Разложение по мультиполям электростатического потенциала в

Казанский государственный университет.
Физический факультет.
Шапошникова Т.С., Царевский С.Л.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО
ПОТЕНЦИАЛА В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ.
(Учебно-методическое пособие)
Казань 2008.
Публикуется по решению Редакционно-издательского совета
физического факультета.
УДК 530.1: 51 - 72; 531.
Шапошникова Т.С., Царевский С.Л.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО
МУЛЬТИПОЛЯМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА В
СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ. Учебно-методическое пособие.
Под ред. Царевского С.Л. Казань. 2008. - 13 с.
В данном учебно-методическом пособии показано, как, используя
формулу
разложения
электростатического
потенциала
по
мультиполям в сферических координатах, можно получить потенциал
электростатического поля сферы, заряженной произвольным образом.
Рекомендуется в качестве учебно-методического пособия по
электродинамике для студентов физического факультета.
Рецензент: Гайнутдинов Р.Х., д.ф.м.н., проф. каф. оптики и
нанофотоники Казанского rocуниверситета.
Физический факультет Казанского госуниверситета, 2008.
2
Известно, что принцип суперпозиции позволяет из потенциалов
элементарных зарядов получать путем суммирования потенциалы
сложных систем зарядов ( см. Рис.l ):
ϕ (r ) = ∫
ρ ( r ′ ) dv′
V
Здесь
r
r − r′
.
- радиус-вектор точки, в которой ищется поле,
ρ ( r ′) –
ρ ( r ′ ) dv′ -
элемент
объемная плотность электрических зарядов,
заряда в бесконечно-малом объеме
dv′ , расположенном в точке r ′ .
Интегрирование ведется по объему V, занятому зарядами. Однако
интегрирование в (1) в общем случае - достаточно трудоемкая задача.
По-существу, выражение (1) - это интегральная форма уравнения
Пуассона.
В некоторых случаях вычисление интеграла (1) удается провести с
помощью разложения его по мультиполям, когда потенциал системы
зарядов можно представить в виде суммы потенциалов полного заряда
системы, дипольного момента, квадрупольного момента и т.д.. Если
−1
r − r ′ в сферических координатах по
провести
разложение
степеням
r ′ / r (при r > r ′ ),
либо по
r / r′
получим (подробно это разложение см. в [1]):
3
(при
r ′ > r ),
то
4
4π r<l
∗
′ ′
θ
α
=∑∑
Y
Y
(
,
)
lm (θ , α ).
l +1 lm
r − r ′ l =1 m =− l 2l + 1 r>
∞
1
l
(2)
Здесь Ylm (θ , α ) - сферические функции Лежандра порядка 1,m, а r<
или r> - либо r , либо r’ в зависимости от того, которая из этих
величин меньше или больше. Используя разложение (2),
потенциал
ϕ (r )
можно представить в виде:
в случае r>r’
∞
l
ϕ (r ) = ∑ ∑
l = 0 m =− l
4π QlmYlm (θ , α )
,
l +1
2l + 1
r
(r > r ′),
(3)
Qlm- мультипольный момент порядка 1,m:
4π
l
*
Qlm =
r
r
Y
ρ
(
')
'
lm (θ ', α ') dv ',
∫
2l + 1
(4)
в случае r’>r
∞
l
ϕ (r ) = ∑ ∑
l = 0 m =− l
4π l
′ Ylm (θ , α ),
r Qlm
2l + 1
5
(r < r ′),
(5)
Q’lm - мультипольный момент порядка 1,m:
Q 'lm =
Цель
4π ρ (r ') *
Ylm (θ ', α ')dv '.
l +1
∫
2l + 1 r '
настоящей
методической
работы
-
(6)
научить
студента
пользоваться формулами (3) - (6).
Прежде всего заметим, что действительно структура формулы (2)
такая
же,
что
и
формулы
для
мультипольного
разложения,
получаемой обычно на лекциях по электродинамике в декартовых
координатах. В формулах (3) - (6) l может принимать значения
l=0,1,2,3,..., a m для каждого l меняется от +l до -l, т.е. m = l, l-1,. , -l ,
всего 2l+1 компонент для каждой l:
при l=0 возможное m=О;
при l=1 возможные m=l,O,-l;
при l= 2 возможные m=2,1,0,-1,-2 и т.д.
Так,
Q00 = 4π ∫ ρ (r ')Y00* (θ ', α ')dv ' = ∫ ρ (r ')dv ' = q - полный
заряд системы, т. е. первый член разложения будет точно такой же,
как и первый член в случае разложения в декартовых координатах.
