4 qq F r 4 qq F r 10 q 13 qe 7 qe 3 qe 0 q

Занятие 9.
Глава 17. Взаимодействие электрических зарядов.
Закон Кулона. Принцип суперпозиции
Вариант 1
17.1.1. Какой из нижеперечисленных формул в системе единиц СИ
выражается сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов
q1 и q2 ( q1 , q2 0 ), расположенных на расстоянии r друг от друга?
Притягиваются они или отталкиваются?
q1q2
, отталкиваются
4 0r 2
q1q2
3. F
, отталкиваются
4 0r
17.1.2. Маленькая капелька воды, имеющая заряд q
10e ( e – за1. F
q1q2
, притягиваются 2. F
4 0r 2
q1q2
, притягиваются 4. F
4 0r
ряд протона), при освещении светом потеряла три электрона. Каким
стал заряд капельки?
1. q
2. q
3. q
4. q 0
13e
7e
3e
17.1.3. Как изменится сила кулоновского взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов, если расстояние между ними увеличить
в n раз?
1. Увеличится в n раз
2. Уменьшится в n раз
2
3. Увеличится в n раз
4. Уменьшится в n 2 раз
17.1.4. Как изменится сила кулоновского взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов, если заряд каждого увеличить в n раз?
1. Увеличится в n раз
2. Уменьшится в n раз
2
3. Увеличится в n раз
4. Уменьшится в n 2 раз
17.1.5. Как изменится сила кулоновского взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов, если величину одного заряда увеличить
в 2 раза, величину второго – увеличить в 4 раза, а расстояние между
ними увеличить в 8 раз?
1
1. Не изменится
2. Уменьшится в 2 раза
3. Уменьшится в 4 раза 4. Уменьшится в 8 раз
17.1.6. Как изменится сила кулоновского взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов, если все пространство заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε 10 ?
1. Увеличится в 10 раз
2. Уменьшится в 10 раз
3. Не изменится
4. Уменьшится в 5 раз
17.1.7. Два маленьких шарика одинаковых масс заряжены зарядами
Q и 2Q . Шарики удерживают на некотором расстоянии друг от друга,
а затем одновременно отпускают. Сравнить ускорения шариков. Никакие силы, кроме кулоновской, на шарики не действуют.
1. 2aQ a2Q
2. aQ 2a2Q
3. aQ
a2Q
4. aQ
4a2Q
17.1.8. Два маленьких шарика с массами m и 2m заряжены зарядами Q и 2Q соответственно. Шарики удерживают на некотором расстоянии друг от друга, а затем одновременно отпускают. Сравнить ускорения шариков. Никакие силы, кроме кулоновской, на шарики не
действуют.
1. 2am a2 m
2. am 2a2 m
3. am
a2 m
4. am 4a2 m
17.1.9. Электрон (Э) движется в поле закрепленШ
Э
ного маленького шара (Ш, см. рисунок), который
заряжен отрицательным зарядом. В начальный момент скорость электрона направлена к центру шара. Как будет изменяться скорость электрона в последующем?
1. Будет всегда увеличиваться
2. Будет всегда уменьшаться
3. Сначала будет увеличиваться, затем уменьшаться
4. Сначала будет уменьшаться, затем увеличиваться
17.1.10. Два шарика, заряженные зарядами Q и
Q
3Q
3Q связаны нерастяжимой непроводящей нитью длиной
2
l (см. рисунок). Найти силу натяжения нити. ( k 1/ 4 ε 0 ).
1. T
3. T
3kQ 2
l2
3kQ 2
2l 2
2. T
6kQ 2
l2
4. T
0
Вариант 2
17.2.1. Три шарика, заряженные одинаковыQ
ми зарядами Q расположены вдоль одной
прямой и связаны нерастяжимыми нитями
длиной l . Найти силы натяжения нитей. ( k 1/ 4 ε 0 ).
1. T
3. T
11kQ 2
4l 2
7kQ 2
4l 2
Q
Q
9kQ 2
4l 2
5kQ 2
4l 2
2. T
4. T
17.2.2. Как направлена сила, действующая на
отрицательный точечный заряд Q со стороны
двух одинаковых положительных точечных зарядов q (см. рисунок: заряд Q расположен на
перпендикуляре, проходящем через середину
отрезка q q )? Q, q 0 .
1.
2.
3.
17.2.3. Как направлена сила, действующая на
отрицательный заряд Q со стороны двух точечных зарядов q и q (см. рисунок: заряд Q
расположен на перпендикуляре, проходящем
через середину отрезка q( q) )? Q, q 0 .
1.
2.
3.
3
Q
q
q
4.
Q
q
4.
q
17.2.4. Три одинаковых точечных заряда q расположены в вершинах
равностороннего треугольника со стороной a . Какая сила действует на
каждый из них со стороны двух других?
1. F
2q 2
4 ε0a2
3. F
3q 2
4 ε0a2
2. F
3q 2
8 ε0a2
4. F
2q 2
8 ε0a2
17.2.5. Точечный заряд q расположен на
q
l
Q
1. F
q Q
2 ε 0l 2
3. F
q Q
4 ε 0l 2
Q
q
расстоянии l от очень большой пластины,
равномерно заряженной зарядом Q . Чему
равна сила взаимодействия между пластиной и зарядом? Площадь пластины - S .
2. F
q Q
Sε 0
q Q
2Sε 0
17.2.6. Точечный заряд q находится внутри сферы
с радиусом R , равномерно заряженной по поверхности зарядом Q . Расстояние от заряда до центра сферы
равно R / 2 (см. рисунок). Какая сила действует на
точечный заряд со стороны сферы? ( k 1/ 4 ε 0 ).
4. F
1. F
kq Q
R2
2. F
3. F
0
4. F
4k q Q
R2
2k q Q
R2
4
2Q
Q
q
17.2.7. Имеются две концентрические
сферы с радиусами R и 2R , заряженные
зарядами Q и 2Q ( Q 0 ). На расстоянии
3R / 2 от центра сфер находится положительный точечный заряд q (см. рисунок).
Какая сила действует на заряд q со стороны сфер? ( k
1/ 4 ε 0 ).
1. F
kQq
9R2
2. F
3. F
0
4. F
4kQq
9R2
8kQq
9l 2
17.2.8. Имеется два точечных
A
B
C
заряда 2Q и Q ( Q 0 ). В какой из показанных на рисунке
Q
2Q
точек – А, В или С – сила, действующая со стороны этих зарядов на некоторый помещенный в эту точку положительный заряд, будет наибольшей? Расстояния A 2Q ,
2Q B , B Q , Q C - одинаковы.
1. В точке А
2. В точке В
3. В точке С
4. В точках А и С
17.2.9. Два одинаковых металлических шарика, заряженных зарядами одного знака, находятся на расстоянии, много большем их размеров.
Шарики приводят в соприкосновение, а затем разводят на первоначальное расстояние. Что можно сказать о величине силы взаимодействия
шариков?
1. Увеличится независимо от величин первоначальных зарядов
2. Уменьшится независимо от величин первоначальных зарядов
3. Может как увеличиться, так и уменьшиться в зависимости от величин первоначальных зарядов
4. Не изменится независимо от величин первоначальных зарядов
5
17.2.10. Два одинаковых металлических шарика, заряженных зарядами противоположных знаков, находятся на расстоянии, много большем их размеров. Шарики приводят в соприкосновение, а затем разводят на первоначальное расстояние. Что можно сказать о величине силы
взаимодействия шариков?
1. Увеличится независимо от величин первоначальных зарядов
2. Уменьшится независимо от величин первоначальных зарядов
3. Может как увеличиться, так и уменьшиться в зависимости от величин первоначальных зарядов
4. Не изменится независимо от величин первоначальных зарядов
Напряженность и потенциал электрического поля.
