БЫСТРОЕ ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КОРОНАЛЬНЫХ ПЕТЕЛЬ

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2005, том 31, № 6, с. 456–464
УДК 523.98
БЫСТРОЕ ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ
КОРОНАЛЬНЫХ ПЕТЕЛЬ С АЗИМУТАЛЬНЫМ ПОЛЕМ
c 2005 г.
Б. Б. Михаляев*
Калмыцкий государственный университет, Элиста
Поступила в редакцию 27.09.2004 г.
Рассматриваются МГД-колебания неоднородной корональной петли, состоящей из плотного шнура и
окружающей его оболочки. Магнитное поле в шнуре является продольным, а в оболочке имеет только
азимутальную составляющую. Параметры петли выбираются такими, чтобы резонансы отсутствовали,
т.е. резонансные точки отрезаются. Такой выбор продиктован поставленной задачей – рассмотреть
влияние излучения МГД-волн в окружающее пространство на колебания петли, в связи с чем исключается возможность резонансного поглощения энергии. Эффективность излучения волн оказывается
большой и позволяет получить малые значения добротности колебаний, по порядку совпадающие с
наблюдаемыми.
Ключевые слова: Солнце.
RAPID DAMPING OF THE OSCILLATIONS OF CORONAL LOOPS WITH AN AZIMUTHAL
MAGNETIC FIELD, by B. B. Mikhalyaev. We consider the MHD oscillations of an inhomogeneous
coronal loop composed of a dense cord and the surrounding shell. The magnetic field is longitudinal in
the cord and has only an azimuthal component in the shell. The parameters of the loop are chosen to be
such that there are no resonances, i.e., the resonance points are cut off. This choice is dictated by the
formulated problem of considering the influence of the emission of MHD waves into the surrounding space
on the loop oscillations, thereby ruling out the possibility of resonant energy absorption. The efficiency of
the wave emission is high and allows low oscillation Q-factors, which are equal in order of magnitude to
their observed values, to be obtained.
Key words: Sun.
ВВЕДЕНИЕ
Важной проблемой современной физики Солнца является объяснение наблюдаемого быстрого
затухания поперечных колебаний корональных
петель (Ашванден и др., 1999; Накаряков и
др., 1999). Петли представляют собой тонкие
магнитные трубки, поперечные размеры которых (6.3–16.8 тыс. км) много меньше длины
(146–406 тыс. км) (Офман, Ашванден, 2002).
Добротность наблюдающихся колебаний мала (Q ∼ 10). Для объяснения данного эффекта
привлекаются механизмы вязкой диссипации с
малыми числами Рейнольдса (Накаряков и др.,
1999), фазового перемешивания альвеновских
волн в петле или резонансного поглощения энергии
в тонком слое, окружающем петлю (Рудерман,
Робертс, 2002; Рудерман, 2003; Ван Дурселаер и
др., 2004). Существует также точка зрения, что
затухание может быть вызвано излучением петлей
*
Электронный адрес: bbmikh@kalmsu.ru
магнитозвуковых волн в окружающую корону
(Соловьев и др., 2002, 2003; Михаляев, Соловьев,
2004). Преимущество такого подхода обусловлено отсутствием необходимости использования
диссипативных процессов, наличие которых в
обычной солнечной плазме представляется проблематичным. Механизм радиационного затухания
позволяет ограничиться рамками идеальной МГД,
что кажется наиболее естественным в обычных
условиях в солнечной атмосфере.
Излучение магнитозвуковых волн оказывается
возможным, если петля является неоднородной
по сечению. В работах Соловьева и др., (2003)
и Михаляева, Соловьева (2004) использовалась
простая модель неоднородной петли, состоящей из
цилиндрического плотного шнура и окружающей
его коаксиальной оболочки. В шнуре и в оболочке
плазма и поле предполагались однородными. Такая
модель позволяет получить небольшие значения
добротности колебаний (Q = 20–40), однако при
этом радиус петли должен быть много больше радиуса шнура, и альвеновская скорость в оболочке
456
БЫСТРОЕ ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КОРОНАЛЬНЫХ ПЕТЕЛЬ
должна быть в несколько раз больше альвеновской скорости в окружающей короне. Последнее
означает, что плотность плазмы в оболочке много
меньше (на порядок) плотности в короне, что кажется маловероятным. В настоящей работе предпринята попытка преодолеть данное затруднение
и рассмотрена петля с оболочкой, в которой поле
имеет азимутальную составляющую. Оказывается, присутствие азимутального поля в оболочке
существенно меняет картину колебаний – эффективность излучения магнитозвуковых волн заметно увеличивается, и малые значения добротности
можно получить при условиях, когда альвеновская
скорость в оболочке мало отличается от альвеновской скорости в короне.
