изучение распределения броуновских частиц по высоте

Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Кафедра теоретической и экспериментальной физики
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан ЕНМФ
_________________ И.П. Чернов
« 14 »
мая
2002 г.
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БРОУНОВСКИХ
ЧАСТИЦ ПО ВЫСОТЕ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА
Методические указания к выполнению лабораторной работы
КомпТ – 01 по курсу «Общая физика» для студентов всех
специальностей
Томск – 2002
УДК 53.072:681.3
Изучение распределения броуновских частиц по высоте. Определение постоянной Больцмана. Методические указания к выполнению лабораторной работы
КомпТ - 01 по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей.
Томск, изд. ТПУ, 2002. – 9 с.
Составители:
доцент, к. ф.-м. н. Н.С. Кравченко
ст. преп. ТГУ
О.Г. Ревинская
Рецензент:
доцент, к. ф.-м. н. А.В. Макиенко
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим
семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики.
« 14 » мая
2002 г.
Зав. кафедрой
проф., д. ф.-м. н.
Ю.Л. Пивоваров
2
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БРОУНОВСКИХ
ЧАСТИЦ ПО ВЫСОТЕ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА
Цель работы: изучение распределения Больцмана и определение постоянной Больцмана из распределения броуновских частиц в поле тяжести.
Распределение Больцмана
Когда на молекулы газа не действуют внешние силы, хаотические движения приводят к тому, что частицы газа равномерно распределяются по объему
сосуда, так что в единице объема содержится в среднем одинаковое число частиц. В равновесном состоянии давление и температура газа также одинаковы во
всем объеме.
Влияние внешних сил, например, силы тяжести, с сочетании с хаотическим движением молекул приводит к неравномерному распределению молекул
газа в пространстве. Соответственно этому распределению устанавливается и
определенный закон изменения давления газа.
Рассмотрим газ, находящийся под действием силы тяжести, в состоянии термодинамического равновесия, причем его температура T
p+dp
dh
всюду одинакова.
p
На высоте h выделим столб газа высотой
dh и площадью основания S , равной единице
h
(рис. 1). Изменение давления dp внутри выделенного объема Sdh определяется разностью
давлений p и p  dp , оказываемых на нижнее
S
и верхнее основания столба газа, соответственРис. 1
но. По закону Паскаля на площадку S газ оказывает давление, равное весу газа, находящегося над площадкой. Поэтому изменение давления dp равно изменению веса газа, расположенного над нижним и над верхним основанием столба газа,
p  ( p  dp) 
т.е. весу газа
где  
g(V  dV ) gV

S
S ,
gdV
внутри выделенного объема
S
gdV
dp  
 gdh ,
S
(1)
Mг
– плотность газа, которую можно записать с помощью уравнения
V
Менделеева-Клайперона
3
Mг
M

m
 г 
p
p
RT ,
V
RT
kT

 – молярная масса газа, m – масса молекулы. Тогда уравнение (1) примет вид:
dp
mg
m
(2)

dh .
dp  
pgdh или
p
kT
kT
pV 
Если считать, что температура на всех высотах одна и та же, то, интегрируя уравнение (2), получим:
mg
 h
mg
ln p  
h  ln C , p  C e kT
kT
(3)
где C – константа интегрирования определяется из условия, что на высоте
h  0 давление p  p0 . Подставив в уравнение (3) эти значения x и p , получим C  p0 .
Следовательно, интересующий нас закон изменения давления газа имеет
вид:
p  p0 e

mg
h
kT .
(4)
Уравнение (4), устанавливающее закон убывания давления с высотой, называется барометрической формулой.
Так как давление газа пропорционально концентрации молекул газа
p  nkT , p0  n0 kT ,
то формула (4) выражает также закон убывания концентрации молекул с высотой
n  n0 e

mg
h
kT .
(5)
Величина mgh в формуле (5) представляет собой потенциальную энергию молекулы газа, поднятой на высоту h . Поэтому можно сказать, что формула (5) определяет концентрацию n частиц, энергия которых U  mgh , а n0 –
концентрация частиц с энергией равной нулю.
Нет никаких оснований считать, что поведение газа изменится, если вместо силы тяжести на него будет действовать какая-либо другая сила, а выражение для энергии будет иметь другой вид. Если газ находится в каком-нибудь
силовом поле, так что его частицы обладают некоторой потенциальной энергией, то концентрация частиц, обладающих заданной энергией U , определяется
формулой
n  n0 e

