1.4. накопители электрической энергии

1.4. Накопители электрической энергии
Если изолированному проводнику сообщать электрический заряд, то его потенциал будет прямо пропорционален этому заряду. Увеличение заряда проводника сопровождается
пропорциональным изменением напряжённости электрического поля. Математически такую
закономерность изменения потенциала в зависимости можно выразить простым уравнением
Q = Cϕ ,
(1.78)
где Q − заряд проводника, ϕ − потенциал проводника, С − коэффициент пропорциональности, именуемый электрической ёмкостью, или сокращённо − ёмкостью
Q
[C] = 1Кл = 1Фарад .
C= ,
(1.79)
1В
ϕ
Потенциал шара радиуса R, несущего электрический заряд Q, как известно, определяется
уравнением
1 ∞ Q
1 Q
ϕ=
dr =
.
(1.80)
2
∫
4πε 0 R εr
4πε0 R
Подставим значение потенциала из уравнения (1.80) в выражение электрической ёмкости
(1.79)
C = 4πε0 εR .
(1.81)
Определим в этой связи электрическую ёмкость Земли, приняв её за шар, радиусом R ≅
6,4⋅105 м, диэлектрическую проницаемость примем равной ε = 1
C З ≅ 12,56 ⋅ 9 ⋅ 10 −12 ⋅ 6,4 ⋅ 10 5 ≅ 7,23 ⋅ 10 −5 Φ .
Чтобы шар имел ёмкость 1 Ф, его радиус должен быть в k ≅1,38⋅104 раз больше радиуса
Земли, что свидетельствует о значительности единицы ёмкости. На практике чаще всего используются дольные единицы: пикофарады (1 пФ = 10 −12 Ф), нанофарады (1 нФ = 10 − 9 Ф),
микрофарады (1 мкФ = 10 − 6 Ф).
Изолированные уединённые проводники обладают относительно малой ёмкостью, даже
шар размеров нашей планеты обладает электрической ёмкостью порядка 723 мкФ. В ряде
достаточно простых устройств можно получить большие возможности «консервации» электрических зарядов. Идея конструкций основана та том, что электроёмкость уединённого
проводника увеличивается при приближении к нему других тел. Устройства для накопления
зарядов называются конденсаторами.
История изобретения первого накопителя электрических зарядов начинается в XVIII веке, когда электрическими опытами занимались практически все образованные люди, включая настоятелей соборов. Яркий представитель монашеского ордена иезуитов Эвальд Георг
фон Клейст в свободное от основной службы время, в тайне от прихожан у себя дома ставил
электрические опыты. В распоряжении Клейста была простейшая электрофорная машина в
виде гуттаперчевого шара с вращающейся поверхности которого можно было снимать достаточно слабенький электрический заряд. Как отмечалось во введении, опыты с получением
воды, содержащей ионы серебра, привели к открытию лейденской банки − первого накопителя электрического заряда. По известным причинам результаты своих экспериментов с
электричеством Клейст не публиковал. Хотя в XVIII в. на кострах уже не жгли, но сана за
научные шалости можно было лишиться легко. Несмотря на опасения, Клейст всё-таки решился обнародовать своё открытие. Нет, свои результаты он отправил не в научное издание,
а, как и положено, по инстанциям. Подробнейший отчёт о своих экспериментах он отправил
в г. Данциг протодиакону. Физикой протодиакон сам не «баловался», но в его близких приятелях хаживал бургомистр Даниэль Гралат, который ко всему прочему возглавлял городское общество естествоиспытателей. Просвещенные в высшей степени были в то время бургомистры. Научное общество, возглавляемое этим чиновником как раз искало тему актуаль-
51
ного приложения своих усилий, поэтому информация фон Клейста пришлась как нельзя
кстати. Изготовив батарею из банок, заполненных водой, Гралат провёл апробацию устройства на активистах общества. Лупило не слабо. Далее опытами заинтересовались преподаватели Лейденского университета. Эффективность накопления заряда проверялась исключительно по силе разрядов в конечности энтузиастов.