Известно, что корональные магнитные трубки
являются скрученными, т.е. кроме продольной составляющей магнитного поля содержат также и
азимутальную. Одной из причин, приводящих к появлению таких трубок, служит скручивание линий
магнитного поля в конвективной зоне, образование
магнитных силовых трубок и их последующий вынос в атмосферу. В разреженной атмосфере трубка
испытывает расширение. При расширении трубки
азимутальное поле концентрируется на периферии
трубки, и образуется оболочка, где поле становится по существу азимутальным (Bz /Bϕ → 0, Bϕ ∼
∼ r −1 ). Продольное поле сохраняется только в
центральной части трубки (Паркер, 1982). Математические трудности, возникающие при описании
такой корональной трубки, заставляют нас использовать ее грубую модель, в которой в центральной
части поле имеет только продольную составляющую, а на периферии только азимутальную.
Наличие азимутальной составляющей поля свидетельствует о том, что в трубке текут продольные
электрические токи. В реальной магнитной трубке с
непрерывным распределением поля, находящейся
во внешнем продольном поле, азимутальная составляющая с расстоянием от оси трубки будет
сначала увеличиваться, а затем уменьшаться до
нуля. Следовательно, существуют две области с
противоположными по направлению продольными токами. Токи в центральной области, прилежащей к оси трубки, создают азимутальное магнитное поле, а токи во внешней области создают
экранирующий эффект. В нашей модели эти токи
сконцентрированы на границах “шнур–оболочка”
и “оболочка–корона”, где имеются скачки индукции магнитного поля. Существование поверхностных токов является неизбежным следствием выбора упрощенных моделей. Например, в ставшей
уже классической модели однородной магнитной
трубки (Спруит, 1982; Эдвин, Робертс, 1983) имеется разрыв продольного поля на границе трубки
и, следовательно, на границе существует азимутальный поверхностный ток. Что касается вопроса
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 31
457
о причинах, вызывающих продольные токи, то,
видимо, токи могут генерироваться источниками,
лежащими в фотосфере или в более глубоких слоях
(Альфвен, Карлквист, 1967). Корональные магнитные трубки в таком случае представляют собой
подобие электрических контуров, замыкающихся
на фотосфере, с источниками э.д.с., находящимися
в плотных слоях.
Сложная структура солнечной короны, состоящей из множества тонких магнитных петель, делает
необходимым развитие различных теоретических
моделей магнитных трубок с целью определения
параметров корональной плазмы. Это является
задачей так называемой корональной сейсмологии (Робертс, 2004). Представленная в настоящей
работе модель корональной петли представляет
интерес и с данной точки зрения.
Структура работы выглядит следующим образом. Описаны распределения плазмы и магнитного
поля в трубке, сформулированы исходные уравнения. В приближении тонкой трубки выводятся дисперсионное соотношение и коэффициент затухания
для быстрых магнитозвуковых волн. Приведены
численные расчеты применительно к описанию колебаний солнечных корональных петель.
ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Магнитогидростатическое равновесие в отсутствие гравитации в цилиндрической симметрии
определяется уравнением
1
dBz (r)
dp(r)
+
Bz (r)
+
dr
4π
dr
1 d
1
Bϕ (r)
rBϕ (r) = 0.
+
4π
r dr
Простейшие решения данного уравнения имеют
вид: а) p = const, Bz = const, Bϕ = 0; б) p = const,
Bz = 0, Bϕ = const × r −1 . Первое решение дает
поле только с продольной составляющей, второе –
только с азимутальной. Мы используем их для
создания модели двойной магнитной трубки.
Рассмотрим цилиндрическую трубку радиуса a,
в которой выделена центральная часть радиуса
b (b < a). Выделенную часть назовем шнуром и
будем считать, что плотность плазмы ρ0i в шнуре
превышает плотность ρ0e в окружающем трубку
пространстве. Цилиндрический слой, заключенный между шнуром и окружением трубки, назовем
оболочкой. Везде далее индексами i, m, e будем обозначать параметры, относящиеся к шнуру,
оболочке и внешнему окружению соответственно. Рассмотрим цилиндрическую систему координат, ось которой совпадает с осью трубки; в ней
шнур задается как область r < b, оболочка – как
область b < r < a, внешнее окружение – область
№6
2005
458
МИХАЛЯЕВ
a < r. Будем считать ρ0i и ρ0e однородными, а плотность в оболочке убывающей с радиусом: ρ0m =
= ρ0 /(αr)2 . Параметр α есть масштабный параметр, по размерности обратный длине. Величина
ρ0 имеет размерность плотности и определяет ее
характерные значения в оболочке. Газовые давления p0i , p0m , p0e считаем однородными. Индукция
равновесного магнитного поля имеет следующее
распределение:


B0i ez , r < b,
B0 (r) = (B0 /αr)eϕ , b < r < a,


B0e ez , a < r.
Постоянные величины B0i и B0e определяют однородное поле в шнуре и внешнее однородное поле.
