Листок 30 (элемент длины и элемент объема) f : U → Rn | невырожденной производной. Положим X = f (U ). Ясно, что Пусть U ⊂ R2 | открытое множество и гладкое вложение с f 0 (x; y )(@=@x) = fx (x; y ); f 0 (x; y )(@=@y ) = fy (x; y ) (в правой части касательные векторы к Стало быть, если d X | элемент площади на отождествлены с векторами из X , то f ∗ d (@=@x; @=@y ) = d (fx (x; y ); fy (x; y )) = Rn ). EG − F 2 ; p где E = (fx ; fx ); F = (fx ; fy ); G = (fy ; fy ); R √ так что площадь поверхности X равна U EG − F 2 dxdy . 2=3 + y 2=3 = 1. 1. Найдите длину кривой, заданной уравнением x 2. Найдите площадь поверхности в R3 , заданной условиями z = xy; x2 + y 2 6 1: 3. Найдите площадь поверхности в R3 , заданной условиями z 2 = xy; x > 0; y > 0; z > 0; x + y 6 1: 4. Найдите площадь поверхности тора в R4 , заданного уравнениями x21 + x22 = 1; x23 + x24 = 1: 5. Найдите площадь поверхности тора в с уравнениями вокруг оси R3 , полученного вращением окружности 2 2 (x − 2) + y = 1; z=0 Ox. 6. Найдите площадь поверхности, полученной вращением графика функции 7. Пусть tg x, 0 6 x 6 =4, X вокруг оси Ox. | сфера в R3 , заданная уравнением Z X y = x2 + y 2 + z 2 = 1. Найдите (x + y + z )d: X | единичная сфера в R3 (она задана уравнением x2 + y 2 + z 2 = 1), и пусть Y | цилиндр в R3 , заданный уравнением x2 + y 2 = 1; через dX и dY обозначим соответствующие формы площади. Через ' обозначим отображение, ставящее в соответствие точке p сферы точку '(p) цилиндра, имеющую ту же координату z и обладающую тем свойством, что прямая p; '(p) пересекает ось Oz . Сравните формы dX и '∗ dY . 8. Пусть 9. Рассмотрим в Rn форму ! = x1 dx2 ∧ : : : dxn − x2 dx1 ∧ dx3 : : : ∧ dxn + : : : + (−1)n−1 xn dx1 ∧ : : : ∧ dxn−1 (в k-м dxk и имеется коэффициент xk , знаки чередуются). ! на единичную сферу совпадает с формой объема. слагаемом пропущено Докажите, что ограничение