7 удк 536.37, 533.9.072 модель движения и нагрева частиц в

М. П. Бороненко, И. П. Гуляев, А. Е. Серегин. Модель движения и нагрева частиц в плазменной струе
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 г. Выпуск 2 (25). С. 7–15
УДК 536.37, 533.9.072
МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ И НАГРЕВА ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕННОЙ СТРУЕ
М. П. Бороненко, И. П. Гуляев, А. Е. Серегин
Введение
Взаимодействие частиц порошка с плазменным потоком является частью таких широко
распространенных технологий как плазменное нанесение покрытий, сфероидизация и плакирование порошков, получение нанопорошков методом плазменной переконденсации и т. п.
Во всех этих процессах порошковый материал вводится в струю плазмы, в которой происходит его нагрев и ускорение. Экспериментальное изучение этих процессов осложнено малыми
размерами объектов и высокими скоростями их движения и нагрева, однако численное моделирование позволяет описывать поведение отдельных частиц, а также их ансамблей, с достаточной для практических приложений точностью.
Строго говоря, моделирование течения запыленной плазменной струи требует совместного решения уравнений движения и теплопереноса для дисперсной и сплошной среды. На
практике часто поступают следующим образом: предварительно рассчитывают или экспериментально определяют профили распределения скорости и температуры плазменной струи,
по которым в дальнейшем рассчитывают движение и нагрев частиц. Такой подход предполагает, что отсутствует «обратное влияние» порошка на параметры струи, что оправданно
лишь при малой загруженности потока дисперсной фазой. В противном случае происходит
существенное локальное снижение температуры и скорости потока. В общем случае задача
является трехмерной, т. е. требуется вычислять три компоненты скорости частицы. Однако
чаще всего невозмущенная плазменная струя (без порошка) обладает осевой симметрией и
для ее описания достаточно постановки задачи в координатах (r, z). Если рассматривается
движение одиночной частицы или введенной в плазменный поток радиально, то можно пренебречь ее влиянием на свойства газа (температура, скорость) и продолжать рассмотрение
осесимметричной задачи.
Нагрев частиц – быстропротекающий процесс, занимающий несколько миллисекунд.
Применение контактных методов измерения температуры невозможно, а бесконтактных (оптических) методов – осложнено в связи с собственным излучением плазмы, малым размером
и высокой скоростью движения частиц, градиентного характера нагрева частиц, особенно
полупрозрачных, малотеплопроводных материалов и т. д. [1, 2]. Численный расчет температуры частиц в процессе плазменного напыления или обработки материалов, хотя бы на уровне оценки, незаменим для адекватной интерпретации экспериментальных результатов.
Постановка задачи в одномерном приближении
Частицы, движущиеся в плазменном потоке, испытывают действие различных сил, учет
всех из них при расчетах практически неосуществим. Анализ показывает, что основное значение имеет сила вязкого сопротивления со стороны потока. Тем не менее нужно отметить,
что на частицу также действуют силы гравитации, термофореза, силы связанные с вращением частиц: спин-эффект, сила Магнуса, кулоновские силы, действующие на заряженные частицы и т. д. Типичные ускорения частиц в плазме составляют 104–106 g, поэтому учет гравитации и более слабых сил не производится.
Рассмотрим одномерное движение и нагрев сферической частицы диаметром D p и массой m p , теплоемкость материала частицы обозначим c p . Уравнения изменения скорости U p
и температуры T p частицы имеют следующий вид:
7
Новые материалы и технологии
mp
dU p
dt
 Cd  Smid 
 (U f  U p ) U f  U p
2
,
(1)
dTp
   S surf  (T f  Tp ) .
(2)
dt
В приведенных уравнениях U f и T f – локальные скорость и температура плазменного
c p mp
потока,  – плотность газа (плазмы) при температуре потока T f ; Smid   Dp2 / 4 – площадь
миделева сечения сферы, Ssurf   Dp2 – площадь поверхности сферы. Коэффициент лобового
газодинамического сопротивления сферы Cd и коэффициент теплоотдачи  вычисляются
по эмпирическим зависимостям, которые в основном получены при исследовании обтекания
тел низкотемпературными потоками. Основная сложность адаптации таких зависимостей к
случаю плазменных струй заключается в больших градиентах температуры, которые формируются в пограничном слое газа на поверхности частиц: обычно температура поверхности
частиц не превышает 3000 K, в то время как температура плазмы может достигать 15000 K и
выше. Очевидно, что такие перепады температуры приводят к значительным изменениям
свойств газа (плотность, вязкость, теплопроводность и т. п.), определяющим коэффициенты
сопротивления и теплоотдачи.
Математическая модель движения частицы в плазменном потоке
Обтекание сферы вязкой установившимся потоком жидкости с постоянными свойствами
(плотность, вязкость и т. п.) хорошо изучено экспериментально и в некоторых случаях – теоретически. Характер течения определяется числом Рейнольдса, которое в случае обтекания
неподвижной сферы потоком со скоростью U f , плотностью  и (динамической) вязкостью
 равно Re 
 DpU f
. Если сфера не покоится в потоке, а движется со скоростью U p , то

