ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ Ìàòåìàòè÷åñêîå âîïðîñû èìîäåëèðîâàíèå çàäà÷è c ÍÃÓ 2009 ÁÁÊ ÓÄÊ Â.162.12 517.5 Î-75 1 Ñîäåðæàíèå 1. Îñíîâíûå âîïðîñû ïî êóðñó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Òåíçîðà è òåíçîðíûé àíàëèç. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. . . . . . . . . . . . . 2. Çàäà÷è ê ýêçàìåíó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Òåíçîðà è òåíçîðíûé àíàëèç. . . . . . . . . . . 2.2. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. 2.3. Ñîîòâåòñòâèå çàäà÷ ê áèëåòàì. . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 . 5 . 5 . 17 . 24 1. 1.1. Îñíîâíûå âîïðîñû ïî êóðñó. Òåíçîðà è òåíçîðíûé àíàëèç. 1. Êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû â R3 . Áàçèñ. Êîáàçèñ (âçàèìíûé áàçèñ). 2. Âåêòîð. Êîâàðèàíòíûå è êîíòðâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà. Èíâàðèàíòíîå îïðåäåëíèå âåêòîðà. 3. Îïðåäåëåíèå òåíçîðà ðàíãà äâà. Êîìïîíåíòû òåíçîðà. Äèàäíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñâîéñòâî äèàäíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Äèàäíûé áàçèñ. 4. Ôóíäàìåíòàëüíûé (ìåòðè÷åñêèé) òåíçîð è åãî ñâîéñòâà. Ôîðìóëû "æîíãëèðîâàíèÿ"èíäåêñàìè. Äëèíà âåêòîðà, óãîë ìåæäó âåêòîðàìè. 5. Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà ðàíãà äâà êàê ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ (îïåðàòîðà) R3 → R3 . Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (òåíçîðà). 6. Êîìïîçèöèÿ òåíçîðîâ. Òåíçîð îáðàòíûé ê äàííîìó. Ìàòðèöà òåíçîðà â íîâîì áàçèñå. Òåíçîð, ñîïðÿæåííûé ê äàííîìó. Ñëåä òåíçîðà. 7. Ïîñòðîåíèå òåíçîðà ïî òåíçîðàì L è M ïîñðåäñòâîì óìíîæåíèÿ êàæäîé êîìïîíåíòû L íà êàæäóþ êîìïîíåíòó M . Îïåðàöèÿ ñâåðòêè (ïðèìåðû). Òåîðåìà î äåëåíèè òåíçîðîâ. Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ëþáîãî êîíêðåòíîãî ñëó÷àÿ ïî âàøåìó óñìîòðåíèþ. 8. Êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ êîíòðâàðèàíòíûõ è êîâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò âåêòîðà. Òåíçîðíûé õàðàêòåð âåëè÷èí ∇i um , ∇i um . 9. Âåêòîðíîå ïîëå. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ãðàäèåíò. Ãðàäèåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ ϕ : Rn → Rm , m = 1. 10. Âåêòîðíîå ïîëå. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ãðàäèåíò. Ãðàäèåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ ϕ : Rn → Rm , m = n. 11. Êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ êîíòðâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà ðàíãà äâà. Êîâàðèàíòàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñóììû ∇j (αum + βv m ), ïðîèçâåäåíèÿ ∇j (um v m ). 12. Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà, òåíçîðà ðàíãà äâà. Ðîòîð âåêòîðà. 1.2. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. 1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) â Ýéëåðîâîì îïèñàíèè. Çàìêíóòàÿ ìîäåëü ôèëüòðàöèè â îäíîðîäíîé ïîðèñòîé ñðåäå. 2. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû â Ëàãðàíæåâîì îïèñàíèè. Ýêâèâàëåíòíîñòü Ëàãðàíæåâà è Ýéëåðîâà îïèñàíèé â äàííîì, êîíêðåòíîì ñëó÷àå. 3. Òåíçîð èñòèííûõ íàïðÿæåíèé Êîøè (Ýéëåðîâî îïèñàíèå). Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà). 4. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà (èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà). Ñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðà èñòèííûõ íàïðÿæåíèé. 5. Äèâåðãåíòíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû è çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. 3 6. Çàìêíóòàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü èäåàëüíîé æèäêîñòè, îñíîâàííàÿ íà çàêîíå ñîõðàíåíèÿ ìàññû è çàêîíå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. Çàêîí Äàðñè, êàê ïðèáëèæåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. 7. Òåíçîð äåôîðìàöèè Ãðèíà (Ëàãðàíæåâî îïèñàíèå). 8. Òåíçîð äåôîðìàöèè Àëüìàíñè (Ýéëåðîâî îïèñàíèå). 9. Ëèíåéíàÿ óïðóãàÿ ñðåäà. Ñîîòíîøåíèå "äåôîðìàöèè - íàïðÿæåíèÿ". Çàêîí Ãóêà. Îïèñàíèå ýêñïåðèìåíòîâ, ïîçâîëÿþùèõ îïðåäåëèòü êîíñòàíòû Ëàìå. 10. Çàìêíóòàÿ ìîäåëü ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè, îñíîâàííàÿ íà ëèíåàðèçàöèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû, çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, òåíçîðà äåôîðìàöèé Àëüìàíñè è çàêîíå Ãóêà (íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé). 11. Çàìêíóòàÿ ìîäåëü ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè (ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé). Äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ (ïëîñêîé äåôîðìàöèè) ïîñòàíîâêè: â ïåðåìåùåíèÿõ, íàïðÿæåíèÿõ (óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè) è â òåðìèíàõ ôóíêöèè Ýðè. 12. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè (äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà). 13. Äèâåðãåíòíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè. 14. Èäåàëüíàÿ äâóõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ñïëîøíàÿ ñðåäà (ãàç, æèäêîñòü). 4 2. Çàäà÷è ê ýêçàìåíó. 2.1. Òåíçîðà è òåíçîðíûé àíàëèç. Ïîñòðîèòü îñíîâíîé è âçàèìíûé áàçèñû äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñè- Çàäà÷à 1. ñòåìû êîîðäèíàò: x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ, x3 = z. Ðåøåíèå. Öèëèíäðè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò: x1 = r cos ϕ; x2 = r sin ϕ; x3 = z. (1) Âåêòîðû áàçèñà: ∂x1 cos ϕ ∂r 2 e1 = ∂x = sin ϕ , ∂r ∂x3 0 ∂r e2 = ∂x1 ∂ϕ ∂x ∂ϕ2 ∂x3 ∂ϕ ∂x1 −r sin ϕ = r cos ϕ , 0 e3 = ∂z ∂x2 ∂z ∂x3 ∂z 0 = 0 1 (2) Èç ei · ej = δij èìååì: − 1r sin ϕ e2 = 1r cos ϕ , 0 cos ϕ e1 = sin ϕ , 0 0 3 e = 0 . 1 (3) Ïóñòü Çàäà÷à 2. áàçèñà) â R 3 ~em ~e m - âåêòîðû áàçèñà, - âåêòîðû êîáàçèñà (âçàèìíîãî . Äîêàçàòü, ÷òî: [~e1 · (~e2 × ~e3 )] · [~e 1 · (~e 2 × ~e 3 )] = 1. Ðåøåíèå. ∂x1 ∂y1 2 W = ∂x ∂y1 ∂x ∂y13 ∂y1 ∂x1 ∂y1 −1 W = ∂x ∂y12 ∂x 3 ⇒W ·W −1 ∂x1 ∂y2 ∂x2 ∂y2 ∂x3 ∂y2 ∂y2 ∂x1 ∂y2 ∂x2 ∂y2 ∂x3 ∂x1 ∂y3 ∂x2 ∂y3 ∂x3 ∂y3 = e1 · (e2 × e3 ). ∂y3 ∂x1 ∂y3 ∂x2 ∂y3 ∂x3 = e1 · (e2 × e3 ). = 1. 5 Íàéòè êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gαβ äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (1). Çàäà÷à 3. Ðåøåíèå. gαβ - êîâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû. gαβ = ~eα · ~eβ , èç (2) ñëåäóåò: 1 0 0 (gαβ ) = 0 r2 0 0 0 1 Çàäà÷à 4. Íàéòè êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà g αβ äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (1). Ðåøåíèå. g αβ - êîíòðâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû. g αβ = ~e α · ~e β , èç (3) ñëåäóåò: 1 αβ (g ) = 0 0 0 1 r2 0 0 0 1 Çàäà÷à 5. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèÿ det (Tβm − λgβm ) = 0, det (Tβ··α − λgβα ) = 0, det (T βm − λg βm ) = 0, β· det (T·α − λgαβ ) = 0. èìåþò îäèíàêîâûå êîðíè. Ðåøåíèå. Èç ôîðìóë "æîíãëèðîâàíèÿ"èíäåêñàìè: T ij = Tαβ g αi g βj , Tij = T αβ gαi gβj , T·ji· = Tαj g αi , Ti··j = Tiα g αj (4) ñëåäóåò ñëåäóþùàÿ ìàòðè÷íàÿ çàïèñü: (Tβm − λgβm )(g mα ) = (Tβ··α − λgβα ) α α· − λgm ), (g αβ )(Tβm − λgβm ) = (T·m ·j (g αi )(Tαβ − λgαβ )(g βj ) = (g αi )(Tα· − λgαj ) = (T ij − λg ij ) Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ìàòðèöà îïåðàòîðà G íåâûðîæäåíà â ëþáîì áàçèñå, ò.ê. Gu = u. 6 Çàäà÷à 6. áàçèñ â 1 3 R Ïóñòü , òî çà T ϕi = λi ϕi è âñå λi - ðàçëè÷íû. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ϕi êîáàçèñ â R3 ìîæíî ïðèíÿòü ñèñòåìó âåêòîðîâ ψ : T ∗ ψi = µi ψi . Ðåøåíèå. T ∗ ϕi = aj ϕj ⇒ aj = T ∗ ϕi · ϕj = T ϕj · ϕi = λj ϕj · ϕi = λj δji ⇒ T ∗ ϕi = λi ϕi , ò.å. µi = λi . Çàäà÷à 7. Ïóñòü âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà (T ϕi = λi ϕi ). Íàéòè ìàòðèöó â (T ) λi òåíçîðà T ðàíãà 2 áàçèñàõ ϕi è ψi (T ∗ ψi = µi ψi ). - ðàçëè÷íû Ðåøåíèå. b = T a. ai λi ϕi = T ai ϕi = T a = b = bi ϕi ⇒ bi = ai λi ⇒ λ1 0 0 (Tij ) = 0 λ2 0 . 0 0 λ3 Àíàëîãè÷íî íàéäåì Tij â áàçèñå ψi (T ∗ ψi = µi ψi ), èç ñîîáðàæåíèé, ÷òî ϕi = αi ψi 2 . Çàäà÷à 8. Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âàðèàíòíîé êîìïîíåíòû òåíçîðà T αβ äàòü îïðåäåëåíèå äëÿ ∇j Tαβ . Ðåøåíèå. ∂ei ∂ei · ej = −Γijm ⇒ = −Γijm · ej . ∂ym ∂ym T = Tij (ei ⊗ ej ). i ∂T ∂Tij i ∂e ∂ej j j i = (e ⊗ e ) + Tij ⊗ e + Tij e ⊗ = ∂ym ∂ym ∂ym ∂ym = ∂Tij i (e ⊗ ej ) + −Γiαm Tij (ei ⊗ ej ) − Γjαm Tij (ei ⊗ eα ) = ∂ym ∂Tij i (e ⊗ ej ) − Tαj Γαim (ei ⊗ ej ) − Tiα Γαjm (ei ⊗ ej ) = ∂ym ∂Tij α α = − Tαj Γim − Tiα Γjm (ei ⊗ ej ) = ∇m Tij (ei ⊗ ej ) ∂ym = 1 2Ñ îðèãèíàëå çàäà÷à ïîñòàâëåíà íå ñîâñåì êîððåêòíî. òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèÿ, ãäå αi - íåêòîðûå êîíñòàíòû. 7 ∇j îò êî- ⇒ ∇m Tij = ∂Tij − Tαj Γαim − Tiα Γαjm . ∂ym Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé Çàäà÷à 9. âàðèàíòíîé êîìïîíåíòû òåíçîðà T αβ äàòü îïðåäåëåíèå äëÿ ∇j îò êî- ∇j T·βα· . Ðåøåíèå. T = T·ji· (ei ⊗ ej ); ∂T·ji· ∂ej ∂ei ∂T i· j i· j = (ei ⊗ e ) + T·j ⊗ e + T·j ei ⊗ = ∂ym ∂ym ∂ym ∂ym ∂T·ji· (ei ⊗ ej ) + T·ji· Γαim (eα ⊗ ej ) − T·ji· Γjαm (ei ⊗ eα ) = ∂ym i· ∂T·j α· i i· α = + T·j Γαm − T·α Γjm (ei ⊗ ej ) ∂ym ⇒ ∇m T·ji· ∂T·ji· i· α = + T·jα· Γiαm − T·α Γjm . ∂ym Çàäà÷à 10. Âûïèñàòü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ∇i ∇j um è ∇j ∇i um . Ðåøåíèå. ∂uk ∇j u = + ul Γklj . ∂yj k ∂(∇j um ) ∇i (∇j u ) = + (∇j uk )Γm ki = ∂yi m ∂Γm ∂ 2 um ∂ul m ∂uk m lj l = + Γlj + u + Γji + ul Γklj Γm ki = ∂yj ∂yi ∂yi ∂yi ∂yj ∂Γm ∂uk m ∂uk m ∂ 2 um kj k + Γkj + Γki + u + uk Γlkj Γm = li . ∂yj ∂yi ∂yi ∂yj ∂yi Çàäà÷à 11. Äîêàçàòü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîôåëÿ: 2Γm ij =g αm ∂gαj ∂gαi ∂gij + − ∂yi ∂yj ∂yα Ðåøåíèå. Èç ôîðìóëû 8 . (5) Γm ij · em = ∂ei ∂yj Ïîëó÷àåì: ∂(gij ) ∂ei · ej ∂ei ∂ej m m m = = · ej + ei · = Γm iα (em · ej ) + Γjα (ei · em ) = Γiα gmj + Γjα gim ; ∂yα ∂yα ∂yα ∂yα (6) ∂(gαi ) ∂(eα · ei ) m (7) = = Γm αj gmi + Γij gαm ; ∂yj ∂yj ∂(gαj ) ∂(eα · ej ) m = = Γm αi gmj + Γji gmα ; ∂yi ∂yi (8) Èç (6) + (7) − (8): ∂gαj ∂gαi ∂gij + − ; =g ∂yi ∂yj ∂yα ∂gαj ∂gαi ∂gij m αm ⇒ 2Γij = g + − . ∂yi ∂yj ∂yα m 2Γm ij em e αm Çàäà÷à 12. Íàéòè ñèìâîëû Êðèñòîôåëÿ âòîðîãî ðîäà â öèëèíäðè÷åñêîé ñè- ñòåìå êîîðäèíàò (1). Ðåøåíèå. Γm ij = ∂~ei · ~e m . ∂yj Èç (2), (3) è 1 0 0 (gαβ ) = 0 r2 0 , 0 0 1 èìååì: Γ221 = Γ212 = 1 αβ (g ) = 0 0 0 1 r2 0 0 0 1 11 1 (2r) = ; 2 2r r 1 Γ122 = (−2r) = −r; 2 Îñòàëüíûå ñèìâîëû ðàâíû íóëþ. Çàäà÷à 13. Âû÷èñëèòü íàò f : R3 → R1 ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. êîìïîíåíòû (∇f )m , m = 1, 2, 3 â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèÏóñòü (1). Ðåøåíèå. 