U
kT .
(6)
Формула (6) называется формулой Больцмана. Она позволяет определить
долю частиц, которые в условиях теплового равновесия обладает энергией U :
4
U

n
 e kT .
n0
Видно, что доля
n
частиц с данной энергией U зависит только от темn0
пературы. Это позволяет трактовать и саму температуру как величину, от которой зависит, как распределяются частицы по энергиям.
Опыт Перрена
В 1908-10 гг. формула (5) была использована Ж. Перреном для определения постоянной Больцмана и число Авогадро.
Трудность экспериментов заключалась в том, что молекулы газов невидимы в микроскоп и измерение их концентраций на разных высотах невозможно. Перрен использовал тот факт, что, как показали опыты с броуновским движением, небольшие взвешенные частицы можно трактовать, как невзаимодействующие молекулы очень больших размеров. Поэтому можно ожидать, что
частицы типа броуновских, взвешенные в жидкости и подверженные действию
силы тяжести, будут распределяться по высоте так же, как молекулы газа, т.е.
по закону (5).
Перрен исследовал эмульсии, состоявшие из двух несмешивающихся жидкостей,
из которой одна (гуммигут) образует маленькие капельки одинакового размера и приблизительно шаровидной формы, взвешенные в
другой. С помощью микроскопа с очень малой глубиной резкости, установленного вертикально (рис. 2), наблюдалось распределение взвешенных частиц по высоте. Для этого
микроскоп фокусировался на слои эмульсии
на разных высотах. В поле зрения микроскопа оказывались частицы в слое глубиной не
более 0,001 мм и совсем не были видны частицы, лежащие выше и ниже. Число
частиц в поле зрения было невелико, так что их можно было сосчитать. Эти измерения показали, что концентрация частиц действительно убывает с высотой
по экспоненциальному закону.
n  n0 e

U
kT .
(7)
Однако, поскольку шаровидные частицы взвешены в жидкости, сила Архимеда, действующая на частицу, уменьшает силу тяжести пропорционально
весу вытесненной ею жидкости. Т.е. сила Архимеда приводит к уменьшению
потенциальной энергии U частицы на высоте h
U  (mg  m Ж g )h  V0 (   Ж ) gh .
5
Зная, что объем шара V0 
4 3 1 3
a  d (где a – радиус, d – диаметр
3
6
частицы) легко записать потенциальную энергию взвешенной частицы
U
1 3
d (   Ж ) gh .
6
Подставляя полученное выражение для энергии в выражение (7), получим, что закон распределения концентрации частиц диаметром d , взвешенных
в жидкости с плотностью  Ж , имеет вид:
n  n0 e

d 3 ( Ж ) g
h
6 kT
.
(8)
Диаметр полученных Перреном частиц составлял десятые доли микрона.
Из-за дифракции света шарики гуммигута видны в поле зрения микроскопа в
виде туманного пятна. Перрен воспользовался тем, что в жидкости частицы
гуммигута иногда образуют довольно длинные цепочки, общую длину которых
под микроскопом можно было измерить, а число частиц в них пересчитать.
Из уравнения (8) найдем относительную концентрацию
высоте h и прологарифмируем полученное выражение:
n
e
n0