Силовые линии электрического поля
Вариант 1
18.1.1. Чему равна величина напряженности E электрического поля
(в международной системе единиц СИ), созданного точечным зарядом
Q в точке на расстоянии r от этого заряда? ( k 1/ 4 ε 0 )
1. E
3. E
k |Q|
r2
kQ 2
r2
k |Q|
r
kQ 2
r
2. E
4. E
18.1.2. Какова размерность напряженности электрического поля в
международной системе единиц СИ?
1. E кулон/секунда
2. E ампер/килограмм
3. E
вольт/метр
4. E
фарада/метр
18.1.3. Для нахождения напряженности электрического поля, созданного некоторыми зарядами, берут пробный заряд q . Как изменится
напряженность поля, найденная с помощью этого пробного заряда, если
пробный заряд увеличить вдвое и изменить его знак?
1. Увеличится вдвое, не изменится по направлению
6
2. Уменьшится вдвое, изменится по направлению
3. Не изменится по величине, изменится по направлению
4. Не изменится
18.1.4. Два точечных отрицательных заряда q
( q 0 ) создают электрическое поле. Как направO
лен вектор напряженности электрического поля в
точке О, расположенной на перпендикуляре к отq
q
резку, соединяющему заряды, и делящему этот
отрезок пополам (см. рисунок)?
1.
2.
3.
4.
18.1.5. Что такое силовые линии электрического поля?
1. Это траектории движения зарядов в этом поле
2. Это линии одинаковой напряженности
3. Это линии одинакового потенциала
4. Это линии, касательные к которым совпадают с вектором E
18.1.6. Положительный точечный заряд
вносят в однородное электрическое поле (см.
риq
сунок). Как направлена сила, действующая на
точечный заряд со стороны поля?
1.
2.
3.
4.
в
18.1.7. Точечный заряд Q переносится
I
электрическом поле, создаваемом некото- 1
рой
II
системой зарядов, из точки 1 в точку 2 по
траекториям I, II и III (см. рисунок;
то2
III
рии показаны пунктирными линиями, заряряды, создающие поле, не показаны). При
перемещении по какой траектории поле совершит наибольшую работу?
1. На траектории I
2. На траектории II
3. На траектории III
4. Работа поля одинакова на всех траекториях
18.1.8. Напряженность однородного электрического поля равна 100
В/м, расстояние между двумя точками, расположенными на одной си-
7
ловой линии - 5 см. Разность потенциалов между двумя этими точками
равна
1. 5 В
2. 20 В
3. 500 В
4. 2000 В
18.1.9. Какой из нижеприведенных рисунков правильно показывает
картину силовых линий электрического поля, создаваемого положительным точечным зарядом Q (на рисунках он показан маленьким
кружком)?
1.
2.
3.
4.
2 10 3 Кл перемещается под
18.1.10. Электрический заряд q
действием сил электрического поля из некоторой точки, потенциал по100 В, в точку, потенциал поля в которой раля в которой равен 1
80 В. Какую работу совершит над зарядом электрическое
вен 2
поле?
1. 104 Дж
2. 0,04 Дж
3. 0,04 Дж
4. 104 Дж
Вариант 2
18.2.1. На рисунке приведена картина силовых линий электрического поля, созданного некоторой системой зарядов (на рисунке эти заряды не показаны).
2
Сравнить величину напряженности поля в точках 1 и 2.
1. E1 E2
2. E1 E2
3. E1 E2
4. Информации для ответа недостаточно
18.2.2. На рисунке приведена картина силовых ли1
ний электрического поля, созданного некоторой систе2
мой зарядов (на рисунке эти заряды не показаны).
Сравнить потенциал поля в точках 1 и 2.
1
8
1. 1
2. 1
3. 1
2
2
2
4. Информации для ответа недостаточно
18.2.3. Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом в точке на расстоянии 10 см от этого заряда, равен 12 В. Чему
равен потенциал электрического поля этого заряда в точке на расстоянии 30 см от этого заряда? Потенциалы определены относительно бесконечно удаленной точки.
1. 3 В
2. 4 В
3. 2 В
4. 6 В
18.2.4. Расстояние между двумя одноименными зарядами Q и 4Q
равно l . На каком расстоянии x от заряда Q находится точка, напряженность электрического поля в которой равна нулю?
1. x
l
4
2. x
l
5
l
3
3. x
4. x
l
2
18.2.5. Расстояние между разноименными точечными зарядами Q и
4Q равно l . На каком расстоянии x от заряда Q на прямой, соединяющей заряды, находится точка, потенциал электрического поля в которой равен нулю? Потенциалы определены относительно бесконечности.
1. x
l
4
2. x
l
5
l
3
3. x
4. x
l
2
18.2.6. Четыре точечных одинаковых заряда расположены в вершинах квадрата. Каждый из зарядов создает в центре квадрата электрическое поле с напряженностью E . Чему равна напряженность электрического поля, созданного в центре квадрата всеми четырьмя зарядами?
1. 2E В
2. 0
3. 2 2E
4. 4E
18.2.7. Две очень большие пластины
I
равномерно заряжены зарядами q и q . В
q
II
какой области (см. рисунок) напряженq
ность суммарного электрического поля,
III
созданного обеими пластинами, равна нулю? Краевыми эффектами пренебречь.
1. Только в области II
2. Только в областях I и III
9
3. Только в области III
4. Только в области I
18.2.8. Две очень большие пластины
I
равномерно заряжены одинаковыми заряq
II
дами q и q . В какой области (см. рисунок)
q
III
напряженность электрического поля, созданного обеими пластинами, равна нулю?
Краевыми эффектами пренебречь.
1. Только в области II
2. Только в областях I и III
3. Только в области III
4. Только в области I
18.2.9. Два точечных электрических заряда создают в некоторой точке поле с потенциалом
50 В. Если убрать один из зарядов потенци-
10 В. Каким станет потенциал в
ал в этой точке станет равным 1
этой точке, если первый заряд вернуть на свое место, а второй убрать?
1. 40 В
2. 60 В
3. 60 В
4. Такими потенциалы быть не могут
18.2.10. Сфера радиусом R равномерно заряжена по поверхности
зарядом Q . Найти потенциал
электрического поля в точке внутри
сферы, лежащей на расстоянии r от ее центра. ( k
1.
kQ
r
2.
kQ
R r
3.
0
1/ 4 ε 0 )
kQ
4.
R
Проводники и диэлектрики в электрическом поле
Вариант 1
19.1.1. Какое из нижеперечисленного списка веществ является проводником электрического тока?
1. Поваренная соль
2. Дистиллированная вода
3. Свинец
4. Стекло при комнатных температурах
19.1.2. Какое из нижеперечисленного списка веществ является диэлектриком?
1. Мел
2. Алюминий
10
3. Железо
4. Водопроводная вода
19.1.3. Незаряженное металлическое тело вносят в электрическое поле.
Какое из нижеперечисленных явлений будет обязательно происходить с
данным телом? С другими телами тело не контактирует.
1. Тело приобретет электрический заряд
2. На поверхности тела индуцируются электрические заряды, сумма
которых равна нулю
3. На поверхности тела индуцируются электрические заряды, сумма
которых не равна нулю
4. В объеме тела индуцируются электрические заряды, сумма которых равна нулю
19.1.4. Заряженное тело подносят к маленьким кусочкам бумаги.
Возникнет ли взаимодействие между телом и кусочками бумаги?
1. Нет, поскольку кусочки бумаги не заряжены
2. Да, притяжение, благодаря электризации кусочков бумаги
3. Да, отталкивание, благодаря электризации кусочков бумаги
4. Это зависит от взаимной ориентации заряженного тела и кусочков
бумаги
19.1.5. Незаряженное металлическое тело
вносят в однородное электрическое поле. Затем
A
B
тело разрезают на части А и В (см. рисунок).
Какие заряды будут иметь после разрезания
части тела?