Точно также члены с l=l, rn=1,0,-1
Q11,Q10,Q1-1 - комбинации
дипольного момента системы зарядов, а члены с l=2, rn=2,I,0,-I,-2
Q22, Q21, Q20, Q2-1, Q2-2 -независимые компоненты квадрупольного
момента системы и т.д ..
Таким образом, определение потенциала сложной системы зарядов
сводится к нахождению мультипольных моментов. При этом, если
точка наблюдения
r
находится внутри распределения зарядов, то
6
нужно разбить область интегрирования в (1) на две части сферой
радиуса
r
с центром в начале координат О. При интегрировании по
области внутри сферы нужно воспользоваться формулами (4), (5), при
интегрировании по внешней области - формулами (6),(7).
Рассмотрим задачу о нахождении потенциала сферы радиуса R.
Пусть электрический заряд распределён на сфере с поверхностной
плотностью
σ = σ (θ ', α ') .
Прежде всего, установим связь между
объёмной и поверхностной плотностями зарядов. Эту связь легко
установить, используя δ - функцию Дирака:
ρ (r ') = δ ( R − r ')σ (θ ', α ').
Действительно,
ρ (r ') = 0
при r’≠ R,
(7)
ρ (r ') = ∞
при r’ = R,
но при этом суммарное число зарядов будет равно:
2
ρ
(
r
')
dv
'
=
δ
(
R
−
r
')
σ
(
θ
',
α
')
r
'
dr 'Sin θ ' dθ ' dα ' =
∫∫∫
∫∫∫
V
V
= ∫∫ σ (θ ', α ') R 2 Sin θ ' dθ ' dα ' = ∫∫ σ (θ ', α ')dS '.
S
(8)
S
где dS'- элемент поверхности сферы радиуса R. Равенство (8)
σ (θ ', α ') - есть поверхностная
показывает, что действительно
плотность зарядов сферы радиуса R.
Итак, для определения
моменты
Qlm
ϕ (r ) достаточно
найти мультипольные
(либо Q'lm ), определяемые формулами (4) и (6).
7
Подставляя (7) в (4) и (6), получим:
Qlm =
Q 'lm =
4π l + 2
R ∫∫ σ (θ ', α ')Ylm (θ ', α ')d Ω ', d Ω ' = Sinθ ' dθ '. (8)
2l + 1
S
4π 1−l
R ∫∫ σ (θ ', α ')Ylm (θ ', α ') d Ω '.
2l + 1
S
Напомним,
что
Q1m
определяют
(9)
мультипольные
моменты
в
распределении зарядов для пространства вне сферы, т.е. для r >R, а
Q'1m - для пространства внутри сферы, т.е. для r<R.. Если Q1m
известны, то подставляя их значения в (3), получим потенциал в
точках r вне сферы, т.е. для r>R; подставляя Q’lm в (5), получим
потенциал для точек внутри сферы. т.е. для r<R. Вообще говоря, если
известны все Q1m и Q'lm , то формулы (3) и (5) описывают точное
значение потенциала сферы во всём пространстве как внутри, так и
вне сферы.
Для определения Qlm и Q'1m необходимо знать сферические функции
Лежандра. Сферические функции с 1=0,1,2 приведены в Таблице I.
Сферические функции образуют на поверхности сферы
ортонормированную систему функций от
∗
Y
lm
∫∫ (θ , α )Yl 'm ' (θ , α )d Ω = δ ll 'δ mm '
и что произвольная функция
σ (θ , α )
σ (θ , α ) = ∑ almYlm (θ , α ).
θ
и
α
полную
. Это означает, что
(10)
может быть разложена в ряд:
(11)
l ,m
8
___________________________________________________________
Таблица 1.
Сферические функции Лежандра для 1=0,1,2.
1
,
4π
3
3
Y10 =
Cosθ , Y1±1 = ∓
Sinθ e ± iα ;
4π
8π
Y00 =
3 3Cos 2θ − 1
15
15
, Y2±1 = ∓
Y20 =
Sinθ Cosθ e ± iα , Y2± 2 =
Sin 2θ e ± i 2α .
