Лабораторная работа № 8

Лабораторная работа № 8
ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
НА ПРИМЕРЕ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ.
Цель работы:
Приборы и принадлежности: штатив с двумя подвесами, набор
шаров, масштабная линейка
1 Теоретическое введение
Сила, импульс
Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического
воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате
которого тело приобретает ускорение или изменяет форму и размеры.

F
Сила
полностью задана, если указаны ее модуль F, направление в
пространстве и точка приложения. Прямая вдоль которой направлена сила,
называется линией действия силы.
Одновременное действие на материальную точку нескольких сил
эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или
результирующей силой и равной их геометрической сумме.
Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль
прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку – центр сил, и
зависят только от расстояния до центра сил.

Векторная величина p , равная произведению массы 𝑚 материальной

точки на ее скорость  , и имеющая направление скорости, называется
импульсом, или количеством движения,
этой
 материальной точки.

p  m 
(1.1)
Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного
движения – отвечает на вопрос, как изменяется положение материальной
точки (тела) в пространстве под действием приложенных к ней сил.
Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом),
пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению
и обратно пропорционально массе материальной
точки (тела)

 F
a
(1.2)
m
Единицей измерения силы в СИ – ньютон (Н): 1Н – это сила, которая
телу массой в 1кг сообщает ускорение 1м/с2 в направлении действия силы.
Формулу (1.2) можно представить в виде:





d d m  dp 
F  ma  m


p
dt
dt
dt
(1.3)
Скорость изменения
действующей на нее силе
импульса
материальной
точки
равна
 dp
F
dt
(1.4)

Выражение (1.5) перепишем в виде 𝐹 𝑑𝑡 = 𝑑𝑝. Векторная величина Fdt

называется элементарным импульсом силы F за малое время dt ее
действия. Импульс силы за промежуток времени от 𝑡1 до 𝑡2 определяется
𝑡
интегралом 𝑡 2 𝐹 𝑑𝑡. Согласно одной из формулировок второго закона
1
Ньютона изменение импульса материальной точки равно импульсу
действующей на него силы
t2

 

p  p 2  p1   Fdt
(1.5)
t1
Основной закон динамики материальной точки выражает принцип
причинности в классической механике – зная начальное состояние и
уравнения движения материальной точки, можно однозначно определить ее
положение в любой последующий момент времени.
Механической системой называется совокупность материальных точек
(тел), рассматриваемых как единое целое.
Тела, не входящие в состав исследуемой механической системы,
называются внешними телами. Силы, действующие на систему со стороны
внешних тел, называются внешними силами.
Внутренними силами называются силы взаимодействия между
материальными точками рассматриваемой системы.
Механическая система называется замкнутой, или изолированной,
если она не взаимодействует с внешними телами (на нее не действуют
внешние силы).
Закон сохранения импульса
Импульс замкнутой механической системы не меняется с течением
времени (сохраняется) при любых взаимодействиях материальных
точек системы между собой
n


p   mi i  const
i 1
(1.6)
Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения
импульса является фундаментальным законом природы. Закон сохранения
импульса является следствием однородности пространства: при
параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее
физические свойства не меняются (не зависят от выбора положения начала
координат инерциальной системы отсчета).
Работа, энергия
Энергия – это универсальная количественная мера различных форм
движения и взаимодействия.
Работа силы – это количественная мера процесса обмена энергией между
взаимодействующими телами.

