Задачи по курсу «Классическая дифференциальная геометрия»

Задачи по курсу «Классическая дифференциальная геометрия» (для 201 группы; весна 2009)
Замечание: пока здесь задачи лишь по первым темам курса (для подготовки к контрольной). Задачи по следующим темам будут выданы позже.
I. КРИВЫЕ
Основные типы задач по данной теме:
— задать в параметрической форме кривую, описанную словами, дифференциальным уравнением, системой уравнений
— вычислить длину кривой, ввести натуральный параметр на кривой
— вычислить кривизну кривой
1. Точка M движется по лучу с постоянной скоростью v, который вращается вокруг своего начала O с постоянной угловой скоростью ω. Найти длину траектории точки M , получающейся при одном обороте луча (в начальный момент OM = a).
2. Окружность радиуса r катится (без проскальзывания) по внешней стороне неподвижной окружности радиуса R. В начальный момент точка M катящейся окружности лежит на неподвижной окружности. Найти длину траектории точки M до ее следующего
попадания на неподвижную окружность.
3. Описать кривые r(t), заданные дифференциальным уравнением r0 = ω × r, где ω — постоянный вектор.
4. Доказать, что если материальная точка движется в пространстве под действием центральной силы (т.е. сила в каждой точке P
направлена вдоль прямой OP , где O — некоторая фиксированная точка), то ее траектория — плоская кривая.
5. Доказать, что если все нормальные плоскости к пространственной кривой проходят через фиксированную точку P , то эта кривая
лежит на сфере с центром в точке P .
6. Ввести на кривой r(t) = (et cos t, et sin t, et ) натуральный параметр.
7. Доказать, что для пространственной кривой r(t) плоскость, натянутая на вектора r0 (t) и r00 (t) (в точках, где эти вектора линейно
независимы), не зависит от регулярной параметризации кривой. (Эта плоскость называется соприкасающейся плоскостью.)
8. Доказать, что кривизна кривой в точке P равна кривизне ее ортогональной проекции на соприкасающуюся плоскость в точке P .
9. В каждой точке кривой r(t) = (t − sin t, 1 − cos t, 4 sin(t/2)) в направлении вектора ускорения r00 отложен отрезок, длина которого
в четыре раза больше кривизны кривой. Для каждой точки новой кривой найти уравнение соприкасающейся плоскости.
10. Найти кривизну винтовой линии r(t) = (a cos t, a sin t, bt).
11. Кривая задана в R3 (x, y, z) уравнениями x + sh x = sin y + y и z + ez = x + ln(1 + x) + 1. Найти ее кривизну в точке (0, 0, 0).
12. Выразить кривизну плоской кривой, заданной в виде ρ = f (ϕ) в полярных координатах ρ, ϕ, через функцию f и ее производные.
13. Найти уравнение плоской кривой, для которой радиус кривизны совпадает с длиной отрезка нормали от кривой до оси абсцисс.
14. Написать параметрическое уравнение плоской кривой, для которой зависимость кривизны k от натурального параметра s задается
a
формулой k(s) = a2 +s
2.
R
15. Доказать, что γ k(s) ds = 2π, где k(s) — кривизна замкнутой плоской выпуклой кривой γ, а s — натуральный параметр.
II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Основные типы задач по данной теме:
— выяснить, является ли (линейно) связным, компактным, хаусдорфовым данное топологическое пространство
— определить, являются ли гомеоморфными данные топологические пространства
— доказать непрерывность данного отображения (проверить, является ли оно гомеоморфизмом)
1. Доказать, что следующие пространства попарно не гомеоморфны: прямая, отрезок, луч, окружность, пара пересекающихся прямых,
плоскость, сфера.
2. Доказать, что Rn гомеоморфно открытому диску Dn = {x ∈ Rn | |x| < 1}.
3. Связная компонента точки — это максимальное связное подмножество, содержащее эту точку.
а) Доказать, что это определение корректно.
б) Доказать, что любая связная компонента открыта и замкнута.
4. Доказать, что для (топологического) многообразия понятия связности и линейной связности эквивалентны.
5. Доказать, что любое конечное связное топологическое пространство является линейно связным.
6. Пусть X — компактное топологическое пространство, Y — хаусдорфово топологическое пространство, f : X → Y — непрерывное
взаимно-однозначное отображение. Доказать, что f — гомеоморфизм.
7. Пусть X — это подмножество плоскости R2 (x, y), состоящее из всех точек верхней полуплоскости (без границы) и отрезка прямой
y = 0, т. е. X = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | y = 0, 0 ≤ x ≤ 1}). Привести пример топологического пространства Y и
отображений f : X → Y и g : Y → X, таких что отображения f и g взаимно-однозначны и непрерывны, а X и Y не гомеоморфны.
8. Доказать, что множество отрезков единичной длины на плоскости гомеоморфно S 1 × R2 .
9. Доказать, что множество прямых на плоскости гомеоморфно листу Мёбиуса.
10. Для каждого из следующих множеств матриц найти число его компонент связности, а также выяснить, является ли оно компактным:
а) SL(2, R) = {вещественные 2 × 2-матрицы A | det A = 1}
б) SO(3, R) = {вещественные 3 × 3-матрицы A | AA> = E, det A = 1}
>
в) SU(2) = {комплексные 2 × 2-матрицы A | AA = E, det A = 1}
г) O(1, 1) = {вещественные 2 × 2-матрицы A | AIA> = I}, где I = ( −10 01 ).
³
´
−1 0 0
0 1 0 .