число Рейнольдса вычисляется по параметрам относительного движения частицы и равно
 Dp U f  U p
Re 
.

Аналитическое выражение для коэффициента сопротивления сферы, полученное для
вязкого, «стоксовского» течения при Re  1 имеет вид Cd  24 / Re . Для более широкого диапазона чисел Рейнольдса получено большое количество полуэмпирических выражений коэффициента Cd , которые между собой практически не отличаются в диапазоне 1  Re  100 ,
реализуемом в условиях плазменной обработки порошков:
24
Cd 
(3)
(1  0.15 Re0.687 ) ,
Re
24
6
Cd 

 0.4 .
(4)
Re 1  Re
Как уже было сказано, использование зависимостей, полученных для низкотемпературных потоков, требует некоторой их модификации. В первую очередь это связано с «эффектом переменных свойств» газа, и в меньшей степени – учетом его разреженности.
Обычно температура поверхности частицы значительно ниже температуры натекающего
потока. При этом существует тепловой пограничный слой газа (рис. 1), в котором его температура изменяется от температуры поверхности частицы Twall до невозмущенной температуры потока T вдалеке от частицы. Такой перепад температур может составлять несколько ты8
М. П. Бороненко, И. П. Гуляев, А. Е. Серегин. Модель движения и нагрева частиц в плазменной струе
сяч градусов, при этом вязкость, теплопроводность, теплоемкость газа как плотность могут
изменяться на порядок и более (рис. 2).
Рисунок 1. Изменение температуры газа
в пограничном слое у поверхности частицы
Рисунок 2. Относительное изменение плотности,
вязкости и теплоемкости воздуха в интервале
температур от 1000 до 6000 K
Первоочередным методом учета температурного скачка является расчет коэффициента
сопротивления C d_film по свойствам газа при «пленочной температуре» T film  (T  Twall ) / 2 ,
которая равна среднему значению между температурой на поверхности частицы и температурой невозмущенного потока. Это означает, что число Рейнольдса, входящее в выражение
 (T film ) Dp U f  U p
для коэффициента сопротивления вычисляется по формуле Re film 
. Тем
 (T film )
не менее, как показывает опыт, этот метод может приводить к ошибкам расчета коэффициента сопротивления до 50 % в зависимости от конкретных значений температур и размеров
частицы. Более точные значения коэффициента сопротивления могут быть получены с введением поправочного коэффициента f1 согласно зависимости Cd  f1  Cd _ film :
  
f1    film 
 film    
0.15
,
(5)
0.45
   
f1      ,
(6)
  wall  wall 
где  ,  ,  – плотность, кинематическая и динамическая вязкость газа, а индексы «∞»,
«film», «wall» означают, что свойства газа берутся при невозмущенной температуре потока
(вдалеке от частицы) T f , при «пленочной температуре» T film и при температуре поверхности
частицы Twall , соответственно. Оценить, какое из выражений для поправочного коэффициента ближе соответствует действительности, проблематично в связи с отсутствием надежных
экспериментальных данных.
Длина свободного пробега газовых молекул l в плазме в обычных условиях
( T f  (5 10) 103 K , P  105 Па ) имеет порядок микрона или долей микрона, то есть сравнима
с размером мелких частиц (1–10 мкм), используемых, например, в плазмохимических процессах, а при пониженном давлении – и с размером более крупных частиц, традиционно используемых в напылении. В условиях, когда числа Кнудсена Kn  l / D p могут достигать значений порядка 0.1, требуется учет влияния разреженности газа на коэффициент сопротивления сферы. Для этой цели вводят поправочный коэффициент f 2 , который определяется разными авторами по-разному, например:
9
Новые материалы и технологии
0.45