1. Не заряжены
2. А – положительный, В – отрицательный
3. А – отрицательный, В – положительный
4. И А, и В заряжены отрицательно
19.1.6. Незаряженное диэлектрическое тело вносят в электрическое
поле отрицательного заряда, а затем разрезают на части А и В (см. рисунок к предыдущей задаче). Какие заряды будут иметь после разрезания части тела?
1. Не заряжены
2. А – положительный, В – отрицательный
3. А – отрицательный, В – положительный
4. И А, и В заряжены отрицательно
11
19.1.7. Незаряженное металлическое тело вносят в электрическое
поле. Какие из следующих явлений:
(1) «напряженность электрического поля во всех точках внутри тела
равна нулю»;
(2) «потенциал электрического поля во всех точках внутри тела одинаков»;
(3) «силовые линии суммарного электрического поля (внешнего и
индуцированных зарядов) перпендикулярны поверхности тела»
будут иметь место из-за перераспределения деления зарядов внутри
тела?
1. Только (1)
2. Только (2)
3. Только (3)
4. Одновременно справедливы все утверждения: и (1), и (2), и (3)
19.1.8. Металлическому телу в форме цилиндра
сообщен положительный заряд. Тело помеще1
2
но в однородное электрическое поле, параллельное образующей цилиндра (см. рисунок). Сравнить потенциалы электрического поля в точках 1
и 2.
1. 1
2. 1
3. 1
2
2
2
4. Информации для ответа недостаточно
19.1.9. Два металлических тела соединяют проводником. Какие электрические характеристики сфер выровняются?
1. Потенциалы
2. Заряды
3. Плотности зарядов
4. Напряженности поля около поверхности
19.1.10. При заземлении металлического тела:
1. Его заряд становится равным нулю
2. Его потенциал становится равным нулю
3. Напряженность создаваемого этим телом электрического поля
становится равной нулю
4. Его заряд становится равным заряду Земли
Вариант 2
12
19.2.1. Между двумя разноименно заряженными точечными зарядами вносят диэлектрическую пластинку. Как изменится сила взаимодействия зарядов?
1. Не изменится
2. Увеличится
3. Уменьшится
4. Это зависит от диэлектрической проницаемости
19.2.2. Имеется заряженный металлический шар радиусом R . Известно, что потенциал поля, создаваемого шаром в точке, расположен10 В. Чему раной на расстоянии 2R от его поверхности, равен 0
вен потенциал шара?
1.
2.
3.
40 В
30 В
20 В
4.
10 В
19.2.3. 64 маленьких ртутных капелек радиуса 1 мм заряжены до
потенциала 1 В каждая. Капельки сливаются в одну большую каплю.
Найти ее потенциал.
1. 8 В
2. 16 В
3. 32 В
4. 64 В
19.2.4. Два металлических шара, имеющих радиусы R и 3R , находятся на очень большом расстоянии друг от друга. Шар радиусом R
заряжен, шар радиусом 3R – нет. Затем шары соединяют проводником
ничтожно малой емкости. Найти отношение зарядов шаров после установления равновесия.
1.
QR
Q3 R
3
2.
QR
Q3 R
3
3.
QR
Q3 R
1
3
4.
QR
Q3 R
1
3
19.2.5. Две концентрические проводящие сферы с радиусами R и
2R заряжают зарядами Q и Q соответственно. Найти разность потенциалов сфер
внешн
внешней и внутренней сфер, k
1.
kQ
4R
2.
внутр
, где
1/ 4 ε 0 .
kQ
3.
2R
внешн
и
внутр
kQ
4.
2R
– потенциалы
0
19.2.6. Две тонкие параллельные пластинки равномерно заряжены
зарядами Q и Q . Площадь пластин S , расстояние между ними d .
13
Найти разность потенциалов пластинок
, где
и
–
потенциалы положительно и отрицательно заряженных пластинок.
Краевыми эффектами пренебречь.
Qd
2Sε 0
Qd
Sε 0
1.
3.
2.
2Qd
Sε 0
4.
0
19.2.7. Две тонкие параллельные пластинки равномерно заряжены
одинаковыми зарядами Q . Площадь пластин S , расстояние между ними d . Найти разность потенциалов пластинок. Краевыми эффектами
пренебречь.
Qd
2Sε 0
Qd
Sε 0
1.
3.
Q
3
2
1
2.
2Qd
Sε 0
4.
0
19.2.8. Проводящему полому шару, сечение которого показано на рисунке, сообщили положительный
электрический заряд Q . В каких областях напряженность электрического поля равна нулю?
1. Только в области 1
2. Только в об-
ласти 2
3. Только в области 3
4. В областях 1 и 2
19.2.9.
В
центр
незаряженного
проводящего полого
Q
шара, сечение которого показано на рисунке, помещен
положительный точечный заряд. В каких областях на3 2 1
пряженность электрического поля равна нулю?
1. Только в области 1
2. Только в области 2
3. Только в области 3
4. В областях 1 и 2
19.2.10. В центр незаряженного проводящего полого шара, сечение
которого показано на рисунке к предыдущей задаче, помещен положи-
14
тельный точечный заряд Q . Найти заряды, индуцированные на внешней и внутренней поверхностях шара (здесь Rвнутр и Rвнешн – внутренний и внешний радиусы полого шара).
1. Q и
3.
Q
QRвнутр
Rвнешн
Q
Q
и
2
2
QRвнешн
4.
и
Rвнутр
2.
и
QRвнутр
Rвнешн
15
QRвнешн
Rвнутр
Ответы
Взаимодействие электрических зарядов.
Закон Кулона. Принцип суперпозиции
Вариант 1
Номер задачи
17.1.1-17.1.10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ответ
2
2
4
3
4
2
3
2
4
1
Номер задачи
17.2.1-17.2.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
4
4
1
3
4
3
2
1
1
3
Вариант 2
Напряженность и потенциал электрического поля.
Силовые линии электрического поля
Вариант 1
Номер задачи
18.1.1-18.1.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
1
3
4
4
4
2
4
1
1
3
Номер задачи
18.2.1-18.2.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
2
1
2
3
2
2
2
1
2
4
Вариант 2
Проводники и диэлектрики в электрическом поле
Вариант 1
Номер задачи
19.1.1-19.1.10
1
2
3
4
16
5
6
7
8
9
10
Ответ
3
1
2
2
2
1
4
3
1
2
Номер задачи
19.2.1-19.2.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
2
2
2
4
3
3
4
4
2
1
Вариант 2
17
Решения
Глава 17. Взаимодействие электрических зарядов.
Закон Кулона, принцип суперпозиции
Взаимодействие электрических зарядов описывается законом Кулона, который утверждает, что сила взаимодействия двух покоящихся точечных зарядов в вакууме равна
| q1 || q2 |
,
(17.1)
r2
где | q1 | и | q2 | – модули зарядов, r – расстояние между ними. КоэфF
k
фициент пропорциональности в формуле (17.1) зависит от системы
единиц. В международной системе единиц СИ этот коэффициент принято записывать в виде
k
1
4πε 0
8,99
м
,
Ф
(17.2)
где величина ε 0 называется электрической постоянной, размерность
величины k сводится к отношению размерности длины к размерности
электрической емкости (Фарада). Электрические заряды бывают двух
типов, которые условно принято называть положительным и отрицательным. Как показывает опыт, заряды притягиваются, если они разноименные и отталкиваются, если одноименные.
В любом макроскопическом теле содержится огромное количество
электрических зарядов, поскольку они входят в состав всех атомов: электроны заряжены отрицательно, протоны, входящие в состав атомных
ядер – положительно. Однако большинство тел, с которыми мы имеем
дело, не заряжены, поскольку количество электронов и протонов, входящих в состав атомов, одинаково, а их заряды по абсолютной величине в
точности совпадают. Тем не менее, тела можно зарядить, если создать в
них избыток или недостаток электронов по сравнению с протонами. Для
этого нужно передать электроны, входящие в состав какого-нибудь тела,
другому телу. Тогда у первого возникнет недостаток электронов и соот-
18
ветственно положительный заряд, у второго – отрицательный. Такого
рода процессы происходят, в частности, при трении тел друг о друга.
