Алгебро-геометрические методы в математической физике

Некоторые алгебро-геометрические методы
в математической физике
В.В. Жаринов
1 E-mail:
2 Буду
1 2
zharinov@mi.ras.ru
рад любым замечаниям, указаниям на ошибки, неточности, опечатки.
2
Оглавление
1 Предварительные сведения
1.1 Стандартные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Язык категорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Полезные конструкции . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Сумма и произведение семейства объектов . . . . .
1.2.4 Функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Абелевы группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Категория абелевых групп . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Прямые произведения и прямые суммы . . . . . .
1.3.3 Свободные абелевы группы . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Тензорные произведения . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Градуировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Категория линейных пространств . . . . . . . . . .
1.4.2 Прямые произведения и прямые суммы . . . . . .
1.4.3 Базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Тензорные произведения . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Градуировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Дуальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Категория алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Стандартные конструкции . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Градуировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Тензорная алгебра линейного пространства . . . .
1.5.5 Градуированное тензорное произведение градуированных алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
6
7
8
10
11
11
13
14
16
20
21
21
23
24
26
30
31
32
32
37
39
41
. 43
4
Оглавление
1.6 Модули . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Категории модулей . . . . .
1.6.2 Стандартные конструкции .
1.6.3 Градуировка . . . . . . . . .
1.6.4 Тензорная алгебра модуля .
1.6.5 Дуальность . . . . . . . . . .
1.7 Гомологии . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Дифференциальные модули
1.7.2 Комплексы . . . . . . . . . .
1.7.3 Когомологии . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Формальная дифференциальная геометрия
2.1 Алгебра как основной объект . . . . . . . .
2.1.1 Определения . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Морфизмы алгебр . . . . . . . . . . .
2.2 Мультипликаторы и дифференцирования .
2.2.1 Мультипликаторы . . . . . . . . . . .
2.2.2 Дифференцирования . . . . . . . . .
2.2.3 Взаимные действия . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
44
45
54
55
58
60
60
61
64
.
.
.
.
.
.
.
.
67
67
67
68
70
71
71
74
76
Глава 1
Предварительные сведения
В лекциях предполагается рассмотреть ряд алгебраических и геометрических понятий и методов, применяемых в современной математической
физике и дифференциальных уравнениях. В полном объеме подобная
задача, конечно, неподъемная и мое изложение будет естественно субъективным, отражающим мой личный опыт и мое понимание предмета.
Эта глава носит вводный характер, ее нельзя рассматривать как учебник по затрагиваемым вопросам. Скорее, это сводка определений, соглашение об обозначениях и декларация подхода к основной тематике. Для
удобства читателей по каждому разделу приводится список рекомендуемой литературы.
1.1
Стандартные обозначения
Z = {0, ±1, ±2, . . . } – множество всех целых чисел;
Z+ = {0, 1, 2, . . . } – множество всех неотрицательных целых чисел;
N = {1, 2, . . . } – множество всех натуральных чисел;
R – множество всех вещественных чисел;
C = R + i R – множество всех комплексных чисел;
XD = ×D X = {x = (ξ 1 , . . . , ξ D ); ξ i ∈ X, 1 ≤ i ≤ D} – декартово
произведение D копий множества X = Z, Z+ , N, R, C, . . . ;
5
6
Глава 1. Предварительные сведения
1.2
Язык категорий
Согласно Ю.И. Манину [13], “язык категорий воплощает “социологический” подход к математическому объекту: группа или пространство рассматривается не как множество с внутренне присущей ему структурой,
но как член сообщества себе подобных”. В нашем курсе этот язык будет естественным языком, связывающим внешне разнородные объекты
и конструкции, позволяющим давать ясные содержательные определения в сложных ситуациях.
1.2.1
Категории
Категория K задана, если
• определено множество (точнее, класс) Ob K объектов категории K;
• для каждой пары A, B ∈ Ob K определено множество Mor(A, B)
морфизмов из A в B;
• для каждой тройки A, B, C ∈ Ob K определен закон композиции,
т.е. отображение Mor(A, B) × Mor(B, C) → Mor(A, C),
f ∈ Mor(A, B), g ∈ Mor(B, C) 7→ g ◦ f ∈ Mor(A, C);
• выполнены аксиомы:
(a) f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h, для всех h ∈ Mor(A, B), g ∈ Mor(B, C),
f ∈ Mor(C, D) (ассоциативность);
(b) для каждого A ∈ Ob K существует морфизм idA ∈ Mor(A, A)
такой, что idA ◦ f = f , g ◦ idA = g для всех f ∈ Mor(B, A),
g ∈ Mor(A, B) (тождественный морфизм).
Множество ∪A,B∈Ob K Mor(A, B) всех морфизмов категории K обозначается Mor K. Если надо уточнить, что речь идет о морфизмах именно
категории K будем писать MorK (A, B) вместо Mor(A, B).
В ряде категорий морфизмы называются гомоморфизмами и вместо
символа Mor пишут символ Hom. Морфизмы из Mor(A, A), A ∈ Ob K,
называются эндоморфизмами, часто вместо Mor(A, A) пишут End(A).
Морфизм f ∈ Mor(A, B) называется изоморфизмом, если существует
морфизм g ∈ Mor(B, A) такой, что f ◦ g = idB и g ◦ f = idA ; в этом
1.2. Язык категорий
7
случае g называется обратным к f , пишут g = f −1 . Изоморфизмы из
End(A) называются автоморфизмами, множество всех таких автоморфизмов обозначают через Aut(A). Морфизм f ∈ Mor(A, B) называется мономорфизмом (эпиморфизмом), если равенство f ◦ g1 = f ◦ g2 , где
g1 , g2 ∈ Mor(A′ , A), возможно лишь при g1 = g2 (равенство h1 ◦ f = h2 ◦ f ,
где h1 , h2 ∈ Mor(B, B ′ ), возможно лишь при h1 = h2 ).
Объект X ∈ Ob K называется универсальным отталкивающим (универсальным притягивающим) объектом категории K, если для любого
объекта A ∈ Ob K множество Mor(X, A) (множество Mor(A, X)) состоит ровно из одного элемента. Заметим, что все универсальные отталкивающие (все универсальные притягивающие) объекты, если таковые
существуют в данной категории, изоморфны друг другу.
Пример 1.2.1. Категория множеств S: Ob S – все множества, Mor S –
всевозможные отображения. Всякое одноэлементное множество есть универсальный притягивающий объект.
Пример 1.2.2. Категория топологических пространств T : Ob T – все топологические пространства, Mor T – все непрерывные отображения.
Пример 1.2.3. Категория S(M) всех подмножеств данного множества:
M – данное множество, Ob S(M) – множество всех подмножеств множества M, частично упорядоченное по включению, для пары подмножеств
A, B ⊂ M множество морфизмов Mor(A, B) состоит из одного элемента,
если A ⊂ B, и пустое в противном случае.
1.2.2
Полезные конструкции
Пусть K – некоторая категория, дуальная категория K◦ определяется
так: Ob K◦ = Ob K, Mor(A, B)◦ = Mor(B, A) для всех A, B ∈ Ob K,
закон композиции не меняется. Подробнее, пусть f ∈ MorK◦ (A, B) =
MorK (B, A), g ∈ MorK◦ (B, C) = MorK (C, B), A, B, C ∈ Ob K◦ = Ob K,
тогда композиция f ◦ g ∈ MorK◦ (A, C) = MorK (C, A). При переходе к
дуальной категории универсальный отталкивающий объект переходит в
универсальный притягивающий
и обратно.
Q
Q
Произведение
Ki = i∈I Ki семейства категорий {Ki ; i ∈ I} определяется следующим
образом: объекты этой категории
семейства
Q
Q суть Q
объектов Ai = {Ai ∈QOb Ki ; i ∈ I}, а морфизмы из Ai в Bi суть
семейства морфизмов
Q fi =
Q{fi ∈ Mor
Q Ki (Ai , Bi )}, закон композиции покомпонентный, т.е. ( fi ) ◦ ( gi ) = (fi ◦ gi ).
8
Глава 1. Предварительные сведения
Категория K называется подкатегорией категории L, если объекты
Ob K ⊂ Ob L, морфизмы MorK (A, B) ⊂ MorL (A, B), A, B ∈ Ob K, и закон
композиции в K индуцирован из L. Подкатегория K называется полной,
если MorK (A, B) = MorL (A, B).
Пусть K – категория и S ∈ Ob K. Категория KS объектов над S определяется следующим образом: объекты этой категории суть морфизмы
f ∈ MorK (A, S), A ∈ Ob K, а морфизмы из объекта f ∈ MorK (A, S) в объект g ∈ MorK (B, S), суть морфизмы h ∈ MorK (A, B) такие, что g ◦ h = f .
При описании категорных конструкций обычно используется наглядная диаграммная запись. Именно, морфизм f ∈ Mor(A, B) записывается
f
как стрелка A - B, а композиция морфизмов как последовательность
f
g
- C. Так, объекты построенной только что категострелок A - B
f
- S, а равенство g ◦ h = f записывается как
рии KS суть стрелки A
коммутативная диаграмма
-
f
h
A
-
B
g
S
Часто морфизм f ∈ Mor(A, B) удобно записывать как f : A → B.
1.2.3
Сумма и произведение семейства объектов
Пусть дана категория K и семейство ее объектов {Xi; i ∈ I} ⊂ Ob K.
Категория KI определятся так: объекты категории KI суть семейства
fi
- A; i ∈ I}), A ∈ Ob K, а морфизмы из объекта
морфизмов {Xi
fi
gi
h
{Xi - A} в объект {Xi - B}, A, B ∈ Ob K, суть морфизмы A - B
категории K такие, что для всех i ∈ I коммутативна диаграмма
Xi
fi
gi
-
A
-
h
B
Если в категории KI существует универсальный отталкивающий объект
ιi
- X}, то объект X ∈ Ob K называется суммой данного семей{Xi
P
ства {Xi ; i ∈ I}, причем обычно пишут i∈I Xi вместо X, а морфизмы
9
1.2. Язык категорий
ιi ∈ Mor(Xi , X) называются каноническими инъекциями слагаемых Xi в
P
fi
Xi . По определению, в этом случае для всякого семейства {Xi - A}
f
- A такой, что для всех i ∈ I
существует единственный морфизм X
коммутативна диаграмма
Xi
fi
-
X
ιi
-
Xi
f
A
Дуальным образом, пусть дана категория K и семейство ее объектов
{Y ; i ∈ I} ⊂ Ob K. Категория KI определятся так: объекты категории
i
fi
-
KI суть семейства морфизмов {A
fi
Y i ; i ∈ I}, A ∈ Ob K, а морфизмы
gi
из объекта {A - Y i } в объект {B - Y i }, A, B ∈ Ob K, суть морфизмы h ∈ Mor(A, B) категории K такие, что для всех i ∈ I коммутативна
диаграмма
h
-
fi
-
B
gi
A
Yi
Если в категории KI существует универсальный притягивающий объект
πi
- Y i }, то объект Y ∈ Ob K называется произведением семейства
{Y
Q
i
{Y ; i ∈ I}, причем обычно пишут i∈I Y i , Q
а морфизмы π i ∈ Mor(Y, Y i )
называются каноническими проекциями из Y i в Y i . По определению, в
i
f
этом случае для всякого семейства {A - Y i } существует единственный
f
морфизм A - Y такой, что для всех i ∈ I коммутативна диаграмма
-
fi
f
A
-
Y
Yi
πi
Yi
В ряде категорий вместо терминов сумма и произведение используют
P
термины
прямая сумма и прямое произведение, а вместо символов
и
Q
используют символы ⊕ и ×.
10
1.2.4
Глава 1. Предварительные сведения
Функторы
Ковариантный функтор F из категории K в категорию L есть правило, которое каждому объекту A ∈ Ob K ставит в соответствие объект
F (A) ∈ Ob L, и каждому морфизму f ∈ MorK (A, B) ставит в соответствие морфизм F (f ) ∈ MorL (F (A), F (B)), причем справедливы равенства F ( idA ) = idF (A) и коммутативны диаграммы
f
A
-
B
g
-
F
F
?
F (A)
F (f )
C
F
?
F (B)
F (g)-
?
F (C)
Контравариантный функтор F из категории K в категорию L есть
правило, которое каждому объекту A ∈ Ob K ставит в соответствие объект F (A) ∈ Ob L, и каждому морфизму f ∈ MorK (A, B) ставит в соответствие морфизм F (f ) ∈ MorL (F (B), F (A)), причем справедливы равенства F ( idA ) = idF (A) и коммутативны диаграммы
f
A
F
-
B
g
F
-
C
F
? F (f )
? F (g)
?
F (A) F (B) F (C)
Пусть F и G – функторы из категории K в категорию L. Естественное преобразование Φ функтора F в функтор G есть правило, которое
каждому объекту A ∈ Ob K ставит в соответствие морфизм Φ(A) ∈
MorL (F (A), G(A)), причем для всякого морфизма f ∈ MorK (A, B) коммутативна диаграмма
F (A)
Φ(A)-
F (f )
G(A)
G(f )
?
F (B)
Φ(B)
-
?
G(B)
1.3. Абелевы группы
11
Подробнее смотри [13] и [7], а еще подробнее смотри [3],[4],[6], [11] и
[12].
1.3
1.3.1
Абелевы группы
Категория абелевых групп
Напомним, что непустое множество G называется абелевой группой, если
в нем определена коммутативная групповая операция (обычно записываемая аддитивно), причем выполняются аксиомы:
• a + b = b + a для всех a, b ∈ G;
• (a + b) + c = a + (b + c) для всех a, b, c ∈ G;
• существует нулевой элемент 0 ∈ G такой, что a + 0 = a для всех
a ∈ G;
• для любого a ∈ G существует противоположный элемент −a ∈ G
такой, что a + (−a) = 0.
Определена категория абелевых групп AG, объекты которой суть абелевы группы, а морфизмы – аддитивные отображения, переводящие 0 в
0. Именно, пусть G, H – абелевы группы, отображение f : G → H есть
морфизм абелевых групп, если f (a + b) = f (a) + f (b) для всех a, b ∈ G,
и f(0)=0. Морфизмы абелевых групп обычно называют гомоморфизмами, а вместо символа Mor используют символ Hom. Ниже используется
символ Hom, но морфизмы по-прежнему называются морфизмами. Таким образом множество всех морфизмов из абелевой группы G в абелеву
группу H есть HomAG (G, H).
Простейшая абелева группа есть нулевая группа, состоящая из одного
нулевого элемента; она является одновременно универсальным отталкивающим и универсальным притягивающим объектом категории AG.
Важная абелева группа есть множество всех целых чисел Z со стандартной операцией сложения.
Непустое подмножество H ⊂ G есть подгруппа группы G, если оно замкнуто относительно групповых операций, индуцированных из G. Пусть
G – абелева группа, и H – ее подгруппа. Элементы a, b ∈ G называются эквивалентными относительно H, пишут a ∼ b, если разность
12
Глава 1. Предварительные сведения
a − b ∈ H. Класс эквивалентности элемента a ∈ G есть подмножество a = a + H ⊂ G. Множество G/H всех таких классов эквивалентности есть абелева группа с групповой операцией, индуцированной из
G, a + b = a + b + H для всех a, b ∈ G/H. Эта группа называется
фактор-группой группы G по подгруппе H. Имеется естественный морфизм π : G → G/H, a 7→ a для всех a ∈ G.
Для абелевых групп G и H множество морфизмов HomAG (G, H) есть
абелева группа с поточечной групповой операцией (f +g)(a) = f (a)+g(a)
для всех f, g ∈ HomAG (G, H) и a ∈ G.
Пусть f : A → B – морфизм абелевых групп. Ядро морфизма f
есть абелева группа ker f = {a ∈ A : f (a) = 0}, а образ морфизма f
есть абелева группа im f = {b = f (a) ∈ B; a ∈ A}. очевидно, ker f –
подгруппа в A, а im f – подгруппа в B. Морфизм f : A → B является
мономорфизмом, если ker f = 0, и эпиморфизмом, если im f = B. В
категории AG морфизм является изоморфизмом тогда и только тогда,
когда он мономорфизм и эпиморфизм одновременно.
В математической физике важное значение имеет категория топологических абелевых групп TAG. Это подкатегория категории AG, объектами которой являются абелевы группы, наделенные топологией, в которой групповые операции непрерывны, а морфизмами – непрерывные
аддитивные отображения. В категории TAG каждый изоморфизм является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное в общем
случае неверно, поскольку обратное отображение, хотя оно определено
и аддитивно, не обязано быть непрерывным.
Последовательность морфизмов абелевых групп
...
-
An−1
fn−1
-
An
fn
-
An+1
-
...
называется точной в члене An , если im fn−1 = ker fn , последовательность
морфизмов называется точной, если она точная во всех своих членах.
Например, для всякого морфизма f : A → B определена точная последовательность
0
-
ker f
-
A
f-
B
π-
B/ im f
-
0,
где 0 → и → 0 – универсальные стрелки, ker f → A – естественное
вложение, π : B → B/ im f – естественный морфизм, описанный выше.
1.3. Абелевы группы
1.3.2
13
Прямые произведения и прямые суммы
В категории AG определены произведения и суммы произвольных семейств.
Действительно, пусть дано семейство {Gi ; i ∈ I} ⊂ Ob AG. Множество ×Gi = ×i∈I Gi всевозможных семейств a = (ai ) = {ai ∈ Gi ; i ∈ I},
с покомпонентной групповой операцией, (ai ) + (bi ) = (ai + bi ) для всех
(ai ), (bi ) ∈ ×Gi , есть абелева группа. Морфизмы πk : ×Gi → Gk зададим правилом (ai ) 7→ ak , k ∈ I, (ai ) ∈ ×Gi . Для каждого семейства
fi
- Gi ; i ∈ I}, A ∈ Ob AG, морфизм f : A → ×Gi заморфизмов {A
дадим правилом x 7→ (ai ) = (fi (x)) для всех x ∈ A. Легко проверяется,
что эта конструкция определяет абелеву группу ×Gi как произведение
семейства {Gi ; i ∈ I}, а морфизмы πk : ×Gi → Gk – как канонические
проекции.
Дуальным образом, для данного семейства {Gi ; i ∈ I} ⊂ Ob AG, сумма ⊕Gi = ⊕i∈I Gi ∈ Ob AG есть подгруппа абелевой группы ×Gi , состоящая из всех элементов a = (ai ) ∈ ×Gi , у которых лишь конечное
число компонент ai 6= 0, инъекции ιk : Gk → ⊕Gi действуют по правилу
ιk (ak ) = (δik ak ; i ∈ I), где δik – символ Кронекера (подробнее, семейство
ιk (ak ) имеет k-ю компоненту ak , а все остальные – нулевые). Для кажgi
- B; i ∈ I}, B ∈ Ob AG, морфизм
дого семейства морфизмов {Gi
P
g : ⊕Gi → B задается правилом a 7→ i∈I gi (ai ) (лишь конечное число
ненулевых слагаемых) для всех a = (ai ) ∈ ⊕Gi . Отождествляя элементы
ak ∈ Gk с их образами ιk (ak ) ∈ ⊕Gi , получим канонические вложения
Gk ⊂ ⊕Gi , k ∈ I. Таким образом, каждая группа Gk становится подгруппой группы ⊕GP
i , а каждый элемент a ∈ ⊕Gi имеет однозначное
представление a =
i∈I ai , где сумма содержит лишь конечное число
ненулевых слагаемых ai ∈ Gi . Другими словами, группа ⊕Gi есть прямая сумма семейства подгрупп Gi , i ∈ I.
Ниже произведения будем называть прямыми произведениями, а суммы – прямыми суммами.
Итак, для каждого семейства {Gi ; i ∈ I} ⊂ Ob AG определены и прямая сумма ⊕i∈I Gi и прямое произведение ×i∈i Gi , причем имеется естественное вложение ⊕i∈I Gi ⊂ ×i∈i Gi , более того ⊕i∈I Gi = ×i∈i Gi , если
семейство {Gi; i ∈ I} конечное.
Замечание. Элементы прямой суммыP
G = ⊕i∈I Gi обычно записывают не как a = (ai ; i ∈ I), а как a =
i∈I ai , такая форма записи
подчеркивает, что каждая группа Gi есть прямое слагаемое группы G, и
14
Глава 1. Предварительные сведения
что число ненулевых слагаемых конечно.