При прямолинейном движении тела под действием постоянной силы F ,
которая составляет некоторый угол  с направлением перемещения
(см.рис.1), работа этой силы равна
A  Fs s  Fs cos  ,
(1.7)
где 𝐹𝑠 – проекция вектора силы на направление перемещения.

dr

F

 FS


1
2
Рисунок 1 – Схематическое представление вектора силы, совершающей
работу по перемещению тела
Если сила меняется как по модулю, так и по направлению, то в этом
случае вводят понятия
элементарной и полной работы. Элементарной

работой
dA силы F называется величина скалярному произведению вектора


силы F на вектор элементарного перемещения dr .
 
dA  ( F  dr )  F cos   ds  FS ds .
(1.8)
где 𝐹𝑠 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼 - проекция вектора силы на направление перемещения.
𝑑𝑠 = 𝑑𝑟 – элементарный путь,
𝛼 – угол между векторами силы и перемещения.
Fs
dA
A
dS
s
Рисунок 2 – Графическое представление элементарной и полной работы
Полная работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна
алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых
участках пути и определяется интегралом вида:
2
2
A   Fds cos    FS ds
(1.9)
Полную и элементарную работу силы можно определить графически.
Если зависимость проекции силы FS от перемещения s задана графически, то
работа А определяется на графике площадью заштрихованной фигуры (см.
рисунок 2).
1
1
Кинетическая энергия механической системы
Кинетическая энергия механической системы (К) – это энергия
механического движения этой системы. Любое движущееся тело обладает
кинетической энергией.
Кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела и равна:
m 2
K
.
(1.11)
2
Сила, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает
работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной
работы. Таким образом, приращение кинетической энергии частицы на
элементарном перемещении равно элементарной работе на том же
перемещении
dK  dA
(1.12)
Тело массой m, движущееся со скоростью  , обладает кинетической
энергией

 
 
d 
dA  Fdr  m
dr  md  md .
(1.13)
dt
Откуда
2
m 2
A   md 
2
1
2
1
m 22 m12


 K
2
2
(1.14)
Кинетическая энергия является функцией состояния системы, всегда
положительна, неодинакова в разных системах отсчета.
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия (W) – механическая энергия системы тел,
определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия
между ними. Потенциальная энергия системы, подобно кинетической
энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от
конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.
1.
Потенциальная энергия тела массы m на высоте h:
W  mgh
(1.15)
2.
Потенциальная энергия упругодеформированного тела:
kx 2
W
2
(1.16)
Единица кинетической и потенциальной энергии – Джоуль (Дж)
Потенциальное поле – поле, в котором работа, совершаемая силами при
перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по
какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от
начального и конечного положений. Силы, действующие в таких полях,
называются консервативными. Консервативной (потенциальной) называют
силу, работа которой определяется только начальным и конечным
положениями тела и не зависит от формы пути. Консервативными силами
являются силы тяготения, упругости. Все центральные силы консервативны.
Если же работа, совершаемая силой, зависит от формы траектории, то такая
сила называется диссипативной (например, сила трения).
Работа консервативных сил при элементарном изменении конфигурации
системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком
минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.
dA  dW
(1.17)
 
 
Поскольку Fdr  dW , то W   Fdr  const , отсюда

d  d  d 
F   gradW  ( i 
j  k )W
dx
dy
dz
(1.18)
dW  dW  dW 
i
j
k называется градиентом скалярной
Вектор gradW 
dx
dy
dz
функции W и характеризует быстроту изменения скалярной функции в
данном направлении.
Закон сохранения энергии
Полная механическая энергия системы – энергия механического
движения и взаимодействия, равная сумме кинетической и потенциальной
энергий E  K  W .
Закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми
действуют только консервативные силы, полная механическая энергия
сохраняется, т.е. не меняется со временем
K  W  E  const .
(1.19)
Это фундаментальный закон природы. Он является следствием
однородности времени – инвариантности физических законов относительно
выбора начала отсчета времени.
Механические системы, на которые действуют только консервативные
силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. В
консервативных системах полная механическая энергия остается
постоянной. Могут лишь происходить превращения кинетической энергии в
потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная
механическая энергия остается неизменной.
В системе, в которой кроме консервативных сил действуют и
диссипативные силы, полная механическая энергия не сохраняется. Такие
системы называются диссипативными. При «исчезновении» механической
энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида
(например, тепловой). Таким образом, энергия никогда не исчезает и не
появляется вновь, она лишь превращается из одной формы в другую. В
этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения
энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.
Соударения
Удар (соударение) – столкновение дух или более тел, при котором
взаимодействие длится очень короткое время.
Центральный удар – удар при котором тела до удара движутся по
прямой, проходящей через их центры масс.
Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате
которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций
и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара
снова превращается в кинетическую энергию. При абсолютно упругом ударе
сохраняются импульс и механическая энергия.
Рассмотрим прямой центральный абсолютно упругий удар двух шаров