Если заряды находятся в некоторой среде, которая занимает все пространство, то сила их взаимодействия ослабляется по сравнению с силой их взаимодействия в вакууме, причем это ослабление не зависит от
величин зарядов и расстояния между ними, а зависит только от свойств
среды. Характеристика среды, которая показывает, во сколько раз ослабляется сила взаимодействия зарядов в этой среде по сравнению с
силой их взаимодействия в вакууме, называется диэлектрической проницаемостью этой среды и, как правило, обозначается буквой ε . Формула Кулона в среде с диэлектрической проницаемостью ε принимает
вид
F
1 | q1 || q2 |
.
4πεε 0
r2
(17.3)
Если имеется не два, а большее количество точечных зарядов для
нахождения сил, действующих в этой системе, используется закон, который называется принципом суперпозиции1. Принцип суперпозиции
утверждает, что для нахождения силы, действующей на один из зарядов
(например, на заряд q1 ) в системе из трех точечных зарядов q1 , q2 и
q 3 надо сделать следующее. Сначала надо мысленно убрать заряд q3 и
по закону Кулона найти силу, действующую на заряд q1 со стороны
оставшегося заряда q2 . Затем следует убрать заряд q2 и найти силу,
действующую на заряд q1 со стороны заряда q3 . Векторная сумма полученных сил и даст искомую силу.
Принцип суперпозиции дает рецепт поиска силы взаимодействия неточечных заряженных тел. Следует мысленно разбить каждое тело на
части, которые можно считать точечными, по закону Кулона найти силу
их взаимодействия с точечными частями, на которое разбивается второе
тело, просуммировать полученные вектора. Ясно, что такая процедура
1
Слово «суперпозиция», несмотря на мнение большинства современных школьников, означает не «очень хорошее, удачное, удобное («супер!») положение» тела, а переводится с английского как «наложение».
19
математически очень сложна, хотя бы потому, что необходимо сложить
бесконечное количество векторов. В математическом анализе разработаны методы такого суммирования, однако в школьный курс физики
они не входят. Поэтому, если такая задача и встретится, то суммирование в ней должно легко выполняться на основе тех или иных соображений симметрии. Например, из описанной процедуры суммирования
следует, что сила, действующая на точечный заряд, помещенный в
центр равномерно заряженной сферы, равна нулю.
Кроме того, школьник должен знать (без вывода) формулы для силы,
действующей на точечный заряд со стороны равномерно заряженной
сферы и бесконечной плоскости. Если имеется сфера радиуса R , равномерно заряженная зарядом Q , и точечный заряд q , расположенный
на расстоянии r от центра сферы, то величина силы взаимодействия
равна
F
k
| q || Q |
,
r2
(17.4)
если точечный заряд находится снаружи сферы, и
(17.5)
F 0,
если заряд находится внутри (причем не обязательно в центре). Из
формул (17.4), (17.5) следует, что сфера снаружи создает такое же электрическое поле как весь ее заряд, помещенный в центре, а внутри – нулевое.
Если имеется очень большая плоскость с площадью S , равномерно
заряженная зарядом Q , и точечный заряд q , то сила их взаимодействия
равна
F
| q || Q |
2 0S
| q || |
,
2 0
(17.6)
где величина
Q / S имеет смысл поверхностной плотности заряда
плоскости. Как следует из формулы (17.6) сила взаимодействия точечного заряда и плоскости не зависит от расстояния между ними. Обратим
внимание читателя на то, что формула (17.6) является приближенной и
«работает» тем точнее, чем дальше точечный заряд находится от ее краев. Поэтому при использовании формулы (17.6) часто говорят, что она
20
справедлива в рамках пренебрежения «краевыми эффектами», т.е. когда
плоскость считается бесконечной.
Рассмотрим теперь решение данных в первой части книги задач.
Согласно закону Кулона (17.1) величина силы взаимодействия двух
зарядов из задачи 17.1.1 выражается формулой
F
q1q2
.
4 0r 2
Заряды отталкиваются (ответ 2).
Поскольку капелька воды из задачи 17.1.2 имеет заряд q
10e
( e – заряд протона), то она имеет в избытке 10 электронов по сравнению с протонами. Значит при потере трех электронов их избыток
уменьшится, и заряд капельки станет равен q
7e (ответ 2).
Согласно закону Кулона (17.1) величина силы взаимодействия двух
зарядов при увеличении в n раз расстояния между ними уменьшится в
n 2 раз (задача 17.1.3 – ответ 4).
Если заряды двух точечных тел увеличить в n раз при неизменном
расстоянии между ними, то сила их взаимодействия, как это следует из
закона Кулона (17.1), увеличится в n 2 раз (задача 17.1.4 – ответ 3).
При увеличении одного заряда в 2 раза, а второго в 4 , числитель
закона Кулона (17.1) увеличивается в 8 раз, а при увеличении расстояния между зарядами в 8 раз – знаменатель увеличивается в 64 раза.
Поэтому сила взаимодействия зарядов из задачи 17.1.5 уменьшится в 8
раз (ответ 4).
При заполнении пространства диэлектрической средой с диэлектрической проницаемостью
10 , сила взаимодействия зарядов согласно
закону Кулона в среде (17.3) уменьшится в 10 раз (задача 17.1.6 – ответ 2).
Сила кулоновского взаимодействия (17.1) действует как на первый,
так и на второй заряд, а поскольку их массы одинаковы, то ускорения
зарядов, как это следует из второго закона Ньютона, в любой момент
времени одинаковы (задача 17.1.7 –ответ 3).
Похожая задача, но массы шариков разные. Поэтому при одинаковой
силе ускорение шарика с меньшей массой в 2 раза больше ускорения
21
шарика с меньшей массой am 2a2 m , причем этот результат не зависит
от величин зарядов шариков (задача 17.1.8 – ответ 2).
Поскольку электрон заряжен отрицательно, он будет отталкиваться
от шара (задача 17.1.9). Но поскольку начальная скорость электрона
направлена к шару, он будет двигаться в этом направлении, но его скорость будет уменьшаться. В какой-то момент он на мгновение остановится, а потом будет двигаться от шара с увеличивающейся скоростью
(ответ 4).
В системе двух заряженных шариков, связанных нитью (задача
17.1.10), действуют только внутренние силы. Поэтому система будет
покоиться и для нахождения силы натяжения нити можно использовать
условия равновесия шариков. Поскольку на каждый из них действуют
только кулоновская сила и сила натяжения нити, то из условия равновесия заключаем, что эти силы равны по величине. Отсюда
T
3kQ 2
,
l2
где k 1/ 4 0 (ответ 1).
Система трех шариков в задаче 17.2.1 покоится, поэтому силы натяжения должны компенсировать силы кулоновского отталкивания крайних зарядов. Последние найдем по закону Кулона и принципу суперпозиции. Каждый крайний заряд отталкивается от центрального заряда и
другого крайнего. Для суммы этих сил получаем
kQ 2
l2
kQ 2
4l 2
5kQ 2
.
4l 2
Этой величине и будет равна сила натяжения нитей (ответ 4). Отметим,
что рассмотрение условия равновесия центрального заряда не помогло
бы найти силу натяжения, а привело бы к заключению, что силы натяжения нитей одинаковы (впрочем, это заключение и так очевидно благодаря симметрии задачи).