1
 2       4
.
(7)
f2  
 Z*  


    1     wu wC p
1  Z * R p 
В этой формуле R p – радиус частицы,  – коэффициент аккомодации молекул,  – поTf
1
казатель адиабаты газа,  
  dT – где средняя по пограничному слою теплоT f  Twall Twall
1
проводность газа, C p 
T f  Twall
Tf

C p dT – средняя теплоемкость, w – плотность газа при
Twall
температуре поверхности частицы Twall , u w  (8 RTwall /  M )1/ 2 – средняя скорость теплового
движения молекул газа при температуре Twall , R  8.31 Дж/(моль  K) – универсальная газовая
постоянная, M – молярная масса газа. Для аргоновой плазмы используют значения
  0.8  0.9 ,   1.667 .
Другая распространенная формула для вычисления коэффициента поправки на разреженность газа:
15-3C1Kn  C2 (8   )(C12  2)Kn 2
f2 
,
15  12C1Kn  9(C12  1)Kn 2  18C2 (C12  2)Kn 3
(8)
где C1  (2   ) /  и C2  (2   ) 1 .
Значения поправочного коэффициента, рассчитанные по представленным выражениям,
принципиально не отличаются в диапазоне Kn  0  1 . Значения коэффициента f 2 , рассчитанные по формуле Филипса для   0.8 , представлены на рисунке 3. Видно, что, несмотря
на совершенно разные методы расчета, значения коэффициентов отличаются незначительно.
Также по этим графикам можно оценить влияние разреженности газа на силу сопротивления:
при Kn  101 снижение составляет 5–10 %.
Рисунок 3. Зависимость поправочного коэффициента от числа Кнудсена
Испарение материала частицы приводит к снижению силы сопротивления со стороны
потока в связи с утолщением пограничного слоя. Учет данного эффекта производится введением дополнительного корректирующего коэффициента f 3 :
f3 
1
, B  ( H   H wall ) / Lисп ,
1 B
10
(9)
М. П. Бороненко, И. П. Гуляев, А. Е. Серегин. Модель движения и нагрева частиц в плазменной струе
где H – удельная энтальпия газа (Дж/кг) при температуре невозмущенного потока T f , H wall
– то же при температуре стенки Twall , Lисп – теплота испарения материала.
Математическая модель нагрева частиц в плазменном потоке
Рассмотрим нагрев одиночной сферической частицы, начало координат поместим в
центр частицы, таким образом, задача является сферически симметричной: температура материала T зависит только от радиального расстояния r (и, естественно, от времени). Уравнение теплопроводности  p C p T t  div(  T ) (без внутренних источников тепла) принимает
вид:
 pC p
T 1  
2 T 
 2
 pr
,
t r r 
r 
здесь  p , C p , p – плотность, теплоемкость и теплопроводность материала частицы. Если теплопроводность постоянна (не зависит от r ), то получим:
 pC p
 2 T  2T 
T
 p 
 2 .
t
 r r r 
Для решения задачи теплопроводности – нахождения распределения температуры T (r ) в
момент времени t, необходимо задать начальные и граничные условия:
T (r , t  0)  T0 – начальная температура капли;
T
r
p
 0 – отсутствие теплового потока в центре в силу симметричности задачи;
r 0
T
r
 q – определение теплого потока на поверхности частицы.
r  Rp
При нагреве частицы до температуры плавления Tпл , ее материал начинает плавиться –
от ее поверхности к центру движется фронт плавления. Теплота, которая тратится на плавление материала, фактически является стоком тепла, который перемещается в частице вместе с
поверхностью, на которой температура постоянна равна Tпл . Условие сшивки тепловых потоков «слева» и «справа» от фронта плавления:
p
T
r
 p
r  Rпл 
T
r
  p Lпл
r  Rпл 
dRпл
, T ( Rпл )  Tпл ,
dt
где Rпл – координата фронта плавления. Часто для упрощения расчетов в задачу не включают фазовый переход, а используют эффективную теплоемкость C p * . Теплоту плавления
«размазывают» в узком температурном интервале ( Tпл  T / 2 ; Tпл  T / 2 ) шириной T :
C p *  C p , при T  Tпл  T / 2 ;
C p *  C p  Lпл / T , при Tпл  T / 2  T  Tпл  T / 2 ;
C p *  C p , при Tпл  T / 2  T .
Таким образом, для того чтобы нагреть единицу массы материала от температуры T1 до
T2 , которые лежат по разные стороны от введенного интервала, нужно будет сообщить теплоту C p (T2  T1 )  Lпл . Выбирая диапазон T достаточно узким, можно добиться результатов
расчета практически не отличающихся от прямого решения.
11
Новые материалы и технологии
При достижении материалом частицы температуры кипения Tкип происходит испарение.
При этом скорость изменения массы капли mp определяется соотношением:
dmp
q