Эффектами, производимыми лейденскими банками, так их стали называть в простонародии, заинтересовался аббат Ноле. Составив приличную батарею, он пригласил для опытов
180 доблестных мушкетёров, Франция как никак. Мушкетёры, держась за руки, с громкими
криками испытывали на себе действие электрического заряда. Присутствовавший при действе король пришёл в неописуемый восторг, а после того как электрическим разрядом
умертвили птичку, монарх воскликнул: «Браво!». В одном из парижских монастырей 700
братьев, взявшись за руки, образовали своеобразную живую цепь. Когда крайние монахи
коснулись батареи из лейденских банок, остальные синхронно подпрыгнули и издали вопль.
Потом ещё были энтузиасты, которые искрой из пальца поджигали спирт и порох, убивали
беззащитных мышей и прочую беззащитную живность. В газетах появились сведения о чудесных исцелениях паралича у испытавших прохождение через себя электрических разрядов
Учёные, наблюдавшие и самостоятельно проводившие опыты, заговорили об электрической энергии, которая таинственным образом накапливалась в банках с водой.
Совершенствование конструкции лейденских банок привело к появлению малогабаритных устройств с пластинами более простой геометрической формы, что делало их более
компактными. Конденсаторы стали изготавливать в виде двух проводников, размещённых
близко друг относительно друга таким образом, чтобы электрическое поле создавалось между разноимённо заряженными проводниками и на него меньше влияли посторонние предметы. Этому условию удовлетворяли две пластинки, два коаксиальных цилиндра или две концентрические сферы.
Плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы характеризуются ёмкостью, которую в общем виде на основании уравнения (1.78) можно представить следующим образом
Q
Q
= ,
(1.82)
C=
ϕ1 − ϕ 2 U
где U − разность потенциалов между обкладками, именуемая напряжением. Как показано
выше, способность проводника сохранять на себе заряд зависит от его геометрии и физических свойств среды, заполняющей пространство между обкладками. Если заряд на обкладке
конденсатора охарактеризовать плотностью, то применительно к плоскому случаю, напряжённость поля определится соотношением
σ
Q
E=
=
,
(1.83)
εε 0 εε 0s
где ε − диэлектрическая проницаемость среды между обкладками, d − расстояние между обкладками, s − площадь обкладок. Разность потенциалов между обкладками можно представить следующим образом
Qd
ϕ1 − ϕ2 = Ed =
.
(1.84)
εε 0s
Подставим значение разности потенциалов в уравнение (1.78)
Qεε 0s εε 0s
=
.
(1.85)
C=
Qd
d
Ёмкость плоского конденсатора, таким образом, прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды и площади обкладок, обратно пропорциональна расстоянию между обкладками.
Электрическая ёмкость цилиндрического конденсатора определяется уравнением
2πεε 0 l
C=
,
(1.86)
ln (R 2 R 1 )
где l − длина конденсатора, R1, R2 − радиусы внутренней и внешней обкладок.
Ёмкость сферического конденсатора
52
R 1R 2
,
(1.87)
R 2 − R1
где R1, R2 − радиусы внутренней и внешней обкладок.
Наряду с величиной ёмкости, конденсаторы характеризуются предельной разностью потенциалов между обкладками Umax, которая не приведёт к электрическому пробою диэлектрика.
Введение в рассмотрение понятия потенциала даёт основание полагать, что система заряженных тел обладает потенциальной энергией, потому, что между ними существует силовое взаимодействие Рассмотрим простейшую систему двух тел, несущих на себе заряды q1 и
r
q2, находящихся на расстоянии r1, 2 . При сближении зарядов необходимо совершить работу,
которая расходуется на изменение потенциальной энергии данной системы зарядов. Предположим, что заряд q2 переносится из бесконечности, где отсутствует взаимодействие, в сторону второго заряда. Работа по его перемещению определится как
A1 = q1ϕ1 ,
(1.88)
где ϕ1 − потенциал поля, созданного зарядом q2 в точке, в которую перемещается заряд q1.
Величину работы А1 можно определить так
1 q2
A1 = q 1
.
