БИРАЦИОНАЛЬНАЯ КОМПОЗИЦИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ А.А.Бондаренко Введение. Пусть K — поле характеристики ≠ 2 , X (= = x1 , , xm ), Y ( y1 , , yn ) и Z = ( z1 , , zm + n ) — независимые наборы переменных над K , f ( X ) и g (Y ) — невырожденные квадратичные формы над полем K . Определение. Если произведение f ( X ) ⋅ g (Y ) бирационально эквивалентно над K квадратичной форме h ( Z ) над K , т.е. f ( X ) ⋅ g (Y ) представляется квадратичной K формой h ( Z ) над K ( X , Y ) и xi , y j ∈ K ( Z ) , то будем говорить, что квадратичные формы f ( X ) и g (Y ) образуют бирациональную композицию h ( Z ) над полем K . Первые результаты по проблеме композиции восходят к Гурвицу, который изучал задачу о “сумме квадратов”: найти наименьшее t при заданных m и n , чтобы выполнялось тождество ( x12 + ... + xm2 ) ( y12 + ... + yn2 ) =Φ12 + ... + Φt2 , где Φ i — билинейные формы от x1 ,..., xm и y1 ,..., yn над K . Классические результаты Гурвица и Радона по этой задаче хорошо известны (см. [1] , [ 2] ). Обзор [3] посвящен результатам и методам в изучении такой композиции квадратичных форм. Пфистер продолжил рассматривать такие тождества, но полагал, что Фi — рациональные функции от x1 , , xm , y1 , , yn . Им описаны мультипликативные квадратичные формы [4] . В [5] получены общие теоремы о бирациональной композиции квадратичных форм над полем K . Полное решение проблемы бирациональной композиции квадратичных форм над локальным полем получено в [6] . Основная цель настоящей статьи – решение проблемы бирациональной композиции квадратичных форм над конечным полем. Решение проблемы бирациональной композиции квадратичных форм f ( X ) и g (Y ) над конечным полем Fq , если f ( X ) либо g (Y ) изотропны над Fq , следует из теоремы 1 статьи [5] : произведение f ( X ) ⋅ g (Y ) , бирационально эквивалентно h ( Z ) над Fq тогда и только тогда, когда h ( Z ) - любая ненулевая квадратичная форма размерности m + n , невырожденная часть которой изотропна над Fq . Полоное решение проблемы бирациональной композиции, когда обе квадратичные формы f ( X ) и g (Y ) анизатропны над кнечным полем Fq дает Теорема. Проблема композиции квадратичных форм сформулирована в [ 2] следующим образом: “Пусть f1 , f 2 — квадратичные формы от независимых переменных xi , y j . Когда произведение f1 f 2 бирационально эквивалентно квадратичной форме ψ от переменных zl ?” В такой общей постановке эта проблема сформулирована впервые. Имеет место Теорема 1. Пусть f ( X ) и g (Y ) — невырожденные квадратичные формы над полем K размерности m и n , f ( X ) либо g (Y ) изотропна над K . f ( X ) и g (Y ) образуют бирациональную композицию h ( Z ) над K тогда и только тогда, когда h ( Z ) ненулевая квадратичная форма над K размерности m + n , невырожденная часть которой изотропна над K . Построены серии примеров существования бирациональной композиции и ее отсутствия, если обе квадратичные формы Справедлива Теорема 2. Пусть h(Z ) f ( X ) и g (Y ) анизотропные над K . — бирациональная композиция над полем K квадратичных форм f ( X ) и g (Y ) анизотропных над K . Тогда h ( Z ) определена однозначно с точностью до эквивалентности над K , и невырожденная часть h ( Z ) — анизотропная квадратичная форма над K . Обозначим через d ( f ) дискриминант f ( X ) , через DK ( f ) множество элементов из K ∗ представимых f ( X ) над K . Получен критерий f (X ) и Теорема 3. Квадратичные формы g (Y ) анизотропные над K размерности 2 образуют бирациональную композицию h ( Z ) над K тогда и только тогда, когда d ( f ) d (g)∈ K∗ . 2 И с точностью до K -эквивалентности d( f ) . a2 1. Lam K.Y. Quadratic and hermition forms. Conf. Proc. 1983.V 4 Providence, Rhod Island, p.173-192. 2. Платонов В.П., Черноусов В.И. ДАН СССР. 1980, т.252, № 4, с. 796-800. h ( z1 , z2 , z= ab ( z12 + dz22 ) , где a ∈ DK ( f ) , b ∈ DK ( g ) и d = 3 , z4 )