В категории TAG прямые произведения и прямые суммы также определены, причем теми же правилами. Прямое произведение ×i∈I Gi наделяется слабейшей топологией, в которой все проекции πk : ×Gi → Gk
непрерывны, а прямая сумма ⊕i∈I Gi наделяется сильнейшей топологией, в которой все инъекции ιk : Gk → ⊕Gi непрерывны.
1.3.3
Свободные абелевы группы
Пусть S – множество, A – абелева группа. Множество AS всех отображений из S в A есть абелева группа с обычным поточечным сложением
отображений, (φ + ψ)(s) = φ(s) + ψ(s) для всех φ, ψ ∈ AS и s ∈ S. Для
всякого φ ∈ AS множество supp φ = {s ∈ S : φ(s) 6= 0} называется носителем отображения φ, отображение называется конечным, если его
носитель – конечное множество. Множество ASfin всех конечных отображений из S в A есть подгруппа группы AS .
Пусть S – множество. Определена категория AG S , объекты которой
суть отображения φ ∈ AS , A ∈ Ob AG, а морфизмы из объекта φ ∈ AS
в объект ψ ∈ B S суть морфизмы h ∈ HomAG (A, B) такие, что коммутативна диаграмма
S
ψ
φ
-
A
-
h
B
Положим ZhSi = ZSfin , и каждому s ∈ S поставим в соответствие отображение δs ∈ ZhSi, где
(
1,
t = s,
δs (t) =
t ∈ S,
0,
t 6= s,
тогда для всякого
P отображения ζ ∈ ZhSi будем иметь однозначное представление ζ = s ζ(s)δs (подчеркнем, что лишь конечное число целых
чисел ζ(s) 6= 0). Зададим теперь отображение δ = δ(S) : S → ZhSi
правилом
s 7→ δs , тогдаPдля всякого φ ∈ AS , A ∈ Ob AG, правило
P
ζ = s ζ(s)δs 7→ φ∗ (ζ) = s ζ(s)φ(s) определяет единственный морфизм
15
1.3. Абелевы группы
φ∗ ∈ HomAG (ZhSi, A), для которого коммутативна диаграмма
S
φ
ZhSi
-
δ
-
φ∗
A
Таким образом, отображение δ = δ(S) : S → ZhSi есть универсальный
отталкивающий объект категории AG S , который называется свободной
абелевой группой, порожденной множеством S. Обычно элементы s ∈ S
и соответствующие отображения δs отождествляют, получая каноническое вложение S ⊂ ZhSi, при этом множество S становится базисом абелевой группы ZhSi (заметим,
что теперь всякое ζ ∈ ZhSi имеет однозначP
ное представление ζ = s ζ(s)s, где лишь конечное число целых чисел
ζ(s) 6= 0).
Пусть µ : S → T – отображение множества S в множество T . Положим δ(µ) = (δ(T ) ◦ µ)∗ : ZhSi → ZhT i, тогда получим коммутативную
диаграмму
S
δ(S)-
ZhSi
δ(
T
)◦
δ(µ)
µ
µ
-
?
T
-
δ(T )
?
ZhT i
Легко проверить, что правила S 7→ δ(S), µ 7→ δ(µ), определяют ковариантный функтор δ из категории множеств S в категорию абелевых групп
AG.
Абелева группа A называется свободной абелевой группой с базисом S ⊂ A, если она изоморфна группе ZhSi. Не все абелевы группы
свободные, например фактор-группа Z/nZ, n ∈ N, таковой не является
(поясним, что nZ есть подгруппа группы Z, состоящая из целых чисел
кратных n). Универсальность базиса S ⊂ A в том, что для того чтобы
определить аддитивное отображение абелевой группы A в какую-либо
абелеву группу B достаточно задать его на базисе S и дальше продолжить на всю группу A по аддитивности, причем такое продолжение всегда существует и единственное.
16
Глава 1. Предварительные сведения
Замечание.
Иногда, ради упрощения рассуждений, выражения виP
да ζ = s∈S ζ(s)s называют формальными суммами элементов множества S с коэффициентами из Z, а свободными абелевыми группами называют группы, состоящие из таких формальных сумм с поточечным
сложением.
1.3.4
Тензорные произведения
Пусть дано семейство {Gi ; i ∈ I} ⊂ Ob AG и пусть ×Gi = ×i∈I Gi – его
прямое произведение в категории AG.
Для каждого k ∈ I определены его дополнение I \ k = {i 6= k} ⊂ I и
прямое произведение ×i6=k Gi . Имеется естественный изоморфизм абелевых групп
(×i6=k Gi ) ⊕ Gk ≃ ×Gi ,
(ak , b) 7→ ak + b,
для всех ak = (ai ; i 6= k) ∈ ×i6=k Gi , b ∈ Gk , где
ak + b = (ci ; i ∈ I) ∈ ×Gi ,
(
ai ,
ci = (ak + b)i =
b,
i 6= k,
i = k.
Пусть f : ×Gi → A – отображение прямого произведения ×Gi в абелеву группу A ∈ Ob AG. Для каждого элемента ak ∈ ×i6=k Gi определено отображение fak : Gk → A правилом fak (b) = f (ak + b) для всех
b ∈ Gk (другими словами, fak – функция переменной ak , полученная из
f фиксированием остальных переменных). Отображение f называется
аддитивным по k-й переменной, если отображение fak аддитивное для
всех ak ∈ ×i6=k Gi , и полиаддитивным, если оно аддитивное по каждой
переменной. Таким образом, отображение f : ×Gi → A полиаддитивное,
если
f (ak + (b′ + b′′ )) = f (ak + b′ ) + f (ak + b′′ )
для всех k ∈ I, ak ∈ ×i6=k Gi , b′ , b′′ ∈ Gk .
Рассмотрим категорию, объекты которой суть полиаддитивные отобf
-A
ражения f : ×Gi → A, A ∈ Ob AG, а морфизмы из объекта ×Gi
g
- B суть морфизмы h ∈ HomAG (A, B), для которых
в объект ×Gi
17
1.3. Абелевы группы
коммутативна диаграмма
×Gi
f
g
-
-
A
h
B
В этой категории существует универсальный отталкивающий объект, называемый тензорным произведением семейства {Gi ; i ∈ I}. Действительно, пусть Zh×Gi i – свободная абелева группа, порожденная множеством
×Gi . Обозначим через H подгруппу группы Zh×Gi i, порожденную всеми
элементами вида
(ak + (b′ + b′′ )) − (ak + b′ ) − (ak + b′′ ),
с произвольными k ∈ I, ak ∈ ×i6=k Gi , b′ , b′′ ∈ Gk , и рассмотрим факторгруппу ⊗Gi = Zh×Gi i/H. По построению, определена последовательность отображений
0
-
× Gi
δ
-
Zh×Gi i
π
-
⊗ Gi
-
0,
так что определена композиция κ = π ◦ δ : ×Gi → ⊗Gi . Легко (хотя
и нудно) проверяется, что отображение κ полиаддитивное, и что для
любого полиаддитивного отображения f : ×Gi → A, A ∈ Ob AG, коммутативна диаграмма
×Gi
f
⊗Gi
-
κ
-
f
A
где фактор-отображение f : ⊗Gi → A действует по правилу f(x) = f∗ (x)
для всякого класса эквивалентности x = x + H ∈ ⊗Gi = Zh×Gi i/H, морфизм f∗ ∈ HomAG (Zh×Gi i, A) был определен выше в конструкции свободной абелевой группы, подчеркнем, что f∗ (x) = 0 для любого x ∈ H, в
силу полиаддитивности исходного отображения f . Таким образом, ⊗Gi
– тензорное произведение семейства {Gi ; i ∈ I}, а κ – каноническое
полиаддитивное отображение из ×Gi в ⊗Gi . Как правило, полагают
18
Глава 1. Предварительные сведения
κ(a) = ⊗i∈I ai = ⊗ai для всякого a = (ai ; i ∈ I) ∈ ×Gi , при этом полиаддитивность отображения κ сводится к равенствам
⊗(ak + (b′ + b′′ ))i = ⊗(ak + b′ )i + ⊗(ak + b′′ )i
для всех k ∈ I, ak ∈ ×i6=k Gi , b′ , b′′ ∈ Gk .
Замечание. Каждый морфизм h ∈ HomAG (⊗Gi , A), A ∈ Ob AG, порождается единственным полиаддитивным отображением f : ×Gi → A,
именно, h = f для f = h ◦ κ. Таким образом, аддитивные отображения
из ⊗Gi в произвольную абелеву группу отождествляются с полиаддитивными отображениями из ×Gi в эту группу.
Предложение 1.3.1. (Ассоциативность тензорного произведения) Для любых абелевых групп G1 , G2 , G3 существуют единственные изоморфизмы
G1 ⊗ (G2 ⊗ G3 ) ≃ G1 ⊗ G2 ⊗ G3 ,
(G1 ⊗ G2 ) ⊗ G3 ≃ G1 ⊗ G2 ⊗ G3 ,
такие что a1 ⊗ (a2 ⊗ a3 ) 7→ a1 ⊗ a2 ⊗ a3 , (a1 ⊗ a2 ) ⊗ a3 7→ a1 ⊗ a2 ⊗ a3 , для
всех a1 ∈ G1 , a2 ∈ G2 , a3 ∈ G3 .
Доказательство. Для каждого a1 ∈ G1 определено биаддитивное отображение ga1 : G2 × G3 → G1 ⊗ G2 ⊗ G3 правилом
(a2 , a3 ) 7→ a1 ⊗ a2 ⊗ a3
для всех ai ∈ Gi , i = 2, 3,
и в силу универсальности тензорного произведения определен морфизм
абелевых групп ga1 : G2 ⊗G3 → G1 ⊗G2 ⊗G3 , a2 ⊗a3 7→ a1 ⊗a2 ⊗a3 для всех
ai ∈ Gi , i = 2, 3. Следовательно, определено биаддитивное отображение
g : G1 × (G2 ⊗ G3 ) → G1 ⊗ G2 ⊗ G3 правилом
(a1 , b) 7→ ga1 (b) для всех a1 ∈ G1 , b ∈ G2 ⊗ G3 ,
и в силу универсальности тензорного произведения определен морфизм
абелевых групп g : G1 ⊗ (G2 ⊗ G3 ) → G1 ⊗ G2 ⊗ G3 , обладающий требуемым свойством a1 ⊗ (a2 ⊗ a3 ) 7→ a1 ⊗ a2 ⊗ a3 , для всех ai ∈ Gi , i = 1, 2, 3.
Легко проверяется, что этот морфизм является изоморфизмом. Единственность такого морфизма следует из того факта, что элементы вида
a1 ⊗ (a2 ⊗ a3 ) порождают группу G1 ⊗ (G2 ⊗ G3 ).
Аналогичным образом доказывается второе утверждение.
19
1.3. Абелевы группы
Замечание. Поскольку тензорное произведение, как любой универсальный объект, определено с точностью до изоморфизма, можно считать, что
G1 ⊗ (G2 ⊗ G3 ) = G1 ⊗ G2 ⊗ G3 = (G1 ⊗ G2 ) ⊗ G3 .
Предложение 1.3.2. Пусть дано семейство {G1 , . . . , Gn } ⊂ Ob AG, и
пусть σ – подстановка индексов, {1, . . . , n} 7→ {σ(1), . . . , σ(n)}. Тогда
существует единственный изоморфизм
G1 ⊗ · · · ⊗ Gn ≃ Gσ(1) ⊗ · · · ⊗ Gσ(n) ,
такой что a1 ⊗ · · · ⊗ an 7→ aσ(1) ⊗ · · · ⊗ aσ(n) для всех a1 ∈ G1 , . . . , an ∈ Gn .
Доказательство. Полиаддитивное отображение
gσ : G1 × · · · × Gn → Gσ(1) ⊗ · · · ⊗ Gσ(n)
заданное правилом
(a1 , . . . , an ) 7→ aσ(1) ⊗ · · · ⊗ aσ(n)
для всех ai ∈ Gi , 1 ≤ i ≤ n,
в силу универсальности тензорного произведения определяет морфизм
абелевых групп gσ : G1 ⊗ · · · ⊗ Gn → Gσ(1) ⊗ · · · ⊗ Gσ(n) с требуемым
свойством. Поскольку всякая подстановка индексов обратима, это изоморфизм. Единственность очевидна.
fi
- Hi } = {fi ∈ HomAG (Gi , Hi ); i ∈ I}.
Пусть дано семейство {Gi
Правило
(ai ) 7→ (fi (ai )) для всех (ai ) ∈ ×Gi ,
определяет морфизм ×fi ∈ HomAG (×Gi , ×Hi ), называемый прямым проfi
изведением семейства аддитивных отображений {Gi - Hi }. Композиция этого морфизма с каноническим отображением κ : ×Hi → ⊗Hi
есть полиаддитивное отображение g = κ ◦ (×fi ) : ×Gi → ⊗Hi , оно порождает аддитивное отображение ⊗fi = g ∈ HomAG (⊗Gi , ⊗Hi ), называемое тензорным произведением семейства аддитивных отображений
fi
{Gi - Hi }.
Прямое и тензорное произведения обладают функториальными свойствами. Именно, для всякого множества индексов I определена I-я прямая степень AG I = ×I AG категории AG. Объекты этой категории суть
20
Глава 1. Предварительные сведения
семейства {Gi }, или подробнее {Gi ∈ Ob AG; i ∈ I}, морфизмы из объfi
- Hi }, или подробнее
екта {Gi } в объект {Hi } суть семейства {Gi
{fi ∈ HomAG (Gi , Hi); i ∈ I}, композиция – покомпонентная, или подробfi
gi
- Hi } ◦ {Fi gi- Gi } = {Fi fi ◦ нее {Gi
Hi }. Ковариантный функтор
I
× из категории AG в категорию AG задается правилами {Gi } 7→ ×Gi ,
fi
i
- Hi } 7→ ×Gi ×f{Gi
× Hi (семейство отображается в свое прямое произведение). Аналогичным образом, ковариантный функтор ⊗
из категории AG I в категорию AG задается правилами {Gi } 7→ ⊗Gi
fi
i
- Hi } 7→ ⊗Gi ⊗f{Gi
⊗ Hi (семейство отображается в свое тензорное произведение).
Замечание. Отметим, что обычно тензорное произведение определяется для конечного числа сомножителей, когда I = {1, . . . , n}, n ∈ N.
1.3.5
Градуировка
Говорят, что абелева группа G градуирована абелевой группой Γ (иначе, Γ-градуирована), если G = ⊕Gγ = ⊕γ∈Γ Gγ для некоторого семейства
абелевых групп {Gγ ; γ ∈ Γ} ⊂ Ob AG. В этом случае, слагаемые Gγ называются однородными (подробнее, γ-однородными) компонентами группы
G. Пусть G = ⊕γ∈Γ Gγ , H = ⊕γ∈Γ Hγ – две Γ-градуированные абелевы
группы, морфизм f ∈ HomAG (G, H) называется γ-однородным, γ ∈ Γ,
если f (a) ∈ Hα+γ для всех a ∈ Gα ⊂ G, α ∈ Γ. Каждый морфизм
f ∈ HomAG (G, H) разлагается на γ-однородные компоненты (другими
словами, Γ-градуируется). Именно, для всякой пары α, β ∈ Γ положим
fαβ = πβ ◦ f ◦ ια : Gα → Hβ , тогда, в силу универсальности суммы, для
любого γ ∈ Γ существует единственный морфизм fγ : G → H, для которого коммутативна диаграмма
ια
-
-
fγ
G
H
gα
Gα
для всех α ∈ Γ, где gα = ια+γ ◦ fα,α+γ = ια+γ ◦ πα+γ ◦ f ◦ ια . Легко проверяется, что морфизмы
fγ суть γ-однородные, корректно определена сумма
P
P
f
,
и
f
=
f (заметим, что вPслучае конечной градуируюγ∈Γ γ
γ∈Γ γ
щей группы Γ проблем с определением γ∈Γ fγ вообще нет, поскольку
HomAG (G, H) есть абелева группа).
1.4. Линейные пространства
21
Таким образом, для каждой абелевой группы Γ определена категория
AG Γ , объекты которой суть Γ-градуированные абелевы группы, а морфизмы суть Γ-градуированные аддитивные отображения, причем AG Γ
есть полная подкатегория категории AG.
Пример 1.3.1. Каждая абелева группа тривиально градуирована нулевой
группой 0, так что AG 0 = AG.
Пример 1.3.2. Наиболее часто в качестве градуирующей группы используется группа целых чисел Z. В этом случае, G = ⊕n∈Z Gn . Очень часто
Gn = 0 для n < 0, так что фактически G = ⊕n∈Z+ Gn , и в этом случае
группа G называется Z+ -градуированной.
Пример 1.3.3. Более детальная градуировка получается, если градуировать группой ZD = ×D Z = {n = (ν 1 , . . . , ν D ); ν i ∈ Z, 1 ≤ i ≤ d}, D ∈ N.
Пример 1.3.4. Весьма популярная градуирующая группа есть факторгруппа Z2 = Z/2Z. Именно, абелева группа G Z2 -градуирована, если
G = G0 ⊕ G1 , где классы эквивалентности 0 = 0 + 2Z, 1 = 1 + 2Z, G0
и G1 – четная и нечетная подгруппы, соответственно. В теоретической
физике Z2 -градуированные объекты обычно называют суперобъектами,
а Z2 -градуированные теории – супертеориями.
Подробнее об абелевых группах можно почитать, например, в [4], [11]
и [10].
1.4
1.4.1
Линейные пространства
Категория линейных пространств
В абелевых группах, кроме сложения, существующего по определению,
имеется умножение на целые числа. Именно, пусть G – абелева группа,
и a ∈ G. Тогда,
0a = 0, 1a = a, (−1)a = −a, 2a = a + a, (−2)a = (−a) + (−a) = −(2a),
и так далее. В линейных пространствах операция умножения распространяется на числовые поля.
Пусть F – фиксированное числовое поле, точнее – поле нулевой характеристики, например, R или C.
22
Глава 1. Предварительные сведения
Абелева группа L называется линейным (векторным) пространством
над полем F, если в ней определена операция умножения на числа (элементы из F),
F × L → L,
(λ, a) 7→ λa для всех λ ∈ F, a ∈ L,
причем выполняются аксиомы:
• (λµ)a = λ(µa) для всех λ, µ ∈ F, a ∈ L;
• (λ + µ)a = λa + µa для всех λ, µ ∈ F, a ∈ L;
• λ(a + b) = λa + λb для всех λ ∈ F, a, b ∈ L;
• 1a = a для всех a ∈ L
(поясним, что 1 – единица из поля F). Элементы линейного пространства
часто называются векторами.
Определена категория линейных пространств LS F , объекты которой суть линейные пространства (над F), а морфизмы – линейные отображения (над F). Напомним, что отображение f : L → M линейного
пространства L в линейное пространство M называется линейным, если
f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) для всех λ, µ ∈ F и a, b ∈ L. Для данных
L, M ∈ Ob LS множество всех морфизмов f : L → M обозначается через
HomF (L, M) (а не через HomLS F (L, M)).
В категории линейных пространств справедливы все конструкции из
категории абелевых групп. Более того, некоторые из них принимают законченный вид благодаря расширению множества целых чисел до числового поля.
Простейшее линейное пространство есть нулевое пространство, оно
является одновременно универсальным отталкивающим и притягивающим объектом в LS F . Следующее линейное пространство есть поле F.
Абелева подгруппа M линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L, если она замкнута относительно умножения на числа. Пусть L – линейное пространство, и M – его
подпространство. Векторы a, b ∈ L называются эквивалентными относительно M, если разность a − b ∈ M. Класс эквивалентности вектора
a ∈ L есть подмножество a = a + M ⊂ L. Множество L/M всех таких классов эквивалентности есть линейное пространство с линейными
23
1.4. Линейные пространства
операциями, индуцированными из L. Это линейное пространство называется фактор-пространством пространства L по подпространству M.
Имеется естественный морфизм π : L → L/M, a 7→ a для всех a ∈ L.
Множество морфизмов HomF (L, M), L, M ∈ Ob LS F , есть линейное
пространство с линейной операцией (λf + µg)(a) = λf (a) + µg(a) для
всех λ, µ ∈ F, f, g ∈ HomF (L, M), a ∈ L.