Поле в оболочке является чисто азимутальным и
потенциальным. Величина B0 имеет размерность
индукции и определяет ее характерные значения в
оболочке.
Условия равновесия на границах областей получаются интегрированием уравнения магнитогидростатического равновесия по переменной r в пределах, лежащих по обе стороны от границы:
1
Bz (r2 )2 − Bz (r1 )2 +
8π
r2
1
Bϕ (r)2
1
2
2
Bϕ (r2 ) − Bϕ (r1 ) +
dr = 0.
+
8π
4π
r
∂p
= −γp0 divv − v∇p0 ,
∂t
∂B
= rot(v × B0 ),
∂t
где B0 – невозмущенная индукция магнитного поля, p0 и ρ0 – невозмущенные давление и плотность
плазмы, B, p, v – возмущения индукции, давления
и скорости. Будем искать решения в виде цилиндрических мод f (r, t) = f (r) exp(imϕ + kz z − iωt),
где kz – продольное волновое число, ω – частота
колебаний.
В случае невозмущенных распределений вида
ρ0 = ρ0 (r), p0 = p0 (r), B0 = B0z (r)ez + B0ϕ (r)eϕ
для радиальной компоненты скорости vr (r) и
возмущения полного давления P (r) = p(r) +
+ B(r)B0 (r)/4π получаются уравнения (Апперт и
др., 1974):
d
rvr = rC2 iωP + rC1 vr ,
dr
d
D iωP = −C1 iωP − C3 vr ,
dr
где
p(r2 ) − p(r1 ) +
r1
Рассматривая поочередно обе границы r = a и r =
= b и устремляя пределы интегрирования к границе, получим условие равновесия магнитной трубки
2
B0i
B02
= p0m +
,
8π
8πα2 b2
2
B02
B0e
,
=
p
+
p0m +
0e
8πα2 a2
8π
Шнур и окружение трубки характеризуются соответствующими значениями альвеновской и звуковой скоростей VAi , Csi , VAe , Cse . В оболочке звуковая скорость есть Csm , а альвеновская имеет
характерные значения, определяемые величиной
2 = B 2 /4πρ . Если пренебречь в корональных
VAm
0
0
условиях газовым давлением, условия равновесия
в терминах скоростей будут иметь следующий вид
p0i +
2
/α2 b2 ,
ρ0i VAi2 = ρ0 VAm
2
2
ρ0 VAm
/α2 a2 = ρ0e VAe
.
(1)
Рассмотрим малые возмущения плазмы и поля, описываемые линеаризованными уравнениями
идеальной МГД:
B0
B
∂v
= −∇p + rotB ×
+ rotB0 ×
,
ρ0
∂t
4π
4π
(2)
D
D = K1 K2 ,
(3)
B0ϕ 2 4
m
ρ0 ω B0ϕ − (kB0 )K2 ,
2πr
r
m2
2 4
2
C2 = ρ0 ω − kz + 2 K2 ,
r
C1 =
B0ϕ d B0ϕ
+
C3 = D K1 +
2π dr r
B0ϕ 2 2 4 2
2
ρ0 ω B0ϕ − (kB0 ) K2 .
+
2πr
Здесь обозначено
mB0ϕ
,
r
(kB0 )2
,
K1 = ρ0 ω 2 −
4π
γp0 (kB0 )2
|B0 |2
)−
.
K2 = ρ0 ω 2 (γp0 +
4π
4π
(kB0 ) = kz B0z +
(4)
Из системы (2)–(4) получается уравнение для
P (r):
C3 d rD dP
d2 P
+
(5)
+
dr 2
rD dr C3 dr
C3 d rC1 C2 C3 − C12
+
P = 0.
+
rD dr C3
D2
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 31
№6
2005
БЫСТРОЕ ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КОРОНАЛЬНЫХ ПЕТЕЛЬ
В оболочке B0z = 0, поэтому радиальное
уравнение (5) одно и то же для m = ±1. Тогда возможно получить решения вида f (r, t) =
= f (r) cos ϕ cos(kz z) exp(−iωt), описывающие стоячие волны. Трубка при этом испытывает поперечные смещения подобно колеблющейся струне.
Решение радиального уравнения для оболочки в
случае мод m = ±1 приводится в Приложении.
Оно имеет, кроме нулевой и бесконечно удаленной,
две особые точки: точку альвеновского резонанса
rA и точку каспового резонанса rC . Будем считать,
что радиус трубки a < min(rA , rC ), тогда в области
b < r < a, т.е. в оболочке, имеются два аналитических базисных решения радиального уравнения,
которые обозначены через M (r) и N (r). Главные
члены их разложений в нуле имеют следующий вид:
1
1
(6)
M (r) ∼ , N (r) ∼ 3 .
r
r
Возмущение полного давления в оболочке запишем
в виде линейной комбинации базисных решений
Pm (r) = F M (r) + GN (r), где F и G – некоторые
постоянные. Возмущение радиальной компоненты
скорости vrm (r) выразим через Pm (r) из (2).