9 (def ) (∇f )i = ∂f ∂yi (∇f )m = g mi (∇f )i îòñþäà: ∂f = ∂f (∇f )1 = ∂y ∂r 1 2 22 ∂f (∇f ) = g ∂y2 = (∇f )3 = ∂f = ∂f ∂y3 ∂z 1 ∂f r2 ∂ϕ Çàäà÷à 14. Çàïèñàòü äèâåðãåíöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ (div V~ ) â ïîëÿðíîé ñèñòå- ìå êîîðäèíàò: x1 = r cos θ, x2 = r sin θ. (9) Ðåøåíèå. grad F = ∇F, div F = tr(∇ F ) (def ) div V~ = ∇m V m , Γ221 = 1 r ∇m V m = ∂V m + V i Γm mi ∂ym ( Γ222 = −r - íàì íå ïîòðåáóåòñÿ). ∇1 V 1 = ∂V 1 , ∂y1 ∇2 V 2 = Òîãäà: div V~ = ∂V 2 1 +V1· y2 r ∂V m V 1 + . ∂ym r Çàäà÷à 15. Çàïèñàòü äèâåðãåíöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò (div V~ ) â öèëèíäðè÷åñêîé (1). Ðåøåíèå. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé çàäà÷å: ∇3 V 3 = m 1 ∂V 3 ~ = ∂V + V . è div V ∂y3 ∂ym r Çàäà÷à 16. Çàïèñàòü äèâåðãåíöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ ñòåìå êîîðäèíàò: 10 (div V~ ) â ñôåðè÷åñêîé ñè- x1 = r cos ϕ sin θ, 0 ≤ θ < π x2 = r sin ϕ sin θ, 0 ≤ ϕ < 2π (10) x3 = r cos θ. y1 = r y2 = θ y3 = ϕ Ðåøåíèå. Çàïèøåì âåêòîðû áàçèñà, êîáàçèñà è êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ äëÿ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: cos ϕ sin θ r cos ϕ cos θ −r sin ϕ sin θ e1 = sin ϕ sin θ , e2 = r sin ϕ cos θ , e3 = r cos ϕ sin θ ; (11) cos θ −r sin θ 0 cos ϕ sin θ e1 = sin ϕ sin θ , cos θ 1 e2 = r 1 r cos ϕ cos θ sin ϕ cos θ , − 1r sin θ 1 0 0 0 , (gαβ ) = 0 r2 2 0 0 r sin2 θ −r sin ϕ sin θ 1 e3 = 2 2 r cos ϕ sin θ ; r sin θ 0 (12) 1 0 0 αβ 1 ; 0 0 (13) (g ) = r2 1 0 0 r2 sin2 θ Èçâåñòíà ôîðìóëà: 1 mk ∂gmk Γm . im = g 2 ∂yi  íàøåì ñëó÷àå: 1 mm ∂gmm Γm . im = g 2 ∂yi Òîãäà: 1 11 (2r) = , Γ222 = Γ232 = 0 2 2r r 1 1 1 1 1 2 Γ323 = 2 sin θ cos θr2 = ctg θ = 2 2r sin θ = , 2 2 2 r sin θ r 2 r sin2 θ Γ1i1 = 0, Γ313 Γ212 = Γ333 = 0 ∇1 V 1 = ∇2 V 2 = ∇3 V 3 = ∂V 1 ∂V 1 = ∂y1 ∂r ∂V 2 1 ∂V 2 V 1 +V1 = + ∂y2 y1 ∂θ r ∂V 3 1 ∂V 3 V 1 + V 1 + V 2 ctg y2 = + + V 2 ctg θ ∂y3 y1 ∂ϕ r È îêîí÷àòåëüíî: 11 div V~ = ∇m V m = V1 ∂V m +2 + V 2 ctg θ. ∂ym r Çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) â Çàäà÷à 17. ïîëÿðíîé (9)(öèëèíäðè÷åñêîé (1), ñôåðè÷åñêîé (10)) ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ðåøåíèå. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå: dρ + ρdiv V~ = 0 (14) dt Èç çàäà÷ (2.14), (2.15), (2.16): dρ ∂V V1 +ρ + = 0 (äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé è ïîëÿðíîé ñ.ê.) dt ∂ym r m dρ ∂V V1 2 +ρ + V ctg θ = 0. (ñôåðè÷åñêàÿ) +2 dt ∂ym r divP = 0, P = P ∗ â äåêàðòîâîé êîìïîíåíòíóþ çàïèñü. Çäåñü P - òåíçîð ðàíãà Êîìïîíåíòíàÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ Çàäà÷à 18. ñèñòåìå êîîðäèíàò. (ò.å. äàòü äâà) Ðåøåíèå. def (divP) · a = div(P ∗ a), ∀a ∈ V div(P ∗ a) = n X i=1 ∇i n X P mi am = m=1 ⇒ div(P)m = n X n X m=1 i=1 n X ! ∇i P mi am ⇒ ∇i P mi ; i=1 Ò.ê. ∇i P mi = ∂P mi ∂yi mβ i + P βi Γm Γβi , òî äëÿ äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: βi + P m divP = 0 ⇔ (divP) = 0 ∀m ⇔ 3 X ∂P mi i=1 ∂yi = 0 ∀m. Çàäà÷à 19. Êîìïîíåíòíàÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò (9). (Çäåñü P divP = 0, P = P ∗ - òåíçîð ðàíãà äâà) Ðåøåíèå. 