(1.89)
4πε 0 r1, 2
C = 4πεε0
Аналогичным образом можно охарактеризовать приближение из бесконечности и второго заряда
1 q1
A2 = q2
.
(1.90)
4πε0 r1, 2
Идентичность величин работ позволяет потенциальную энергию взаимодействия двух
зарядов представить следующим образом
Π = A1 = A 2 = q1ϕ1 = q 2 ϕ2 ,
(1.91)
или
q ϕ + q 2 ϕ2
Π= 1 1
.
(1.92)
2
Рассмотрим далее систему двух неподвижных зарядов, к которым из бесконечности переносится третий заряд. В этом случае работа по перемещению заряда q3 определится соотношением, аналогичным уравнениям (1.89) и (1.90)
1 ⎛⎜ q1 q 2 ⎞⎟
A 3 = q 3 ϕ3 = q 3
,
(1.93)
+
4πε0 ⎜⎝ r1, 3 r2,3 ⎠⎟
где ϕ3 − потенциал, создаваемый зарядами q1 и q1 в точке нахождения заряда q3. Потенциальная энергия системы определится как
1 q1q 2
1 ⎛⎜ q1 q 2 ⎞⎟
.
(1.94)
Π=
+ q3
+
4πε 0 r1, 2
4πε0 ⎜⎝ r1, 3 r2,3 ⎟⎠
Преобразуем последнее уравнение к виду
⎞⎫
⎛
⎛ q1 q 3 ⎞
1 1 ⎧⎪ ⎛⎜ q 2 q 3 ⎞⎟
⎟ + q 3 ⎜ q1 + q 2 ⎟⎪⎬ ,
⎜
(1.95)
q
+
+
Π=
+
⎨q1 ⎜
2
⎟
⎜r
⎟
⎜r
2 4πε 0 ⎪⎩ ⎝ r1, 2 r2,3 ⎟⎠
⎝ 1, 2 r2,3 ⎠⎪⎭
⎝ 1, 2 r2,3 ⎠
или в сокращённой форме записи
1
Π = (q1ϕ1 + q 2 ϕ 2 + q 3ϕ3 ) .
(1.96)
2
Распространяя уравнение (1.96) на произвольное число зарядов, получим
1 i=n
(1.97)
Π = ∑ q i ϕi .
2 i=1
Полученные уравнения могут использоваться при анализе движения заряженных частиц.
Рассмотрим две одноимённо заряженные частицы массами m1 и m2 выпущенными c , боль-
53
шого расстояния навстречу друг другу со скоростями v1 и v2. Требуется найти минимальное
расстояние rmin на которое могут сблизиться частицы.
В рассматриваемом случае бесконечному сближению зарядов препятствует сила Кулона,
возрастающая по величине обратно пропорционально квадрату расстояния сближения. Степень сближения определяется запасом кинетической энергии, которой обладают движущиеся частицы. В начальный момент движения импульс системы определяется уравнением
p = m1v1 − m 2 v 2 .
(1.98)
В момент наименьшего движения частицы станут двигаться как одно целое с общей скоростью v, импульс частиц определится как
p = v(m1 + m 2 ) .
(1.99)
На основании закона сохранения импульса, последние уравнения можно приравнять
m1 v1 − m 2 v 2 = v(m1 + m 2 ) ,
(1.100)
откуда скорость v определится как
mv1 − mv 2
v=
.
(1.101)
m1 + m 2
Кинетическая энергия движущихся автономно частиц равна
m v2 m v2
K= 1 1 + 2 2 .
(1.102)
2
2
В момент наименьшего сближения энергия частиц может быть представлена в виде суммы кинетической энергии движения и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия
(m + m 2 )v 2 + q1q 2 .
W= 1
(1.103)
2
4πε0 rmin
Используя закон сохранения энергии, совместим уравнения (1.101) и (1.102)
m1v12 m 2 v 22 (m1 + m 2 )v 2
q1q 2
+
=
+
,
(1.104)
2
2
2
4πε0 rmin
и преобразуем соотношение (1.104) к виду
2
q1q 2
m1m 2 (v1 + v 2 )
=
,
4πε0 rmin m1 + m 2
2
q1q 2 (m1 + m 2 )
.