,
dt
Lисп
где q – поток тепла, поступающий к слою частицы, достигшему температуры кипения Tкип .
Если используется среднемассовая температура (т. е. считается, что капля прогрета равномерно), то при достижении частицей температуры кипения весь поступающий тепловой поток q тратится на испарение материала, при этом происходит уменьшение радиуса капли согласно равенству:
dR
q   Lисп  p p .
dt
Тепловой поток от плазмы (через поверхность частицы) определяется выражением
q   (T f  Twall ) , где  – коэффициент теплоотдачи, а T f  Twall – перепад между температурой газа вдалеке от частицы и температурой поверхности сферы. Очевидно, что коэффициент теплоотдачи зависит от характера течения газа вокруг сферы (ламинарный, турбулентный, отрывной, безотрывный), свойств газа и т. д. В некоторых наиболее простых случаях
этот коэффициент может быть рассчитан аналитически, однако чаще всего пользуются эмпирическими выражениями. В случае обтекания сферической частицы коэффициент теплоотдачи выражается следующим образом:
  Nu
f
Dp
,
число Нуссельта Nu отражает влияние характера обтекания газом частицы на тепловой поток через ее поверхность,  f – теплопроводность газа. В случае обтекания сферической частицы равномерным потоком с постоянными свойствами (плотность, теплопроводность, температура и т. д.) пользуются зависимостью Ранца-Маршалла:
Nu   2  0.6 Re 0.5  Pr 0.33  .
(10)
Здесь число Прандтля Pr    c f /  f , где c f – теплоемкость потока.
Задача может быть существенно упрощена, если температуру частицы можно считать
одинаковой по всему ее объему. Для сферических частиц такое предположение оправданно,
если число Био Bi   f /  p  1 . В таком случае нет необходимости в каждый момент времени вычислять распределение температуры по объему капли, решая уравнение теплопроводности, а можно использовать среднемассовую температуру частицы T p .
Тепловой поток через поверхность частицы складывается из конвективного и радиационного теплообмена:
4
q   (T f  Twall ) - Twall
,
где  – интегральная (осредненная по спектру) излучательная способность материала частицы,   5.67 108 Вт  м -2  К 4 – постоянная Стефана-Больцмана, Twall – температура поверхности частицы. Знак минус показывает, что частица теряет энергию. В обычных условиях
плазменной обработки вклад радиационных потерь частицы в ее общий теплообмен с газом
составляет 2–5 %. Излучению частицы отвечает значительная доля теплопереноса (более
10 %) лишь в условиях, когда разность температуры частицы и окружающей невелика (менее
500 К), что обычно наблюдается непродолжительное время на выходе частицы из высокотемпературной области струи.
12
М. П. Бороненко, И. П. Гуляев, А. Е. Серегин. Модель движения и нагрева частиц в плазменной струе
Как уже отмечалось, температура газа резко меняется от значения T f вдалеке от частицы
до Twall на ее поверхности. Приведенное выше выражение для числа Нуссельта получено эмпирически для стационарной задачи теплообмена при обтекании шара равномерным потоком
жидкости. Использование данной формулы без учета переменных свойств газа приводит к
грубым ошибкам в определении теплового потока в частицу. В качестве первого приближения можно рассчитывать число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи по свойствам плазмы
при пленочной температуре T film  (T f  Twall ) / 2 :
0.33
Nu   2  0.6 Re 0.5
film  Pr film  ,   Nu
 film
Dp
.
Однако такой подход оказывается недостаточно точным. Ниже приведены наиболее распространенные выражения для числа Нуссельта, полученные авторами для учета переменных свойств плазмы:
Nu   2  0.515 Re 0.5
film   film /   
Nu   2  0.6 Re
0.15
,
(11)
0.6
0.5
film
 Pr
0.33
film


