топологических пространств. Компоненты связности и их свойства. 30) Базы топологии. Определение топологии посредством базы. Первая и вторая аксиомы счетности. Примеры пространств, удовлетворяющих этим аксиомам. Сепарабельность и ее связь со второй аксиомой счетности. 31) Аксиомы отделимости. Примеры и свойства T0 – и T1 –пространств, нормальных пространств. Нормальность метрических пространств. 32) Компактные топологические пространства и их основные свойства. 33) Счетная компактность и ее связь с компактностью. Критерии счетной компактности. Критерии компактности подмножеств метрических и евклидовых пространств. X. Дифференциальная геометрия 34) Кручение и кривизна пространственной кривой. Формулы Френе. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. 35) Нормальная кривизна линии на поверхности. Индикатриса Дюпена. Главные направления и главные кривизны. Теорема Родрига. Линии кривизны. Средняя и полная кривизны поверхности. 36) Деривационные формулы. Внутренняя геометрия поверхности. Теорема egregium. 37) Геодезические линии. Полугеодезическая система координат.Дефект геодезического треугольника. Формула Гаусса - Бонне. 2