В шнуре и во внешнем окружении, где поле и
плазма являются однородными, уравнения (2)–(4)
принимают вид
iω
dP (r)
,
(7)
vr (r) = − 2
2
2
(ω − VA kz )ρ0 dr
dP
d2 P
+ (k2 r 2 − m2 )P = 0,
+r
dr 2
dr
где обозначено
(ω 2 − VA2 kz2 )(ω 2 − Cs2 kz2 )
,
k2 =
(VA2 + Cs2 )(ω 2 − Ct2 kz2 )
r2
ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ ТОНКОЙ ТРУБКИ
Далее мы ограничиваемся модами m = ±1, т.е.
рассматриваем только изгибные колебания трубки. Если колебания петли совершаются на одной
полуволне, то продольное волновое число kz связано с длиной петли L соотношением kz = π/L.
Рассмотрим длины волн, много большие радиуса
трубки, т.е. a L. Это означает, что kz a 1. Такое приближение называется приближением тонкой трубки. В этом приближении аргументы найденных решений малы, и можно использовать их
приближенные выражения, выбирая первые члены
разложений в ряд.
Решение в шнуре выражается через функцию
Бесселя J1 согласно (7)–(9):
vri (r) = −iωX0i
Pi (r) = X0i
J1 (ki r)
,
J1 (ki b)
ρ0i (ω 2 − VAi2 kz2 ) J1 (ki r)
.
ki
J1 (ki b)
Аналогичная ситуация имеет место во внешнем
окружении, где решение выражается через функцию Ханкеля первого рода:
(1)
vre (r) = −iωX0e
H1 (ke r)
(1)
,
H1 (ke a)
(1)
2 k2 )
ρ0e (ω 2 − VAe
z H1 (ke r)
,
Pe (r) = X0e
(1)
ke
H (ke a)
(9)
1
Параметр k имеет смысл радиального волнового
числа, величина Ct называется трубочной скоростью. Возмущения полного давления в шнуре Pi (r)
и во внешнем окружении Pe (r) выражаются через решения уравнения Бесселя, либо модифицированного уравнения Бесселя. Соответствующие
скорости vri и vre находятся при помощи (7).
Решения в трех областях, {vri (r), Pi (r)},
{vrm (r), Pm (r)} и {vre (r), Pe (r)}, подчиним граничным условиям
(10)
vri (b) = vrm (b), vrm (a) = vre (a),
2 (b)
B0ϕ
vri (b),
4πiωb
2 (a)
B0ϕ
vri (a) = Pe (a).
Pm (a) +
4πiωa
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
Из (10) определяется связь между фазовой скоростью волны ω/kz и волновым числом kz , т.е.
дисперсионное уравнение.
(8)
V 2C 2
Ct2 = 2A s 2 .
VA + Cs
Pi (b) = Pm (b) +
459
том 31
где X0i и X0e – произвольные постоянные.
Решение в оболочке имеет вид
C1 (r)
(F M (r) + GN (r)) +
vrm (r) = −iω
C3 (r)
D(r)
(F M (r) + GN (r)) ,
+
C3 (r)
Pm (r) = F M (r) + GN (r),
где F, G – произвольные постоянные, а D, C1 , C3
определяются формулами (3).
В корональных условиях можно пренебречь газовым давлением в сравнении с магнитным, полагая формально Csm = 0. В расчетах, приведенных в
Приложении, следует положить µ = 0. Тогда радиальное волновое число для волн в оболочке имеет
вид km = ω/VAm . Если рассматриваемая мода имеет конечную при kz → 0 фазовую скорость, то возможно использование приближения тонкой трубки
№6
2005
460
МИХАЛЯЕВ
V, 10–8
0.95
0.90
0.85
0.02
0.06
0.04
kz, 108
0.08
0.10
Рис. 1. Дисперсионная кривая для быстрой магнитозвуковой волны, излучаемой магнитной трубкой. Длина трубки равна
L = 130 тыс. км, радиус шнура b = 2 тыс. км. Кривые последовательно сверху вниз соответствуют значениям радиуса
оболочки a = 13, 12, 11, 10 и 9 тыс. км. Значения остальных параметров приведены в тексте.
и приближенных выражений (6) для решений в
(1)
оболочке. В разложениях функций J1 , H1 также
оставляем только главные члены. Далее, используя
приближенные выражения для D, C1 , C3
α2 r 4
D
≈−
2 ,
C3
ρ0 VAm
C1
2α2 r 3
≈−
2 ,
C3
ρ0 VAm
и исключая в граничных условиях (10) произвольные постоянные, получим дисперсионное соотношение для тонкой трубки
α2 a2 b2 (a2 − b2 )ρ0i (ω 2 − VAi2 kz2 ) ×
2 2
2
kz ) − 2ρ0 VAm
×
× ρ0e (ω − VAe
2
2
2 2
2
2
2 2
[b ρ0i (ω − VAi kz ) + a ρ0e (ω − VAe kz )]
(11)
2
×
= 0.
