Математика и алгоритмы» 2015-2016

Санкт-Петербургский Государственный
Электротехнический Университет “ЛЭТИ”
им. В.И. Ульянова (Ленина)
Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2015 год
7–8 класс
1. На собрании за круглым столом собрались 33 человека. Известно, что каждый из них либо рыцарь
(всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт). Каждый из них сказал фразу: ”Напротив меня
сидит один лжец и один рыцарь“. Сколько рыцарей было среди участников собрания?
2. Решите в целых числах:
37x−37y−2x3 +2xy 2
x2 −y 2
=
37
y−x
3. Расставьте 17 человек в 16 рядов по 3 человека в каждом.
4. Дан треугольник ABC, про который известно, что ∠C — прямой, а ∠B = 60◦ . На плоскости отметили
точки T и D так, что ∠ABD = 90◦ , ∠BT D = 90◦ , |AB| = |BD|, T лежит на прямой BC. Найдите
отношение длины отрезка AD к стороне BT .
5. Дан алгоритм:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Начало
Присвоить x значение 10000
Присвоить y значение 100
Пока x больше чем 10
Начало цикла
Присвоить x значение x - y
Присвоить y значение y - 1
Присвоить x значение x - y
Конец цикла
Вывести x на экран
Конец
Что будет выведено на экран?
6. Заяц написал на 30 карточках числа от 1 до 30 и выложил их в ряд в произвольном порядке. Однако,
известно, что наименьшее из чисел написано на первой карточке в этом ряду. Кролик хочет сделать
так, чтобы карточки были разложены в порядке возрастания чисел на них. Для этого он может брать
два одинаковых по размеру набора, состоящих из лежащих подряд карточек, и менять эти наборы
местами. Докажите, что ему для сортировки хватит 28 операций. Операцией можно назвать действие,
при котором мы меняем местами два набора.
7. В корзине лежат 116 яблок разного размера. Андрей и Георгий играют в игру. Каждый из них может
в свой ход съесть либо одно яблоко, либо два. При этом съесть можно только яблоки наименьшего
размера. Выигрывает тот, кто съест последнее яблоко. Кто может придумать стратегию для того,
чтобы выиграть при любых действиях противника, если первым ходит Андрей?
Санкт-Петербургский Государственный
Электротехнический Университет “ЛЭТИ”
им. В.И. Ульянова (Ленина)
Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2015 год
9–10 класс
1. Решите систему:
1 1