Пусть линейное отображение f ∈ HomF (L, M), L, M ∈ Ob LS F , тогда
ядро ker f = {a ∈ L : f (a) = 0} – линейное подпространство в L, а образ
im f = {b = f (a) ∈ M; a ∈ L} – линейное подпространство в M, причем
определена точная последовательность линейных пространств
0
-
ker f
-
L
f
-
M
π
-
M/ im f
-
0,
иногда фактор-пространство M/ im f называют коядром морфизма f и
обозначают через coker f . Морфизм f : L → M является мономорфизмом, если ker f = 0, и эпиморфизмом, если im f = M. В категории LS F
морфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он мономорфизм и эпиморфизм одновременно.
В математической физике главным образом используются топологические линейные пространства и непрерывные линейные отображения,
которые образуют категорию топологических линейных пространств
TLS F . В этой категории всякий изоморфизм является одновременно и
мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное в общем случае неверно, поскольку обратное отображение, хотя оно определено и линейно, не обязано быть непрерывным.
1.4.2
Прямые произведения и прямые суммы
В категории линейных пространств прямое произведение и прямая сумма произвольного семейства всегда определены, причем теми же правилами, что и в категории абелевых групп. Именно, пусть дано семейство
{Li ; i ∈ I} ⊂ Ob LS F . Прямое произведение ×Li = ×i∈I Li есть множество
всевозможных семейств a = (ai ) = (ai ∈ Li ; i ∈ I) с покомпонентными
линейными операциями, проекции πk : ×Li → Lk , k ∈ I, действуют по
fi
- Li } морфизм
правилу a = (ai ) 7→ ak . Для данного семейства {M
f
- × Li действует по правилу f (x) = (ai = fi (x)) для всех x ∈ M.
M
Аналогичным образом, прямая сумма ⊕Li = ⊕i∈I Li есть множество всех
24
Глава 1. Предварительные сведения
семейств a = (ai ∈ Li ; i ∈ I), у которых лишь конечное число компонент ai 6= 0, с покомпонентными линейными операциями, инъекции
ιk : Lk → ⊕Li , k ∈ I, действуют по правилу ak 7→ (δik ak ; i ∈ I). Для данfi
f
ного семейства
{Li - M} морфизм ⊕Li - M действует по правилу
P
f ((ai )) = i∈I fi (ai ) для всех (ai ) ∈ ⊕Li . Инъекции ιk суть канонические
вложения Lk ⊂ ⊕Li , k ∈ I, так что ⊕Li есть прямая сумма своих подпространств Li . Опять, ⊕Li есть подпространство в ×Li , причем ⊕Li = ×Li ,
если семейство {Li ; i ∈ I} конечное.
В категории TLS F прямое произведение ×Li наделяется слабейшей
топологией, в которой все проекции πi непрерывные, а прямая сумма
⊕Li наделяется сильнейшей топологией, в которой все инъекции ιi непрерывные. Вложение ⊕Li ⊂ ×Li всегда непрерывное, а если семейство
{Li ; i ∈ I} конечное, то ⊕Li = ×Li как топологические пространства.
1.4.3
Базисы
Пусть S – множество, L ∈ Ob LS F . Множество LS всех отображений из
S в L есть линейное пространство с обычными поточечными линейными
операциями. Для всякого φ ∈ LS множество supp φ = {s ∈ S : φ(s) 6= 0}
называется носителем отображения φ, отображение называется конечным, если его носитель – конечное множество. Множество LSfin всех конечных отображений из S в L есть линейное подпространство в LS .
Пусть S – множество. Определена категория LS SF , объекты которой
суть отображения φ ∈ LS , L ∈ Ob LS F , а морфизмы из объекта φ ∈ LS в
объект ψ ∈ M S суть морфизмы h ∈ HomF (L, M) такие, что коммутативна диаграмма
S
ψ
φ
-
L
-
h
M
Положим FhSi = FSfin и каждому s ∈ S поставим в соответствие отображение δs ∈ ZhSi ⊂ FhSi, введенное выше в категории абелевых групп.
Для всякого
P отображения ζ ∈ FhSi будем иметь однозначное представление ζ = s ζ s δs , где лишь конечное число коэффициентов ζ s = ζ(s) ∈ F
ненулевые. Отображение δ = δ(S) : S → FhSi зададимPправилом s 7→ δs ,
тогда для всякого φ ∈ LS , L ∈ Ob LS F , правило ζ = s ζ s δs 7→ φ∗ (ζ) =
25
1.4. Линейные пространства
P
ζ s φ(s) определяет единственный морфизм φ∗ ∈ HomF (FhSi, L), для
которого коммутативна диаграмма
s
S
φ
FhSi
-
δ
-
φ∗
L
Итак, отображение δ(S) : S → FhSi есть универсальный отталкивающий объект категории LS SF . Отождествляя элементы s ∈ S и отображения δs ∈ FhSi получим каноническое вложение S ⊂ FhSi, множество S будет базисом линейного пространства FhSi, поскольку
P каждый
s
вектор ζ ∈ FhSi имеет единственное представление ζ =
s ζ s, где
лишь конечное число коэффициентов ζ s ∈ F ненулевые. Как и в категории абелевых групп правила S 7→ δ(S), µ 7→ δ(µ), где µ : S → T ,
δ(µ) = (δ(T ) ◦ µ)∗ : FhSi → FhT i, определяют ковариантный функтор из
категории множеств в категорию линейных пространств.
Если для данного L ∈ Ob LS F существует изоморфизм f : FhSi ≃ L,
то множество S (точнее, его образ f (S)) называется базисом линейного пространства L. Очевидно, что если два множества S и T являются
базисами одного и того же линейного пространства, то они изоморфны
в категории множеств. Хотя конструкция базиса в категории линейных
пространств дословно повторяет соответствующие рассуждения в категории абелевых групп, замена множества целых чисел на числовое поле
приводит к кардинальному отличию в проблеме существования базиса.
Именно, каждое ненулевое линейное пространство имеет базис (см.,
например, [10]). Правда, доказательство этого утверждения опирается
на лемму Цорна, и значит, неконструктивное.
В категории топологических линейных пространств TLS F ситуация
с базисом существенно сложнее. Всегда существующий алгебраический
базис не обладает универсальностью, поскольку он никак не связан с
топологией. Топологический же базис существует далеко не всегда, что
побуждает использовать альтернативные подходы к базису и развивать
теории, не использующие понятия базиса (см., например,[16], [5]). Топологических проблем не возникает, если линейное пространство конечномерное, т.е. если его алгебраический базис конечный, поскольку в этом
случае единственная разумная топология – евклидова, а все линейные
отображения из одного конечномерного пространства в другое конечно-
26
Глава 1. Предварительные сведения
мерное пространство – непрерывные. Более того, как известно из курса
линейной алгебры, все линейные пространства одинаковой размерности
n ∈ N изоморфны друг другу и каноническому арифметическому пространству Fn , состоящему из столбцов высотой n с элементами из числового поля F. В свою очередь, линейные отображения из Fn в Fm суть
прямоугольные матрицы размером m × n с элементами из F.
1.4.4
Тензорные произведения
Пусть дано семейство {Li ; i ∈ I} ⊂ Ob LS F и пусть ×Li = ×i∈I Li – его
прямое произведение в категории LS F .
Для каждого k ∈ I определены его дополнение I \ k = {i 6= k} ⊂ I
и прямое произведение ×i6=k Li . Как и в категории абелевых групп для
любых ak = (ai ; i 6= k) ∈ ×i6=k Li и b ∈ Lk положим
(
ai ,
i 6= k,
ak + b = (ci ; i ∈ I) ∈ ×Li , ci = (ak + b)i =
b,
i = k.
Пусть f : ×Li → M – отображение прямого произведения ×Li в линейное пространство M ∈ Ob LS F . Для каждого элемента ak ∈ ×i6=k Li
определено отображение fak : Lk → M правилом fak (b) = f (ak + b) для
всех b ∈ Lk (другими словами, fak – функция переменной ak , полученная
из f фиксированием остальных переменных). Отображение f называется линейным по k-й переменной, если отображение fak линейное для всех
ak ∈ ×i6=k Li , и полилинейным, если оно линейное по каждой переменной.
Таким образом, отображение f : ×Li → M полилинейное, если
f (ak + (λ′ b′ + λ′′ b′′ )) = λ′ f (ak + b′ ) + λ′′ f (ak + b′′ )
для всех k ∈ I, ak ∈ ×i6=k Li , λ′ , λ′′ ∈ F, b′ , b′′ ∈ Lk .
Рассмотрим категорию, объекты которой суть полилинейные отобраf
-M
жения f : ×Li → M, M ∈ Ob LS F , а морфизмы из объекта ×Li
g
- N суть морфизмы h ∈ HomF (M, N), для которых
в объект ×Li
коммутативна диаграмма
×Li
f
g
-
M
-
h
N
27
1.4. Линейные пространства
В этой категории существует универсальный отталкивающий объект, называемый тензорным произведением семейства {Li ; i ∈ I}. Действительно, пусть Fh×Li i линейное пространство с базисом ×Li . Обозначим через
K подпространство пространства Fh×Li i, порожденное всеми векторами
вида
(ak + (λ′ b′ + λ′′ b′′ )) − λ′ (ak + b′ ) − λ′′ (ak + b′′ )
с произвольными k ∈ I, ak ∈ ×i6=k Li , λ′ , λ′′ ∈ F, b′ , b′′ ∈ Lk , и рассмотрим фактор-пространство ⊗Li = Fh×Li i/K. Имеется последовательность отображений
0
-
× Li
δ
-
Fh×Li i
π
-
⊗ Li
-
0,
так что определено полилинейное отображение κ = π ◦ δ : ×Li → ⊗Li .
Как и в абелевой категории, легко проверяется, что для любого полилинейного отображения f : ×Li → N, N ∈ Ob LS F , определена коммутативная диаграмма
×Li
f
κ
-
⊗Li
-
f
N
где фактор-отображение f : ⊗Li → N действует по правилу f(x) = f∗ (x)
для всякого x = x + K ∈ ⊗Li , морфизм f∗ ∈ HomF (Fh×Li i, N) был определен выше при доказательстве универсальности базиса, подчеркнем,
что f∗ (x) = 0 для любого x ∈ K, в силу полилинейности отображения
f . Таким образом, ⊗Li – тензорное произведение семейства {Li ; i ∈ I},
а κ – каноническое полилинейное отображение из ×Li в ⊗Li . Обычно
полагают κ(a) = ⊗i∈I ai = ⊗ai для любого a = (ai ; i ∈ I) ∈ ×Li , при этом
полилинейность отображения κ сводится к равенствам
⊗(ak + (λ′ b′ + λ′′ b′′ ))i = λ′ · (⊗(ak + b′ )i ) + λ′′ · (⊗(ak + b′′ )i )
для всех k ∈ I, ak ∈ ×i6=k Li , λ′ , λ′′ ∈ F, b′ , b′′ ∈ Lk .
Замечание. Как и в категории абелевых групп, каждый морфизм
h ∈ HomF (⊗Li , N) порождается единственным полилинейным отображением f : ×Li → N, именно, h = f для f = h ◦ κ. Таким образом, линейные отображения из ⊗Li в какое-либо линейное пространство отождествляются с полилинейными отображениями из ×Li в это пространство.
28
Глава 1. Предварительные сведения
Предложение 1.4.1. Для любых линейных пространств L1 , L2 , L3 существуют единственные изоморфизмы
L1 ⊗ (L2 ⊗ L3 ) ≃ L1 ⊗ L2 ⊗ L3 ,
(L1 ⊗ L2 ) ⊗ L3 ≃ L1 ⊗ L2 ⊗ L3 ,
такие что a1 ⊗ (a2 ⊗ a3 ) 7→ a1 ⊗ a2 ⊗ a3 , (a1 ⊗ a2 ) ⊗ a3 7→ a1 ⊗ a2 ⊗ a3 для
всех a1 ∈ L1 , a2 ∈ L2 , a3 ∈ L3 .
Предложение 1.4.2. Пусть {L1 , . . . , Ln } ⊂ Ob LS и σ – подстановка индексов, {1, . . . , n} 7→ {σ(1), . . . , σ(n)}. Тогда существует единственный
изоморфизм
L1 ⊗ · · · ⊗ Ln ≃ Lσ(1) ⊗ · · · ⊗ Lσ(n) ,
такой что a1 ⊗ · · · ⊗ an 7→ aσ(1) ⊗ · · · ⊗ aσ(n) для всех a1 ∈ L1 , . . . , an ∈ Ln .
Доказательства этих предложений почти дословно повторяют доказательства аналогичных утверждений для абелевых групп. Опять, учитывая что тензорное произведения определено с точностью до изоморфизма, можно произвести соответствующие отождествления.
fi
Пусть дано семейство {Li - Mi } = {fi ∈ HomF (Li , Mi ); i ∈ I}. Правило (ai ) 7→ (fi (ai )) для всех векторов (ai ) ∈ ×Li , определяет морфизм
×fi ∈ HomF (×Li , ×Mi ), называемый прямым произведением семейства
fi
линейных отображений {Li - Mi }. композиция этого морфизма с каноническим отображением κ : ×Mi → ⊗Mi есть полилинейное отображение g = κ ◦ (×fi ) : ×Li → ⊗Mi , оно порождает линейное отображение
⊗fi = g ∈ HomF (⊗Li , ⊗Mi ), называемое тензорным произведением сеfi
мейства линейных отображений {Li - Mi }. Прямое и тензорное произведение опять обладают функториальными свойствами, причем функторы × и ⊗ задаются теми же правилами, что и в категории абелевых
групп.
В категории топологических линейных пространств TLS F ситуация
ситуация более сложная и многоплановая. Подробнее, пусть дано семейство {Li ; i ∈ I} ⊂ Ob TLS F , и пусть ×Li – его прямое произведение в категории TLS F (со слабейшей топологией, в которой все проекции непрерывные). При построении категории, характеризующей тензорное произведение возникает вопрос о непрерывности полилинейных отображений
f : ×Li → M, M ∈ Ob TLS F . Имеются две основные возможности: (а)
полилинейное отображение f непрерывно в категории топологических
29
1.4. Линейные пространства
пространств T (f непрерывно по совокупности переменных), в этом случае каждое из линейных отображений fak : Lk → M, ak ∈ ×i6=k Li , непрерывно. (б) для всякого ak ∈ ×i6=k Li линейное отображение fak : Lk → M
непрерывно (f непрерывно по каждой переменной в отдельности), в этом
случае полилинейное отображение f не обязано быть непрерывным по
совокупности переменных (хотя есть широкий класс топологических линейных пространств, так называемых ядерных пространств, где это имеет место, см., например, [15]), [19]. Имеются и другие возможности, см.,
например, [16], [1], [19]. Пусть выбрано конкретное определение полилинейной непрерывности. Топологическое тензорное произведение (как
универсальный объект соответствующей топологической категории) получают из алгебраического {⊗Li , κ}, наделяя линейное пространство
⊗Li сильнейшей топологией, при которой полилинейное отображение κ
непрерывно (в выбранном смысле). Полученное таким образом топологическое линейное пространство ⊗Li (сохраняется старое обозначение),
как правило, неполное, что неудобно в приложениях, и его еще приходится пополнять. Пополненное пространство обычно обозначается через
b i . Ситуация существенно упрощается, если алгебраическое тензорное
⊗L
произведение удается вложить в подходящее топологическое линейное
пространство и затем в качестве топологического тензорного произведения использовать замыкание алгебраического тензорного произведения
в топологии объемлющего пространства.
Пример 1.4.1. Пусть C(T ) – банахово линейное пространство всех непрерывных функций на отрезке T = [0, 1] с нормой
kφk = max |φ(t)|,
t∈T
φ ∈ C(T ).
Алгебраический тензорный квадрат ⊗2 C(T ) = C(T ) ⊗ C(T ) состоит из
всех функций на квадрате T 2 = T × T вида
f (s, t) =
n
X
φα (s)ψα (t),
φα , ψα ∈ C(T ),
s, t ∈ T,
n = n(f ).
α=0
Очевидно, ⊗2 C(T ) плотно вкладывается в банахово пространство C(T 2 )
всех непрерывных функций двух переменных на квадрате T 2 . Его замыb 2 C(T ) = C(T 2 ) можно рассматривать как топологический квадкание ⊗
рат банахова пространства C(T ). В качестве упражнения предлагается
подумать об универсальности такого тензорного произведения.
30
Глава 1. Предварительные сведения
Топологических трудностей не возникает при построении тензорных
произведений конечномерных линейных пространств.
Пример 1.4.2. Пусть M и N – два конечномерных линейных пространства с базисами {a1 , . . . , am } ⊂ M и {b1 , . . . , bn } ⊂ N, соответственно. Тогда их тензорное произведение (алгебраическое и топологическое) есть
линейное пространство M ⊗ N с базисом {ai ⊗ bk ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n}.
В частности, dim(M ⊗ N) = dim M · dim N = mn.
1.4.5
Градуировка
Говорят, что линейное пространство L градуировано абелевой группой
Γ (иначе, Γ-градуировано), если L = ⊕Lγ = ⊕γ∈Γ Lγ для некоторого
семейства линейных пространств {Lγ ; γ ∈ Γ} ⊂ Ob LS F . В этом случае, слагаемые Lγ называются однородными (подробнее, γ-однородными)
компонентами пространства L. Пусть L = ⊕γ∈Γ Lγ , M = ⊕γ∈Γ Mγ – два
Γ-градуированных линейных пространства, морфизм f ∈ HomF (L, M)
называется γ-однородным, γ ∈ Γ, если f (a) ∈ Mα+γ для всех a ∈ Lα ⊂ L,
α ∈ Γ. Каждый морфизм f ∈ HomF (L, M) разлагается на однородные
компоненты (другими словами, Γ-градуируется). Именно, для всякой пары α, β ∈ Γ положим fαβ = πβ ◦ f ◦ ια : Lα → Mβ , тогда, в силу универсальности прямой суммы, для любого γ ∈ Γ существует единственный
морфизм fγ : L → M, для которого коммутативна диаграмма
fγ
-
-
L
ια
M
gα
Lα
для всех α ∈ Γ, где gα = ια+γ ◦ fα,α+γ = ια+γ ◦ πα+γ ◦ f ◦ ια . Легко проверяется,
fγ суть γ-однородные, корректно определена сумма
P что морфизмы
P
γ∈Γ fγ , и
γ∈Γ fγ = f (заметим, что в
Pслучае конечной градуирующей группы Γ проблем с определением γ∈Γ fγ вообще нет, поскольку
HomF (L, M) есть линейное пространство).
Таким образом, для каждой абелевой группы Γ определена категория LS F,Γ , объекты которой суть Γ-градуированные линейные пространства, а морфизмы суть Γ-градуированные линейные отображения, причем LS F,Γ есть полная подкатегория категории LS F .
31
1.4. Линейные пространства
Линейное подпространство M данного Γ-градуированного пространства L = ⊕γ∈Γ Lγ называется Γ-градуированным, если M = ⊕γ∈Γ Mγ , где
Mγ = M ∩ Lγ для всех γ ∈ Γ.
Пусть дано семейство {Li ; i ∈ I} Γ-градуированных линейных пространств, Li = ⊕γi ∈Γ Li,γi . Его тензорное произведение обладает естественной Γ-градуировкой. Именно,
⊗Li = ⊗i∈I (⊕γi ∈Γ Li,γi ) = ⊕γ∈Γ (⊗Li )γ ,
(⊗Li )γ = ⊕Pi∈I γi =γ (⊗Li,γi ).