Необходимо иметь в виду, что параметры трубки в
этом уравнении ограничены условиями (1).
Уравнение (11) педставляет собой дисперсионное уравнение в нулевом приближении при малых значениях волнового числа kz . Оно имеет два
вещественных решения, описывающих незатухающие колебания, найти которые нетрудно. Одно из
них описывает быструю магнитозвуковую волну,
фазовая скорость которой превышает альвеновскую скорость в короне, поэтому она распространяется в радиальном направлении в окружающее
пространство, т.е. излучается трубкой. Второе решение в рассматриваемых нами условиях, характерных для солнечной короны, приводит к значениям ke a, значительно превышающим единицу,
что находится в оппозиции приближению тонкой
трубки, и это решение мы исключаем.
Затухание проявляется как эффект следующего,
первого, порядка относительно малой величины
kz a. В первом приближении решение дисперсионного уравнения является комплексным с относительно малой мнимой частью. Запишем комплексную частоту в виде
ω = ω0 (1 + ),
где ω0 – решение дисперсионного уравнения в нулевом приближении, а безразмерная величина дает первую поправку. Ее мнимая часть определяет
коэффициент затухания −ω0 Im, а отношение Q =
= −1/2Im представляет собой параметр добротности колебаний. Вещественная часть дает лишь
небольшую поправку к нулевому приближению ω0 ,
поэтому нас будет интересовать только ее мнимая
часть, для которой имеет место следующее выражение:
2
(12)
8ω0 Im α4 a2 b2 (a2 − b2 )ρ0e ρ0i (2ω02 −
2 2
2 2
2
2 2
2 2
− VAe kz − VAi kz ) − 2ρ0 VAm (α a ρ0e + α b ρ0i ) +
2 2
2 2
kz ) ×
+ πke a α4 a2 b2 (a2 − b2 )ρ0e ρ0i (ω02 − VAe
2
2 2
(α2 a2 ρ0e (ω02 − VAe
kz ) −
× (ω02 − VAi2 kz2 ) − 2ρ0 VAm
− α2 b2 ρ0i (ω02 − VAi2 kz2 )) = 0.
На рис. 1 представлены дисперсионные кривые при малых волновых числах для выбранной
быстрой моды, полученные из (11) при различных
значениях радиуса трубки. На рис. 2 изображена
зависимость добротности колебаний, полученная
из (12).
РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Рассмотрена модель цилиндрической магнитной
трубки с неоднородным по радиусу распределением
параметров плазмы и поля. Трубка представляет
собой плотный цилиндрический шнур, окруженный
коаксиальной оболочкой. Поле в шнуре является
продольным по оси трубки, а в оболочке имеет
только азимутальную составляющую, для определенности поле в оболочке выбрано потенциальным.
Это означает, что на границе “шнур–оболочка”
течет продольный поверхностный ток, создающий
поле в оболочке. На границе “оболочка–корона”
течет равный ему по величине ток с обратным
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 31
№6
2005
БЫСТРОЕ ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КОРОНАЛЬНЫХ ПЕТЕЛЬ
461
100
80
Q
60
40
20
0
0.02
0.04
0.06
kz, 108
0.08
0.10
Рис. 2. Добротность колебаний трубки на излучаемой быстрой магнитозвуковой моде. Длина трубки равна L =
= 130 тыс. км, радиус шнура b = 2 тыс. км. Кривые последовательно снизу вверх соответствуют значениям радиуса
оболочки a = 13, 12, 11, 10 и 9 тыс. км.
направлением, который экранирует азимутальное
поле в оболочке. Источниками этих токов могут
служить э.д.с., находящиеся в фотосфере или в более глубоких плотных слоях (Альфвен, Карлквист,
1967). Данная модель дает грубое описание корональной магнитной трубки, имеющей азимутальное
поле. В результате расширения скрученной магнитной трубки после ее выноса в атмосферу азимутальное поле “сгребается” к периферии трубки, где
образуется оболочка с практически азимутальным
полем (Паркер, 1982).
Изучены изгибные колебания трубки, находящейся во внешнем однородном продольном поле.
Имеются две особые точки радиального уравнения
в оболочке, точки альвеновского и каспового резонансов. Выбраны такие параметры трубки, при
которых резонансные точки отрезаются, они остаются за пределами трубки, поэтому используемые
в оболочке решения являются аналитическими. Таким образом, в рассматриваемой задаче нет резонансных эффектов. Делается это для того, чтобы
оценить быстроту затухания колебаний, связанного
с излучением волн, и возможность поглощения
энергии колебаний в окрестности резонансных поверхностей исключается.