12 â ïîëÿðíîé 1 Γ221 = Γ212 = , r Òîãäà: ∂P 11 , ∂y1 ∇1 P 11 = ∇1 P 21 = 0= ∂P 21 1 21 + P , ∂y1 r n X n X ∂P 12 1 − rP 22 + P 11 , ∂y2 r ∇2 P 22 = ∂P 22 1 12 1 21 + P + P ∂y2 r r ∇i P 1i = 1 ∂P 11 ∂P 22 + − rP 22 + P 11 ∂y1 ∂y2 r ∇i P 2i = ∂P 21 ∂P 22 1 11 2 21 + + P + P . ∂y1 ∂y2 r r i=1 0= ∇2 P 12 = Γ122 = −r. i=1 Çàäà÷à 20. Ïóñòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà: u - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Çàïèñàòü div grad(u) = 0 â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ðåøåíèå.  äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò grad(u): (grad(u))m = (grad(u))m = m div V~ = ∇m V m = ∂V . Òîãäà: ∂u , ∂xm à ∂xm ∂ 2u 0 = div(grad(u)) = . ∂xm 2 Çàäà÷à 21. Ïóñòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà: u - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Çàïèñàòü div grad(u) = 0 â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (9). Ðåøåíèå. Èç çàäà÷ (2.13) è (2.14) (∇u)1 = ∂u , ∂r div V~ = (∇u)2 = 1 ∂u , r2 ∂ϕ ∂V m V 1 + . ∂ym r ⇒ 0 = div(grad(u)) = 1 ∂ 2 u 1 ∂u ∂ 2u + + . ∂r2 r2 ∂ϕ2 r ∂r Çàäà÷à 22. Ïóñòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà: u - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Çàïèñàòü div grad(u) = 0 â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (1). 13 Ðåøåíèå. 1 (g αβ ) = 0 0 0 ∂u 0 , (∇u)m = g mi (∇u)i = g mi ∂yi 1 0 1 r2 0 ∂u 1 ∂u ∂u , (∇u)2 = 2 , (∇u)3 = ; ∂r r ∂ϕ ∂z (∇u)1 = ∂V m V 1 + (èç çàäà÷è (2.15)); ∂ym r div V~ = 0 = div(grad(u)) = ∂ 2u 1 ∂ 2 u ∂ 2 u 1 ∂u . + + + ∂r2 r2 ∂ϕ2 ∂z 2 r ∂r Çàäà÷à 23. Ïóñòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà: u - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Çàïèñàòü div grad(u) = 0 â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (10). Ðåøåíèå. Èç çàäà÷è (2.16) 1 (g αβ ) = 0 0 (∇u)1 = ∂u , ∂r 0 1 r2 0 0 0 1 r2 sin2 θ (∇u)2 = , 1 ∂u , r2 ∂ϕ (∇u)m = g mi (∇u)3 = r2 ∂u ; ∂yi 1 ∂u 2 sin θ ∂z ∂V m vm ~ div V = + v 2 ctg θ; +2 ∂ym r ⇒ 0 = div(grad(u)) = ∂ 2u 1 ∂ 2u 1 ∂ 2 u 2 ∂u ctg θ ∂u + + + + 2 . ∂r2 r2 ∂ϕ2 r2 sin2 θ ∂z 2 r ∂r r ∂ϕ Çàäà÷à 24. Ïóñòü f, g - ñêàëÿðíûå ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Äîêà- çàòü, ÷òî: ∇(f g) = f ∇g + g∇f. Ðåøåíèå. (∇(f g))m = ∂(f g) ∂f ∂g = g+f = (∇f )m g + f (∇g)m = (f ∇g + g∇f )m ⇒ ym ∂ym ∂ym ⇒ ∇(f g) = f ∇g + g∇f. 14 Çàäà÷à 25. Ïóñòü f - ñêàëÿðíàÿ, à ~g - âåêòîðàÿ ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãó- ìåíòà. Äîêàçàòü, ÷òî: ∇(f~g ) = ~g ⊗ ∇f + f ∇~g . Ðåøåíèå. Äëÿ ~u: def ∇~u = ∇j um (em ⊗ ej ) = ∇j um (em ⊗ ej ); ∇(f~g ) = ∇j (f gm )(em ⊗ ej ) = (∇j f )gm (em ⊗ ej ) + f ∇j gm (em ⊗ ej ), ~g ⊗ ∇f = (gm em ⊗ ∇j f ej ) = gm ∇j f (em ⊗ ej ), |{z} ∂f ∂yj f ∇~g = f ∇j gm (em ⊗ ej ) ⇒ ⇒ ∇(f~g ) = ~g ⊗ ∇f + f ∇~g . Çàäà÷à 26. ~u Ïóñòü f~, ~u - âåêòîðíûå ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãóìåíòà, ïðè÷åì - ïîñòîÿííàÿ. Äîêàçàòü, ÷òî: (∇f~)~u = div(f~ ⊗ ~u). Ðåøåíèå. Ôîðìóëû: ∇f~ = ∇j f m (em ⊗ ej ) div(f~ ⊗ ~u) = n X ! ∇j (f m uj ) em j=1 Îòñþäà: div(f~ ⊗ ~u) = ∇j (f m uj )em = uj ∇j f m em uj - êîíñòàíòà, ò.