Например, для семейства из двух пространств L = ⊕α∈Γ Lα , M = ⊕β∈Γ Mβ ,
получим
L ⊗ M = ⊕γ∈Γ (L ⊗ M)γ ,
1.4.6
(L ⊗ M)γ = ⊕α+β=γ (Lα ⊗ Mβ )
Дуальность
Для всякого линейного пространства L ∈ Ob LS F его сопряженное (иначе, дуальное) пространство определяется как L∗ = HomF (L, F) ∈ Ob LS F
– линейное пространство всех линейных отображений из L в числовое
поле F, рассматриваемое как одномерное линейное пространство. Итак,
каждое φ ∈ L∗ есть линейная форма (иначе, линейный функционал),
причем обычно пишут φ(a) = hφ, ai для всех a ∈ L. Для всякого линейного отображения f ∈ HomF (L, M) определено сопряженное (иначе,
дуальное) отображение f ∗ ∈ HomF (M ∗ , L∗ ) правилом f ∗ (φ) = φ ◦ f для
всех φ ∈ M ∗ (т. е., hf ∗ (φ), ai = hφ, f (a)i для всех φ ∈ M ∗ и a ∈ L). Операция сопряжения обладает функториальными свойствами. Действительно, правила L 7→ L∗ , L ∈ Ob LS F , f 7→ f ∗ , f ∈ HomF (L, M), определяют
контравариантный функтор ∗ на категории LS F , ∗ : LS F → LS F (проверить это!).
В категории топологических линейных пространств TLS F сопряжение определяется теми же правилами, причем сопряженные пространства наделяются различными топологиями, например слабой (топология
поточечной сходимости) или сильной (топологией сходимости на ограниченных множествах), подробнее см., например, [16].
Операция сопряжения позволяет дать альтернативную конструкцию
тензорного произведения линейных пространств. Действительно, пусть
дано семейство {Li ; i ∈ I} ⊂ Ob LS F , и пусть ×Li ∈ Ob LS F – его прямое произведение. Обозначим через P (×Li ) ∈ Ob LS F – линейное пространство всех полилинейных форм на ×Li (т. е., всех полилинейных
32
Глава 1. Предварительные сведения
отображений φ : ×Li → F), и пусть P (×Li )∗ ∈ Ob LS F – его сопряженное. Имеется естественное отображение κ : ×Li → P (×Li )∗ , даваемое
правилом κ((ai ))(φ) = φ((ai )) для всех (ai ) ∈ ×Li и φ ∈ P (×Li ). Его образ im κ = κ(×Li ) ⊂ P (×Li )∗ не является линейным подпространством
пространства P (×Li )∗ , и мы обозначим через ⊗Li линейное пространство, порожденное множеством im κ (иначе, линейную оболочку множества im κ, еще иначе, наименьшее линейное подпространство пространκ
- ⊗ Li
ства P (×Li )∗ , содержащее im κ). Можно проверить, что ×Li
есть универсальный отталкивающий элемент категории, характеризующей тензорное произведение линейных пространств. Таким образом, построено другое тензорное произведение семейства {Li ; i ∈ I} ⊂ Ob LS F ,
конечно, изоморфное старому. Преимущество альтернативной конструкции в том, что в ней не требуется переходить к фактор-пространству,
хотя старая конструкция нагляднее. В категории топологических линейных пространств, только что построенное алгебраическое тензорное произведение наделяют сильнейшей топологией, при которой отображение
κ непрерывно и при необходимости пополняют его. Подробнее см., например, [16].
Для более глубокого изучения затронутых в этом разделе вопросов
рекомендую [10], [1], [19], [12], [16], [15].
1.5
1.5.1
Алгебры
Категория алгебр
Пусть F – фиксированное числовое поле. Линейное пространство A над
полем F называется алгеброй над полем F, если в нем определена билинейная операция (умножение)
A × A → A,
(a, b) 7→ a · b для всех a, b ∈ A,
так что
• a · (λb + µc) = λ · (a · b) + µ · (a · c);
• (λa + µb) · c = λ · (a · c) + µ · (b · c);
для всех a, b, c ∈ A и λ, µ ∈ F. Ниже, как правило, вместо a · b будем
писать ab. Определена категория алгебр AL = ALF , объекты которой
33
1.5. Алгебры
суть алгебры (над F), а морфизмы из алгебры A в алгебру B суть линейные отображения f : A → B такие, что f (ab) = f (a)f (b) для всех
a, b ∈ A. Множество морфизмов из алгебры A в алгебру B обозначаем
через HomAL (A, B).
По определению, умножение · есть билинейная операция в линейном
пространстве A ∈ Ob LS F , поэтому, согласно универсальному свойству
тензорного произведения, существует единственное линейное отображение µ = µA : A ⊗ A → A такое, что a · b = µ(a ⊗ b) для всех a, b ∈ A.
Преимущество такого определения в том, что мы остаемся в категории
линейных пространств и можем использовать все ее возможности. Так
линейное отображение f : A → B, где A и B – алгебры, является морфизмом алгебр, если f ◦ µA = µB ◦ (f ⊗f ), т. е., если коммутативна диаграмма
µA-
A⊗A
f ⊗f
A
f
?
B⊗B
-
µB
?
B
Алгебра A называется унитальной, если в ней есть элемент единица
e = eA ∈ A такой, что ae = ea = a для всех a ∈ A. Другими словами, существует линейное отображение ε = εA : F → A такое, что коммутативна
диаграмма
F⊗A = A = A⊗F
ε ⊗ id
k
?
A⊗A
-
µ
id ⊗ε
A
?
µ
A⊗A
Конечно, ε(1) = e для единицы 1 ∈ F (поясним, что id = idA – тождественное отображение в A, и обратим внимание, что F ⊗ L = L = L ⊗ F
для любого линейного пространства L над F). Морфизм f из унитальной алгебры A в унитальную алгебру B называется унитальным, если
f (eA ) = f (eB ), т. е., если коммутативна диаграмма
F
εA-
k
F
A
f
-
εB
?
B
34
Глава 1. Предварительные сведения
Требование унитальности алгебры A во многих ситуациях несущественно. Действительно, пусть алгебра A не имеет единицы. Обозначим
b = F ⊕F A прямую сумму двух линейных пространств над F с
через A
b a = (0, a) ∈ A,
b
элементами (λ, a) = λe + a, λ ∈ F, a ∈ A, где e = (1, 0) ∈ A,
и покомпонентными линейными операциями
α(λe + a) + β(µe + b) = (αλ + βµ)e + (αa + βb)
b
для всех α, β, λ, µ ∈ F, a, b ∈ A. Введем в линейном пространстве A
умножение таким образом, чтобы элемент e стал единицей, а алгебра A
b Именно, положим
стала подалгеброй алгебры A.
(λe + a) · (µe + b) = (λµ)e + (µa + λb + ab) для всех λ, µ ∈ F, a, b ∈ A.
Легко проверяется, что при таком определении все аксиомы умножения
b есть унитальное раси наши пожелания выполнены. Таким образом, A
ширение алгебры A. Далее, для любого левого A-модуля M правило
для всех λ ∈ F, a ∈ A, x ∈ M,
(λe + a) · x = λx + ax,
b
определяет на M структуру левого A-модуля.
Другими словами, всякий
b
левый A-модуль одновременно является и левым A-модулем.
Наконец,
пусть f – левое A-линейное отображение левого A-модуля M в левый
A-модуль N. Тогда
f ((λe + a)x) = f (λx + ax) = f (λx) + f (ax) = λf (x) + af (x) = (λe + a)f (x)
для всех λ ∈ F, a ∈ A, x ∈ M. Следовательно, всякое левое A-линейное
b
отображение одновременно является и левым A-линейным
отображением. Таким образом, в категорных рассуждениях алгебру A, без ограничения общности, можно считать унитальной.
Алгебра A называется коммутативной, если
ab = ba для всех a, b ∈ A.
На языке диаграмм это означает, что коммутативна диаграмма
-
µ
σ
A⊗A
A
-
A⊗A
µ
35
1.5. Алгебры
где перестановка σ задается правилом σ(a ⊗ b) = b ⊗ a для всех a, b ∈ A
(заметим, что семейство {A, A} ⊂ Ob ALF считается упорядоченным).
Алгебра A называется ассоциативной, если
(ab)c = a(bc) для всех a, b, c ∈ A.
На языке диаграмм это означает, что коммутативна диаграмма
A⊗A
µ ⊗ id -
µ
-
-
A⊗A⊗A
A
µ
id ⊗µ A⊗A
Алгебра A называется алгеброй Ли, если справедливы равенства
• ab + ba = 0 для всех a, b ∈ A (антикоммутативность),
• a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 для всех a, b, c ∈ A (тождество Якоби).
В алгебрах Ли вместо ab обычно пишут [a, b], и операцию умножения
называют скобкой Ли.
Линейное подпространство B ⊂ A называется подалгеброй алгебры
A, если оно замкнуто относительно умножения, т. е.
ab ∈ B
для всех a, b ∈ B.
Линейное подпространство J ⊂ A называется левым (правым) идеалом
алгебры A, если
ab ∈ J
(ba ∈ J) для всех a ∈ A, b ∈ J.
Линейное подпространство J называется идеалом (подробнее, двусторонним идеалом) алгебры A, если J есть левый и правый идеал одновременно. Подмножество
cen A = {a ∈ A : ab = ba для всех b ∈ A}
называется центром алгебры A, а подмножество
ann A = {a ∈ A : ab = ba = 0 для всех b ∈ A} ⊂ cen A
36
Глава 1. Предварительные сведения
называется аннулятором алгебры A. Ясно, что cen A – подалгебра алгебры A, а ann A – ее идеал. Если A – алгебра Ли, то cen A = ann A.
Пусть B – линейное подпространство алгебры A, так что определено
линейное фактор-пространство A/B. Если B – идеал алгебры A, то A/B
– алгебра, умножение индуцировано из A, ab = ab + B ∈ A/B для всех
a = a + B, b = b + B ∈ A/B.
Для всякого f ∈ HomAL (A, B) ядро ker f = {a ∈ A : f (a) = 0} есть
идеал алгебры A, а образ im f = {b = f (a) ∈ B; a ∈ A} есть подалгебра
алгебры B.
Алгебра A называется топологической, если A – топологическое линейное пространство и умножение непрерывно, причем имеется две основных возможности: (а) умножение раздельно непрерывно (т. е. непрерывно по каждому сомножителю при фиксированном другом), (б) умножение непрерывно по двум переменным (т. е. непрерывно как отображение топологического пространства A × A в топологическое пространство
A). Обычно предполагается, что умножение раздельно непрерывно. Морфизм топологической алгебры A в топологическую алгебру B называется непрерывным, если он непрерывен как отображение топологического
пространства A в топологическое пространство B. Таким образом, определена категория топологических алгебр TAL = TALF (см., например,
[14]).
Пример 1.5.1. Числовое поле F есть простейшая нетривиальная алгебра,
причем унитальная ассоциативная и коммутативная.
Пример 1.5.2. Множество M(D, F) всех квадратных матриц порядка D
с элементами из F есть унитальная ассоциативная алгебра с обычными
алгебраическими операциями.
Пример 1.5.3. Множество sl(D, F) = {a ∈ M(D, F) : tr(a) = 0} всех матриц из M(D, F) с нулевым следом (tr(a) – след матрицы a) есть алгебра
Ли над F с коммутатором [a, b] = ab − ba для a, b ∈ sl(D, F), в качестве
скобки.
Пример 1.5.4. Множество u(D, C) = {a ∈ M(D, C) : a+ = −a} всех
косоэрмитовых матриц из M(D, F) (a+ = ā′ – эрмитово сопряжение, где
черта ¯ – комплексное сопряжение, штрих ′ – транспонирование) есть
алгебра Ли над R с коммутатором в качестве скобки.
Пример 1.5.5. Пусть S – множество, A – алгебра, тогда множество AS
всех отображений из S в A есть алгебра с поточечными алгебраическими
37
1.5. Алгебры
операциями
(λφ + µψ)(s) = λφ(s) + µψ(s),
(φψ)(s) = φ(s)ψ(s),
для всех λ, µ ∈ F, φ, ψ ∈ AS , s ∈ S. Алгебра AS наследует свойства
алгебры A такие как унитальность, ассоциативность, коммутативность,
Ли (скобка Ли переходит в скобку Ли).
1.5.2
Стандартные конструкции
Прямые произведения и прямые суммы
При переходе из категории линейных пространств в категорию алгебр
многие конструкции сохраняются, с заменой линейных отображений (т.
е. морфизмов категории линейных пространств) на морфизмы категории алгебр (к сожалению, не имеющие собственного имени). Так, прямое
произведение ×Ai = ×i∈I Ai семейства алгебр {Ai ; i ∈ I} есть его прямое
произведение как семейства линейных пространств, с покомпонентным
умножением, (ai )(bi ) = (ai bi ) для всех (ai ), (bi ) ∈ ×Ai , а для данного сеfi
f
мейства морфизмов алгебр {B - Ai } морфизм B - × Ai действует
по правилу f (x) = (ai = fi (x)) для всех x ∈ B. Аналогичным образом, прямая сумма ⊕Ai = ⊕i∈I Ai семейства {Ai ; i ∈ I} ⊂ Ob ALF есть
его прямая сумма как семейства линейных пространств, с покомпонентным умножением, (ai )(bi ) = (ai bi ) для всех (ai ), (bi ) ∈ ⊕Ai . Для данного
fi
- B} морфизм ⊕Ai f- B действусемейства морфизмов алгебр
P {Ai
ет по правилу f ((ai )) = i∈I fi (ai ) для всех (ai ) ∈ ⊕Ai . Заметим, что
прямая сумма ⊕i∈I Ai есть идеал прямого произведения ×i∈I Ai , причем
собственный, если семейство {Ai ; i ∈ I} бесконечное. Соответствующие
результаты справедливы и для семейств топологических алгебр.
Тензорные произведения
Тензорное произведение семейства алгебр {Ai ; i ∈ I} ⊂ Ob ALF с умножениями µi : Ai ⊗ Ai → Ai , i ∈ I, определяется как тензорное произведение ⊗Ai = ⊗i∈I Ai соответствующих линейных пространств, снабженное
умножением µ⊗ : (⊗Ai ) ⊗ (⊗Ai ) → ⊗Ai таким, что коммутативна диа-
38
Глава 1. Предварительные сведения
грамма
µ⊗
(⊗Ai ) ⊗ (⊗Ai )
σ
- ⊗Ai
-
-
⊗µi
⊗(Ai ⊗ Ai )
т. е., µ⊗ = (⊗µi ) ◦ σ, где перестановка σ – линейное отображение задаваемое правилом σ((⊗ai ) ⊗ (⊗bi )) = ⊗(ai ⊗ bi ) для всех (ai ), (bi ) ∈ ×Ai .
Можно проверить, что умножение в ⊗Ai задается правилом
(⊗ai ) · (⊗bi ) = ⊗(ai · bi ) для всех (ai ), (bi ) ∈ ×Ai .
В категории алгебр тензорное произведение сохраняет те же свойства,
что и в категории линейных пространств, разумеется, с естественными
модификациями. Предлагается рассмотреть их в качестве упражнения.
В категории топологических алгебр справедливы те же дополнительные
соображения, что и в категории топологических линейных пространств.
Присоединенная алгебра Ли
Пусть A – алгебра. Для каждой пары элементов a, b ∈ A определен коммутатор [a, b] = ab − ba ∈ A. Условие антикоммутативности скобки Ли,
очевидно, выполняется. Тождество Якоби также будет выполняться, если алгебра A ассоциативная. Таким образом, для каждой ассоциативной
алгебры A определена присоединенная алгебра Ли asA, которая совпадает с A как линейное пространство, а в качестве скобки Ли берется
коммутатор.
Пример 1.5.6. Пусть L – линейное пространство, и EndF (L) – линейное пространство всех его эндоморфизмов (т. е., линейных отображений из L в L). Взяв в качестве умножения композицию эндоморфизмов
(µ(f ⊗ g) = f ◦ g для всех f, g ∈ EndF (L)), превратим EndF (L) в унитальную ассоциативную алгебру с тождественным отображением в качестве
единицы. Ее присоединенная gl(L) = as EndF (L) – есть алгебра Ли всех
эндоморфизмов (иногда говорят линейных преобразований) линейного
пространства L.
39
1.5. Алгебры
1.5.3
Градуировка
Пусть Γ – абелева группа. Говорят, что алгебра A градуирована абелевой
группой Γ (другими словами, Γ-градуирована), если она Γ-градуирована
как линейное пространство, A = ⊕γ∈Γ Aγ , {Aγ ; γ ∈ Γ} ⊂ Ob LS F , и произведение ab ∈ Aα+β для любых a ∈ Aα , b ∈ Aβ (т. е., Aα · Aβ ⊂ Aα+β ),
α, β ∈ Γ. Пусть A = ⊕Aγ , B = ⊕Bγ – две Γ-градуированные алгебры, и
пусть f = ⊕fγ – морфизм из алгебры A в алгебру B. легко проверяется,
что γ-однородная компонента fγ , γ ∈ Γ, может быть ненулевым морфизмом алгебр лишь при γ = 0. Учитывая этот факт, морфизм f называется морфизмом Γ-градуированных алгебр, если он однородный (точнее,
0-однородный). Таким образом, определена категория Γ-градуированных
алгебр ALF,Γ, объекты которой суть Γ-градуированные алгебры, а морфизмы – морфизмы Γ-градуированных алгебр. Благодаря наличию градуировки в категории ALF,Γ появляются новые возможности.
Назовем градуирующим множителем, ассоциированным с градуировкой Γ, всякое отображение χ = χΓ : Γ × Γ → F такое, что
• χ(α, β)χ(β, α) = 1 для всех α, β ∈ Γ,
• χ(α + β, γ) = χ(α, γ)χ(β, γ) для всех α, β, γ ∈ Γ
(проверить, что в этом случае и χ(α, β + γ) = χ(α, β)χ(α, γ)).
Пример 1.5.7. Для тривиальной градуировки Γ = 0 есть только одна
возможность χ(0, 0) = 1.
Пример 1.5.8. Для популярной градуировки Γ = Z есть две возможности
χ(m, n) = 1 для всех m, n ∈ Z,
χ(m, n) = (−1)mn для всех m, n ∈ Z.
Пример 1.5.9. Для градуировки Γ = ZD , D ∈ N, градуирующие множители имеют вид
Y
(qαβ )µα νβ для всех m, n ∈ ZD ,
χ(m, n) =
1≤α,β≤D
где D × D-матрица q = kqαβ k, qαβ ∈ F, такая что qαβ qβα = 1, 1 ≤ α, β ≤ D
(поясним, что m = (µ1 , . . . , µD ), n = (ν1 , . . . , νD )).
40
Глава 1. Предварительные сведения
Пример 1.5.10. Для градуировки Γ = Z2 = Z/2Z опять есть две возможности
χ(α, β) = 1 для всех α, β ∈ Z2 ,
χ(α, β) = (−1)αβ
для всех α, β ∈ Z2 ,
поясним что α = α + 2Z, β = β + 2Z, α, β = 0, 1, так что αβ = αβ + 2Z
и выражение (−1)αβ корректно определено.
Пусть Γ – абелева группа и χ – градуирующий множитель. Для Γградуированной алгебры A = ⊕Aγ градуированный коммутатор определяется правилом
[a, b]χ = ab − χ(α, β)ba для всех a ∈ Aα , b ∈ Aβ , α, β ∈ Γ,
очевидно, в этом случае [a, b]χ ∈ Aα+β . Легко проверяются следующие
свойства градуированного коммутатора.
• [a, b]χ + χ(α, β)[b, a]χ = 0,
• χ(γ, α)[a, [b, c]χ ]χ + χ(α, β)[b, [c, a]χ ]χ + χ(β, γ)[c, [a, b]χ ]χ = 0,
для всех a ∈ Aα , b ∈ Aβ , c ∈ Aγ , α, β, γ ∈ Γ. Первое свойство называется
градуированной антикоммутативностью, а второе – градуированным
тождеством Якоби. Алгебра A называется градуированной коммутативной алгеброй, если [a, b]χ = 0 для всех a, b ∈ A. Аналогичным образом, градуированным центром градуированной алгебры A называется
множество
cenχ A = {a ∈ A : [a, b]χ = 0 для всех b ∈ A}
В соответствии с определением градуированного коммутатора, градуированная алгебра A называется градуированной алгеброй Ли, если умножение в ней, называемое градуированной скобкой Ли и обозначаемое через
[·, ·]χ , удовлетворяет приведенным выше равенствам
• [a, b]χ + χ(α, β)[b, a]χ = 0,
• χ(γ, α)[a, [b, c]χ ]χ + χ(α, β)[b, [c, a]χ ]χ + χ(β, γ)[c, [a, b]χ ]χ = 0,
для всех a ∈ Aα , b ∈ Aβ , c ∈ Aγ , α, β, γ ∈ Γ.