д) SO(1, 2) = {вещественные 3 × 3-матрицы A | AIA> = I, det A = 1}, где I =
0 0 1
11. Доказать, что
а) SL(2, R) гомеоморфно произведению двумерного диска на окружность,
б) SO(3, R) гомеоморфно множеству единичных касательных векторов к двумерной сфере,
в) SU(2) гомеоморфно 3-мерной сфере.
III. РИМАНОВА МЕТРИКА
Основные типы задач по данной теме:
— вычисление римановой метрики для поверхности, заданной параметрически или уравнением
— запись данной римановой метрики в новых координатах, локальная изометричность поверхностей
— вычисление длин кривых, углов между кривыми, площадей фигур для заданной римановой метрики
1. Записать (в координатах u, v) риманову метрику поверхности r(u, v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, c sin u).
2. Для поверхности, заданной в R3 (x, y, z) уравнением x4 + y 4 + z 4 + xyz = 4, вычислить матрицу римановой метрики в точке (1, 1, 1)
в координатах x, y.
3. Поверхность называется конической, если она образована лучами с началом в фиксированной точке O, проходящими через точки
данной кривой r(t) (пусть при этом кривая такова, что r(t) и r0 (t) линейно независимы во всех точках кривой). Доказать, что любая
коническая поверхность локально изометрична плоскости.
4. Можно ли изометрично отобразить часть прямого кругового цилиндра, заданную условиями x2 + y 2 = R2 и 0 ≤ z ≤ H, на какуюлибо область на конической поверхности.
¡
¢
√
5. Показать, что винтовая поверхность r1 (ρ, v) = (ρ cos v, ρ sin v, ρ+v) и гиперболоид вращения r2 (r, ϕ) = r cos ϕ, r sin ϕ, r2 −1
2
2
локально изометричны, причем изометрия устанавливается следующими уравнениями: ϕ = v + arctg ρ и r = ρ + 1.
6. Доказать утверждения:
а) если все нормали к поверхности проходят через некоторую точку, то поверхность является частью сферы;
б) если все нормали к поверхности пересекают некоторую прямую, то поверхность является частью поверхности вращения.
7. Пусть метрика на поверхности имеет вид ds2 = du2 + (u2 + a2 )dv 2 . Определить, под каким углом пересекаются кривые u + v = 0
и u − v = 0.
8. На плоскости с координатами u, v задана метрика ds2 = du2 + sh2 u dv 2 . Найти длину кривой, заданной уравнением u = v, между
точками M1 (t1 , t1 ) и M2 (t2 , t2 ).
9. На поверхности r(u, v) = (u cos v, u sin v, v) (она называется геликоидом) найти площадь “треугольника”, заданного неравенствами 0 ≤ u ≤ sh v и 0 ≤ v ≤ v0 .
10. Найти уравнения кривых, которые делят пополам углы между координатными линиями на параболоиде вращения r(u, v) =
(u cos v, u sin v, u2 /2).
IV. ГЕОМЕТРИЯ НА СФЕРЕ И ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Основные типы задач по данной теме:
— записать метрику на сфере или плоскости Лобачевского в данных координатах
— описать изометрии сферы или плоскости Лобачевского (в различных системых координат)
— описать свойства “прямых” и “окружностей” на сфере или плоскости Лобачевского (в различных системых координат)
— вычислить длину кривой, площадь фигуры на сфере или плоскости Лобачевского
1. Показать, что при стереографической проекции сферы (псевдосферы) из северного полюса на горизонтальную плоскость
а) сечения сферы (псевдосферы) плоскостями, проходящими через ее центр, переходят в прямые и окружности на плоскости;
б) углы между кривыми сохраняются.
2. Назовем прямыми на псевдосфере ее пересечения с плоскостями, проходящими через центр. Показать, что длина отрезка прямой
на псевдосфере, соединяющего две любые фиксированные точки, меньше длины любой другой кривой, соединяющей эти точки.
3. Найти длину отрезка в метрике Лобачевского, соединяющего точки z и w верхней полуплоскости.
4. На плоскости Лобачевского (в модели {|z| < 1}) дана окружность с центром в точке (1/2, 0) радиуса 2 (в метрике Лобачевского).
Выписать ее уравнение в декартовых координатах.
5. Выразить длину окружности и площадь круга через радиус на сфере и на плоскости Лобачевского.
6. Выразить площадь треугольника через углы на сфере и на плоскости Лобачевского.
7. Обозначим через G множество всех преобразований верхней полуплоскости (Re z > 0, z ∈ C) вида z → az+b
, где a, b, c, d —
cz+d
вещественные числа, и ad − bc > 0.
а) Показать, что любое преобразование из G является изометрией для метрики Лобачевского.
б) Доказать, что G — это множество всех собственных (т.е. сохраняющие ориентацию) изометрий плоскости Лобачевского.
в) Описать все изометрии плоскости Лобачевского.
8. Найти все изометрии стандартной метрики на двумерной сфере.
9. Доказать, что сфера, плоскость Лобачевского и обычная (евклидова) плоскость локально не изометричны.
10. Доказать, что в плоскости Лобачевского любые два треугольника с нулевыми углами можно перевести изометрией друг в друга.
11. Доказать, что любая собственная изометрия плоскости Лобачевского есть композиция двух симметрий (относительно прямых).
12. Доказать теорему Пифагора для геометрии Лобачевского: если в треугольнике со сторонами a, b, c угол, противолежащий стороне c,
прямой, то ch c = ch a ch b.
13. Для равнобедренного треугольника на плоскости Лобачевского доказать, что высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины, совпадают.