n
частиц на
n0
d 3 ( Ж ) g
h
6 kT
,
n0 d 3 (   Ж ) g
ln

h.
n
6kT
(9)
 n0  d 3 (   Ж ) g
ln

h.
n
6kT
(10)
Преобразовав выражение (9), легко получить формулу для вычисления
постоянной Больцмана k .
Из уравнения (9) видно, что логарифм относительной концентрации является линейной функцией высоты h . Что позволяет по тангенсу угла наклона
графика зависимости логарифма относительной концентрации от высоты h определить постоянную Больцмана.
Броуновские частицы движутся хаотически, поэтому число частиц в слое
на данной высоте может сильно меняться. При выводе распределения Больцмана хаотичность движения частиц не учитывалась, значит, распределение
Больцмана можно применять лишь для средних значений концентраций на каждой высоте. Тогда уравнение (9) имеет смысл записать в следующем виде
6
Порядок выполнения работы
В данной работе моделируется опыт Перрена на компьютере. На его экран выводится изображение круга – «поля зрения микроскопа», в котором видны маленькие случайным образом движущиеся кружочки, изображающие броуновские частицы.
8.
Введите температуру и выберите жидкость. Температура T может быть
задана путем введения в предназначенное для этого окно соответствующего числа. Жидкость выбирается из списка, при этом в программу автоматически вводятся характеристики этой жидкости.
Измерьте диаметр частиц. Для измерения диаметра частиц следует нажать
кнопку «Измерение диаметра». При этом в поле зрения микроскопа появится координатная сетка и цепочка из расположенных вплотную друг к
другу частиц. Следует быстро (так как частицы движутся) пересчитать их
число и количество клеток, которые они занимают. Эту операцию нужно
проделать несколько раз и определить среднее значение диаметра частицы.
Введите среднее значение диаметра в предназначенное для этого окно.
Введите в окно высоты первоначальную высоту, равную нулю.
Пересчитайте число частиц в поле зрения микроскопа при этой высоте.
Для этого следует пользоваться кнопкой «Новое измерение». Опыт следует
повторить не менее 10 раз. Данные занесите в таблицу.
Подберите опытно новую высоту, при которой число частиц уменьшается
примерно в 1,5 раза. При характерных для этой работы параметрах эта высота порядка 10-30 микрон в зависимости от жидкости и температуры.
Пересчитайте число частиц в поле зрения микроскопа на новой высоте.
Опыт проделаете на менее 10 раз. Данные занесите в таблицу.
Повторите опыт на удвоенной, утроенной и т.д. высоте, так чтобы получились измерения на 8-10 высотах. Данные занесите в таблицу.
Для каждой высоты вычислите среднее значения числа частиц  n  .
9.
Найдите отношение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
 n0 
 n0 
и ln
для каждого значения высоты.
n
n
 n0 
10. Постройте график зависимости ln
от высоты h . По тангенсу угла
n
наклона tg  этого графика определите постоянную Больцмана, так как из
формулы (10)
d 3 (   Ж ) g
k
.
6T tg 
d 3 (   Ж ) g
tg  
,
6kT
7
РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ
Таблица 1
Жидкость:
Плотность  Ж =
 n0 
 n0 
 n0 
ln
 n0 
 n0 
Высота
Высота
Высота
Высота
Высота
Высота
Высота
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1
0
h
h
Количество частиц n
h
Количество частиц n
h
Количество частиц n
h
Количество частиц n
h
Количество частиц n
h
Количество частиц n
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Диаметр частицы <d> =
Количество частиц n
Количество частиц n0
Высота h  0
Плотность частиц гуммигуТемпература Т =
та  
n
n
n
n
n
n
n
 n0 
 n0 
 n0 
 n0 
 n0 
 n0 
 n0 
n
n
n
n
n
n
n
ln
 n0 
n
ln
 n0 
n
ln
 n0 
ln
n
Постоянная Больцмана k =
8
 n0 
n
ln
 n0 
n
ln
 n0 
n
ln
 n0 
n
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Когда применимо распределение Больцмана?
Что изменяется с высотой сильнее: общее давление воздуха или парциальное давление кислорода?
Когда давление воздуха сильнее зависит от высоты: зимою или летом?
В воздухе находятся шарообразные броуновские частицы. Что больше:
средняя энергия молекулы воздуха или средняя энергия броуновской частицы?
Имеется две системы броуновских частиц: одна в воздухе, другая в воде. В
каком случае концентрация частиц сильнее изменяется с высотой?
Почему в опыте Перрена трудно измерить диаметр броуновской частицы?
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БРОУНОВСКИХ
ЧАСТИЦ ПО ВЫСОТЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА
Методические указания
Составители: Надежда Степановна Кравченко
Ольга Геннадьевна Ревинская
Подписано к печати ___ . ___ . 2001.
Формат 6084/16. Бумага писчая
Плоская печать. Усл. печ. л.
Уч.-изд. л.
Тираж
экз. Заказ
. Цена
ИПФ ТПУ. Лицензия ЛТ № 1 от 18.07.94.
Ротапринт ТПУ. 634034, Томск, пр. Ленина, 30.
9