Для нахождения силы, действующей на
Q
заряд Q в задаче 17.2.2, используем
принцип суперпозиции. На заряд Q дейq
q
ствуют силы притяжения к левому и пра-
22
вому зарядам q (см. рисунок). Поскольку расстояния от заряда Q до
зарядов q одинаковы, модули этих сил равны друг другу и они направлены под одинаковыми углами к прямой, соединяющей заряд Q с серединой отрезка q q . Поэтому сила, действующая на заряд Q направлена вертикально вниз (вектор результирующей силы выделен
жирным на рисунке; ответ 4).
Задача 17.2.3 похожа на предыQ
дущую, но изменен знак одного из
зарядов. Поэтому сила, действующая
на заряд Q со стороны правого заq
q
ряда, не изменившись по величине,
изменится по направлению (см. рисунок). Поэтому вектор результирующей силы будет направлен влево (вектор результирующей силы выделен
жирным на рисунке; ответ 1).
На каждый заряд в задаче 17.2.4 дейстq
вуют силы отталкивания со стороны двух
других зарядов (см. рисунок), причем значения этих сил одинаковы (из-за равенства
q
q
величин всех зарядов и расстояний между
ними) и равны
q2
4
0
a2
.
Из-за равенства значений сил-слагаемых параллелограмм сложения сил
представляет собой ромб, и, следовательно, вектор результирующей
силы направлен вдоль биссектрисы треугольника из зарядов (выделен
жирным на рисунке). Поэтому угол, отмеченный на рисунке дугой равен 30 , а значение результирующей силы равно
F
2
q2
4
0
a
cos 30
2
3q 2
4 0a2
(ответ 3).
Из формулы (17.6) заключаем, что правильный ответ в задаче 17.2.5
– 4. В задаче 17.2.6 нужно использовать формулу для силы взаимодей-
23
ствия точечного заряда и сферы (формулы (17.4), (17.5)). Имеем F 0
(ответ 3).
В задаче 17.2.7 необходимо применить принцип суперпозиции к
двум сферам. Принцип суперпозиции утверждает, что взаимодействие
каждой пары зарядов не зависит от наличия других зарядов. Поэтому
каждая сфера действует на точечный заряд независимо от другой сферы, и для нахождения результирующей силы нужно сложить силы со
стороны первой и второй сфер. Поскольку точечный заряд расположен
внутри внешней сферы, она не действует на него (см. формулу (17.5)),
внутренняя действует с силой
F
kQq
3R / 2
2
4kQq
,
9R2
где k 1/ 4 0 . Поэтому и результирующая сила равна этому выражению (ответ 2).
В задаче 17.2.8 также следует использовать принцип суперпозиции.
Если заряд q поместить в точку А, то силы, действующие на него со
стороны зарядов 2Q и Q , направлены влево. Поэтому по принципу
суперпозиции имеем для равнодействующей силы
FA
k 2Qq
d2
kQq
9d 2
19kQq
,
9d 2
где d – расстояния от зарядов до исследуемых точек. Если поместить
положительный заряд q в точку В, то силы будут направлены противоположно, и на основании принципа суперпозиции находим результирующую силу
FB
k 2Qq
d2
kQq
d2
kQq
.
d2
В точке С на заряд q будут действовать силы, направленные направо, и
потому
FC
k 2Qq
9d 2
kQq
d2
11kQq
.
9d 2
Из этих формул следует, что наибольшей сила будет в точке А – ответ 1.
24
Пусть, для определенности, заряды шариков q1 и q2 в задаче 17.2.9
положительны. Так как шарики одинаковы, заряды после их соединения распределяться между ними равномерно и для сравнения сил, нужно сравнить друг с другом величины
q1q2
q1 q2
4
2
,
(1)
которые представляют собой произведения зарядов шариков до и после
их соединения. После извлечения квадратного корня сравнение (1) сводится к сравнению среднего геометрического
метического q1
q1q2 и среднего ариф-
q2 / 2 двух чисел. А поскольку среднее арифметиче-
ское любых двух чисел больше их среднего геометрического, то сила
взаимодействия шариков возрастет независимо от величин их зарядов
(ответ 1).
Задача 17.2.10 очень похожа на предыдущую, а ответ – другой. Непосредственной поверкой легко убедиться, что сила может как увеличиться, так и уменьшиться в зависимости от величин зарядов. Например, если заряды равны по величине, то после соединения шариков их
заряды станут равны нулю, поэтому нулевой будет и сила их взаимодействия, которая, следовательно, уменьшится. Если один из первоначальных зарядов равен нулю, то после соприкосновения шариков заряд
одного из них распределится между шариками поровну, и сила их взаимодействия увеличится. Таким образом, правильный ответ в этой задаче – 3.
Глава 18. Напряженность и потенциал электрического поля.
Силовые линии электрического поля
Для характеристики создаваемого зарядами электрического поля
вводятся две величины – напряженность электрического поля и его потенциал. Напряженность характеризует силу, действующую со стороны
поля на внесенный в него пробный заряд. Если в какой-то точке поля на
25
заряд q действует сила F , то напряженность электрического поля в
этой точке равна
E
F
,
q
(18.1)
где q – заряд, который мы взяли, чтобы «попробовать» поле в данной
точке. Такой заряд называется «пробным». Пробный заряд не должен
искажать распределение зарядов, создающих поле, и потому должен
быть достаточно мал. В формулу (18.1) пробный заряд входит со своим
знаком (не модуль), поэтому, как следует из (18.1), вектор напряженности поля в некоторой точке направлен так же, как и вектор силы, действующей в этой точке на положительный пробный заряд.
Найдем напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q . Для этого возьмем произвольный пробный заряд q и
поместим его в точку, находящуюся на расстоянии r от заряда Q . Сила, действующую на пробный заряд со стороны заряда Q , определяется
законом Кулона (17.1), (17.2). Поэтому согласно (18.1) имеем
E
где k
1/ 4
0
k |Q|
,
r2
(18.2)
. Направлен вектор напряженности от заряда Q , если
Q 0 , и к нему, если Q 0 .
Пусть поле создается несколькими зарядами Q1 , Q2 , Q3 , … В этом
случае его напряженность равна векторной сумме напряженностей тех
полей, которые создаются каждым зарядом в отдельности. Действительно, из принципа суперпозиции следует, что на пробный заряд в
этом случае действует сила F
F3 ... , где F1 , F2 , F3 … –
силы, действующие на пробный заряд со стороны каждого заряда Q1 ,
Q2 , Q3 , … Поэтому из (18.1) получаем
E
F1 F2
F3 ...
q
F1
q
F1 F2
F2
q
26
F3
... E1 E2
q
E3 ... , (18.3)
где E1 , E2 , E3 , … – напряженности тех полей, которые создавались бы
каждым зарядом в отдельности в отсутствие других зарядов. Утверждение (18.3) называется принципом суперпозиции для полей. Формула
(18.2) и принцип суперпозиции позволяют вычислить поле, создаваемое
любым заряженным телом – с помощью мысленного разбиения его на
точечные части и суммирования напряженностей, создаваемых всеми
таким частями. Однако из-за математической сложности такой процедуры, она не входит в программу школьного курса физики. Школьник
должен знать без вывода результат ее применения к заряженным сферам и плоскостям. Из формул (17.4), (17.5) получаем для напряженности поля сферы радиуса R , равномерно заряженной зарядом Q , в точке на расстоянии r от центра сферы:
E
k |Q|
r2
0
при r
R (вне сферы),
при
R (внутри сферы),
r
(18.4)
где k 1/ 4 0 , а из формулы (17.6) для напряженности поля равномерно заряженной плоскости
E
|Q|
2 0S
| |
,
2 0
(18.5)
где Q – заряд плоскости, S – площадь,
– поверхностная плотность
зарядов плоскости.
