Сила тяжести

Сила тяжести
Частным, но крайне важным для нас видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле. Эту силу называют силой тяжести. Согласно закону всемирного тяготения,
она выражается формулой
, (1)
где m – масса тела, М – масса Земли, R – радиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли.
Сила тяжести направлена вертикально вниз, к центру Земли.

Более точно, помимо этой силы, в системе отсчета, связанной с Землей, на тело действует
центробежная сила инерции
, которая возникает из-за суточного вращения Земли, и
равна
, где m – масса тела; r – расстояние между телом и земной осью.
Если высота тела над поверхностью Земли мала по сравнению с ее радиусом,
то
, где R – радиус Земли, φ – географическая широта, на которой находится
тело (рис. 1). С учетом этого
.
Рис. 1
Силой тяжести называется сила, действующая на любое находящееся вблизи земной поверхности тело.
Она определяется как геометрическая сумма действующей на тело силы гравитационного притяжения к Земле
и центробежной силы инерции
, учитывающей эффект суточного вра-
щения Земли вокруг собственной оси, т.е.
. Направление силы тяжести является направлением вертикали в данном пункте земной поверхности.
НО величина центробежной силы инерции очень мала по сравнению с силой притяжения
Земли (их отношение составляет примерно 3∙10-3), то обычно силой
гда
пренебрегают. То-
.
Ускорение свободного падения
Сила тяжести сообщает телу ускорение, называемое ускорением свободного падения. В соответствии со вторым законом Ньютона
.
С учетом выражения (1) для модуля ускорения свободного падения будем иметь
. (2)
На поверхности Земли (h = 0) модуль ускорения свободного падения равен
,
а сила тяжести равна
.
Модуль ускорения свободного падения, входящего в формулы, равен приближенно 9,8 м/с2.
Из формулы (2) видно, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Оно уменьшается при подъеме тела над поверхностью Земли: ускорение свободного падения обратно пропорционально квадрату расстояния тела от центра Земли.
Однако если высота h тела над поверхностью Земли не превышает 100 км, то при расчетах, допускающих погрешность ≈ 1,5%, этой высотой можно пренебречь по сравнению с радиусом
Земли (R = 6370 км). Ускорение свободного падения на высотах до 100 км можно считать постоянным и равным 9,8 м/с2.
И все же у поверхности Земли ускорение свободного падения не везде одинаково. Оно зависит
от географической широты: больше на полюсах Земли, чем на экваторе. Дело в том, что земной
шар несколько сплюснут у полюсов. Экваториальный радиус Земли больше полярного на 21 км.
Другой, более существенной причиной зависимости ускорения свободного падения от географической широты является вращение Земли. Второй закон Ньютона справедлив в инерциальной
системе отсчета. Такой системой является, например, гелиоцентрическая система. Систему же
отсчета, связанную с Землей, строго говоря, нельзя считать инерциальной. Земля вращается вокруг своей оси и движется по замкнутой орбите вокруг Солнца.
Вращение Земли и сплюснутость ее у полюсов приводит к тому, что ускорение свободного падения относительно геоцентрической системы отсчета на разных широтах различно: на полюсах gпол ≈ 9,83 м/с2, на экваторе gэкв ≈ 9,78 м/с2, на широте 45° g ≈ 9,81 м/с2. Впрочем, в наших
расчетах мы будем считать ускорение свободного падения приближенно равным 9,8 м/с2.
Из-за вращения Земли вокруг своей оси ускорение свободного падения во всех местах, кроме
экватора и полюсов, не направлено точно к центру Земли.
Кроме того, ускорение свободного падения зависит от плотности пород, залегающих в недрах
Земли. В районах, где залегают породы, плотность которых больше средней плотности Земли
(например, железная руда), g больше. А там, где имеются залежи нефти, g меньше. Этим пользуются геологи при поиске полезных ископаемых.
Вес тела
Вес тела – это сила, с которой тело, вследствие его притяжения к Земле, действует на
опору или подвес.
Рассмотрим, например, тело, подвешенное к пружине, другой конец которой закреплен (рис. 2).
На тело действует сила тяжести
направленная вниз. Оно поэтому начинает падать,
увлекая за собой нижний конец пружины. Пружина окажется из-за этого деформированной, и
появится сила упругости
пружины. Она приложена к верхнему краю тела и направлена
вверх. Верхний край тела будет поэтому «отставать» в своем падении от других его частей, к
которым сила упругости пружины не приложена. Вследствие этого и тело деформируется. Возникает еще одна сила упругости – сила упругости деформированного тела. Она приложена к
пружине и направлена вниз. Вот эта сила и есть вес тела.
Рис. 2
По третьему закону Ньютона обе эти силы упругости равны по модулю и направлены в противоположные стороны. После нескольких колебаний тело на пружине оказывается в покое. Это
значит, что сила тяжести
по модулю равна силе упругости Fупр пружины. Но этой же силе
равен и вес тела.
Таким образом, в нашем примере вес тела, который мы обозначим буквой
вен силе тяжести:
, по модулю ра-
.
Второй пример. Пусть тело А находится на горизонтальной опоре В (рис. 3). На тело А действует
сила тяжести
и сила реакции опоры
. Но если опора действует на тело с силой
то и
тело действует на опору с силой
, которая в соответствии с третьим законом Ньютона равна
по модулю и противоположна по направлению
:
. Сила
и есть вес тела.