Для моды m = 1, которая описывает изгибные колебания петли, наблюдавшиеся TRACE
(Ашванден и др., 1999; Накаряков и др., 1999;
Офман, Ашванден, 2002), получено дисперсионное
уравнение (11) в приближении тонкой трубки,
когда длина волны много больше радиуса трубки.
Его решения описывают быстрые магнитозвуковые
волны, распространяющиеся во внешнее окружение трубки, то есть излучаемые трубкой. Одно
решение имеет большие значения и бесконечно
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 31
растет, когда продольное волновое число стремится к нулю, второе решение имеет конечный
предел. Для первой моды приближение тонкой
трубки не оправдано, она должна описываться
точным дисперсионным уравнением. Для второй
моды приближение тонкой трубки допустимо.
Изучены колебания трубки именно на этой моде.
Найден коэффициент затухания (12) колебаний,
связанного с потерей энергии на излучение. На
рис. 1 и 2 представлены зависимости фазовой
скорости и добротности от волнового числа в
области малых значений продольного волнового
числа, где применимо приближение тонкой трубки.
Полученные результаты применены к колебаниям солнечных корональных петель. Для короны
характерны значения альвеновской скорости, значительно превосходящие скорость звука, выбраны
значения VAe = 700 км/с, Cse = 100 км/с. Плотность в шнуре равна ρ0i = 5ρ0e , для оболочки выбрано характерное значение плотности ρ0 = 5ρ0e .
Альвеновские скорости в шнуре VAi и оболочке
VAm находятся из условий (1). Для скоростей звука
выбраны значения Csi = 140 км/с, Csm = 120 км/с.
Масштабный параметр α = 0.25 1/см.
Из рис. 2 видно, что с уменьшением волнового
числа, т.е. с увеличением длины трубки, добротность растет. Например, при радиусе трубки a =
= 12 тыс. км и радиусе шнура b = 2 тыс. км добротность Q увеличивается от 19.7 до 84.9 при изменении длины трубки L от 110 тыс. км до 230 тыс. км.
Период колебаний принимает значения от 239 до
497 с. Альвеновская скорость в оболочке одна и та
же и равна 939 км/с. Плотность плазмы в оболочке меняется с радиусом, она принимает значения
№6
2005
462
МИХАЛЯЕВ
20ρ0e на границе со шнуром и 0.56ρ0e на границе
с короной во всех случаях. Значение плотности,
в 20 раз превосходящее плотность в короне, мы
считаем допустимым, поскольку этому есть наблюдательне подтверждения. Оценки плотности в
корональных петлях дают значения 8–18 (Ашванден, 2001). Продольное волновое число принимает
малые значения, и ke a < 0.29, так что приближение
тонкой трубки в данном случае применимо. Координата альвеновской резонансной точки принимает
значения rA = 35.7–74.3 тыс. км, превосходящие
радиус трубки, поэтому в рассматриваемых условиях резонансная точка в область оболочки не
попадает. Касповый резонанс в корональных условиях вообще отсутствует. Добротность и период
увеличиваются с ростом радиуса шнура. Если b
меняется от 1 до 4 тыс. км (при a = 12 тыс. км
и L = 130 тыс. км), то период увеличивается от
270 до 328 с, а добротность – от 18.1 до 190.
Альвеновская скорость в оболочке равна 939 км/с.
Автор выражает признательность также рецензентам, замечания которых повысили корректность
работы.
ПРИЛОЖЕНИЕ
РЕШЕНИЕ РАДИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Известно, что решения радиального уравнения (11) имеют особенности в точке r = 0 и в нулях
коэффициента D и что нули C3 особенностей не
дают (Апперт и др., 1974). Введем безразмерную
радиальную переменную ζ = αr и безразмерные
параметры
λ=
ω2
2 ,
α2 VAm
µ=
2
Csm
2 ,
VAm
ν=
kz2
.
α2
Тогда для K1 и K2 из (4) получим выражения
K1 =
(λζ 2 − 1)
,
ζ4
K2 =
(λµζ 2 + λ − µ)
.
ζ4
Таким образом, альвеновскую скорость в оболочке удается сделать близкой к альвеновской
скорости в окружающей короне. Тем самым преодолена основная трудность нашей предыдущей
модели двойной магнитной трубки, в которой поле
в оболочке было принято однородным (Соловьев
и др., 2003; Михаляев, Соловьев, 2004). Она состояла в том, что эффективное излучение, при
котором происходит быстрое затухание колебаний
петли было возможным, только если альвеновская
скорость в оболочке значительно (в несколько раз)
превосходит альвеновскую скорость в короне, а
плотность плазмы в оболочке на порядок меньше
плотности короны. Здесь получены более реалистичные условия, при которых альвеновские скорости и плотности в оболочке и в короне близки.