4π
2
8π
32π
______________________________________________________________
Умножая (12) слева на Y*l'm' и интегрируя по всему телесному углу dΩ,
получим:
∫∫ σ (θ , α )Y
∗
l 'm '
d Ω = ∑ alm ∫∫ Yl ∗' m 'Ylm d Ω = ∑ almδ ll 'δ mm ' = al ' m ' .
l ,m
Т.е., коэффициенты
alm
l ,m
определяются формулой:
alm = ∫∫ σ (θ , α )Ylm∗ (θ , α )d Ω
Но коэффициенты
alm
(12)
с точностью до множителя определяют
мультипольные моменты Q1m и Q'lm (сравните (12) с (8) и (9)):
Qlm =
4π l + 2
R alm ,
2l + 1
(13)
9
Q 'lm =
4π 1−l
R alm .
2l + 1
(14)
Отметим структуру формул, определяющих сферические функции Ylm:
они представляют собой полиномы от Sinθ и Cosθ порядка l,
умноженные
на
множители
распределение зарядов
e ± imα . Это означает, что если
σ = σ (θ , α )
представляет собой полином от
Sinθ и Cosθ, умноженный на полиномы от Sinα, Cosα (либо сумму
таких произведений), то можно заранее сказать, что из всех Qlm (и
Q'1m) будyr не равны нулю только моменты, для которых l (с
соответствующими значениями m от -l до l для каждого l) будут
меньше или равны порядку полиномов от Sinθ, Cosθ, Sinα, Cosα в
распределении зарядов, Т.е. в суммах (2) и (4) вместо бесконечного
ряда по Ylm(θ,α) будет стоять конечная сумма по l, m и при этом сам
потенциал
ϕ (r )
будет определён не приближенно, а точно.
Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим задачу (см. [2], задача
№ 91):
Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону σ = σ 0Cosθ .
Найти потенциал
ϕ (r )
электрического поля, используя разложение
по мультиполям в сферических координатах.
Прежде
всего
сразу
поверхностных зарядов
замечаем,
что
функция
плотности
σ = σ 0Cosθ представляет собой полином от
10
Cosθ первого порядка, так что можно заранее сказать, что из всех Qlm
не равны нулю только моменты, для которых l≤1. Более того, из Табл.l
следует, что
σ
можно представить как:
σ = σ 0Cosθ = σ 0
4π
3
3
4π
Cosθ = σ 0
Y10 (θ , α ),
4π
3
т.е. из всего бесконечного ряда (11) из всех коэффициентов alm не
равен нулю всего один коэффициент a10, равный:
a10 =
4π
σ0
3
( alm = 0; l ≠ 1, m ≠ 0).
Отсюда имеем:
Q10 =
Q '10 =
4π 3 4π
4π
R
σ 0 = σ 0 R3 ,
3
3
3
4π
3
4π
4π
σ0 =
σ 0.
3
3
Остальные Qlm и Q'lm (l≠1, m±0) равны 0.
Подставляя Q10 и Q'10 в формулы (3) и (5), получим
для потенциала вне сферы (r>R):
ϕ (r ) =
4π Q10Y10 (θ , α ) 4π
3 Cosθ
R
;
σ
=
0
2
2
r
r
3
3
для потенциала внутри сферы (r<R):
ϕ (r ) =
4π
4π
σ 0 rCosθ .
rQ '10 Y10 (θ , α ) =
3
3
11
Поле вне сферы
можно представить как поле
p,
диполя
расположенного в начале координат:
ϕ (r ) =
pr
,
r3
p=
4π
σ 0 R 3 ez .
3
(r ≥ R )
(15)
Поле внутри сферы однородное:
ϕ (r ) = − E0 r ,
где E0 = −
4π
σ 0 ez .
3
(r ≤ R)
(16)
Силовые линии электростатического поля сферы радиуса R,
заряженной с поверхностной плотностью
на Рис.2.
12
σ = σ 0Cosθ , представлены
Учебные задания и вопросы.
1. Является ли потенциал, определяемый формулами (15),(16) для
задачи о сфере с поверхностным распределением заряда
σ = σ 0Cosθ ,
точным или он определен с точностью до дипольного члена в
мультипольном разложении?
2. Заряд распределён на сфере радиуса R с поверхностной плотностью
σ = σ 0Cos 2θ . Какими мультипольными моментами Qlm будет
определяться потенциал такой сферы?
3. Найти потенциал сферы радиуса R, если заряд на ней распределён с
поверхностной плотностью
σ=
q
+ σ 0Cosθ .
4π R 2
Какими мультипольными моментами будет представлен потенциал
при таком распределении заряда?
ЛИТЕРАТУРА
I.
А.Ф.Никифоров,
В.Б.Уваров.
"Специальные
функции
математической физики". Москва. "Наука" ГРФМЛ 1984.
2. В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин. "Сборник задач по электродинамике".
Москва. РХД. 2002 .
13