      ,
 wall wall 
0.6
(12)
0.38
     cf  
(13)
Nu   2  0.6 Re  Pr      
 .

  wall  wall   c f _ wall 
В представленных формулах, как и выше, индексы «∞», «film», «wall» определяют температуры, при которых вычисляются свойства газов.
Как и в случае вычисления коэффициента сопротивления, для учета влияния разреженности газа вводится отдельный поправочный коэффициент f1  q разр / qсплошн :
0.5
film
f1 
0.33
film
1
 2  a     4
.
, Z*  


1  Z * Rp
 a   1     w u wC p
(14)
Обозначения в этой формуле те же, что и раньше. Эффект разреженности газа имеет
особо важное значение для частиц малых размеров (менее 20 мкм) и пониженных рабочих
давлений. Предложенная формула оправданна при 0.001  Kn  1 .
Аналитическая оценка нагрева и ускорения частиц
В практических задачах, в частности при обработке тугоплавких материалов [15], большое значение имеет поведение частиц в начальный период их пребывания в струе. При определенных допущениях возможно получить аналитические выражения для скорости и температуры таких частиц. Рассмотрим одномерное движение одиночной сферической частицы
диаметром D p , которая была помещена в равномерный плазменный поток со скоростью U f
и температурой T f . В начальный момент времени t  0 скорость частицы равна нулю, а температура – начальному значению T p 0 . Будем считать, что температура сферы в каждый момент времени равномерна по объему, радиационными потерями пренебрегаем. Изменение
скорости U p и температуры T p частицы определяется уравнениями:
mp
dU p
dt
c p mp

 D p2
1
 Cd   f (U f  U p ) 2 ,
4
2
dTp
dt
    D p2  (T f  Tp ) .
13
Новые материалы и технологии
Используем в расчетах следующие зависимости для коэффициентов сопротивления и теплоотдачи:
Cd 
 film
24
0.33
(1  0.15 Re0.687
2  0.6 Re0.5

film ) ,  
film  Pr film  ,
Re film
Dp
в которых числа Рейнольдса Re film   film D p U f  U p /  film и Прандтля Pr film   film  c film /  film
посчитаны по свойствам газа при пленочной температуре T film  (T f  Tp ) / 2 . В таком случае
уравнения движения и нагрева частицы в потоке можно представить в следующем виде:
dU p 1
mp
1
1

U f U p ,  D 
,


D
dt
3 D p  film 1  0.15 Re0.687
p

dTp
dt

1
T

(T f  Tp ) ,  T 
cpmp
 D p  film
1
.
 2  0.6 Re0.5p  Pr 0.33 
Величинам  D и  T – постоянным времени ускорения и нагрева можно придать ясный
физический смысл: это время, которое понадобилось бы частице, чтобы достичь скорости
(температуры) плазмы, если она двигалась с текущим ускорением (нагревалась с текущей
интенсивностью). В условиях плазменной обработки  D /  T ~ 10  10 2 , то есть процесс нагрева частиц практически всегда протекает быстрее их ускорения. На начальном этапе движения частицы ее скорость мала по сравнению со скоростью потока, поэтому будем считать,
что число Рейнольдса остается постоянным, а следовательно и величины  D и  T . В таком
случае можно проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения:
U f  U p  Ae
T f  Tp  Be


t
D
,
t
T
.
Константы интегрирования A и B определяются из начальных условий: U p (0)  0 ,
T p (0)  T p 0 . Тогда получим:

U p  U f 1  e



t
D

,


t


T
T p  T f  (T f  T p 0 ) 1  e



.