массами m1 и m2. Обозначим скорости шаров до удара 1 и  2 , после удара 

 1 и  2 .
До удара

2

m1
1
После удара

 1
m2

m1
 2
m2
х
Рисунок 3 – Абсолютно упругое соударение шаров, двигающихся на
встречу друг другу
Закон сохранения импульса в векторном виде:
𝑚1 𝜐1 + 𝑚2 𝜐2 = 𝑚1 𝜐1 ′ + 𝑚2 𝜐2 ′ .
Закон сохранения энергии:
𝑚 1𝜐12
2
+
𝑚 2𝜐22
2
=
𝑚 1𝜐1′
2
2
+
𝑚 2𝜐2′
(1.20)
2
2
(1.21)
.
Отсюда
𝜐1′ =
𝜐2′ =
𝑚1 − 𝑚2 𝜐1 + 2𝑚2 𝜐2
𝑚1 + 𝑚2
𝑚2 − 𝑚1 𝜐2 + 2𝑚1 𝜐1
𝑚1 + 𝑚2
(1.22)
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате
которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое тело.
До удара
m1

2

1
m2
После удара


х
m1+m2
Рисунок 4 – Абсолютно неупругое соударение шаров.
При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения
импульса:



m11  m 2 2  (m1  m 2 )  .
(1.23)
Или в проекциях на ось х:
m 2 2  m11  (m1  m 2 ) 
(124)
Скорость после удара равна:
𝜐′ =
𝑚 1 𝜐 1 +𝑚 2 𝜐 2
𝑚 1 +𝑚 2
(1.25)
Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется: вследствие
деформации часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию
тел. Это уменьшение равно:
 m112 m222  (m1  m2 ) 2
 
К  

;
2
2
2


m1m2
К 
(1   2 ) 2 .
2(m1  m2 )
2 Вывод рабочей формулы
Используя баллистический метод, получим формулу для определения
скорости шаров в момент прохождения положения равновесия.
В этом методе мерой скорости служит величина угла отброса,
рассчитываемая по круглой шкале.
В точке А (рисунок 5) шарик обладает потенциальной энергией равной
W  mgh
(2.1)
Систему маятник-Земля рассматриваем как замкнутую, пренебрегая трением
в подвесе маятника и сопротивлением воздуха.
При перемещении шарика из положения А в положение С его потенциальная
энергия перейдет в кинетическую.
m 2
mgh 
2
(2.2)
О

l
В
С
А
h
Рисунок 5 – Отклонение шарика от положения равновесия.
Откуда
  2 gh
Используя
соотношения
в
(2.3)
треугольнике и
прямоугольном

тригонометрическую формулу 1  cos  2 sin 2
выразим высоту h через
2,
длину нити l и угол 

h  l (1  cos )  2l sin 2
2
(2.4)
и подставим в выражение для скорости ( )
Получим

  2 gl sin
2
(2.5)
3 Порядок выполнения работы
1
Ознакомьтесь с лабораторной установкой.
2
Измерьте и запишите длину подвеса l в таблицу 1.
Таблица 1– Результаты измерений


m1
m2
1
2
№
l
𝛼1
𝛼2
𝛼1 ′
𝛼2 ′
опыта
1
2
3
4

1

 2
Упражнение 1 Изучение упругого соударения шаров одинаковой
массы.
1
Поместите шары одинаковой массы на подвесы ( m1  m2 ). Запишите
значения масс шаров в талицу 1. Убедитесь, что центры масс шаров
находятся на одинаковой высоте в плоскости, параллельной плоскости
линейки.
2
Отклоните первый на угол 𝛼1 , а второй на угол 𝛼2 . Данные 𝛼1 и 𝛼2
запишите в таблицу. Значения углов 𝛼1 и 𝛼2 задает преподаватель.