41
1.5. Алгебры
1.5.4
Тензорная алгебра линейного пространства
Пусть L – линейное пространство над F, T n (L) = ⊗n L = L
· · ⊗ L}
| ⊗ ·{z
n сомножителей
– его n-я тензорная степень, n ∈ N, и T 0 (L) = F. Прямая сумма линейных пространств T (L) = ⊕n∈Z+ T n (L) превращается в алгебру, если
умножение в ней определить правилом
(a1 ⊗ · · · ⊗ ap ) · (b1 ⊗ · · · ⊗ bq ) = (a1 ⊗ · · · ⊗ ap ) ⊗ (b1 ⊗ · · · ⊗ bq )
= a1 ⊗ · · · ⊗ ap ⊗ b1 ⊗ · · · ⊗ bq
для a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bq ∈ L, p, q ∈ N, и учесть, что F ⊗L = L = L⊗F. Эта
алгебра называется тензорной алгеброй линейного пространства L. Алгебра T (L) – унитальная (единица – число 1 ∈ F = T 0 (L)) и ассоциативная. Она превращается в Z-градуированную алгебру T (L) = ⊕n∈Z T n (L),
если положить T n (L) = 0 для n = −1, −2, . . . . Другими словами, тензорная алгебра линейного пространства Z+ -градуирована.
Пусть дано линейное отображение f : L → M, M, L ∈ Ob LS F , тогда
правило
1 7→ 1, 1 ∈ F,
a1 ⊗ · · · ⊗ an 7→ f (a1 ) ⊗ · · · ⊗ f (an ),
a1 ⊗ · · · ⊗ an ∈ ⊗n L,
определяет Z+ -градуированный морфизм T (f ) : T (L) → T (M), причем
композиция f ◦ g переходит в композицию T (f ) ◦ T (g). Другими словами,
определен ковариантный функтор T из категории линейных пространств
LS F в категорию алгебр ALF (точнее, в ее подкатегорию, состоящую из
Z+ -градуированных алгебр и их морфизмов).
Замечание. В дифференциальной геометрии алгебра T (L) обозначается через C(L) и называется контравариантной тензорной алгеброй
линейного пространства L, см., например, [8] и [17]. В книге [17] обращается внимание на тот факт, что функтор T ковариантный, а алгебра C(L) названа контравариантной, и объясняется это несоответствие
“несчастной исторической случайностью”.
Пусть L – линейное пространство, и T (L) – его Z+ -градуированная
тензорная алгебра. Для каждого n ∈ N определена симметрическая
группа Sn , т. е. группа всех подстановок σ, {1, . . . , n} 7→ {σ(1), . . . , σ(n)},
а для каждой подстановки σ ∈ Sn определен ее знак sign σ ∈ {−1, +1}.
42
Глава 1. Предварительные сведения
Действие симметрической группы Sn , n ∈ N, на линейном пространстве
T n (L), x 7→ σ(x), σ ∈ S, x ∈ T n (L), задается правилом
a1 ⊗ · · · ⊗ an 7→ aσ(1) ⊗ · · · ⊗ aσ(n)
для всех a1 , . . . , an ∈ L.
На T 0 (L) = F группа S0 = { id} действует тривиально. Таким образом,
для каждого n ∈ Z+ определено линейное отображение
n
π+
=
1 X
σ : T n (L) → T n (L).
n! σ∈S
n
Его образ
n
S n (L) = im π+
= {x ∈ T n (L) : σ(x) = x для всех σ ∈ Sn }.
n
n
n
n
В частности, π+
◦ π+ = π+ , т. е. π+ – проектор. Определена точная последовательность линейных пространств
0
-
-
n
ker π+
T n (L)
n
π+
-
S n (L)
-
0,
n
так что S n (L) = T n (L)/ ker π+
. Положим S(L) = ⊕n∈Z+ S n (L) и превратим S(L) в Z+ -градуированную унитальную ассоциативную коммутативную алгебру, задав умножение ⊙ : S(L) × S(L) → S(L) правилом
m+n
(x, y) 7→ x ⊙ y = π+
(x ⊗ y) для всех x ∈ S m (L), y ∈ S n (L).
P
n
n
Далее, положим π+ = n∈Z+ π+
: T (L) → S(L) (так что, π+ |T n (L) = π+
,
n
n ∈ Z+ ), тогда π+ – морфизм алгебр, его ядро ker π+ = ⊕n∈Z+ ker π+
– идеал алгебры T (L), и алгебра S(L) = T (L)/ ker π+ . Алгебра S(L) называется симметрической алгеброй линейного пространства L. Заметим, что
S(L) – градуированная коммутативная алгебра с градуирующим множителем χ = 1.
Аналогичным образом, для каждого n ∈ Z+ определено линейное
отображение
n
π−
=
1 X
sign σ · σ : T n (L) → T n (L).
n! σ∈S
n
Его образ
n
Λn (L) = im π−
= {x ∈ T n (L) : σ(x) = sign σ · x для всех σ ∈ Sn }.
43
1.5. Алгебры
n
n
n
n
В частности, π−
◦ π− = π− , т. е. π− – проектор. Определена точная последовательность линейных пространств
0
-
n
ker π−
-
T n (L)
n
π−
-
Λn (L)
-
0,
n
так что Λn (L) = T n (L)/ ker π−
. Положим Λ(L) = ⊕n∈Z+ Λn (L) и превратим Λ(L) в Z+ -градуированную унитальную ассоциативную алгебру, задав умножение ∧ : Λ(L) × Λ(L) → Λ(L) правилом
m+n
(x, y) 7→ x ∧ y = π−
(x ⊗ y) для всех x ∈ Λm (L), y ∈ Λn (L).
P
n
n
Далее, положим π− = n∈Z+ π−
: T (L) → Λ(L) (так что, π− |T n (L) = π−
,
n
n ∈ Z+ ), тогда π− – морфизм алгебр, его ядро ker π− = ⊕n∈Z+ ker π− –
идеал алгебры T (L), и алгебра Λ(L) = T (L)/ ker π− . Алгебра Λ(L) называется внешней алгеброй линейного пространства L. Заметим, что
y ∧ x = (−1)nm x ∧ y
для всех y ∈ Λn (L), x ∈ Λm (L),
так что Λ(L) – градуированная коммутативная алгебра с градуирующим
множителем χ(m, n) = (−1)mn , m, n ∈ Z+ .
В качестве упражнения, полезно поразмышлять об универсальных
свойствах введенных алгебр.
1.5.5
Градуированное тензорное произведение градуированных алгебр
Пусть A = ⊕α∈Γ Aα , B = ⊕β∈Γ Bβ – две Γ-градуированные ассоциативные
алгебры и A ⊗ B = ⊕γ∈Γ (A ⊗ B)γ – их Γ-градуированное произведение
как Γ-градуированных пространств. Пусть χ – градуирующий множитель, тогда на A ⊗ B определена структура градуированной алгебры, с
умножением, задаваемым правилом
(a1 ⊗ b1 ) · (a2 ⊗ b2 ) = χ(β1 , α2 )((a1 a2 ) ⊗ (b1 b2 ))
для всех ai ∈ Aαi , bi ∈ Bβi , αi , βi ∈ Γ, i = 1, 2. Благодаря свойствам
градуирующего множителя, алгебра A ⊗ B ассоциативная.
Подробнее с вопросами этого раздела можно ознакомиться по книгам
[10], [11], [17], [8].
44
Глава 1. Предварительные сведения
1.6
1.6.1
Модули
Категории модулей
Пусть F – числовое поле, и A – ассоциативная алгебра над F. Линейное
пространство X ∈ Ob LS F называется левым A-модулем над алгеброй A,
если определена билинейная операция – умножение слева на элементы
из A,
A × X → X, (a, x) 7→ ax для всех a ∈ A, x ∈ X,
причем выполняются аксиомы:
• (ab)x = a(bx) для всех a, b ∈ A, x ∈ X;
• (λa + µb)x = λ(ax) + µ(bx) для всех λ, µ ∈ F, a, b ∈ A, x ∈ X;
• a(λx + µy) = λ(ax) + µ(ay) для всех λ, µ ∈ F, a ∈ A, x, y ∈ X.
Если алгебра A унитальная, т. е. имеет единицу e ∈ A, то дополнительно
накладывают условие
• ex = x для всех x ∈ X.
Пусть X, Y – левые A-модули. Линейное отображение f : X → Y называется левым A-линейным отображением, если f (ax) = af (x) для всех
a ∈ A и x ∈ X. Таким образом, определена категория LMA левых Aмодулей, объекты которой – левые A-модули, а морфизмы – левые Aлинейные отображения.
Аналогичным образом, линейное пространство X ∈ Ob LS F называется правым A-модулем над алгеброй A, если определена билинейная
операция – умножение справа на элементы из A,
X × A → X,
(x, a) 7→ xa для всех x ∈ X, a ∈ A,
причем выполняются аксиомы:
• x(ab) = (xa)b для всех x ∈ X, a, b ∈ A;
• x(λa + µb) = λ(xa) + µ(xb) для всех λ, µ ∈ F, x ∈ X, a, b ∈ A;
• (λx + µy)a = λ(xa) + µ(ya) для всех λ, µ ∈ F, x, y ∈ X, a ∈ A.
45
1.6. Модули
Если алгебра A унитальная, т. е. имеет единицу e ∈ A, то дополнительно
накладывают условие
• xe = x для всех x ∈ X.
Пусть X, Y – правые A-модули. Линейное отображение f : X → Y
называется правым A-линейным отображением, если f (xa) = f (x)a для
всех x ∈ X и a ∈ A. Таким образом, определена категория RMA правых
A-модулей, объекты которой – правые A-модули, а морфизмы – правые
A-линейные отображения.
Если алгебра A коммутативная, то обе категории по существу совпадают. В этом случае определена категория A-модулей MA и можно
использовать обе формы записи. В общем случае, все утверждения категории левых модулей имеют естественные аналоги в категории правых модулей. Ниже, если не оговорено противное, будем рассматривать
только левые модули, предоставляя читателям правые формулировки в
качестве упражнения.
В топологической ситуации, когда A – топологическая алгебра, а X –
топологическое линейное пространство, добавляются естественные условия непрерывности билинейных операций, причем как правило используется раздельная непрерывность.
Пример 1.6.1. Алгебра A сама есть левый A-модуль с левым присоединенным действием
A × A → A,
(a, x) 7→ ax для всех a, x ∈ A,
и правый A-модуль с правым присоединенным действием
A × A → A,
(x, a) 7→ xa для всех x, a ∈ A.
Пример 1.6.2. Пусть M – левый A-модуль, X – линейное пространство.
Тогда M ⊗F X – левый A-модуль с билинейной операцией
(a, m ⊗ x) 7→ a(m ⊗ x) = (am) ⊗ x для всех a ∈ A, m ∈ M, x ∈ X,
индекс F поясняет, что тензорное произведение берется в категории линейных пространств над F.
1.6.2
Стандартные конструкции
Пусть F – числовое поле, и A – ассоциативная алгебра над F.
46
Глава 1. Предварительные сведения
Подмодули и фактор-модули
Пусть M левый A-модуль. Линейное подпространство S ⊂ M называется
подмодулем модуля M, если оно замкнуто относительно умножения на
элементы из A, т. е. если ax ∈ S для всех a ∈ A, x ∈ S (иначе, AS ⊂ S). В
этом случае S – левый A-модуль, определен фактор-модуль M/S – тоже
левый A-модуль с умножением A × (M/S) → (M/S),
(a, x) 7→ ax = ax + S
для всех a ∈ A, x = x + S ∈ M/S,
и естественное левое A-линейное отображение π : M → M/S, действующее по правилу x 7→ x = x + S для всех x ∈ M.
Для каждого левого A-линейного отображения f : M → N определены ядро ker f = {x ∈ M : f (x) = 0} – подмодуль левого A-модуля M, и
образ im f = {y = f (x) ∈ N; x ∈ M} – подмодуль левого A-модуля N,
причем имеется точная последовательность левых A-линейных отображений
- M f- N π- N/ im f
- 0.
0 - ker f
Прямые произведения и прямые суммы
Прямые произведения и прямые суммы в категории модулей существуют
и строятся по тем же правилам, что и в категории линейных пространств,
с заменой линейных пространств на модули, а линейных отображений –
на морфизмы модулей.
Именно, пусть дано семейство {Mi ; i ∈ I} левых A-модулей.
Прямое произведение ×Mi есть множество всевозможных семейств
x = (xi ∈ Mi ; i ∈ I) с покомпонентными модульными операциями:
λx + µy = (λxi + µyi ),
ax = (axi ),
для всех λ, µ ∈ F, a ∈ A, x = (xi ), y = (yi ) ∈ ×Mi . Канонические проекции πk : ×Mi → Mk , k ∈ I, действуют по правилу x = (xi ) 7→ πk (x) = xk
для всех x = (xi ) ∈ ×Mi и являются левыми A-линейными отображеfi
- Mi } левых A-линейных отобраниями. Для данного семейства {M
f
- × Mi задается правилом
жений левое A-линейное отображение M
y 7→ f (y) = (xi = fi (y)) для всех y ∈ M.
Пусть I – множество индексов. Определена категория LMIA . Объекты
этой категории суть семейства {Mi } = {Mi ; i ∈ I} левых A-модулей,
47
1.6. Модули
а морфизмы из объекта {Mi } в объект {Ni } суть семейства левых Afi
fi
линейных отображений {Mi - Ni } = {Mi - Ni ; i ∈ I}. Для семейств
fi
- Ni } и {Ni gi- Pi } композиция определена покомпонентно
{Mi
{Ni
gi
-
Pi } ◦ {Mi
fi
-
Ni } = {Mi
g i ◦ fi
-
Pi },
тождественный морфизм есть семейство тождественных отображений
idM
{Mi -i Mi }. Как показано выше, для каждого семейства {Mi } определено его прямое произведение ×Mi . Далее, для всякого семейства левых
fi
A-линейных отображений {Mi - Ni } определено прямое произведение
×fi : ×Mi → ×Ni – левое A-линейное отображение с покомпонентным
действием
x = (xi ) 7→ (×fi )(x) = (yi),
yi = fi (xi ) для всех i ∈ I, xi ∈ Mi .
Очевидно, прямое произведение семейства тождественных отображений
idM
i
{Mi
Mi } есть × idMi = id×Mi – тождественное отображение на
прямом произведении ×Mi , композиция
{Ni
gi
-
Pi } ◦ {Mi
fi
-
Ni } = {Mi
g i ◦ fi
-
Pi } 7→ (×gi ) ◦ (×fi ) = ×(gi ◦ fi ).
Таким образом, определен ковариантный функтор × из категории LMIA
в категорию LMA .
Аналогичным образом, прямая
P сумма ⊕Mi есть множество всех семейств x = (xi ∈ Mi ; i ∈ I) = i∈I xi , у которых лишь конечное число компонент ненулевые, модульные операции – покомпонентные, канонические инъекции ιk : Mk → ⊕Mi , k ∈ I, действуют по правилу
xk 7→ (δik xk ; i ∈ I) = xk для всех xk ∈ Mk ⊂ ⊕Mi и являются левыми Afi
линейными отображениями. Для данного семейства {Mi - M} левых
f
-M
A-линейных отображений
P левое A-линейное
P отображение ⊕Mi
задается правилом x = i∈I xi 7→ f (x) = i∈I fi (xi ) для всех x ∈ ⊕Mi .
Опять, ⊕Mi есть подпространство в ×Mi , причем ⊕Mi = ×Mi , если
семейство {Mi ; i ∈ I} конечное.
Пусть I – множество индексов, и LMIA – введенная выше категория.
Для каждого семейства {Mi } определена его прямая сумма ⊕Mi . Также,
fi
- Ni }
для всякого семейства левых A-линейных отображений {Mi
48
Глава 1. Предварительные сведения
определена его прямая сумма ⊕fi : ⊕Mi → ⊕Ni – левое A-линейное
отображение, задаваемое правилом
X
X
x 7→ (⊕fi )(x) =
yi, yi = fi (xi ) для всех i ∈ I, x =
xi ∈ ⊕Mi .
idM
Прямая сумма семейства тождественных отображений {Mi -i Mi } есть
⊕ idMi = id⊕Mi – тождественное отображение на прямой сумме ⊕Mi ,
композиция
{Ni
gi
-
Pi } ◦ {Mi
fi
-
Ni } = {Mi
g i ◦ fi
-
Pi } 7→ (⊕gi ) ◦ (⊕fi ) = ⊕(gi ◦ fi ).
Таким образом, определен ковариантный функтор ⊕ из категории LMIA
в категорию LMA .
В топологической категории прямое произведение ×Mi наделяется
слабейшей топологией, в которой все проекции непрерывные, а прямая
сумма ⊕Mi наделяется сильнейшей топологией, в которой все инъекции
непрерывные. Вложение ⊕Mi ⊂ ×Mi всегда непрерывное, и ⊕Mi = ×Mi
как топологические пространства, если семейство {Mi ; i ∈ I} конечное.
Свободные модули
Пусть A – унитальная ассоциативная алгебра, и S – некоторое множество. Каждому левому A-модулю M поставим в соответствие левый Aмодуль M S всех отображений из S в M с поточечными операциями
(λφ + µψ)(s) = λφ(s) + µψ(s),
(aφ)(s) = aφ(s),
Для всех λ, µ ∈ F, a ∈ A, φ, ψ ∈ M S , s ∈ S. Множество MfSin всех
конечных отображений из S в M есть подмодуль модуля M S (напомним,
что отображение мы называем конечным, если его носитель – конечное
множество).
Рассмотрим категорию, объекты которой суть отображения φ ∈ M S ,
M – левый A-модуль, а морфизмы из объекта φ ∈ M S в объект ψ ∈ N S
суть левые A-линейные отображения f : M → N из левого A-модуля M
в левый A-модуль N такие, что коммутативна диаграмма
S
ψ
φ
-
M
-
f
N
49
1.6. Модули
Построим универсальный отталкивающий объект этой категории. Пусть
AhSi = ASfin – левый A-модуль всех конечных отображений из S в левый
A-модуль A с левым присоединенным действием. Каноническое отображение δ = δ(S) : S → AhSi зададим правилом s 7→ δs для всех s ∈ S,
где
(
e, t = s,
δs (t) =
t ∈ S,
0, t 6= s,
поясним, что e – единица алгебры A. Отметим, что отображение δ инъективное, оно осуществляет вложение множества S в множество AhSi,
позволяя отождествлять s ∈ S и δs ∈ AhSi. Каждому φ ∈ M S ставим в
соответствие левое A-линейное
Pотображение φ∗ : AhSi → M, действующее по правилу ζ 7→ φ∗ (ζ) = s∈S ζ(s)φ(s) для всех ζ ∈ AhSi, поясним
что ζ(s) ∈ A – значение отображения ζ в точке s, а φ(s) ∈ M – значение
отображения φ в точке s. По построению, диаграмма
S
φ
-
δ
-
AhSi
φ∗
M
δ
коммутативна, так что S - (AhSi – искомый универсальный элемент,
обычно называемый свободным левым A-модулем, порожденным множеством S.
Пусть µ : S → T – отображение множества S в множество T . Положим δ(µ) = (δ(T ) ◦ µ)∗ : AhSi → AhT i, тогда получим коммутативную
диаграмму
S
δ(S)-
AhSi
δ(
T
)◦
δ(µ)
µ
µ
-
?
T
-
δ(T )
?
AhT i
Легко проверить, что правила S 7→ δ(S), µ 7→ δ(µ), определяют ковариантный функтор δ из категории множеств в категорию левых A-модулей.
50
Глава 1. Предварительные сведения
Левый A-модуль M называется свободным левым A-модулем с базисом S ⊂ M, если он изоморфен модулю AhSi. Универсальность базиса
S ⊂ M в том, что для того чтобы определить левое A-линейное отображение левого A-модуля M в какой-либо левый A-модуль N достаточно
задать его на базисе S и дальше продолжить на весь M по A-линейности,
причем такое продолжение всегда существует и единственное.
Не все все левые A-модули свободные, однако имеет место
Предложение 1.6.1. Каждый левый A-модуль есть фактор-модуль свободного левого A-модуля.