Выражения для характерных времен ускорения и нагрева частицы можно упростить,
подставив значение массы сферы m p 
D 
T 

6
D3p  p , где  p – плотность материала частицы:
Dp2
18 film
c p D p2  p
6 film

1
,
1  0.15 Re0.687
p
1
.
 2  0.6 Re0.5p  Pr 0.33 
Оценки, выполненные по полученным формулам, хорошо согласуются с результатами
экспериментов и численных расчетов.
14
М. П. Бороненко, И. П. Гуляев, А. Е. Серегин. Модель движения и нагрева частиц в плазменной струе
Заключение
Рассмотренные в работе выражения коэффициентов сопротивления и теплоотдачи позволяют рассчитывать движение и нагрев отдельных частиц в плазменных струях, а также
представляют основу для моделирования поведения ансамблей частиц. В рамках предложенных допущений аналитическое решение позволяет быстро оценить эффективность термической обработки порошковых материалов в различных условиях плазменных струй.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Гуляев, П. Ю. Виновский критерий выбора параметров редукции температурного распределения частиц по их суммарному тепловому спектру [Текст] / П. Ю. Гуляев,
В. И. Иордан, И. П. Гуляев, А. А. Соловьев // Изв. вузов. Физика. – 2008. – № 9/3. –
С. 69–76.
Гуляев, П. Ю. Оптико-электронная система диагностики двухфазных потоков динамическим методом счета частиц [Текст] / П. Ю. Гуляев, В. И.Иордан, И. П. Гуляев, А. А. Соловьев // Изв. вузов. Физика. – 2008. – № 9/3. – С. 79–87.
Carlson, D. G. Particle drag and heat transfer in rocket nozzles [Text] / D. G. Carlson,
R. F. Hoglund // AIAA Journal, 1964, 2(11), p. 1980–1984.
White, F. M. Viscous Fluid Flow [Text] / F. M. White. McGraw-Hill, New York (1974).
Lewis, J. A. Motion of Particle Entrained in a Plasma Jet [Text] J. A. Lewis, W. H. Gauvin.
AIChE J. 19, 982 (1973).
Lee, Y. C. Modeling of Particles Injected into a d.c. Plasma Jet [Text] / Y. C. Lee, K. C. Hsu
and E. Pfender, 5th Inter. Symp. on Plasma Chemistry, Edinburgh, Scotland, 1981.
Chen, X. Effect of the Knudsen Number on Heat Transfer to a Particle Immersed into
a Thermal Plasma [Text] / X. Chen, E. Pfender. Plasma Chem. Plasma Process. 3, 97 (1983).
Phillips, W. F. Drag on a Small Sphere Moving through a Gas [Text] / W. F. Phillips, Phys.
Fluids 18, 1089, (1975).
Pfender, E., Lee, Y. Particle Dynamics and Particle Heat and Mass Transfer in Thermal Plasmas [Text] / E. Pfender, Y. Lee. Part I. Motion of a Single Particle without Thermal Effects,
Plasma Chem. Plasma Process, 1985, 3, p. 211–237.
Ranz, W. E. Evaporation from drops [Text] / W. E. Ranz, W. R. Marshall // Chem. Eng.
Prog. – 1952. – Vol. 48. – № 3. – P. 141–146.
Lewis, J. A. Motion of Particle Entrained in a Plasma Jet [Text] / J. A. Lewis, W. H. Gauvin,
AIChE J. 19, 982 (1973).
Fiszdon, J. K. Melting of Powder Grains in a Plasma Flame [Text] / J. K. Fizdon, Int. J. Heat
Mass Transfer, 22, 749 (1979).
Lee, Y. C. Modeling of Particles Injected into a d.c. Plasma Jet [Text] / Y. C. Lee, K. C. Hsu
and E. Pfender, 5th Inter. Symp. on Plasma Chemistry, Edinburgh, Scotland, 1981.
Chen, X. Effect of the Knudsen Number on Heat Transfer to a Particle Immersed into a Thermal Plasma [Text] / X. Chen, E. Pfender, Plasma Chem. Plasma Process. 3, 97 (1983).
Солоненко, О. П. Плазменная обработка и напыление порошков оксидов металлов, состоящих из полых сфер [Текст] / О. П. Солоненко, И. П. Гуляев, А. В. Смирнов // Письма
в ЖТФ, 2008. – Том 34. – Вып. 24. – С. 22–27.
15