Рис. 3
Если тело и опора неподвижны или движутся равномерно и прямолинейно, т. е. без ускорения,
то, согласно второму закону Ньютона,
.
Так как
, то
Следовательно,
.
.
Значит, если ускорение а = 0, то вес тела равен силе тяжести.
Но это не значит, что вес тела и сила тяжести, приложенная к нему, одно и то же. Сила тяжести
приложена к телу, а вес приложен к опоре или подвесу. Природа силы тяжести и веса тоже различна. Если сила тяжести является результатом взаимодействия тела и Земли (сила тяготения),
то вес появляется в результате совсем другого взаимодействия: взаимодействия тела А и
опоры В. Опора В и тело А при этом деформируются, что приводит к появлению сил упругости.
Таким образом, вес тела (как и сила реакции опоры) является частным видом силы упругости.
Вес обладает особенностями, существенно отличающими его от силы тяжести.
Во-первых, вес определяется всей совокупностью действующих на тело сил, а не только силой
тяжести (так, вес тела в жидкости или воздухе меньше, чем в вакууме, из-за появления выталкивающей (архимедовой) силы). Во-вторых, вес тела, существенно зависит от ускорения, с которым движется опора (подвес).
Вес тела при движении опоры или подвеса с ускорением
Можно ли увеличить или уменьшить вес тела, не изменяя самого тела? Оказывается, да. Пусть
тело находится в кабине лифта, движущегося с ускорением (рис. 4 а, б).
а
б
Рис. 4
Согласно второму закону Ньютона
, (3)
где N – сила реакции опоры (пола лифта), m – масса тела.
По третьему закону Ньютона вес тела
. Поэтому, учитывая (3), получим
.
Направим координатную ось Y системы отсчета, связанной с Землей, вертикально вниз. Тогда
проекция веса тела на эту ось будет равна
.
Так как векторы
и сонаправлены с осью координат Y, то Рy = Р и gy = g. Если ускорение направлено вниз (см. рис. 4, а), то ay = а, и равенство принимает следующий вид:
.
Из формулы следует, что лишь при а = 0 вес тела равен силе тяжести. При а ≠ 0 вес тела отличается от силы тяжести. При движении лифта с ускорением, направленным вниз (например, в
начале спуска лифта или в процессе его остановки при движении вверх) и по модулю меньшим
ускорения свободного падения, вес тела меньше силы тяжести. Следовательно, в этом случае
вес тела меньше веса того же тела, если оно находится на покоящейся или равномерно движущейся опоре (подвесе). По этой же причине вес тела на экваторе меньше, чем на полюсах Земли,
так как вследствие суточного вращения Земли тело на экваторе движется с центростремительным ускорением.
Рассмотрим теперь, что произойдет, если тело движется с ускорением , направленным вертикально вверх (см. рис. 4, б). В данном случае получаем
.
Вес тела в лифте, движущемся с ускорением, направленным вертикально вверх, больше веса
покоящегося тела. Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры (или подвеса), называется перегрузкой. Перегрузку можно оценить, найдя отношение веса ускоренно
движущегося тела к весу покоящегося тела:
.
Тренированный человек способен кратковременно выдерживать примерно шестикратную перегрузку. Значит, ускорение космического корабля, согласно полученной формуле, не должно
превосходить пятикратного значения ускорения свободного падения.
Невесомость
Возьмем в руки пружину с подвешенным к ней грузом, а лучше пружинные весы. По шкале
пружинных весов можно отсчитать вес тела. Если рука, держащая весы, покоится относительно
Земли, весы покажут, что вес тела по модулю равен силе тяжести mg. Выпустим весы из рук,
они вместе с грузом начнут свободно падать. При этом стрелка весов устанавливается на нуле,
показывая, что вес тела стал равным нулю. И это понятно. При свободном падении и весы, и
груз движутся с одинаковым ускорением, равным g. Нижний конец пружины не увлекается грузом, а сам следует за ним, и пружина не деформируется. Поэтому нет силы упругости, которая
действовала бы на груз. Значит, и груз не деформируется и не действует на пружину. Вес исчез!
Груз, как говорят, стал невесомым.
Невесомость объясняется тем, что сила всемирного тяготения, а значит, и сила тяжести сообщают всем телам (в нашем случае – грузу и пружине) одинаковое ускорение g. Поэтому всякое
тело, на которое действует только сила тяжести или вообще сила всемирного тяготения, находится в состоянии невесомости. В таких условиях находятся свободно падающие тела, например
тела в космическом корабле. Ведь и космический корабль, и тела в нем тоже находятся в состоянии длительного свободного падения. Впрочем, в состоянии невесомости, хотя и непродолжительно, находится каждый из вас, спрыгивая со стула на пол или подпрыгивая вверх.
Это же можно доказать и математически. При свободном падении
тела
и
.
Литература
1. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. шк. – М.: Про-свещение, 1992.
– 191 с.
2. Луцевич А.А., Яковенко С.В. Физика: Учеб. пособие. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 495 с.
3. Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов,
А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. – М.: Дрофа, 2002. – 496
с.