Доказательство. Пусть M – левый A-модуль. Возьмем M в качестве базисного множества, и пусть (AhMi, δ) – соответствующий универсальный
объект. Тождественному отображению id : M → M отвечает следующая
коммутативная диаграмма
M
id
-
ker f - AhMi
-
0
δ
-
f
M
-
0,
где f = ( id)∗ есть левое A-линейное отображение, порожденное тождественным отображением id. По построению, отображение f есть эпиморфизм, так что M = AhMi/ ker f .
Замечание. Для данного модуля следует различать его F-линейный
базис (т. е. его базис как линейного пространства над F) и его A-линейный
базис (т. е. его базис как левого A-модуля).
Пример 1.6.3. Пусть X – линейное пространство над F, и dimF X – его
размерность (число элементов базиса). Определен (см. пример выше)
левый A-модуль M = A ⊗F X, его размерность как левого A-модуля есть
dimA M = dimF X, а его размерность как линейного пространства над F
есть dimF M = dimF A · dimF X.
Тензорные произведения
Пусть A – унитальная ассоциативная алгебра. Пусть {Mi ; i ∈ I} – семейство левых A-модулей, и ×Mi – его прямое произведение.
51
1.6. Модули
Для каждого k ∈ I определены его дополнение I \ k = {i 6= k} ⊂ I
и прямое произведение ×i6=k Mi . Как и в категориях абелевых групп и
линейных пространств для любых xk = (xi ; i 6= k) ∈ ×i6=k Mi , y ∈ Mk
положим
(
xi ,
i 6= k,
k
k
x + y = (zi ; i ∈ I) ∈ ×Mi , zi = (x + y)i =
y,
i = k.
Пусть f : ×Mi → N – отображение прямого произведения ×Mi в левый A-модуль N. Как и в категориях абелевых групп и линейных пространств, для каждого xk ∈ ×i6=k Mi отображение fxk : Mk → N определим правилом fxk (y) = f (xk + y) для всех y ∈ Mk . Отображение f
называется левым A-линейным по k-й переменной, если отображение fxk
левое A-линейное для всех xk ∈ ×i6=k , и левым A-полилинейным, если
оно левое A-линейное по каждой переменной. Иначе говоря, отображение f : ×Mi → N левое A-полилинейное, если
f (xk + (a′ y ′ + a′′ y ′′)) = a′ f (xk + y ′) + a′′ f (xk + y ′′)
для всех k ∈ I, xk = (xi ; i 6= k) ∈ ×i6=k Mi , a′ , a′′ ∈ A, y ′, y ′′ ∈ Mk .
В категории, объекты которой суть левые A-полилинейные отобраf
-N
жения из ×Mi в левые A-модули, а морфизмы из объекта ×Mi
g
φ
- P суть левые A-линейные отображения N
-P
в объект ×Mi
из левого A-модуля N в левый A-модуль P , для которых коммутативна
диаграмма
×Mi
f
N
-
g
-
φ
P
существует универсальный отталкивающий объект, называемый тензорным произведением семейства {Mi ; i ∈ I}. Действительно, пусть Ah×Mi i
– свободный левый A-модуль, порожденный множеством ×Mi . Обозначим через J подмодуль модуля Ah×Mi i, порожденный всеми элементами
вида
(xk + (a′ y ′ + a′′ y ′′)) − a′ (xk + y ′) − a′′ (xk + y ′′)
52
Глава 1. Предварительные сведения
с произвольными k ∈ I, xk ∈ ×i6=k Mi , a′ , a′′ ∈ A, y ′, y ′′ ∈ Mk , и рассмотрим
фактор-модуль ⊗Mi = Ah×Mi i/J. Последовательность отображений
0
-
× Mi
δ
-
Ah×Mi i
π
-
⊗ Mi
-
0,
определяет левое A-полилинейное отображение κ = π ◦ δ : ×Mi → ⊗Mi ,
поскольку
κ(xk + (a′ y ′ + a′′ y ′′)) = (xk + (a′ y ′ + a′′ y ′′ )) + J
= a′ (xk + y ′ ) + a′′ (xk + y ′′)
+ [(xk + (a′ y ′ + a′′ y ′′ )) − a′ (xk + y ′) − a′′ (xk + y ′′ )] + J
= (a′ (xk + y ′ ) + J) + (a′′ (xk + y ′′) + J)
= a′ ((xk + y ′ ) + J) + a′′ (xk + y ′′) + J)
= a′ κ(xk + y ′) + a′′ κ(xk + y ′′)
для всех k ∈ I, xk = (xi ; i 6= k) ∈ ×i6=k Mi , a′ , a′′ ∈ A, y ′ , y ′′ ∈ Mk . Для
данного левого A-полилинейного отображения f : ×Mi → N имеем коммутативную диаграмму
π
0 → J→ Ah×Mi i - ⊗Mi → 0
6
f∗
f
δ
×Mi
f
- ?
-N
где левое A-линейное фактор-отображение f действует по правилу f(x) =
f∗ (x) для всякого x = x + J ∈ ⊗Mi , левое A-линейное отображение f∗
определено в силу универсальности левого A-модуля Ah×Mi i, причем
f∗ (x) = 0 для любого x ∈ J, в силу левой A-полилинейности исходного
отображения f . Действительно,
f∗ ((xk + (a′ y ′ + a′′ y ′′ )) − a′ (xk + y ′) − a′′ (xk + y ′′ ))
= f (xk + (a′ y ′ + a′′ y ′′)) − a′ f (xk + y ′ ) − a′′ f (xk + y ′′ ) = 0
для всех k ∈ I, xk = (xi ; i 6= k) ∈ ×i6=k Mi , a′ , a′′ ∈ A, y ′ , y ′′ ∈ Mk , так что
f∗ = 0 на J, поскольку такие элементы порождают подмодуль J.
κ
Таким образом, объект ×Mi - ⊗Mi обладает необходимой универсальностью и является тензорным произведением семейства {Mi ; i ∈ I}.
53
1.6. Модули
Обычно полагают κ((xi )) = ⊗xi для всякого (xi ) ∈ ×Mi , причем полилинейность отображения κ сводится к равенствам
⊗(xk + (a′ y ′ + a′′ y ′′ ))i = a′ · (⊗(xk + y ′)i ) + a′′ · (⊗(xk + y ′′)i )
для всех k ∈ I, xk = (xi ; i 6= k) ∈ ×i6=k Mi , a′ , a′′ ∈ A, y ′, y ′′ ∈ Mk .
Пример 1.6.4. Для тензорного произведения M⊗N пары левых A-модулей
имеем
(a′ x′ + a′′ x′′ ) ⊗ y = a′ (x′ ⊗ y) + a′′ (x′′ ⊗ y)
x ⊗ (a′ y ′ + a′′ y ′′ ) = a′ (x ⊗ y ′) + a′′ (x ⊗ y ′′)
для всех a′ , a′′ ∈ A, x, x′ , x′′ ∈ M, y, y ′, y ′′ ∈ N.
Как и в категориях абелевых групп и линейных пространств, каждое
левое A-линейное отображение h : ⊗Mi → N порождается единственным левым A-полилинейным отображением f : ×Mi → N, именно h = f
для f = h ◦ κ, так что левые A-линейные отображения из ⊗Mi в данный
левый A-модуль отождествляются с левыми A-полилинейными отображениями из ×Mi в этот модуль.
В категории левых A-модулей сохраняются свойства тензорного произведения, установленные в категориях абелевых групп и линейных пространств (ассоциативность, перестановки, прямые и тензорные произведения семейств левых A-линейных отображений, их функториальность).
Предлагается сформулировать и доказать соответствующие утверждения в качестве упражнения.
В топологической ситуации возникающие проблемы наследуются из
категорий топологических линейных пространств и топологических алгебр, их изучение выходит за рамки данных лекций.
Замечание. Поскольку каждый левый A-модуль одновременно является линейным пространством над F, для данного семейства {Mi ; ∈ I}
левых A-модулей следует различать его тензорное произведение в категории линейных пространств, обозначим его через ⊗F Mi , и его тензорное
произведение в категории левых A-модулей, обозначим его через ⊗A Mi .
Пример 1.6.5. Пусть A = F[t] – алгебра всех многочленов от одной переменной t с коэффициентами из F. Тогда его тензорный квадрат в категории линейных пространств есть A ⊗F A = F[s, t] – линейное пространство
(конечно и алгебра) всех многочленов от двух переменных s, t с коэффициентами из F. Далее, пусть M = A ⊗F Fm – левый A-модуль всех столбцов высотой m ∈ N с элементами из A, а N = A ⊗F Fn – аналогичный
54
Глава 1. Предварительные сведения
левый A-модуль всех столбцов высотой n ∈ N с элементами из A. Тензорное произведение этих модулей в категории линейных пространств
есть
M ⊗F N = (A ⊗F Fm ) ⊗F (A ⊗F Fn ) = (A ⊗F A) ⊗F (Fm ⊗F Fn )
линейное пространство всех (m × n)-матриц с элементами из A ⊗F A,
тогда как его тензорное произведение в категории левых A-модулей есть
M ⊗A N = (A ⊗F Fm ) ⊗A (A ⊗F Fn ) = A ⊗F (Fm ⊗F Fn )
есть левый A-модуль всех (m × n)-матриц с элементами из A, поскольку
тензорный квадрат левого A-модуля A в категории левых A-модулей есть
A ⊗A A = A.
1.6.3
Градуировка
Пусть Γ – абелева группа, A = ⊕γ∈Γ Aγ – Γ-градуированная ассоциативная алгебра. Говорят, что левый A-модуль M градуирован абелевой группой Γ (другими словами, Γ-градуирован), если он Γ-градуирован
как линейное пространство, M = ⊕γ∈Γ Mγ , {Mγ ; γ ∈ Γ} ⊂ Ob LS F , и
произведение ax ∈ Mα+β для всех a ∈ Aα , x ∈ Mβ , α, β ∈ Γ. Путь,
M = ⊕Mγ , N = ⊕Nγ – два Γ-градуированных левых A-модуля, левое Aлинейное отображение f : M → N называется γ-однородным, γ ∈ Γ, если
f (x) ∈ Mα+γ для всех x ∈ Mα ⊂ M, α ∈ Γ. Всякое левое A-линейное отображение f : M → N разлагается на однородные компоненты (другими
словами, Γ-градуируется). Именно, для каждой пары α, β ∈ Γ определим линейное отображение fαβ = πβ ◦ f ◦ ια : Mα → Nβ , тогда, в силу универсальности прямой суммы линейных пространств, существует
единственное линейное отображение fγ : M → N такое, что для всех
α ∈ Γ коммутативна диаграмма
fγ
-
-
M
ια
gα
Mα
N
55
1.6. Модули
где gα = ια+γ ◦ fα,α+γ = ια+γ ◦ πα+γ ◦ f ◦ ια . Очевидно, fγ = ια+γ ◦ πα+γ ◦ f ,
так что для всех a ∈ Aα , x ∈ Mβ имеем (заметим, что ax ∈ Mα+β )
fγ (ax) = ια+β+γ (πα+β+γ (f (ax))) = ια+β+γ (πα+β+γ (af (x)))
= a ιβ+γ (πβ+γ (f (x))) = afγ (x),
и
Pзначит, fγ – левое A-линейное
P отображение. По построению, имеем
γ∈Γ ιγ ◦ πγ = id, откуда f =
γ∈Γ fγ , что и требовалось. Таким образом, определена категория Γ-градуированных левых A-модулей, объекты
которой суть Γ-градуированные левые A-модули, а морфизмы суть Γградуированные левые A-линейные отображения, причем эта категория
есть полная подкатегория категории левых A-модулей.
Подмодуль N ⊂ M, где M = ⊕γ∈Γ Mγ есть Γ-градуированный левый A-модуль, называется Γ-градуированным, если N = ⊕γ∈Γ Nγ , причем
Nγ = N ∩ Mγ для всех γ ∈ Γ.
Тензорное произведение ⊗Mi всякого семейства {Mi ; i ∈ I} Γ-градуированных левых A-модулей, Mi = ⊕γi ∈Γ Mi,γi , обладает естественной Γградуировкой. Именно,
⊗Mi = ⊗i∈I (⊕γi ∈Γ Mi,γi ) = ⊕γ∈Γ (⊗Mi )γ ,
(⊗Mi )γ = ⊕Pi∈I γi =γ (⊗Mi,γi ).
Пример 1.6.6. Для пары модулей M = ⊕α∈Γ Mα , N = ⊕β∈Γ Nβ имеем
M ⊗ N = ⊕γ∈Γ (M ⊗ N)γ ,
1.6.4
(M ⊗ N)γ = ⊕α+β=γ (Mα ⊗ Nβ ).
Тензорная алгебра модуля
Пусть F – числовое поле, A – унитальная ассоциативная алгебра над F,
M – левый A-модуль. Положим
(
M ⊗ · · · ⊗ M (n − сомножителей), n ∈ N;
T n (M) = ⊗n M =
A, n = 0.
(Здесь и ниже тензорное произведение берется в категории левых Aмодулей.) Прямая сумма T (M) = ⊕n∈Z+ T n (M) левых A-модулей T n (M)
по определению есть левый A-модуль. Она имеет дополнительную структуру унитальной ассоциативной Z+ -градуированной алгебры с умножением, задаваемым правилами
(x1 ⊗ · · · ⊗ xp ) · (y1 ⊗ · · · ⊗ yq ) = x1 ⊗ · · · ⊗ xp ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yq = x1 ⊗ · · · ⊗ yq
56
Глава 1. Предварительные сведения
для всех p, q ∈ N, x1 , . . . , yq ∈ M (поясним, что A ⊗ M = M = M ⊗ A).
Эта алгебра называется тензорной алгеброй левого A-модуля M.
Пусть дано левое A-линейное отображение f : M → N левого Aмодуля M в левый A-модуль N, тогда правило
e 7→ e, e ∈ A,
x1 ⊗ · · · ⊗ xn 7→ f (x1 ) ⊗ · · · ⊗ f (xn ),
x1 , . . . , xn ∈ M,
задает Z+ -градуированный морфизм T (f ) : T (M) → T (N), причем композиция f ◦ g переходит в композицию T (f ) ◦ T (g). Другими словами,
определен ковариантный функтор из категории левых A-модулей в категорию Z+ -градуированных алгебр.
Пусть M – левый A-модуль, и T () – его Z+ -градуированная тензорная
алгебра. Для каждого n ∈ N определена симметрическая группа Sn , т.
е. группа всех подстановок σ, {1, . . . , n} 7→ {σ(1), . . . , σ(n)}, а для каждой подстановки σ ∈ Sn определен ее знак sign σ ∈ {−1, +1}. Действие
симметрической группы Sn , n ∈ N, на левом A-модуле T n (M), x 7→ σ(x),
σ ∈ S, x ∈ T n (M), задается правилом
x1 ⊗ · · · ⊗ xn 7→ xσ(1) ⊗ · · · ⊗ xσ(n)
для всех x1 , . . . , xn ∈ L.
На T 0 (M) = A группа S0 = { id} действует тривиально. Таким образом,
для каждого n ∈ Z+ определено левое A-линейное отображение
1 X
n
σ : T n (M) → T n (M).
π+
=
n! σ∈S
n
Его образ
n
S n (M) = im π+
= {x ∈ T n (M) : σ(x) = x для всех σ ∈ Sn }.
n
n
n
n
В частности, π+
◦ π+ = π+ , т. е. π+ – проектор. Определена точная последовательность левых A-модулей
0
-
n
ker π+
-
T n (M)
n
π+
-
S n (M)
-
0,
n
так что S n (M) = T n (M)/ ker π+
. Положим S(M) = ⊕n∈Z+ S n (M) и превратим S(M) в Z+ -градуированную унитальную ассоциативную коммутативную алгебру, задав умножение ⊙ : S(M) × S(M) → S(M) правилом
m+n
(x, y) 7→ x ⊙ y = π+
(x ⊗ y) для всех x ∈ S m (M), y ∈ S n (M).
57
1.6. Модули
P
n
n
Далее, положим π+ = n∈Z+ π+
: T (M) → S(M) (так что, π+ |T n (M ) = π+
,
n
n ∈ Z+ ), тогда π+ – морфизм алгебр, его ядро ker π+ = ⊕n∈Z+ ker π+ –
идеал алгебры T (M), и алгебра S(M) = T (M)/ ker π+ . Алгебра S(M)
называется симметрической алгеброй левого A-модуля M. Заметим, что
S(M) – градуированная коммутативная алгебра с градуирующим множителем χ = 1.
Аналогичным образом, для каждого n ∈ Z+ определено левое Aлинейное отображение
n
π−
=
1 X
sign σ · σ : T n (M) → T n (M).
n!
σ∈Sn
Его образ
n
Λn (M) = im π−
= {x ∈ T n (M) : σ(x) = sign σ · x для всех σ ∈ Sn }.
n
n
n
n
В частности, π−
◦ π− = π− , т. е. π− – проектор. Определена точная последовательность левых A-модулей
0
-
n
ker π−
-
n
T (M)
n
π−
-
Λn (M)
-
0,
n
так что Λn (M) = T n (M)/ ker π−
. Положим Λ(M) = ⊕n∈Z+ Λn (M) и превратим Λ(M) в Z+ -градуированную унитальную ассоциативную алгебру,
задав умножение ∧ : Λ(M) × Λ(M) → Λ(M) правилом
m+n
(x, y) 7→ x ∧ y = π−
(x ⊗ y) для всех x ∈ Λm (M), y ∈ Λn (M).
P
n
n
Далее, положим π− = n∈Z+ π−
: T (M) → Λ(M) (так что, π− |T n (M ) = π−
,
n
n ∈ Z+ ), тогда π− – морфизм алгебр, его ядро ker π− = ⊕n∈Z+ ker π− –
идеал алгебры T (M), и алгебра Λ(M) = T (M)/ ker π− . Алгебра Λ(M)
называется внешней алгеброй левого A-модуля M. Заметим, что
y ∧ x = (−1)nm x ∧ y
для всех y ∈ Λn (M), x ∈ Λm (M),
так что Λ(M) – градуированная коммутативная алгебра с градуирующим множителем χ(m, n) = (−1)mn , m, n ∈ Z+ .
В качестве упражнения, полезно поразмышлять об универсальных
свойствах введенных алгебр.
58
1.6.5
Глава 1. Предварительные сведения
Дуальность
Пусть F – числовое поле, A – ассоциативная алгебра.
Пусть M и N – левые A-модули, и HomA (M, N) – множество всех
левых A-линейных отображений из M в N,
f (ax) = af (x) для всех f ∈ HomA (M, N), a ∈ A, x ∈ M.
Очевидно, HomA (M, N) есть линейное пространство над F с поточечными операциями
(λf + µg)(x) = λf (x) + µg(x),
λ, µ ∈ F, f, g ∈ HomA (M, N), x ∈ M,
однако естественной структурой левого или правого A-модуля в общем
случае HomA (M, N) не обладает.
Аналогичным образом, пусть M и N – правые A-модули, и HomA (M, N)
– множество всех правых A-линейных отображений из M в N,
f (xa) = f (x)a для всех f ∈ HomA (M, N), a ∈ A, x ∈ M.
(Обозначение HomA (M, N) корректно, поскольку для левых (правых) Aмодулей определены только левые (правые) A-линейные отображения.)
Опять, HomA (M, N) есть линейное пространство над F с поточечными
операциями.
Пусть теперь M – левый, а N – правый A-модули, и HomA (M, N) –
множество всех A-линейных отображений из M в N,
f (ax) = f (x)a для всех f ∈ HomA (M, N), a ∈ A, x ∈ M.
Снова HomA (M, N) – линейное пространство над F с поточечными операциями, но теперь оно обладает естественной структурой правого Aмодуля. Действительно, пусть f ∈ HomA (M, N) и a ∈ A, определим линейное отображение f a : M → N поточечно,
(f a)(x) = f (ax) = f (x)a для всех x ∈ M,
тогда
(f a)(bx) = f (abx) = f (x)ab = f (ax)b = (f a)(x)b для всех b ∈ A, x ∈ M,
так что f a ∈ HomA (M, N).
59
1.6. Модули
Аналогичным образом, пусть M – правый, а N – левый A-модули, и
HomA (M, N) – множество всех A-линейных отображений из M в N,
f (xa) = af (x) для всех f ∈ HomA (M, N), a ∈ A, x ∈ M.