 x + y = 2,
x2 + y 2 − 2(x + y) 6 −1,

√

y = x.
2. На собрании за круглым столом собрались 35 человек. Известно, что каждый из них либо рыцарь
(всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт). Каждый из них сказал фразу: ”Напротив меня
сидит один лжец и один рыцарь“. Сколько рыцарей было среди участников собрания?
3. В дупле лежат 1000 орешков. Белка и хомяк играют в игру. Каждый из них может в свой ход скушать либо один орешек, либо два орешка. Побеждает тот, кто съедает последний орешек. Кто может
придумать стратегию для того, чтобы выиграть при любых действиях противника, если первой ходит
белка?
4. Есть 6 студентов, которые хотят подготовить 100 выступлений. У каждого из них разные скорость
и время подготовки выступления, которые зависят от количества людей в команде. Первый тратит
t1 = k6 часов для подготовки одного выступления, второй — t2 = k3 часов, третий — t3 = k5 часов,
10
четвёртый всё делает со скоростью v4 = 20
k выступлений в час, пятый — v5 = k выступлений в час,
шестой — v6 = 12
k выступлений в час, где k — количество людей в команде, готовящей выступления.
При каком количестве людей достигается максимальная общая скорость подготовки выступлений, и за
какое наименьшее время можно подготовить 100 выступлений?
5. В окружность радиуса 5 вписали треугольники ABC и ACD. Известно, что AD — диаметр, |AB| =
|BC|, |DC| = 8. Найдите |AB|.
6. Назовём лестницей длины n фигуру, состоящую из n столбцов, причём первый из них состоит из 1
клетки, а каждый следующий выше предыдущего ровно на одну клетку. Можно ли разрезать лестницу
длины 2015 на угловые тримино? Угловое тримино — это квадрат 2 × 2 без одной клетки.
7. Дан алгоритм:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Начало
Присвоить i значение 1
Присвоить res значение 1
Присвоить sum значение 0
Пока i меньше чем 1001
Начало цикла
Присвоить res значение
Присвоить i значение i
Конец цикла
Пока res делится на 6
Начало цикла
Присвоить sum значение
Присвоить res значение
Конец цикла
Вывести sum на экран
Конец
res * i
+ 1
sum + 6
res / 6
Опишите, что будет выведено на экран?
Санкт-Петербургский Государственный
Электротехнический Университет “ЛЭТИ”
им. В.И. Ульянова (Ленина)
Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2015 год
Победители и призеры олимпиады получат право участия во
втором туре инженерной олимпиады школьников (физика) и
олимпиадах “физтех”.
11 класс
Математика
1. Решите уравнение в целых числах:
47 ln x log7 e2
log7 47
=y
2. Решите уравнение:
2
(cos4 α + sin4 α)2 + 94 sin4 2α − 12 cos2 α sin6 α − 12 cos6 α sin2 α = sin β + 4 sin2 2α( sin2 2α − sin4 α − cos4 α)
3. Дана пирамида ABCDO такая, что ABCD — прямоугольник, AO = 10, BO = 12, CO = 14, OD = 16.
На стороне CD отметили точку K такую, что OK — биссектриса ∠OD. На стороне BC отметили
точку L такую, что OL — биссектриса ∠BOC. На стороне AB отметили точку M такую, что OM —
биссектриса ∠AOB. На стороне AD отметили точку N такую, что ON — биссектриса ∠AOD. Найдите
отношение объёма пирамиды ABCDO к объёму пирамиды KLM N O.
Физика
1. Бревно положили на цепные качели, длина цепи которых не уменьшается с каждым оборотом вокруг
оси. Длина цепи — 1 м. С какой начальной скоростью нужно толкнуть качели с бревном, чтобы они крутились вечно? Бревно приклеено к качелям на суперклей, цепь прозрачная нерастяжимая невесомая,
внешних воздействий нет, энергопотерь нет.
2. Однажды перед боем бравые космодесантники рассматривали в телескоп укрепления орков. Объектив
телескопа имеет фокусное расстояние F = 900 мм и диаметр D = 90 мм. Как изменится освещённость
E изображения укреплений орков на сетчатке глаза, если окуляр с фокусным расстоянием F2 = 40 мм
0
00
заменить окуляром с фокусным расстоянием F2 = 20 мм или окуляром с фокусным расстоянием F2 =
80 мм? Считать, что диаметр зрачка глаза космодесантника примерно равен 5 мм.
3. Неоновая лампа загарается и гаснет при напряжении U1 = 78 В. Определить время, в течении которого
она будет гореть в каждый полупериод. Действующее значение напряжения в сети переменного тока
U = 120 В, период переменного тока равен 0.02 с.
Алгоритмы
1. Даны 4 пронумерованные монеты разного веса и магическая коробка. В магическую коробку можно
поместить две монеты и она запишет себе в память номер монеты, которая легче, после чего вернёт
монеты. Можно сделать несколько таких операций. После этого магическая коробка выдаёт результаты
всех взвешиваний и самоуничтожается. За какое минимальное количество операций можно получить
данные, которых гарантированно хватит для того, чтобы узнать номер самой лёгкой монеты? А сколько
таких операций с магической коробкой потребуется, для того чтобы отсортировать по весу?
2. Преподаватели Александра Александровна и Борис Борисович ищут студентов для перетаскивания
парт. Им нужно ровно 255 студентов. Ни больше, ни меньше. Студенты сидят в 63 аудиториях, расположенных в ряд. Преподаватели очень устали, и потому не хотят ходить обратно, а ещё хранить в своей
голове более двух чисел одновременно. Изначально они стоят около первой аудитории. Каждый раз,
когда один из преподавателей отходит от одной аудитории к другой, он смотрит, сколько человек в новой аудитории. Им нужно найти несколько соседних аудиторий (количество аудиторий их не волнует),
чтобы забрать из них всех студентов, и повести их работать. При этом в аудиториях не должно остаться
студентов, а отпускать лишних студентов тоже нельзя. Как им стоит это сделать? Гарантируется, что
найдется несколько аудиторий подряд, таких что всего в них сидят ровно 255 студентов.