Очевидно особые точки уравнения определяются
нулями этих функций. Если они лежат на положительной части вещественной оси комплексной
плоскости ζ, то они дают точки резонанса. При
этом нуль функции K1 дает точку альвеновского
резонанса ζA , а нуль функции K2 – точку каспового резонанса ζC . В размерных величинах резонансные точки обозначим через rA и rC : rA = ζA /α, rC =
= ζC /α. Условие отсутствия каспового резонанса:
λ > µ. В исходных обозначениях оно выглядит как
ω > Csm α.
Запишем радиальное уравнение в приведенной
форме
Приведенные расчеты показывают, что возможно получение малых значений добротности, близких к наблюдаемым (Ашванден и др., 1999; Накаряков и др., 1999; Офман, Ашванден, 2002) и свидетельствующих о быстром затухании колебаний.
Таким образом, двойная магнитная трубка с сильно
скрученным полем в оболочке может служить приемлемой моделью некоторых корональных петель,
а наблюдаемое быстрое затухание поперечных колебаний петель может быть объяснено эффективным излучением петлей быстрых магнитозвуковых волн в окружающую корону. При этом нет
необходимости привлекать диссипативные эффекты, явление можно объяснить, оставаясь в рамках
идеальной магнитной гидродинамики.
Коэффициенты p(ζ) и q(ζ) имеют вид:
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(грант № 02-02-16156). Автор благодарит проф.
А.А. Соловьева за полезные обсуждения работы.
dP
d2 P
+ q(ζ)P = 0.
+ p(ζ)
2
dζ
dζ
2λζ(2λµζ 2 + λ − 6µ)
5
− 2 4
+
ζ
λ ζ µ + λ2 ζ 2 − 6λµζ 2 − λ + µ
2λµζ
,
+
2
λµζ + λ − µ
3
q(ζ) = −ν + 2 −
ζ
λ(−28µ + 3λ + 4λµζ 2 + λ2 ζ 2 )
+
− 2 4
λ ζ µ + λ2 ζ 2 − 6λµζ 2 − λ + µ
4µν
−4µ2 ν + 4νλµ + 2λ3
+ 2
.
+
2
(λµζ + λ − µ)λ
λζ − 1
p(ζ) =
Они записаны в форме, в которой проведено
частичное разложение. Выделены члены, определяющие особенность в нуле, выделены также члены, определяющие альвеновский и касповый резонансы. Для того чтобы их увидеть, надо сравнить
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 31
№6
2005
БЫСТРОЕ ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КОРОНАЛЬНЫХ ПЕТЕЛЬ
знаменатели с K1 и K2 . Нас будут интересовать
разложения решений в окрестности точки ζ = 0,
поэтому мы будем рассматривать решения уравнения в круге с центром в нулевой точке, радиус
которого равен расстоянию до ближайшей другой
особой точки. Анализ особых точек, кроме нулевой,
не входит в задачу настоящей работы. Отметим
только, что в резонансных точках одно из решений
имеет логарифмическую особенность, что является ожидаемым результатом (Гроссманн, Татаронис,
1973; Татаронис, Гроссман, 1973). Бесконечно удаленная точка является иррегулярной особой точкой
(Смирнов, 1974), где следует ожидать осциллирующее поведение решений подобно поведению
решений уравнения Бесселя. В выражениях для
коэффициентов остаются дополнительные члены,
имеющие более громоздкий вид. Они не дают особенностей в решениях, поскольку представляют
собой вклад величины C3 в радиальное уравнение.
Представим их в виде
A(ζ) =
ai ζ 2i+2 ,
B(ζ) =
4
bi ζ 2i+1 ,
i=0
C(ζ) =
5
ci ζ 2i .
i=0
Решения ищем при помощи рядов
1
wj ζ 2j ,
M (ζ) =
ζ
j≥0
N (ζ) = M (ζ) ln(ζ) +
1 uj ζ 2j ,
ζ3
j≥0
для нахождения коэффициентов которых строим
стандартные рекуррентные процедуры:
min(5,j)
wj−i [(2j − 2i − 1)(2j − 2i − 2)ai +
i=0
+ (2j − 2i − 1)bi + ci ] = 0,
3
5 dP
d2 P
+ 2 P ≈ 0.
+
2
dζ
ζ dζ
ζ
min(5,j)
Отсюда можно увидеть, что два линейно независимых решения имеют в нуле полюсы первого и
третьего порядков:
N (ζ) ∼
4
i=0
В окрестности нуля уравнение можно записать
приближенно в виде
1
M (ζ) ∼ ,
ζ
463
1
.