Электрическое поле можно изобразить графически (на современном
русском языке – визуализировать) с помощью силовых линий. Силовые
линии – это такие воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором напряженности в этой
точке. Вообще говоря, силовые линии проходят через каждую точку
поля (кроме тех точек, где E 0 ), но поскольку так их нарисовать
нельзя, условились проводить их с определенной густотой в зависимости от величины поля: чем гуще расположены силовые линии, тем
больше величина напряженности поля.
Второй характеристикой электрического поля является его потенциал. Основная идея введения этой величины заключается в следующем.
27
Если электрический заряд перемещается в электрическом поле (созданном другими зарядами), то со стороны поля на него действуют силы, и,
следовательно, поле совершает работу. Потенциал поля – это такая
функция точки поля (r ) , что работа A1 2 , совершаемая полем над точечным пробным зарядом q при его перемещении из точки с радиусомвектором r1 в точку с радиусом-вектором r2 , равна
A1
2
q
(r1 )
(r2 )
(18.6)
(именно в такой последовательности). Из формулы (18.6) следует, что
работа, которую совершает поле при перемещении заряда, не зависит от
формы траектории, а определяется только начальной и конечной ее
точками. В частности, при перемещении тела по замкнутой траектории
поле совершает нулевую работу.
Поскольку в формулу (18.6), входит разность потенциалов двух точек поля, потенциал определен с точностью до постоянной. Эту постоянную всегда можно выбрать так, что потенциал любой заданной точки
поля можно сделать равным нулю. Как правило, в качестве такой точки
выбирают бесконечно удаленную от зарядов точку поля, считая ее потенциал равным нулю. Из формулы (18.6) следует, что потенциал любой точки поля равен отношению работы, которую совершает электрическое поле при перемещении пробного заряда из этой точки в ту точку,
потенциал которой выбран равным нулю, к пробному заряду.
Можно доказать, что если поле создается точечным зарядом Q , то
потенциал на расстоянии r от заряда при условии, что потенциал бесконечно удаленной точки принят за нуль, равен
r
kQ
.
r
(18.7)
Важно отметить, что в формулу (18.7) входит заряд Q со знаком (не
модуль!), т.е. потенциал поля, создаваемого положительным зарядом, –
положительный, отрицательным – отрицательный.
Для потенциалов справедлив принцип суперпозиции: если поле создается несколькими точечными зарядами, то потенциал любой его точке равен алгебраической сумме потенциалов (18.7), создаваемых в этой
точке каждым точечным зарядом. Это правило позволяет найти потен-
28
циал поля, создаваемого протяженным заряженным телом: нужно мысленно разделить тело на малые («точечные») части, по формуле (18.7)
найти потенциал поля, создаваемого каждой такой частью, а затем сложить полученные результаты.
Для решения задач ЕГЭ нужно знать (без вывода) формулу потенциала поля равномерно заряженной сферы. Пусть имеется сфера радиуса R , равномерно заряженная зарядом Q . Тогда потенциал точки поля,
расположенной на расстоянии r центра сферы, равен
r
kQ
R
kQ
r
при r
R (вне сферы),
(18.8)
при r
R (внутри сферы)
(точка нулевого потенциала выбрана на бесконечности).
Часто в задачах ЕГЭ по физике используется связь напряженности
однородного электрического поля и разности потенциалов двух точек
поля, лежащих на одной силовой линии. Для нахождения этой связи
возьмем положительный пробный заряд q , перенесем его из первой
точки во вторую вдоль силовой линии и найдем работу, которую совершает при этом электрическое поле. Поскольку поле действует на
заряд с постоянной силой qE , угол между перемещением и этой силой
равен нулю (заряд движется вдоль силовой линии), поэтому работа сил
поля равна A qEl , где l – расстояние между исследуемыми точками.
С другой стороны, по определению потенциала работа поля равна
A q 1
2 . Приравнивая эти работы, находим
El .
(18.9)
Подчеркнем, что формула (18.9) справедлива только для однородного
поля, а точки 1 и 2 должны лежать на одной силовой линии.
Рассмотрим теперь задачи.
Величина напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом (задача 18.1.1), определяется формулой (18.2)
1
2
29
k |Q|
,
r2
E
где k 1/ 4 0 (ответ 1).
Размерность напряженности электрического поля (задача 18.1.2)
можно найти из связи напряженности поля и потенциала (см. формулу
(18.9)). А поскольку размерность потенциала в международной системе
единиц СИ – вольт, из формулы (18.9) имеем:
E
вольт
,
метр
l
где квадратные скобки обозначают размерность (ответ 3).
Для определения напряженности поля используют пробный заряд
(см. формулу (18.1)). Однако напряженность (18.1) ни от знака, ни от
величины пробного заряда не зависят (задача 18.1.3). Это связано с тем,
что сила F в (18.1) линейно зависит от пробного заряда q , и он сокращается в (18.1). Если взять пробный заряд отрицательным, то направление вектора F в числителе (18.1) изменится по сравнению со
случаем положительного пробного заряда, но отношение F / q будет
направлено противоположно вектору F , т.е. направление вектора E не
изменится (ответ 4).
Для нахождения поля, созданного
двумя точечными зарядами (задача
O
E2
E1
18.1.4), используем принцип суперпозиции. Напряженности полей, создаваеq
q
мых в точке О каждым зарядом в отE
дельности, показаны тонкими векторами
и отмечены как E1 и E2 . Поскольку модули этих векторов равны, вектор их суммы направлен вертикально вниз (ответ 4).
По определению силовые линии – это такие воображаемые линии,
касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с
вектором напряженности в этой точке (задача 18.1.5 – ответ 4).
30
Поскольку силовые линии поля в задаче 18.1.6 направлены направо,
то направо направлен и вектор напряженности в каждой точке. Поэтому
направо будет направлен и вектор силы, действующий со стороны этого
поля на положительные точечный заряд (ответ 2).
Поскольку все траектории движения заряда I, II и III в задаче 18.1.7
начинаются и заканчиваются в тех же точках, то работа поля над зарядом при его движении по всем трем траекториям одинакова (ответ 4).
Разность потенциалов двух точек однородного электрического поля
(задача 18.1.8) найдем по формуле (18.9):
El 100 0, 05 5 В
1
2
(ответ 1).
Поскольку
вектор
напряженности
ского поля в любой точке направлен от заряда, то
ловые линии поля расходятся радиально, являясь везвезде прямыми (см.рисунок). Таким образом, правильный ответ в задаче 18.1.9 – 1.
По определению потенциала имеем для работы поля в задаче 18.1.10
A q 1
2 10 3
100
80
0,04 Дж
2
(ответ 3).
Силовые линии электрического поля строятся 1
так,
что их густота пропорциональна величине поля:
чем
2
гуще силовые линии, тем больше величина напряженности. Поэтому в задаче 18.2.1 E1 E2 (ответ 2).
Рисунок в задаче 18.2.2 – тот же самый, что и в предыдущей задаче,
однако логика получения ответа совсем другая. Чтобы сравнить потенциалы в точках 1 и 2 перенесем из первой точке во вторую положительный пробный заряд и найдем работу поля. Так как A q 1
2 , и
если работа положительна, то 1
2 , если отрицательна – наоборот.
Очевидно, работа поля при перемещении положительного заряда из
точки 1 в точку 2 положительна. Действительно, стрелки на силовых
линиях направлены вправо, следовательно, и сила, действующая на положительный заряд, направлена вправо, туда же направлен и вектор
перемещения заряда, поэтому косинус угла между силой и перемеще-
31
нием положителен на всех элементарных участках траектории, поэтому
положительна работа. Таким образом 1
2 (ответ 1), причем этот
результат является следствием направления стрелок на силовых линиях,
а не переменной густоты силовых линий.
В задаче 18.2.3 используем формулу для потенциала поля точечного
заряда. Поскольку потенциал поля обратно пропорционален расстоянию до заряда, создающего поле (см. формулу (18.7)), то
r
1 1
2
1
r2
3
4В
(ответ 2). Другими словами, на втрое большем расстоянии от точечного
заряда потенциал его поля втрое меньше.