Здесь линейное пространство HomA (M, N) обладает естественной структурой левого A-модуля с поточечным умножением
(af )(x) = f (xa) = af (x) для всех f ∈ HomA (M, N), a ∈ A, x ∈ M.
Наиболее полезны два частных случая.
Пусть A – ассоциативная коммутативная алгебра. Левые и правые
модули отличаются только формой записи, так что для любых A-модулей
M и N множество HomA (M, N) всех A-линейных отображений из M в
N есть A-модуль с поточечным умножением
(af )(x) = f (ax) = af (x) для всех f ∈ HomA (M, N), a ∈ A, x ∈ M
(используется левая запись).
Пусть A – ассоциативная алгебра (возможно некоммутативная). Пусть
M – левый A-модуль, рассматривая A как правый A-модуль с присоединенным действием, наделяем линейное пространство M ∗ = HomA (M, A)
структурой правого A-модуля с поточечным умножением
(φa)(x) = φ(ax) = φ(x)a для всех φ ∈ M ∗ , a ∈ A, x ∈ M.
Правый A-модуль M ∗ называется дуальным (иначе, сопряженным) модулем к левому A-модулю M. Заметим, что иногда для φ ∈ M ∗ и x ∈ M
вместо φ(x) пишут hφ, xi. Для каждого левого A-линейного отображения f : M → N, где M, N – левые A-модули, дуальное (иначе, сопряженное) правое A-линейное отображение f ∗ : N ∗ → M ∗ определено правилом f ∗ (φ) = φ ◦ f для всех φ ∈ N ∗ . Очевидно, композиция
g ◦ f : M → P , где f : M → N, g : N → P , переходит в композицию
(g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ : P ∗ → M ∗ , а тождественное отображение idM : M → M
переходит в тождественное отображение idM ∗ : M ∗ → M ∗ ,
( idM )∗ (φ) = φ ◦ idM = φ для всех φ ∈ M ∗ .
Таким образом, правило M 7→ M ∗ , где M – левый A-модуль, f 7→ f ∗ ,
где f ∈ HomA (M, N), определяет контравариантный функтор дуальности, отображающий категорию левых A-модулей в категорию правых
A-модулей.
60
Глава 1. Предварительные сведения
В топологической ситуации все модули предполагаются наделенными топологиями, а все A-линейные отображения непрерывными, причем
дуальные модули можно наделять различными топологиям.
Подробнее о модулях и их свойствах можно узнать в книгах [6], [4],
[10], [11].
1.7
1.7.1
Гомологии
Дифференциальные модули
Пусть F – числовое поле, A – унитальная ассоциативная алгебра над F,
и C – левый A-модуль. Эндоморфизм ∂ : C → C (т. е. левое A-линейное
отображение из C в C) называется граничным оператором (иначе дифференциалом), если композиция ∂ ◦ ∂ = 0 (т. е., im ∂ ⊂ ker ∂). В этом случае
пара {C, ∂} называется дифференциальным левым A-модулем, элементы
модуля C называются цепями, элементы ядра ker ∂ = {x ∈ C : ∂(x) = 0}
называются циклами, элементы образа im ∂ = {y = ∂(x); x ∈ C} называются границами. Левый A-модуль гомологий дифференциального модуля
{C, ∂} определяется как фактор-модуль
H(C) = H(C; ∂) = ker ∂/ im ∂ = {x ∈ C : ∂(x) = 0}/{y = ∂(x); x ∈ C},
его элементы суть гомологии, т. е. классы эквивалентности x = x + im ∂,
x ∈ C.
Пусть {C, ∂C }, {K, ∂K } – дифференциальные левые A-модули. Левое
A-линейное отображение f : C → K называется морфизмом дифференциальных модулей, если ∂K ◦ f = f ◦ ∂C , т. е. коммутативна диаграмма
C
f
?
K
∂C-
C
f
-
∂K
?
K
Таким образом, определена категория LDMA левых дифференциальных A-модулей, объекты которой суть левые дифференциальные Aмодули, а морфизмы – морфизмы дифференциальных модулей.
Аналогичным образом определяется категория правых дифференциальных A-модулей и категория дифференциальных A-модулей для
61
1.7. Гомологии
коммутативной алгебры A. В топологической ситуации дифференциалы
предполагаются непрерывными.
Предложение 1.7.1. Пусть f : C → K – морфизм дифференциальных
модулей. Тогда
f (ker ∂C ) ⊂ ker ∂K ,
f (im ∂C ) ⊂ im ∂K .
В частности, определено фактор-отображение f : H(C) → H(K), действующее по правилу
x = x + im ∂C 7→ f(x) = f (x) + im ∂K
для всех
x ∈ ker ∂C .
Доказательство. Проводится прямыми вычислениями, опираясь на определяющее равенство ∂K ◦ f = f ◦ ∂C .
Левое A-линейное отображение s : C → K называется гомотопией,
связывающий морфизмы дифференциальных модулей f, g : C → K, если
справедлива гомотопическая формула
∂K ◦ s + s ◦ ∂C = f − g.
Предложение 1.7.2. Пусть f, g : C → K – морфизмы дифференциальных
модулей, и s : C → K – связывающая их гомотопия. Тогда факторотображения f, g : H(C) → H(K) совпадают.
Доказательство. Действительно, пусть x = x + im ∂C ∈ H(C), x ∈
ker ∂C , f(x) = f (x) + im ∂K , g(x) = g(x) + im ∂K , тогда
f(x) − g(x) = f (x) − g(x) + im ∂K = (f − g)(x) + im ∂K
= (∂K ◦ s + s ◦ ∂C )(x) + im ∂K = ∂K (s(x)) + s(∂C (x)) + im ∂K
= im ∂K = 0,
поскольку ∂K (s(x)) ∈ im ∂K , а s(∂C (x)) = 0.
1.7.2
Комплексы
Пусть левый A-модуль C Z-градуирован, а дифференциал ∂ – однородный степени −1 (алгебру A можно считать тривиально градуированной,
A0 = A, An = 0 при n 6= 0). Иначе говоря, C = ⊕n∈Z Cn , ∂ = ⊕n∈Z ∂n , где
62
Глава 1. Предварительные сведения
левые A-линейные отображения ∂n : Cn → Cn−1 , причем ∂n ◦ ∂n+1 = 0,
т. е. ker ∂n ⊃ im ∂n+1 , n ∈ Z. В этом случае говорят, что задан комплекс
{Cn , ∂n } = {Cn , ∂n ; n ∈ Z} левых A-модулей, и записывают его в виде
последовательности
... ∂n−1
∂n
C−1 ∂n+1
∂n+2
Cn Cn+1 ...,
в которой композиция любых двух последовательных стрелок равна нулю. В этом случае гомологии также Z-градуируются,
H(C) = ⊕n∈Z Hn (C),
Hn (C) = ker ∂n / im ∂n+1 ,
n ∈ Z,
причем, элементы модулей Cn называются n-мерными цепями, элементы
ядер ker ∂n = {xn ∈ Cn : ∂n (xn ) = 0} называются n-мерными циклами,
элементы образов im ∂n+1 = {yn = ∂n+1 (xn+1 ); xn+1 ∈ Cn+1 } называются
n-мерными границами, а элементы фактор-модулей Hn (C) называются
n-мерными гомологиями.
Пусть {Cn , (∂C )n }, {Kn , (∂K )n } – комплексы левых A-модулей. Левое
A-линейное отображение
f = ⊕fn : C = ⊕Cn → K = ⊕Kn ,
fn : Cn → Kn ,
n ∈ Z,
называется морфизмом комплексов левых A-модулей, если справедливы
равенства (∂K )n ◦ fn = fn−1 ◦ (∂C )n , n ∈ Z, т. е. следующая диаграмма
коммутативна
(∂C )n−1
(∂C )n
Cn−1 ... fn−1
(∂C )n+1
(∂C )n+2
Cn Cn+1 ...
fn
? (∂ )
(∂K )n−1
K n
Kn−1 ... fn+1
? (∂ )
? (∂ )
K n+1
K n+2
Kn Kn+1 ...
Итак, определена категория LCMA комплексов левых A-модулей, объекты которой суть комплексы левых A-модулей, а морфизмы – морфизмы
комплексов левых A-модулей.
Предложение 1.7.3. Пусть f = ⊕fn : C = ⊕Cn → K = ⊕Kn – морфизм
комплексов левых A-модулей. Тогда
fn (ker(∂C )n ) ⊂ ker(∂K )n ,
fn (im(∂C )n+1 ) ⊂ im(∂K )n+1 .
63
1.7. Гомологии
В частности, определено фактор-отображение
f = ⊕fn : H(C) = ⊕Hn (C) → H(K) = ⊕Hn (K),
действующее по правилу
xn = xn + im(∂C )n+1 7→ fn (xn ) = fn (xn ) + im(∂K )n+1 ,
xn ∈ ker(∂C )n .
Пусть f = ⊕fn , g = ⊕gn : C = ⊕Cn → K = ⊕Kn – морфизмы
комплексов левых A-модулей. Левое A-линейное отображение
s = ⊕sn : C = ⊕Cn → K = ⊕Kn ,
sn : Cn → Kn+1 ,
n ∈ Z,
называется гомотопией, связывающей морфизмы f и g, если справедливы равенства
(∂K )n+1 ◦ sn + sn−1 ◦ (∂C )n = fn − gn
для всех n ∈ Z.
Предложение 1.7.4. Пусть
f = ⊕fn , g = ⊕gn : C = ⊕Cn → K = ⊕Kn
– морфизмы комплексов левых A-модулей, и
s = ⊕sn : C = ⊕Cn → K = ⊕Kn
связывающая их гомотопия. Тогда фактор-отображения
f = ⊕fn , g = ⊕gn : H(C) = ⊕Hn C) → H(K) = ⊕Hn (K)
совпадают.
Аналогичным образом определяется категория комплексов правых
A-модулей и категория комплексов A-модулей для коммутативной алгебры A. В топологической ситуации дифференциалы предполагаются
непрерывными.
Часто встречаются ситуации, когда модули Cn = 0 при n = −1, −2, . . . ,
так что C = ⊕n∈Z+ Cn , ∂ = ⊕n∈Z+ ∂n , и комплекс имеет вид
0
∂0
∂1
C0 ∂2
C1 ∂3
C2 ...
Обычно в этом случае говорят, что комплекс {Cn , ∂n } = {Cn , ∂n ; n ∈ Z+ }
неотрицателен.
64
1.7.3
Глава 1. Предварительные сведения
Когомологии
Пусть {C, ∂} – дифференциальный левый A-модуль, и M – правый Aмодуль. В этом случае правый A-модуль C(M) = HomA (C, M) имеет
естественную структуру дифференциального модуля с дифференциалом
d = ∂ ∗ : C(M) → C(M), где d(φ) = φ ◦ ∂ : C → M для всех φ : C → M.
Легко проверяется, что d – правое A-линейное отображение и композиция d ◦ d = 0. Таким образом, определен дифференциальный правый
A-модуль {C(M), d}. причем, дифференциал d называется кограничным
оператором, элементы модуля C(M) называются коцепями (со значениями в M), элементы ядра ker d = {φ ∈ C(M) : d(φ) = 0} называются
коциклами, элементы образа im d = {φ = d(ψ); ψ ∈ C(M)} называются
кограницами, а элементы фактор-модуля H(C(M)) = ker d/ im d называются когомологиями.
Пусть {C(M), dC }, {K(N), dK } – дифференциальные правые A-модули.
Морфизм из {C(M), dC } в {K(N), dK } есть правое A-линейное отображение F : C(M) → K(N) такое, что коммутативна диаграмма
C(M)
dC -
C(M)
F
т. е. F ◦ dC = dK ◦ F.
F
?
K(N)
-
dK
?
K(N)
Выделим морфизмы специального вида. Именно, пусть f ∈ HomA (K, C),
g ∈ HomA (M, N). Определим отображение F ∈ HomA (C(M), K(N)) правилом φ 7→ F (φ) = g ◦ φ ◦ f для всех φ ∈ C(M). Легко проверяется, что
F будет морфизмом из {C(M), dC } в {K(N), dK }, если f есть морфизм
из {K, ∂K } в {C, ∂C }.
Пусть {Cn , ∂n ; n ∈ Z} – комплекс левых A-модулей и M – правый
A-модуль. Положим здесь C n (M) = HomA (Cn , M), C(M) = ⊕n∈Z C n (M),
dn = (∂n+1 )∗ ∈ HomA (C n (M), C n+1 (M)), где dn (φn ) = φn ◦ ∂n+1 для всех
φn ∈ C n (M), d = ⊕n∈Z dn . Легко проверяется, что dn+1 ◦ dn = 0 для
всех n ∈ Z, так что определен комплекс {C n (M), dn ; n ∈ Z} правых
A-модулей, который наглядно записывается как последовательность
...
dn−2
-
C
n−1
(M)
dn−1
-
n
C (M)
n
d-
C
n+1
(M)
dn+1 -
...
65
1.7. Гомологии
В этом случае когомологии
H(C(M)) = ⊕n∈Z H n (C(M)),
H n (C(M)) = ker dn / im dn−1 ,
n ∈ Z,
причем элементы из C n (M) называются n-мерными коцепями, элементы
из ker dn = {φn ∈ C n (M) : dn (φn ) = 0} называются n-мерными коциклами, элементы из im dn−1 = {φn = dn−1 (ψ n−1 ); ψ n−1 ∈ C n−1 (M)} называются n-мерными кограницами, а элементы фактор-модулей H n (C(M))
называются n-мерными когомологиями.
Пусть {C n (M), dnC } и {K n (N), dnK } – комплексы правых A-модулей.
Морфизм из {C n (M), dnC } в {K n (N), dnK } есть правое A-линейное отображение
F = ⊕F n : C(M) → K(N),
F n : C n (M) → K n (N),
n ∈ Z,
такое что коммутативна диаграмма
...
n−2
dC
-
C
n−1
(M)
n−1
dC
-
F n−1
...
n−2
dK
-
n
C (M)
n
dC
Fn
?
K n−1 (N)
n−1
dK
-
C
n+1
(M)
dn+1
C
-
...
dn+1
K
-
...
F n+1
?
K n (N)
n
dK
?
K n+1 (N)
иначе, dnK ◦ F n = F n+1 ◦ dnC для всех n ∈ Z. Выделим морфизмы специального вида. Именно, пусть fn ∈ HomA (Kn , Cn ), n ∈ Z, g ∈ HomA (M, N).
Отображение F = ⊕F n ∈ HomA (C(M), K(N)), действующее по правилу
φn 7→ F n (φn ) = g ◦ φn ◦ fn
для всех φn ∈ C n (M), n ∈ Z,
будет морфизмом из {C n (M), dnC } в {K n (N), dnK }, если для каждого n ∈ Z
справедливо равенство (∂K )n ◦ fn = fn−1 ◦ (∂C )n , т. е. если f = ⊕fn есть
морфизм из {Kn , (∂K )n } в {Cn , (∂C )n }.
Пусть F = ⊕F n , G = ⊕Gn – морфизмы из {C n (M), dnC } в {K n (N), dnK }.
Отображение S = ⊕S n ∈ HomA (C(M), K(N)), S n : C n (M) → K n−1 (N),
n ∈ Z, называется гомотопией, связывающей морфизмы F и G, если
справедлива гомотопическая формула
n−1
n
n+1
n
n
n
dK
◦ S +S
◦ dC = F − G
для всех n ∈ Z.
66
Глава 1. Предварительные сведения
С такими определениями, для комплексов {C n (M), dn } справедливы все
результаты, доказанные выше для комплексов {Cn , ∂n }, с очевидными
модификациями.
Часто встречаются ситуации, когда модули Cn = 0 при n = −1, −2, . . . ,
так что C(M) ⊕n∈Z+ C n (M), d = ⊕n∈Z+ dn и комплекс имеет вид
0
-
C 0 (M)
d0-
C 1 (M)
d1-
C 2 (M)
d2 ...
Обычно в этом случае говорят, что комплекс {C n (M), dn ; n ∈ Z+ } неотрицателен.
Подробное изложение см., например, в [6], [11], [4].
Глава 2
Формальная дифференциальная
геометрия
2.1
Алгебра как основной объект
2.1.1
Определения
Пусть F – числовое поле. Линейное пространство A над F называется
алгеброй, если в нем определена билинейная операция (умножение)
A × A → A,
(a, b) 7→ a · b.
Алгебра A называется
• унитальной, если она содержит единицу e ∈ A, где e · a = a = a · e
для всех a ∈ A,
• коммутативной, если a · b = b · a для всех a, b ∈ A,
• ассоциативной, если (a · b) · c = a · (b · c) для всех a, b, c ∈ A (в этом
случае обычно пишут ab вместо a · b.
• алгеброй Ли, если
a · b + b · a = 0 для всех a, b ∈ A,
(a · b) · c + (b · c) · a + (c · a) · b = 0 для всех a, b, c ∈ A.
(в этом случае обычно пишут [a, b] вместо a · b).
67
68
Глава 2. Формальная дифференциальная геометрия
Пусть A – алгебра. Линейное подпространство B ⊂ A называется
• подалгеброй алгебры A, если a · b ∈ B для всех a, b ∈ B,
• левым, правым, двусторонним идеалом алгебры A, если a · b ∈ B,
b · a ∈ B, a · b, b · a ∈ B для всех a ∈ A, b ∈ B.
Подмножество
• cen A = {c ∈ A : ac = ca для всех a ∈ A} называется центром
алгебры A,
• ann A = {z ∈ A : az = za = 0 для всех a ∈ A} называется аннулятором алгебры A.
Для каждой алгебры A определена присоединенная билинейная операция [a, b] = a · b − b · a для всех a, b ∈ A, превращающую линейное пространство A в другую алгебру A[·,·]. Ясно, что A[·,·] ≃ A, если исходная
алгебра A – алгебра Ли, тогда как A[·,·] – алгебра Ли, если алгебра A
ассоциативная.
2.1.2
Примеры
Пример 2.1.1. Гладкие функции на многообразии. Пусть M – гладкое
многообразие конечной размерности n = dim M ∈ N (см., например, [8],
[17], [18]). Множество C ∞ (M) всех гладких F-значных функций на M
обладает естественной структурой унитальной ассоциативной коммутативной алгебры с поточечными операциями.
В анализе важен случай M = Rn . Алгебра E(Rn ) = C ∞ (Rn ) обладает естественной топологией равномерной сходимости на компактах вместе с частными производными всех порядков (см., например, [16]), она
имеет подалгебры S(Rn ) и D(Rn ). Алгебра S(Rn ) состоит из всех гладких функций на Rn , убывающих на бесконечности вместе с частными
производными всех порядков быстрее любой обратной степени модуля
независимой переменной x ∈ Rn , а алгебра D(Rn ) состоит из всех гладких финитных функций (т. е. функций с компактным носителем). Обе
алгебры обладают естественными топологиями (см., например, [16]), обе
они не унитальные, однако их аннуляторы тривиальные. Концепция формальной дифференциальной геометрии позволяет использовать геометрические методы и конструкции для вывода новых характеристик этих
69
2.1. Алгебра как основной объект
и других подобных алгебр. Например, алгебра D(Rn ) является идеалом
алгебр E(Rn ) и S(Rn ). Возникающие, таким образом фактор-алгебры
n−1
n−1
E(S∞
) = E(Rn )/D(Rn ) и S(S∞
) = S(Rn )/D(Rn ),
n−1
где S∞
– (n − 1)-мерная сфера бесконечно большого радиуса, совершенно не изучены, поскольку не укладываются в рамки традиционного
анализа.
Пример 2.1.2. Линейные отображения. Пусть L – линейное пространство над F. На линейном пространстве EndF (L) всех эндоморфизмов пространства L имеется естественная билинейная операция – композиция
отображений
(M, N) 7→ M ◦ N
для всех M, N ∈ EndF (L, )
превращающая EndF (L) в унитальную ассоциативную алгебру. В свою
очередь, присоединенная операция – коммутатор
(M, N) 7→ [M, N] = M ◦ N − N ◦ M
для всех M, N ∈ EndF (L, )
превращает EndF (L) в алгебру Ли, которую обычно обозначают gl(L).