å. ∇j uj = 0 (∇f~)~u = ∇j f m (em ⊗ ej )~u = ∇j f m (~u · ~e j )em = ∇j f m uj em = uj ∇j f m em Çàäà÷à 27. Ïóñòü f~, ~u - âåêòîðíûå ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Äîêà- çàòü, ÷òî: ∇(f~ · ~u) = [∇f~]∗~u + [∇~u]∗ f~. Ðåøåíèå. Ôîðìóëû: 15 ∇f~ = ∇j fm (em ⊗ ej ), Ñëåäîâàòåëüíî: (T ∗ )ij = Tji (Tij = (T ej ei ) = (ej T ∗ ei ) = (T ∗ )ji ) (∇f~)∗ = ∇m fj (em ⊗ ej ); Òîãäà: [∇f~]∗~u = (∇m fj )uj em ; Àíàëîãè÷íî: ∇~u = ∇j um (em ⊗ ej ) ⇒ [∇~u]∗ = ∇j um (ej ⊗ em ) = ∇m uj (em ⊗ ej ). T·ji· = (T ∗ )·ij· [∇~u]∗ f~ = (∇m uj )fj em , def f~ · ~u = fj uj ; ∇(f~·~u) = ∇m (f~·~u)em = ∇m (fj ·uj )em = (∇m f j )uj em +(∇m uj )fj em = [∇f~]∗~u+[∇~u]∗ f~. Çàäà÷à 28. Ïóñòü ϕ - ñêàëÿðíàÿ, à f~ - âåêòîðíàÿ ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãó- ìåíòà. Äîêàçàòü, ÷òî: div(ϕf~) = f~ · grad ϕ + ϕ div f~. Ðåøåíèå. div(ϕf~) = ∇m (ϕf m ) = (∇m ϕ)f m +ϕ·∇m f m = (∇ϕ)m f m +ϕ·∇m f m = ∇ϕ·f~+ϕdiv f~. Çàäà÷à 29. Ïóñòü T - òåíçîðíàÿ, à f~ - âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àð- ãóìåíòà. Äîêàçàòü, ÷òî div(T f~) = (div T ∗ ) · f~ + tr(T grad f ) Ðåøåíèå. div(T f~) = div(T ij (ei ⊗ej )(fm em )) = div(T ij fj ~ei ) = ∇i (T ij fj ) = (∇i T ij )fj +T ij ·(∇i fj ); (∇i T ij )fj = (∇i (T ∗ )ji )fj = (div T ∗ )j fj = div T ∗ · f~ i· αj i· αj i· ~ β· ~ α· T ij · (∇i fj ) = T ij (∇f~)ji = (T·α g )(gjβ (∇f~)β· ·j ) = T·α (g gjβ )(∇f )·j = T·α (∇f )·i = = (T ∇f~)i··i = tr(T ∇f~). 16 2.2. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Çàäà÷à 1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè): dρ + ρ div ~v = 0, dt ïðèâåñòè ê äèâåðãåíòíîìó âèäó: ∂ρ + div(ρ~v ) = 0. ∂l Ðåøåíèå. i ∂ρ ∂ρ ∂ρ i ∂v dρ i j i + ρ div ~v = + ~v (∇ρ) + ρ · ∇i v = + v +ρ· + v Γji = dt ∂t ∂t ∂xi ∂xi ∂ρ ∂(ρv)i ∂ρ j i = + + div(ρ~v ). + (ρv) Γji = ∂t ∂xi ∂t Çàäà÷à 2. ãäå J Äîêàçàòü, ÷òî - ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ ∂J = J div~v , ∂t V0 → V : dV = JdV0 . Ðåøåíèå. J = ∂ ∂t ∂xi ∂ξj ∂x1 ∂ξ1 ∂x det ∂ξ12 ∂x3 ∂ξ1 ∂ = ∂ξj ∂xi ∂t ∂x1 ∂ξ2 ∂x2 ∂ξ2 ∂x3 ∂ξ2 = ∂x1 ∂ξ3 ∂x2 ∂ξ3 ∂x3 ∂ξ3 ∂vi ∂vi ∂xk = · ∂ξj ∂xk ∂ξj Ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèèðîâàíèÿ îïðåäåëèòåëÿ è ïî ñâîéñòâàì îïðåäåëèòåëÿ: ⇒ ∂J ∂v1 ∂v2 ∂v3 = J + J + J == J div ~v . ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 Çàäà÷à 3. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ρ d~v = div P dt ïðèâåñòè ê äèâåðãåíòíîìó âèäó: 17 (15) ∂(ρ~v ) = div (P − ρ~v ⊗ ~v ). ∂t Ðåøåíèå. ∂ ∂ρ ∂vi = (ρvi ) − vi ∂t ∂t ∂t ∂vi ∂ ∂ ρvj = (ρvi vj ) − vi (ρvj ) ∂xj ∂xj ∂xj êîìïàêòíàÿ çàïèñü äèâåðãåíòíîãî óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè: ρ ∂ρ ∂ + (ρvj ) = 0 ∂t ∂xj Òàê æå: ρ ⇒ρ Îòñþäà: (16) dvi ∂vi ∂vi =ρ + ρvj dt ∂t ∂xj dvi ∂ ∂ = (ρvi ) + (ρvi vj ) dt ∂t ∂xj ∂ ∂(ρvi ) = (Pij − ρvi vj ) ∂t ∂xj Âåëè÷èíû vi , vj - êîìïîíåíòû ñèììåòðè÷åñêîãî äèàäíîãî òåíçîðà (v ⊗ v). ⇒ ∂(ρ~v ) = div[P − ρ(v ⊗ v)]. ∂t Çàäà÷à 4. Êàêèå óñëîâèÿ îáåñïå÷èâàþò ñèììåòðè÷íîñòü èñòèííûõ íàïðÿæåíèé â çàêîíå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (P = P ∗ ) (15)? Ðåøåíèå. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà: Z Z Z d ρ(x × v)dV = ρ(x × f )dV + (x × pn )dS dt V (t) v(t) S(t) Ïóñòü F = ρf − ρa, ãäå a - óñêîðåíèå. Z Z (x × F )dV + (x × pn )dS = 0 V Z Z (x × pn )dS = S S Z (x × pxi cos (n[ , xi ))dS = S V 18 ∂ (x × pxi )dV = ∂xi òåíçîðà Z = Z ∂x ∂pxi x× × pxi dV + dV = ∂xi ∂xi V V Z Z (x × div P )dV (qi × qj )pji dV + = V V Z ⇒ Z [x × (div P + F )]dV + V (qi × qj )pji dV = 0 V (qi × qi ) = 0, (qi × qj ) = −(qj × qi ) ⇒ (qi × qj )pji = (qi × qj )(pji − pij ), i < j ⇒ pij = pji ò.å. P ∗ = P , ò.ê. div P + F = 0 - çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà. Çàäà÷à 5. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè dE ρ + div~q = P · D, dt 1X P ·D = pij 2 i,j ∂vi ∂vj + ∂xj ∂xi (17) ïðèâåñòè ê äèâåðãåíòíîìó âèäó ∂(ρε) + div[~v (ρε + P) + ~q] = 0, ∂t 1 ε = E + |~v |2 . 