Очевидно, искомая в задаче 18.2.4
точка, находится между зарядами. В
E2
этой точке величины напряженностей
E1
полей E1 и E2 , создаваемых каждым
4Q
зарядом, должны быть равны (см. рисуl x
x
нок). Используя формулу (18.2), получаем
kQ
x2
k 4Q
,
(l x) 2
l / 3 (ответ 3).
0 . Отсюда находим x
где k 1/ 4
Используя принцип суперпозиции для потенциалов и формулу для
потенциала поля точечного заряда (18.7), получим для искомой точки
(задача 18.2.5)
kQ
x
k 4Q
0,
l x
l / 5 (ответ 2).
0 . Отсюда находим x
где k 1/ 4
Поскольку все заряды в задаче 18.2.6 одинаковы, то напряженность
поля, созданного в центре квадрата каждой парой зарядов, лежащих на
одной диагонали, равна нулю. Поэтому равна нулю и напряженность
электрического поля, созданного всеми четырьмя зарядами (ответ 2.).
32
В задачах 18.2.7 и 18.2.8 используем принцип суперпозиции. Векторы напряженности полей, создаваемых верхней и нижней пластинами
E1 и E2 соответственно показаны на рисунках (левый рисунок относится к задаче 18.2.7, правый – к 18.2.8). Из этих рисунков следует, что
в области II для задачи 18.2.7 и в областях I и III для задачи 18.2.8 векторы E1 и E2 направлены противоположно. А поскольку величина напряженности поля плоскости не зависит от расстояния до нее (формула
(18.5)), а заряды плоскостей одинаковы по величине, напряженность
суммарного поля в этих областях равна нулю.
E1
E2
I
E1
II
E1
E2
q
E1
E1
E2
E2
q
q
III
E1
E2
q
E2
Таким образом, правильный ответ в задаче 18.2.7 – 2, в задаче 18.2.8
– 3. Отметим, что полученный результат является приближенным и
справедлив в пределе бесконечно больших пластин. Для конечных пластин поле в указанных областях будет малым, но отличным от нуля,
причем величина поля будет наибольшей около краев пластин.
По принципу суперпозиции для потенциалов имеем (задача 18.2.9)
1
2 . Если убрать либо первый, либо второй заряды, то потенциал в исследуемой точке станет равным соответственно
2
или
1
. От-
60 В (ответ 2).
сюда находим 2
1
Согласно формуле (18.8) потенциал поля в любой точке внутри сферы равен потенциалу на ее поверхности
33
kQ
,
R
где k
1/ 4
0
. Поэтому правильный ответ в задаче 18.2.10 – 4.
Глава 19. Проводники и диэлектрики в электрическом поле
В школьном курсе физики есть раздел, посвященный электрическим
свойствам проводников и диэлектриков и их поведению во внешнем
электрическом поле. В необходимый минимум знаний по этому вопросу входит понимание явления электростатической индукции и его механизмов в проводниках и диэлектриках, а также умение находить в
простейших ситуациях индуцированные в проводниках и диэлектриках
заряды. Кратко рассмотрим эти вопросы.
В состав атомов входят заряженные частицы (электроны и протоны).
Поэтому любое тело содержит огромное количество зарядов. Число
протонов и число электронов в составе незаряженного тела одинаково,
заряженное тело содержит разные количества протонов и электронов.
В зависимости от того, являются ли заряды внутри тела свободными
или связанными, все вещества делятся на проводники, диэлектрики
(или изоляторы) и полупроводники. В проводниках электрические заряды могут свободно перемещаться, и потому такие тела проводят
электрический ток. К проводникам относятся все металлы, в которых
носителями заряда являются «оторвавшиеся» от атомов валентные
электроны (свободные электроны), а также растворы электролитов (кислот, щелочей и солей), в которых перемещаются положительные и отрицательные ионы.
В диэлектриках все заряды «привязаны» к покоящимся атомам и не
могут перемещаться. Поэтому диэлектрики не проводят электрический
ток. К диэлектрикам, например, относятся: газы, пластмассы, эбонит,
резина, дистиллированная вода.
Вещества, занимающие по своей проводимости промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, называются полупроводниками. Типичными полупроводниками являются кристаллические
германий и кремний. В полупроводниках свободные носители заряда
34
есть, но их мало. Не следует, однако, думать, что полупроводники являются просто «плохими» проводниками или «плохими» изоляторами.
Промежуточная проводимость полупроводников приводит ко многим
необычным их свойствам, которые отличают полупроводники как от
проводников, так и от диэлектриков. С этими свойствами связаны многие применения полупроводников в технике.
При помещении проводника в электрическое поле свободные носители заряда внутри проводника перемещаются и на его поверхности
образуются области положительного и отрицательного заряда. Такое
явление разделения зарядов в проводнике под действием внешнего
электрического поля называется электростатической индукцией или
поляризацией проводника. В результате поляризации электрическое
поле в пространстве изменяется и становится равным сумме внешнего
поля и поля индуцированных зарядов. Можно доказать, что перемещение зарядов в проводнике будет происходить до тех пор, пока суммарное поле внутри проводника не станет равным нулю, а на его поверхности – перпендикулярным поверхности.
Такое свойство проводника позволяет находить индуцированные на
его поверхности заряды. Для этого нужно ввести эти заряды как некоторые неизвестные величины, затем найти поле, создаваемое этими зарядами и суммарное поле, равное векторной сумме внешнего поля и
поля индуцированных зарядов, приравнять суммарное поле внутри проводника к нулю. Решение полученного уравнения и позволит найти индуцированные заряды.
В диэлектрике поляризация также происходит, однако механизмы
этого явления – другие. Как правило, молекулы диэлектрика являются
полярными, т.е. какая-то область молекулы заряжена положительно,
какая-то – отрицательно. При помещении диэлектрика во внешнее поле
молекулы поворачиваются, и на определенные участки поверхности
диэлектрика «выходят» своими положительными областями, на другие
– отрицательными. В результате на поверхности диэлектрика образуются области положительного и отрицательного заряда, но при разрезании
диэлектрика (в отличие от разрезания проводника) получившиеся части
будут незаряженными. Благодаря поляризации диэлектрика поле в нем
ослабляется, но не становится равным нулю. Характеристика диэлек-
35
трика , которая показывает, во сколько раз ослабляется поле в нем,
называется диэлектрической проницаемостью.
Рассмотрим в рамках данного фактического материала задачи первой части.
В задаче 19.1.1 из нижеперечисленного списка веществ проводником электрического тока является металл – свинец (ответ 3).
В задаче 19.1.2 диэлектриком является мел (ответ 1; алюминий и
железо – металлы, т.е. проводники тока, в водопроводной воде растворены различные соли в таком количестве, что она является прекрасным
проводником электрического тока).
Как отмечалось ранее, при внесении металлического тела в электрической поле (задача 19.1.3) на поверхности тела индуцируются электрические заряды, сумма которых равна нулю. Все остальные предложенные ответы неверны: для приобретения электрического заряда телу
нужно сообщить или забрать у него электроны, заряды не могут индуцироваться в объеме проводника – их невозможно там удержать.
Взаимодействие между зарядом и незаряженным диэлектрическим
телом возникает (задача 19.1.4), причем это взаимодействие – притяжение (ответ 2). Это взаимодействие возникает благодаря поляризации:
из-за ориентации молекул диэлектрика часть поверхности тела, обращенная к заряду, приобретает заряд противоположного знака, дальняя
от заряда часть поверхности тела – заряд того же знака (см. рисунок).
––
–
–
+
+
+
+
Поэтому возникнет две силы – притяжение близких участков и отталкивание дальних. Но поскольку индуцированные заряды - одинаковы по величине, а кулоновское взаимодействие убывает с ростом расстояния, притяжение сильнее отталкивания, и тело будет притягиваться
к заряду.