Выделим простейший нетривиальный частный случай (см., например, [2]). Пусть L = Fn – линейное пространство всех столбцов высотой
n ∈ N с элементами из поля F. Здесь, EndF (Fn ) = Mat(F; n) – алгебра
всех квадратных матриц порядка n с элементами из поля F.
Пример 2.1.3. Гладкие функции на множестве. Пусть M – гладкое
многообразие и S – его произвольное подмножество. Множество
J (S) = {φ ∈ C ∞ (M) : φ|S = 0}
всех гладких функций, равных 0 на S, есть идеал алгебры C ∞ (M), так
∞
что определена фактор-алгебра Cext
(S) = C ∞ (Rn )/J (S). Если S есть
∞
достаточно хорошее подмногообразие многообразия M, то Cext
(S) сов∞
падает с алгеброй C (S) всех гладких функций на многообразии S. В
∞
противном случае, алгебра Cext
(S) есть достаточно приличная база для
изучения геометрии множества S.
70
Глава 2. Формальная дифференциальная геометрия
2.1.3
Морфизмы алгебр
Пусть A, B – алгебры. Линейное отображение F ∈ HomF (A, B) называется морфизмом алгебр, если F (x · y) = F (x) · F (y) для всех x, y ∈ A.
Здесь ядро ker F = {a ∈ A : F (a) = 0} – двусторонний идеал алгебры A,
а образ im F = {b = F (a) ∈ B; a ∈ A} – подалгебра алгебры B.
Пусть A – алгебра. Левое присоединенное действие ad : A → EndF (A)
определим правилом
a 7→ ad(a) : A → A,
x 7→ (ad(a))(x) = a · x для всех a, x ∈ A.
Тогда
• ad : A → EndF (A) – морфизм ассоциативных алгебр, если A –
ассоциативная алгебра,
• ad : A → gl(A) – морфизм алгебр Ли, если A – алгебра Ли.
В частности, пусть L – линейное пространство. Тогда
• ad : EndF (L) → EndF (EndF (L)) – морфизм ассоциативных алгебр,
где (ad(F ))(X) = F ◦ X для всех F, X ∈ EndF (L),
• ad : gl(L) → gl(gl(L)) – морфизм алгебр Ли, где (ad(F ))(X) = [F, X]
для всех F, X ∈ EndF (L).
Имеется также правое присоединенное действие adr : A → EndF (A),
действующее по правилу
a 7→ adr (a) : A → A,
x 7→ (adr (a))(x) = x · a для всех a, x ∈ A.
В ситуациях, когда используются одновременно оба действия вместо ad
обычно пишут adl . Конечно, adl = adr = ad, если алгебра A коммутативная. В некоммутативном случае полезно ассоциированное действие
as = adl − adr ,
a 7→ as(a) : A → A,
x 7→ (as(a))(x) = [a, x] = a · x − x · a,
a, x ∈ A.
71
2.2. Мультипликаторы и дифференцирования
2.2
2.2.1
Мультипликаторы и дифференцирования
Мультипликаторы
Пусть A – алгебра. Линейное отображение M ∈ EndF (A) называется
левым, правым, двусторонним мультипликатором, если
M(a · b) = M(a) · b,
M(a · b) = a · M(b),
M(a · b) = M(a) · b = a · M(b),
для всех a, b ∈ A. Обозначим через M(A) множество всех мультипликаторов (т. е. двусторонних мультипликаторов) алгебры A.
Предложение 2.2.1. Эндоморфизм M ∈ EndF (A) есть левый (правый)
мультипликатор алгебры A, тогда и только тогда, когда приведенная
ниже левая (правая) диаграмма коммутативна
A
M
-
adl
A
adl
?
EndF (A)
-
adl (M)
?
EndF (A)
M
A
-
A
adr
adr
?
EndF (A)
-
adl (M)
?
EndF (A)
Доказательство. Действительно, пусть a, b ∈ A. Пройдя левую диаграмму по пути направо-вниз, получим
adl (M(a))(b) = M(a) · b,
а пройдя эту же диаграмму по пути вниз-направо, получим
adl (M)(adl (a))(b) = (M ◦ adl (a))(b) = M(a · b).
Таким образом, левая диаграмма коммутативна тогда и только тогда,
когда M – левый мультипликатор.
Аналогичным образом, разбирается и правая диаграмма.
Замечание. Пусть f ∈ HomF (K, L), где K, L – линейные пространства над F. Эндоморфизмы g ∈ EndF (K) и h ∈ EndF (L) называются
72
Глава 2. Формальная дифференциальная геометрия
f -согласованными, если следующая диаграмма коммутативна
K
f
g-
f
?
L
K
-
h
?
L
В этом смысле, линейное отображение M : A → A есть левый (правый)
мультипликатор, если M и adl (M) adl -согласованы (adr -согласованы).
Предложение 2.2.2. Пусть A – алгебра и M(A) – множество всех ее
мультипликаторов. Тогда
• ker M = {a ∈ A : M(a) = 0} и im M = {a = M(x); x ∈ A} –
двусторонние идеалы алгебры A для любого M ∈ M(A),
• M : cen A → cen A и M : ann A → ann A для любого M ∈ M(A),
• M(A) – унитальная подалгебра ассоциативной алгебры EndF (A),
• [M, N] ∈ HomF (A, ann A) для всех M, N ∈ M(A), где
HomF (A, ann A) = {X ∈ EndF (A) : X(a) ∈ ann A для всех a ∈ A}.
В частности, алгебра M(A) – коммутативная, если ann A = 0 (например, если A унитальная).
Доказательство. Действительно, пусть M ∈ M(A) и a ∈ ker M, т. е.
M(a) = 0, тогда
M(a · b) = M(a) · b = 0 и M(b · a) = b · M(a) = 0
для всех b ∈ A. Аналогично, пусть a ∈ im M, т.е. a = M(x) для некоторого x ∈ A, тогда
a · b = M(x) · b = M(x · b) и b · a = b · M(x) = M(b · x)
для всех b ∈ A.
Пусть M ∈ M(A) и a ∈ cen A, тогда
M(a) · b = M(a · b) = M(b · a) = b · M(a) для всех b ∈ A.
2.2. Мультипликаторы и дифференцирования
73
Если же M ∈ M(A) и a ∈ ann A, то
M(a) · b = M(a · b) = M(0) = 0 и b · M(a) = M(b · a) = M(0) = 0
для всех b ∈ A.
Пусть M, N ∈ M(A), тогда
(M ◦ N)(a · b) = M(N(a · b)) = M(N(a) · b) = M(N(a)) · b = (M ◦ N)(a) · b
для всех a, b ∈ A. Аналогично,
(M ◦ N)(a · b) = M(N(a · b)) = M(a · N(b)) = a · M(N(b)) = a · (M ◦ N)(b)
для всех a, b ∈ A.
Наконец, пусть M, N ∈ M(A) и a ∈ A, тогда
[M, N](a) · b = M(N(a)) · b − N(M(a)) · b = N(a) · M(b) − N(M(a) · b)
= N(a · M(b)) − N(a · M(b)) = 0,
b · [M, N](a) = b · M(N(a)) − b · N(M(a)) = M(b · N(a)) − N(b) · M(a)
= M(N(b) · a) − M(N(b) · a) = 0,
для любого b ∈ A.
Предложение 2.2.3. Пусть A – унитальная алгебра, e ∈ A – ее единица.
Определим отображение e∗ : M(A) → A правилом M 7→ e∗ (M) = M(e)
для всех M ∈ M(A). Тогда im e∗ = cen A, и e∗ : M(A) → cen A есть
инъективный морфизм алгебр.
Доказательство. Действительно, пусть M ∈ M(A) и a ∈ A, тогда с
одной стороны, e∗ (M)·a = M(e)·a = M(e·a) = M(a), а с другой стороны
и a · e∗ (M) = a · M(e) = M(a · e) = M(a). Таким образом, im e∗ ⊂ cen A.
Далее, пусть M ∈ ker e∗ , тогда M(a) = M(e · a) = M(e) · a = 0 · a = 0
для всех a ∈ A, так что ker e∗ = 0.
Наконец, пусть M, N ∈ M(A), тогда
e∗ (M ◦ N) = (M ◦ N)(e) = M(N(e)) = M(e · N(e))
= M(e) · N(e) = e∗ (M) · e∗ (N),
т. е. линейное отображение e∗ есть морфизм алгебр.
74
Глава 2. Формальная дифференциальная геометрия
Предложение 2.2.4. Пусть A – ассоциативная алгебра. Тогда
• левое присоединенное действие определяет морфизм алгебр
ad A → EndF (A), причем ad : cen A → M(A), где ker ad = ann A,
• если алгебра A еще и унитальная, то ad : cen A ≃ M(A) есть
изоморфизм, причем ad−1 = e∗ .
Доказательство. Действительно, пусть a ∈ cen A, тогда
ad(a)(x · y) = a · (x · y) = (a · x) · y = ad(a)(x) · y
= x · (a · y) = x · ad(a)(y) для всех x, y ∈ A.
Далее, пусть a ∈ ker ad, т. е. ad(a)(b) = a · b = 0 = b · a для всех b ∈ A,
откуда a ∈ ann A.
Если алгебра A ассоциативная и унитальная, то во-первых ann A = 0,
а во-вторых для всех M ∈ M(A) и a ∈ A имеем
(ad ◦ e∗ )(M)(a) = ad(M(e))(a) = M(e) · a = M(e · a) = M(a),
так что ad ◦ e∗ = idM(A) .
2.2.2
Дифференцирования
Пусть A – алгебра. Линейное отображение D ∈ EndF (A) называется
дифференцированием, если выполняется правило Лейбница
D(a · b) = D(a) · b + a · D(b) для всех a, b ∈ A.
Множество всех дифференцирований алгебры A обозначим через D(A).
Предложение 2.2.5. Эндоморфизм D ∈ EndF (A) есть дифференцирование алгебры A, тогда и только тогда, когда приведенная ниже диаграмма коммутативна
A
D
-
ad
A
ad
?
EndF (A)
-
as(D)
?
EndF (A)
где as(D)(f ) = [D, f ] для всякого f ∈ EndF (A).
2.2. Мультипликаторы и дифференцирования
75
Доказательство. Действительно, пусть a, b ∈ A. Пройдя диаграмму по
пути направо-вниз, получим
a 7→ D(a) 7→ ad(D(a)),
ad(D(a))(b) = D(a) · b,
а пройдя по пути вниз-направо, получим
a 7→ ad(a) 7→ as(D)(ad(a)) = [D, ad(a)],
[D, ad(a)](b) = D(a) · b − a · D(b).
Итак, диаграмма коммутативна тогда и только тогда, когда D удовлетворяет правилу Лейбница.
Предложение 2.2.6. Пусть D ∈ D(A), тогда
• ker D = {a ∈ A : D(a) = 0} – подалгебра алгебры A,
• im D = {a = D(x); x ∈ A} – линейное подпространство линейного
пространства A,
• D : cen A → cen A и D : ann A → ann A.
Доказательство. Действительно, пусть a, b ∈ ker D, тогда
D(a · b) = D(a) · b + a · D(a) = 0 · b + a · 0 = 0.
Второе утверждение очевидно, его смысл в том что образ im D не является ни идеалом ни подалгеброй алгебры A.
Далее, пусть a ∈ cen A и b ∈ A, тогда
D(a) · b = D(a · b) − a · D(b) = D(b · a) − D(b) · a = b · D(a).
Наконец, пусть a ∈ ann A и b ∈ A, тогда
D(a) · b = D(a · b) − a · D(b) = D(0) − 0 = 0,
b · D(a) = D(b · a) − D(b) · a = D(0) − 0 = 0.
Предложение 2.2.7. Множество D(A) всех дифференцирований алгебры
A есть подалгебра алгебры Ли gl(A).
Доказательство. Действительно, пусть X, Y ∈ D(A), тогда
[X, Y ](a · b) = X(Y (a · b)) − Y (X(a · b))
= X(Y (a) · b + a · Y (b)) − Y (X(a) · b + a · X(b))
= (X(Y (a)) − Y (X(a))) · b + a · (X(Y (b)) − Y (X(b)))
= [X, Y ](a) · b + a · [X, Y ](b) для всех a, b ∈ A.
76
2.2.3
Глава 2. Формальная дифференциальная геометрия
Взаимные действия
Пусть A – алгебра, M(A) – унитальная ассоциативная алгебра всех ее
мультипликаторов, D(A) – алгебра Ли всех ее дифференцирований. По
построению, M(A), D(A) ⊂ EndF (A), это позволяет определить взаимные действия мультипликаторов и дифференцирований, используя композиции и коммутаторы.
Предложение 2.2.8. Левое присоединенное действие определяет морфизм
алгебр ad : M(A) → EndF (M(A)), причем ad : cen M(A) ≃ M(M(A)).
Доказательство. Действительно, первое утверждение следует из Предложений 2.2.2 и 2.2.4, а второе из Предложения 2.2.4.
Предложение 2.2.9. Левое присоединенное действие определяет морфизм
алгебр ad : M(A) → EndF (D(A)), так что линейное пространство D(A)
имеет структуру левого M(A)-модуля.
Доказательство. Действительно, левое присоединенное действие задает
линейное отображение ad : M(A) → HomF (D(A), EndF (A)), причем
(M ◦ D)(a · b) = M(D(a · b)) = M(D(a) · b + a · D(b))
= M(D(a)) · b + a · M(D(b)) = (M ◦ D)(a) · b + a · (M ◦ D)(b)
для всех M ∈ M(A), D ∈ D(A) и a, b ∈ A. Другими словами, образ
ad(M) : D(A) → D(A) для любого M ∈ M(A), т. е. определено линейное
отображение ad : M(A) → EndF (D(A)). Это отображение есть морфизм
алгебр, поскольку алгебра эндоморфизмов любого линейного пространства ассоциативна.
Предложение 2.2.10. Ассоциированное действие определяет морфизм
алгебр Ли as : D(A) → gl(M(A)) (задавая в линейном пространстве
M(A) структуру D(A)-модуля Ли), причем образ im as ⊂ D(M(A)).
Доказательство. Действительно, ассоциированное действие задает ли-
77
2.2. Мультипликаторы и дифференцирования
нейное отображение as : D(A) → HomF (M(A), EndF (A)), причем
[D, M](a · b) = D(M(a · b)) − M(D(a · b))
= D(M(a) · b) − M(D(a) · b + a · D(b))
= (D ◦ M)(a) · b + M(a) · D(b) − (M ◦ D)(a) · b − M(a) · D(b)
= [D, M](a) · b,
[D, M](a · b) = D(M(a · b)) − M(D(a · b))
= D(a · M(b)) − M(D(a) · b + a · D(b))
= D(a) · M(b) + a · (D ◦ M)(b) − D(a) · M(b) − a · (M ◦ D)(b)
= a · [D, M](b)
для всех M ∈ M(A), D ∈ D(A) и a, b ∈ A. Другими словами, образ
as(D) : M(A) → M(A) для любого D ∈ D(A), т. е. определено линейное
отображение as : D(A) → EndF (M(A)). Это отображение есть морфизм
алгебр Ли as : D(A) → gl(M(A)), поскольку в силу тождества Якоби
для коммутаторов
as([X, Y ])(M) − [as(X), as(Y )](M) = [[X, Y ], M] − [X, [Y, M]] + [Y, [X, M]]
= [[X, Y ], M] + [[Y, M], X] + [[M, X], Y ]
= 0 X, Y ∈ D(A), M ∈ M(A).
Завершая доказательство покажем, что im as ⊂ D(M(A)). Действительно, пусть D ∈ D(A), M, N ∈ M(A), тогда
as(D)(M ◦ N) = [D, M ◦ N] = D ◦ M ◦ N − M ◦ N ◦ D
= (D ◦ M − M ◦ D) ◦ N + M ◦ (D ◦ N + N ◦ D)
= as(D)(M) ◦ N + M ◦ as(D)(N).
Предложение 2.2.11. Ассоциированное действие определяет морфизм
алгебр Ли as : D(A) → D(D(A)).
Доказательство. Действительно, ассоциированное действие задает линейное отображение as : D(A) → HomF (D(A), EndF (A)), причем, в силу
тождества Якоби для коммутаторов, as([X, Y ])(D) = [as(X), as(Y )](D)
для всех X, Y, D ∈ D(A). Для завершения доказательства осталось проверить, что образ as(D) ∈ D(D(A)) для любого D ∈ D(A), т. е. что
as(D)([X, Y ]) = [as(D)(X), Y ] + [X, as(D)(Y )],
D, X, Y ∈ D(A),
78
Глава 2. Формальная дифференциальная геометрия
а это так в силу все того же тождества Якоби.
Литература
[1] J. L. Taylor, Homology and cohomology for topological algebras,
Advances in Mathematics, Vol. 9, pp. 137-182, 1972.
[2] Madore J., An Introduction to noncommutative differential geometry
and its physical applications. Cambridge, University Press, 1995.
[3] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры.
Москва, ИЛ, 1961.
[4] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии. Москва, Мир, 1976.
[5] Дрожжинов Ю.Н. и Завьялов Б.И., Введение в теорию обобщенных функций. Лекционные курсы НОЦ. Выпуск 5. Москва, МИРАН,
2006.
[6] Картан А. и Эйленберг С., Гомологическая алгебра. Москва, ИЛ,
1960.
[7] Кириллов А.А., Элементы теории представлений. Москва, Наука,
1978.
[8] Кобаяси Ш. и Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии.
Том I. Москва, Наука, 1981.
[9] Кобаяси Ш. и Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии.
Том II. Москва, Наука, 1981.
[10] Ленг С., Алгебра. Москва, Мир, 1968.
[11] Маклейн С., Гомология. Москва, Мир, 1966.
79
80
Литература
[12] Маклейн С., Категории для работающего математика. Москва, Физматлит, 2004.
[13] Манин Ю.И., Лекции по алгебраической геометрии. Часть I. Аффинные схемы. Москва, МГУ, 1970.
[14] Наймарк М.А., Нормированные кольца. Москва, Наука, 1968.
[15] Пич А., Ядерные локально выпуклые пространства. Москва, Мир,
1967.
[16] Робертсон А. и Робертсон В., Топологические векторные пространства. Москва, Мир, 1967.
[17] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии. Москва,
Мир, 1970.
[18] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. Москва, Факториал Пресс, 2005.
[19] Хелемский А.Я., Банаховы и полинормированные алгебры. Общая
теория, представления, гомологии. Москва, Наука, 1989.
Предметный указатель
A-линейное отображение
дуальное (сопряженное), 59
алгебра
Ли присоединенная, 38
левого A-модуля
симметическая, 57
тензорная, 56
внешняя, 57
линейного пространства
симметическая, 42
тензорная, 41
внешняя, 43
автоморфизм, 7
базис
A-модуля левого, 50
абелевой группы, 15
линейного пространства, 25
действие
ассоциированное, 70
присоединенное, 70
диаграмма, 8
дифференцирование, 74
эндоморфизм, 6
эпиморфизм, 7
фактор-группа, 12
фактор-пространство, 23
функтор
⊗, 20, 28
×, 20, 28
дуальности, 59
контравариантный, 10
ковариантный, 10
гомоморфизм, 11
градуировка, 20, 30
группа
абелева, 11
нулевая, 11
свободная, 15
изоморфизм, 6
категория, 6
абелевых групп, 11
топологических, 12
алгебр, 32
топологических, 36
дуальная, 7
линейных пространств, 22
топологических, 23
объектов над S, 8
линейная форма, 31
линейный функционал, 31
линейное отображение
сопряженное (дуальное), 31
модуль
дуальный (сопряженный), 59
левый, 44
правый, 44
мономорфизм, 7
морфизм, 6
мультипликатор, 71
объект, 6
81
82
объект универсальный
отталкивающий, 7
притягивающий, 7
подкатегория, 8
преобразование
естественное, 10
произведение
категорий, 7
прямое, 9
прямое семейства
абелевых групп, 13
аддитивных отображений, 19
алгебр, 37
линейных отображений, 28
линейных пространств, 23
тензорное семейства
абелевых групп, 17
аддитивных отображений, 19
алгебр, 37
линейных отображений, 28
линейных пространств, 27, 31
модулей, 51
произведение семейства
объектов, 9
стрелка, 8
сумма
прямая, 9
прямая семейства
абелевых групп, 13
алгебр, 37
линейных пространств, 23
сумма семейства
объектов, 8
Предметный указатель