3
Определите скорости первого 1 и второго  2 шаров до удара по

формуле (2.5) (чтобы определить значение 1 в формулу (2.5)

подставляйте 𝛼1 , для нахождения  2 в формулу (2.5) подставляйте 𝛼2 ).
Результаты занесите в таблицу 1.
4
Отпустите шары. Определите значения углов 𝛼1 ′ и 𝛼2 ′ после удара,
значения запишите в таблицу (один студент замечает угол 𝛼1 ′ полного
отклонения первого шара, второй студент замечает угол 𝛼2 ′ полного отброса
второго шара).


5
Определите скорости первого 1 и второго  2 шаров после удара по
формуле (2.5). Результаты занесите в таблицу 1.
6
Проверьте выполнение закона сохранения импульса при упругом ударе




m11  m22  m11  m22 .
Выберите направление координатной оси, найдите проекции скоростей
  

1 ,  2 , 1 и  2 на выбранную ось. Подставьте полученные значения в закон
сохранения импульса. Убедитесь, что получается истинное равенство.
7
Рассчитайте относительное отклонение в % по формуле:

p  p
 100% , где p - импульс системы до удара, p - импульс системы
p
после удара.
Упражнение 2 Изучение упругого соударения шаров разной массы
(.𝑚1 < 𝑚2 )
1
Поместите на подвесы шары разной массы ( m1  m2 ). Запишите
значения масс шаров в талицу 1. Убедитесь, что центры масс шаров
находятся на одинаковой высоте в плоскости, параллельной плоскости
линейки.
2
Отклоните первый на угол 𝛼1 , а второй на угол 𝛼2 . Данные 𝛼1 и 𝛼2
запишите в таблицу. Значения углов 𝛼1 и 𝛼2 задает преподаватель.


3
Определите скорости первого 1 и второго  2 шаров до удара по

формуле (2.5) (чтобы определить значение 1 в формулу (2.5)

подставляйте 𝛼1 , для нахождения  2 в формулу (2.5) подставляйте 𝛼2 ).
Результаты занесите в таблицу 1.
4
Отпустите шары. Определите значения углов 𝛼1 ′ и 𝛼2 ′ после удара,
значения запишите в таблицу (один студент замечает угол 𝛼1 ′ полного
отклонения первого шара, второй студент замечает угол 𝛼2 ′ полного отброса
второго шара).


5
Определите скорости первого 1 и второго  2 шаров после удара по
формуле (2.5). Результаты занесите в таблицу 1.
6
Проверьте выполнение закона сохранения импульса при упругом ударе




m11  m22  m11  m22 .

Выберите направление координатной оси, найдите проекции скоростей 1 ,



 2 , 1 и  2 на выбранную ось. Подставьте полученные значения в закон
сохранения импульса. Убедитесь, что получается истинное равенство.
7
Рассчитайте относительное отклонение в % по формуле:

p  p
 100% , где p - импульс системы до удара, p - импульс системы
p
после удара.
Упражнение 3 Изучение упругого соударения шаров разной массы
(.𝑚1 > 𝑚2 )
1
Поместите на подвесы шары разной массы ( m1  m2 ). Запишите
значения масс шаров в талицу 1. Убедитесь, что центры масс шаров
находятся на одинаковой высоте в плоскости, параллельной плоскости
линейки.
2
Отклоните первый на угол 𝛼1 , а второй на угол 𝛼2 . Данные 𝛼1 и 𝛼2
запишите в таблицу. Значения углов 𝛼1 и 𝛼2 задает преподаватель.