Как указывалось во введении к настоящей главе,
части металлического тела, внесенного в электричеA
B
ское поле и разрезанного там (задача 19.1.5) будут
36
заряжены. Поскольку направление вектора напряженности совпадает с
направлением силы, действующей на положительный заряд, часть А
будет заряжена положительно, часть В – отрицательно (ответ 2). Если
тело является диэлектриком, то его части будут незаряженными (задача
19.1.6 – ответ 1).
При внесении проводящего тела в электрическое поле (задача 19.1.7) будут иметь место
все три явления, перечисленных в качестве
1
возможных ответов к задаче. О пунктах (1) и
2
(3) («поле внутри проводника равно нулю» и
«поле на поверхности перпендикулярно поверхности») говорилось во введении к настоящей главе. Докажем, что
потенциал одинаков во всех точках тела. Для этого возьмем точечный
пробный заряд q и мысленно перенесем его из одной точки тела в другую (см. рисунок; траектория движения заряда показана пунктиром). С
одной стороны, при таком движении поле совершит работу
A q( 1
2 ) , где
2 – потенциалы начальной и конечной точек
1 и
траектории тела. С другой стороны, поскольку напряженность поля
внутри проводящего тела равна нулю, эта работа – нулевая. Поэтому
1
2 (правильный ответ в задаче – 4). Аналогично в задаче 19.1.8
(ответ 3).
После соединения проводником (задача 19.1.9) два металлических
тела и соединяющий проводник будут представлять собой единое проводящее тело. Поэтому потенциалы любых точек этого тела должны
быть одинаковы. Следовательно, выровняются потенциалы сфер (ответ
1).
В задачах с заземлением (задача 19.1.10) рассматривается следующая модель Земли: это проводящий шар с размерами, много большими
размеров любых тел, имеющихся в задаче. Поэтому для потенциала
Земли можно использовать формулу (18.8), которая для любых зарядов,
с которыми мы имеем дело, дает нулевой результат. Поэтому при заземлении тела его потенциал становится равным нулю (ответ 2).
Сила взаимодействия противоположных электрических зарядов при
внесении между ними диэлектрической пластинки (задача 19.2.1)
1
2
37
увеличится (ответ 2). Действительно, в
поле зарядов на поверхности пластинки
будут индуцироваться заряды: ближе к
– +
положительному – минусы, ближе к от– +
– +
рицательному – плюсы (см. рисунок). В
– +
результате на каждый точечный наряду с
той же самой силой притяжения к другому заряду (а она, конечно, не меняется,
ведь принцип суперпозиции говорит о том, что все заряды взаимодействуют независимо) будут действовать две дополнительные силы. Это
будет сила притяжения к зарядам того же знака и отталкивания от зарядов противоположного. А поскольку заряды противоположного знака
ближе, сила притяжения будет больше. Возникновение дополнительной
силы, направленной к пластинке, будет восприниматься как увеличение
силы притяжения.
Как отмечалось выше (задача 19.1.7) потенциал электрического поля
во всех точках проводящего тела одинаков. Поэтому можно ввести понятие потенциала проводящего тела, который определяется как потенциал электрического поля в любой точке этого тела. Поэтому для потенциала металлического шара из задачи 19.2.2 имеем
kQ / R , где
, Q – заряд шара, R – его радиус. Потенциал поля шара на
расстоянии двух радиусов от его поверхности и, следовательно, трех
радиусов от центра шара равен 0 kQ / 3R , т.е. одной трети от потен-
k 1/ 4
0
циала шара. Отсюда находим
3
0
30 В (ответ 2).
Потенциал каждой капли ртути (задача 19.2.3) равен
k 1/ 4
0
kq / r , где
, q – заряд капли, r – ее радиус. После слияния заряд
большой капли равен Q nq , а радиус R 3 nr , где n – число капель
(последнее следует из того, что объем большой капли равен сумме объемов капель). Отсюда находим потенциал большой капли
kQ
R
knq
3
nr
(ответ 2).
38
n 2/3
16 В
Поскольку после соединения шары будут представлять собой единое
металлическое тело (задача 19.2.4), то заряд разделится между ними
так, что потенциалы шаров будут одинаковы. Поэтому для зарядов шаров QR и Q3R выполнено условие
kQR kQ3 R
.
R
3R
1/ 3 (ответ 4).
Отсюда находим QR / Q3 R
Согласно принципу суперпозиции потенциал каждой точки складывается из потенциала, создаваемого в этой точке всеми зарядами. Поэтому потенциалы и внутренней и внешней сферы (задача 19.2.5) создаются зарядами внутренней и внешней сфер. А поскольку потенциал в
любой точке внутри сферы определяется ее радиусом сферы (см.
(18.8)), получаем
внутр
kQ
R
k
Q
.
2R
Аналогично находим потенциал внешней сферы
внешн
kQ
2R
k
Q
.
2R
Отсюда находим
внешн
внутр
kQ
2R
(ответ 3).
Чтобы найти разность потенциалов между двумя проводниками
нужно мысленно перенести пробный заряд с одного из них на другой,
найти работу, совершаемую электрическим полем при этом, разделить
работу на величину пробного заряда. В задаче 19.2.6 между пластинками будет однородное поле с напряженностью E Q / S 0 . Поэтому работа поля над пробным зарядом q при его перемещении с одной пластинки на другую есть A
Qqd / S 0 . С другой стороны, работа поля
следующим образом связана с разностью потенциалов A q . Отсюда находим разность потенциалов пластин
39
Qd
0S
(ответ 3).
Поскольку напряженность поля между двумя параллельными пластинками, заряженными одинаковым зарядом равна нулю (см. задачу
18.2.8), то при перенесении пробного заряда с одной пластины на другую поле не совершает работу. Следовательно, разность потенциалов
между такими пластинками в задаче 19.2.7 равна нулю (ответ 4).
В задаче 19.2.8 заряды распределятся только по внешней поверхности полого шара (если бы весь заряд или какая-то его часть находилась
на внутренней поверхности, то в объеме проводника было бы электрическое поле, чего быть не должно). А поскольку заряд, расположенный
на поверхности сферы, создает поле только снаружи этой сферы, то напряженность будет отлична от нуля только в области 3. Поэтому правильный ответ в задаче – 4.
В задаче 19.2.9 заряды индуцируются и на внешней и на внутренней
поверхностях полого шара, причем их сумма равна нулю. Результирующее поле будет создаваться центральным зарядом и индуцированными зарядами, которые, фактически, представляют собой равномерно
заряженные сферы. А поскольку поле сферы равно нулю внутри этой
сферы, то суммарное поле в полости (в области 1) равно полю точечного заряда, т.е. не равно нулю. Внутри металлического тела (в области 2)
поле равно нулю, как и внутри любого проводника. Снаружи шара поля
индуцированных зарядов компенсируют друг друга, поэтому суммарное поле равно полю точечного заряда, т.е. не равно нулю. Поэтому
правильный ответ в этой задаче – 2.
В задаче 19.2.10 на внешней и внутренней поверхности сферической
оболочки будут индуцироваться такие заряды, что суммарное поле
(внешнее плюс поле индуцированных зарядов) внутри оболочки будет
равняться нулю. Пусть на внутренней поверхности будет индуцирован
заряд q , тогда на внешней поверхности будет индуцирован заряд q .
Поле внутри оболочки (в области 2) будет создаваться только точечным
зарядом и зарядами внутренней поверхности (заряд внешней поверхности благодаря ее сферичности в этой области электрического поля не
40
создает). С другой стороны это поле равно нулю. Отсюда заключаем, что
заряд внутренней поверхности оболочки противоположен по знаку центральному точечному заряду и равен ему по величине q
Q . Следовательно, заряд внешней поверхности оболочки центральному заряду (ответ 1).
41