2 Ðåøåíèå. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè: Z Z Z d ρεdV = ~v pn dS + qn dS dt V (t) S(t) (18) S(t) qn = −q · n - âåêòîð ïîòîêà òåïëà, pn = P · n. Òîãäà, ïî ôîðìóëå ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî: Z Z Z dε div(Pv)dV − div q dV ρ dV = dt V V (t) ⇒ ρ dε =ρ dt ∂(ρε) ∂t ∂ρ ε ∂t = ∂ε ∂t ∂ε + vi ∂x i + ρ ∂ε ∂t V dε ∂(ρε) ∂ρ ∂ε − ε + ρvi ⇒ρ = dt ∂t ∂t ∂xi Òîãäà èç (14) (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû) ρ ∂(ρε) ∂(ρε) dε ∂ε = − div(ρ~v )ε + ρvi = + div(ρ~v ε) dt ∂t ∂xi ∂t ∂(ρε) + div[(ρε + P)~v + ~q ] = 0 ∂t 19 Ïóñòü Çàäà÷à 6. εij - êîìïîíåíòû ëèíåéíîãî òåíçîðà äåôîðìàöèé â äåêàð- òîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò äåôîðìàöèé: (i, k = 1, 2). Äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè ∂ε11 ∂ε22 ∂ 2 ε12 + = 2 ∂x22 ∂x21 ∂x1 ∂x2 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðà ïåðåìåùåíèé ~u. Ñ êàêèì ïðîèçâîëîì îïðåäåëÿåòñÿ ýòîò âåêòîð â äàííîì ñëó÷àå? Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïëîñêîé äåôîðìàöèè: ïðè òàêîé äåôîðìàöèè âåêòîð óïðóãèõ ïåðåìåùåíèé ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíîé îäíîé èç êîîðäèíàò2 1 = ∂u = 0. Ïî îïðåäåëåíèþ: íûõ ïëîñêîñòåé. Ïóñòü u3 = 0, ∂u ∂x3 ∂x3 du1 = du2 = ∂u1 dx1 ∂x1 ∂u2 dx1 ∂x1 + + ∂u1 dx2 ∂x2 ∂u2 dx2 ∂x2 ε11 , ε22 - çàäàíû è 2 · ε12 = 1 = ε11 dx1 + ∂u dx2 ; ∂x2 ∂u2 = ∂x1 dx1 + ε22 dx2 . ∂u1 ∂u2 + . ∂x2 ∂x1 Ïóñòü 2ω(ω1 , ω2 , ω3 ) = rot u - âåêòîð ïîâîðîòà. 2ω1 = ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂u3 ∂u2 ∂u1 − , 2ω2 = − , 2ω3 = − . ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ω1 = ω2 = 0, ω3 6= 0 ∂u1 ∂u2 = ε12 − ω3 , = ε12 + ω3 . ∂x2 ∂x1 ⇒ du1 = ε11 dx1 + (ε12 − ω3 )dx2 ; du2 = (ε12 + ω3 )dx1 + ε22 dx2 . Óñëîâèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà äëÿ dui äàþò: ∂ε12 ∂ε11 ∂ω3 ∂ε22 ∂ε12 ∂ω3 = − ; = − ; ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ⇒ ∂ 2 ε12 ∂ 2 ε12 ∂ 2 ε22 = + ∂x1 ∂x2 ∂x22 ∂x21 Çàäà÷à 7. Ïóñòü ñêàëÿðíîå, âåêòîðíîå èëè òåíçîðíîå ñâîéñòâî ïðåäñòàâëåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: Z Aij (t) = Bij (~x, t)dV, V (l) ãäå V (t) - îáúåì â ìîìåíò âðåìåíè t. Äîêàçàòü, ÷òî: dAij = dt Z ∂Bij ∂ + (vm Bij ) dV. ∂t ∂xm V (l) 20 Ðåøåíèå. Z D(x) d x→ξ J = = Bij J (ξ, t)dV0 = Bij (x, t)dV = V → V0 D(ξ) dt Z d dt v0 V (t) Z d (Bij (ξ, t)J )dV0 = dt = Z d (Bij ) · J + dt d J dt Bij dV0 = V0 V0 dJ = = J div v dt Z = d (Bij )J + Bij J div v dV0 = [îáðàòíàÿ çàìåíà] = dt V0 Z = Z d ∂Bij ∂Bij (Bij (x, t)) + Bij div v dV = + vm + Bij div v dV = dt ∂t ∂xm V (t) V (t) Z = ∂Bij ∂ + (vm Bij ) dV ∂t ∂xm V (t) Çàäà÷à 8. Ïóñòü - äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, f (~x(t), t) Äîêàçàòü, ÷òî Z d dt Z f (~x, t)ρdV = V (l) ρ(~x, t) - ïëîòíîñòü. df ρdV. dt V (l) Ðåøåíèå. d dt Z x→ξ d D(x) = = J = f (ξ, t)ρJ dV0 = V → V0 D(ξ) dt Z v0 v(t) Z = d (f ρJ )dV0 = dt v0 = dρ dt dJ dt Z df dρ dJ ρJ + f J + f ρ · dV0 = dt dt dt v0 = −ρdiv ~v = J div ~v Z = df ρJ dV0 = |îáðàòíàÿ çàìåíà| = dt v0 Z df ρdV dt v(t) Çàäà÷à 9. Ïóñòü d dt f (~x(t), t) Z Z f (~x, t)dV = V (t) ãäå S(t) - äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòü, ÷òî ãðàíèöà îáëàñòè ∂ f (~x, t)dV + ∂t V (t) V (t), ~n Z f d~x · ~ndS, dt S(t) - âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê 21 S(t). Ðåøåíèå. Z