ζ3
uj−i [(2j − 2i − 3)(2j − 2i − 4)ai +
i=0
+ (2j − 2i − 3)bi + ci ] =
min(5,j−1)
=−
wj−i−1 [(4j − 4i − 7)ai + bi ],
j ≥ 0.
i=0
Будем искать решения радиального уравнения
при помощи разложения в ряд по степеням аргумента ζ. Для этого перепишем радиальное уравнение в следующей форме
A(ζ)
dP
d2 P
+ C(ζ)P = 0,
+ B(ζ)
2
dζ
dζ
где коэффициенты A(ζ), B(ζ), C(ζ) есть полиномы:
A(ζ) = (λ − µ)2 ζ 2 − 2λ(λ − µ)(λ − 4µ)ζ 4 +
+ λ2 (−10λµ + 14µ2 + λ2 )ζ 6 +
+ 2λ3 µ(λ − 4µ)ζ 8 + λ4 ζ 10 µ2 ,
B(ζ) = 5(λ − µ)2 ζ − 2λ(λ − µ)(4λ − 15µ)ζ 3 +
Здесь следует полагать a5 = b5 = 0. Далее мы нормируем решения, выбирая w0 = u0 = 1. Построенные ряды дают функции, аналитические в окрестности нуля (Смирнов, 1974). Сходимость рядов
простирается до ближайшей другой особой точки.
Можно считать, что построены два линейно независимых решения в круге с центром в нуле, радиус
которого равен min(ζA , ζC ). В общем случае радиус
сходимости равен min(|ζA |, |ζC |). При использовании решений для описания колебаний тонкой магнитной трубки будем считать, что граница трубки не
достигает точек резонанса: a < min(rA , rC ). Таким
образом, в рассматриваемых в данной работе условиях резонансные точки отрезаются.
+ λ2 (λ − 2µ)(3λ − 28µ)ζ 5 +
+ 2λ3 µ(−17µ + 3λ)ζ 7 + 3λ4 µ2 ζ 9 ,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
C(ζ) = 3(λ − µ)2 − (λ − µ)(λ2 + 4λµ +
1. Альфвен, Карлквист (H. Alfven and J. Carlqwist),
Solar Phys. (1967).
2. Апперт и др. (K. Appert, R. Gruber, and J. Vaclavik),
Phys. Fluids. 17, 1471 (1974).
3. Ашванден (M.J. Aschwanden), Astrophys. J. 560,
1035 (2001).
4. Ашванден и др. (M.J. Aschwanden, L. Fletcher,
C.J. Schrijver, et al.), Astrophys. J. 520, 880 (1999).
+ λν − νµ)ζ 2 − λ(λ − µ) ×
× (λ − 6µ)(3λ − 2ν)ζ 4 + λ2 (14νλµ − 38νµ2 −
− 13λ2 µ − νλ2 + 12λµ2 + λ3 )ζ 6 +
+ λ3 µ(−λµ + 12νµ + λ2 − 2λν)ζ 8 − λ4 νζ 10 µ2 .
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 31
№6
2005
464
МИХАЛЯЕВ
5. Ван Дурселаер и др. (T. Van Doorsselaere, J. Andries,
S. Poedts, et al.), Astrophys. J. 606, 1223 (2004).
6. Гроссманн, Татаронис (W. Grossmann and J. Tataronis), Z. Phys. 261, 203 (1973).
7. Михаляев Б.Б., Соловьев А.А., Письма в Астрон.
журн. 30, 307 (2004).
8. Накаряков и др. (V.M. Nakariakov, L. Ofman, and
E.E. Deluca), Science 285, 862 (1999).
9. Офман, Ашванден (L. Ofman and M.J. Aschwanden), Astrophys. J. 576, L153 (2002).
10. Паркер Е., Космические магнитные поля (М.:
Мир, 1982), с. 239.
11. Робертс (B. Roberts), Proc. of SOHO13 “Waves,
Oscillations and Small-Scale Transient Events in
the Solar Atmosphere: A Joint View From SOHO
and TRACE (Palma de Mallorka, Balearic Islands
(Spain), 29 September–3 October 2003. ESA –
SP-547. January 2004), p. 3.
12. Рудерман (M.S. Ruderman), Astron. Astrophys. 409,
287 (2003).
13. Рудерман, Робертс (M.S. Ruderman and
B. Roberts), Astrophys. J. 577, 475 (2002).
14. Смирнов В.И., Курс высшей математики. Т. 3.
Ч. 2 (М: Наука, 1974), с. 357.
15. Соловьев А.А., Михаляев Б.Б., Киричек Е.А., Физика плазмы 28, 758 (2002).
16. Соловьев А.А., Михаляев Б.Б., Киричек Е.А., Физика плазмы 29, 1130 (2003).
17. Спруит (H.S. Spruit), Solar Phys. 75, 3 (1982).
18. Татаронис, Гроссманн (J. Tataronis and W. Grossmann), Z. Phys. 261, 217 (1973).
19. Эдвин, Робертс (P.M. Edwin and B. Roberts), Solar
Phys. 88, 179 (1983).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 31
№6
2005