3
Определите скорости первого 1 и второго  2 шаров до удара по

формуле (2.5) (чтобы определить значение 1 в формулу (2.5)

подставляйте 𝛼1 , для нахождения  2 в формулу (2.5) подставляйте 𝛼2 ).
Результаты занесите в таблицу 1.
4
Отпустите шары. Определите значения углов 𝛼1 ′ и 𝛼2 ′ после удара,
значения запишите в таблицу (один студент замечает угол 𝛼1 ′ полного
отклонения первого шара, второй студент замечает угол 𝛼2 ′ полного отброса
второго шара).


5
Определите скорости первого 1 и второго  2 шаров после удара по
формуле (2.5). Результаты занесите в таблицу 1.
6
Проверьте выполнение закона сохранения импульса при упругом ударе




m11  m22  m11  m22 .
Выберите направление координатной оси, найдите проекции скоростей
  

1 ,  2 , 1 и  2 на выбранную ось. Подставьте полученные значения в закон
сохранения импульса. Убедитесь, что получается истинное равенство.
7
Рассчитайте относительное отклонение в % по формуле:

p  p
 100% , где p - импульс системы до удара, p - импульс системы
p
после удара
Упражнение 4 Изучение неупругого столкновения шаров.
1
Поместите на подвесы пластилиновые шары ( m1  m2 ). Запишите
значения масс шаров в талицу 1. Убедитесь, что центры масс шаров
находятся на одинаковой высоте в плоскости, параллельной плоскости
линейки.
2
Отклоните первый шар (𝑚1 ) на угол 𝛼1 . Второй шар (𝑚2 ) находится в
положении равновесия. Данные угла 𝛼1 задает преподаватель. Значение 𝛼1 .
запишите в таблицу.
3
Определите скорость первого шара до удара по формуле (2.5).
Результат занесите в таблицу 1.
4
Отпустите шары. Определите значения угла 𝛼 ′ после удара (за угол
отклонения 𝛼 ′ берется угол, на который отклоняется центр масс системы двух
шаров).
5
Определите скорость шаров после удара по формуле (2.5). Результат
занесите в таблицу 1.
6
Проверьте выполнение закона сохранения импульса при неупругом
ударе


m11  (m1  m2 )  .

Выберите направление координатной оси, найдите проекции скоростей 1 и

  на выбранную ось. Подставьте полученные значения в закон сохранения
импульса. Убедитесь, что получается истинное равенство.
7
Рассчитайте относительное отклонение в % по формуле:

p  p
 100% , где p - импульс системы до удара, p - импульс системы
p
после удара
Контрольные вопросы
1
Дать определение импульса.
2
Дать определение силы. Какие силы называют центральными?
3
Каков физический смысл силы?
4
Каков физический смысл массы?
5
Что такое равнодействующая сила. Как ее определить?
6
Какие силы называют консервативными?
7
Какие силы называют диссипативными?
8
Дать определение механической системы.
9
Какую систему называют замкнутой?
10
Какие силы называют внешними, а какие – внутренними?
11
Сформулируйте и запишите второй закон Ньютона.
12
Сформулируйте принцип причинности в классической механике.
13
Сформулируйте закон сохранения импульса.
14
Дайте определение работы силы. В чем измеряется работа?
15
Как определить работу постоянной силы?
16
Что такое элементарная работа?
17
Как определить работу графически?
18
Какие тела обладают кинетической
энергией? Чему равна
кинетическая энергия?
19
Какую энергию называют потенциальной? Запишите формулу для
определения потенциальной энергии.
20
Как связаны сила и потенциальная энергия?
21
Что такое градиент скалярной функции?
22
Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
23
Какой удар называют абсолютно упругим?
24
Какие законы сохранения выполняются при этом ударе? Запишите их.
25
Какой удар называют абсолютно неупругим?
26
Какие законы сохранения выполняются при этом ударе? Запишите их.
27
Как определить потери кинетической энергии при абсолютно
неупругом ударе?
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНЫХ ИСТОЧНИКОВ