d dt Z x→ξ D(x) d J = f (~x, t)J dV0 = f (~x, t)dV = = V → V0 D(ξ) dt V0 V (t) Z = d (f · J )dV0 = dt Z Z d dJ (f )J + f dt dt dV0 = V0 V0 d (f )J + f J div ~v dV0 = dt V0 = |îáðàòíàÿ çàìåíà| = Z ∂f + f div ~v dV = ∂t V (t) Z = Z ∂f dV + ∂t V (t) ∂f dV + ∂t Z f Z f~v~ndS = S(t) d~x ~ndS. dt S(t) V (t) Äîêàçàòü, ÷òî Çàäà÷à 10. ε123 = ~e1 · (~e2 × ~e3 ) = ãäå ~ei , i = 1, 2, 3 - âåêòîðà áàçèñà, q det(gij ), gij , i, j = 1, 2, 3 - êîâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà. Ðåøåíèå. e1 2 2 2 ε123 = (~e1 (~e2 × ~e3 )) = det (e1 e2 e3 ) = det e2 det e1 e2 e3 = e3 e1 p = det e2 e1 e2 e3 = det(gij ) ⇒ ε123 = ± det gij . e3 Ïóñòü f (~x(t), t) - äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòü, Z Z d df (~x, t) f (~x, t)dV = + f div ~v dV. dt dt Çàäà÷à 11. V (t) V (t) Ðåøåíèå. d dt Z Z x→ξ D(x) d ~ t)dV0 = , J = = J f (ξ, f (~x, t)dV = V → V0 D(ξ) dt V0 V (t) 22 ÷òî Z = d (f · J )dV0 = dt V0 Z = Z d ~ ~ t) dJ f (ξ, t) · J + f (ξ, dt dt dV0 = V0 d ~ ~ t) · J div ~v f (ξ, t) · J + f (ξ, dt dV0 = |îáðàòíàÿ çàìåíà| = V0 Z = df (~x, t) + f div ~v dV. dt V (t) ∂u ∂u Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåíåáðå÷ü âåëå÷èíàìè ∂x i ∂xk ≈ o(δ 2 ), (äåj l êàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò) òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû çàïèñûâàåòñÿ â âèäå Çàäà÷à 12. ρ = ρ0 (1 − J1 (ε)), ãäå J1 (ε) = ε11 + ε22 + ε33 = ïåðâûé âàðèàíò òåíçîðà äåôîðìàöèé ∂u1 ∂u2 ∂u3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 ε Ðåøåíèå. ρ 1 = = J −1 ; ρ0 J ∂ξi ∂xi −1 ⇒ J = det J = det ∂ξj ∂xj ρ0 = ρJ ⇒ xi = ξi + ui ⇒ ξi = xi − ui ⇒ J −1 = det 1 1 − ∂u ∂u∂x1 = − ∂x12 − ∂u3 ∂x1 ∂u1 = 1− 1− ∂x1 ∂ξi ∂xj ∂ui ∂ξi = vij − ; ∂xj ∂xj = 1 1 − ∂u − ∂u ∂x2 ∂x3 2 2 1 − ∂u − ∂u ∂x2 ∂x3 = ∂u3 ∂u3 − ∂x2 1 − ∂x3 ∂u2 ∂u3 1− + O(v 2 ) = ∂x2 ∂x3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 − − + o(v 2 ) ≈ 1 − J1 (ε) ∂x1 ∂x2 ∂x3 ρ ⇒ = 1 − J1 (ε) ⇒ ρ = ρ0 (1 − J1 (ε)). ρ0 1− Çàäà÷à 13. x3 (Äîïîëíèòåëüíî)  îñåñèììåòðè÷íîì ïîòîêå â íàïðàâëåíèè îñè ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé x3 è r, ãäå r2 = x21 + x22 . Íàéòè, êàêîé âèä ïðèíèìàåò óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû) (14), åñëè 23 ~v = k~er + v3~e3 2.3. Ñîîòâåòñòâèå çàäà÷ ê áèëåòàì. 1. (Áèëåò 1) - çàäà÷à 5 èç 2.2. 2. (Áèëåò 2) - çàäà÷à 3 èç 2.2. 3. (Áèëåò 3) - çàäà÷à 4 èç 2.2. 4. (Áèëåò 4) - çàäà÷à 7 èç 2.2. 5. (Áèëåò 5) - çàäà÷à 6 èç 2.2. 6. (Áèëåò 6) - çàäà÷à 8 èç 2.2. 7. (Áèëåò 7) - çàäà÷à 1 èç 2.2. 8. (Áèëåò 8) - çàäà÷à 12 èç 2.2. 9. (Áèëåò 9) - çàäà÷à 9 èç 2.2. 10. (Áèëåò 10) - çàäà÷à 11 èç 2.2. 11. (Áèëåò 12) - çàäà÷à 2 èç 2.2. 12. (Áèëåò 13) - çàäà÷à 26 èç 2.1. 13. (Áèëåò 14) - çàäà÷à 25 èç 2.1. 14. (Áèëåò 15) - çàäà÷à 17 èç 2.1. (äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñ.ê.) 15. (Áèëåò 16) - çàäà÷à 22 èç 2.1. 16. (Áèëåò 17) - çàäà÷à 21 èç 2.1. 17. (Áèëåò 18) - çàäà÷à 19 èç 2.1. 18. (Áèëåò 19) - çàäà÷à 29 èç 2.1. 19. (Áèëåò 20) - çàäà÷à 27 èç 2.1. 20. (Áèëåò 21) - çàäà÷à 17 èç 2.1. (äëÿ ñôåðè÷åñêîé ñ.ê.) 21. (Áèëåò 22) - çàäà÷à 18 èç 2.1. 22. (Áèëåò 23) - çàäà÷à 23 èç 2.1. 23. (Áèëåò 24) - çàäà÷à 20 èç 2.1. 24. (Áèëåò 25) - çàäà÷à 24 èç 2.1. 25. (Áèëåò 26) - çàäà÷à 28 èç 2.1. 26. (Áèëåò 27) - çàäà÷à 24 èç 2.1. 27. (Áèëåò 28) - çàäà÷à 6 èç 2.1. 28. (Áèëåò 29) - çàäà÷à 23 èç 2.1. 29. (Áèëåò 30) - çàäà÷à 7 èç 2.1. 30. (Áèëåò 31) - çàäà÷à 9 èç 2.2. 24