(1.105)
2
2πε 0 m1m 2 (v1 + v 2 )
При изменении заряда проводника на бесконечно малую величину dq меняется его потенциал и совершается соответствующая работа
(1.106)
dA = ϕdq ,
где dA − элементарная работа, ϕ − потенциал проводника, dq − изменение заряда проводника. Выразим потенциал ϕ и подставим это значение в последнее соотношение
1
dA = qdq .
(1.107)
C
Совершаемая элементарная работа численно равна бесконечно малому изменению потенциальной энергии, т.е.
1
dA = dΠ = qdq .
(1.108)
C
Конечное изменение энергии при сообщении проводнику произвольного заряда определится интегрированием уравнения (1.108)
Q2
Π=
+ const .
(1.109)
2C
Если принять для не заряженного проводника потенциальную энергию равной нулю, то
уравнение (1.109) можно переписать следующим образом
Q 2 Qϕ Cϕ2
Π=
=
=
.
(1.110)
2C
2
2
rmin =
54
Поскольку потенциальная энергия в данном случае имеет исключительно электростатическую основу, то её принято обозначать как W.
Применительно к простейшему плоскому воздушному конденсатору процесс его зарядки
можно рассматривать как увеличение разности потенциалов между его обкладками
dA = dqU = dq(ϕ1 − ϕ 2 ) .
(1.111)
Электрическая энергия, запасаемая при зарядке конденсатора, определится в этом случае
как
Q
1
Q 2 QU CU 2
W = ∫ qdq =
=
=
.
(1.112)
C0
2C
2
2
Подтверждением наличия энергии заряженного
конденсатора может служить простой эксперимент с
аккумуляторной батареей и лампочкой, лучше газоразрядной (рис. 1.62). Если замкнуть цепь через
клемму 1, то конденсатор зарядится от источника.
Переведя затем ключ в положение 2, обнаружим
вспышку лампы, что свидетельствует о переходе
электрической энергии в энергию света и тепла. Источником энергии в такой установке является элекРис. 1.62. Разряд конденсатора
трическое поле, существующее между обкладками
конденсатора.
Напряжённость поля между пластинами не зависит от расстояния между ними. Предположим, что, бесконечно близко расположенные друг к другу пластины несут на себе разноименные электрические заряды ± Q. Энергия такой системы будет нулевой т.к. заряды компенсируют друг друга, будучи одинаковыми, по модулю и противоположными по знаку. Если пытаться отодвинуть одну из пластин, то возникнет сила Кулона, равная произведению
заряда на напряжённость, которая будет равна половине общей напряжённости, т.к. сила
обусловлена действием неподвижной пластины
Qσ
Q2
F = QE 2 =
=
,
(1.113)
2ε 0 2sε 0
где s − площадь пластин, σ − поверхностная плотность зарядов на пластинах. При перемещении пластин на расстояние d будет совершена работа A = Fd , что позволяет определить
величину энергии в виде
⎛ Q2 ⎞ d
Q2
⎟⎟
.
(1.114)
=
W = Fd = ⎜⎜
⎝ 2 ⎠ ε 0 s 2C
Естественно предположить, что энергия конденсатора сосредоточена в объёме, расположенном между его обкладками, в этом случае каждую единицу объёма имеет смысл рассматривать с энергетических позиций. Запишем уравнение электрической энергии плоского
конденсатора и выделим в нём в явном виде объём V
2
CU 2 ε 0s
(Ed )2 = ε 0 E V ,
W=
=
(1.115)
2
2d
2
где s⋅d = V −объём пространства между обкладками конденсатора. Введём далее понятие
объёмной плотности электрической энергии
W ε0E
ϖ=
=
.
(1.116)
V
2
Объёмная плотность энергии характеризует электрическое поле не только применительно к конденсаторам, этот параметр можно использовать для энергетической характеристики
любого электрического поля вне зависимости от условий его существования.
55