А. Г. Пинус ОБ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ШКАЛЫ

УДК 512.56
А. Г. Пинус
ОБ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ШКАЛЫ ПОТЕНЦИАЛОВ
ВЫЧИСЛИМОСТИ ВСЕХ КОНЕЧНЫХ АЛГЕБР∗
Доказывается взаимная интерпретируемость друг в друге элементарной теории шкалы потенциалов вычислимости всех конечных алгебр и элементарной теории арифметики.
Ключевые слова: шкала потенциалов вычислимости всех конечных алгебр, элементарная
теория арифметики.
В работах [1; 2] были введены понятия шкал потенциалов вычислимости hCTn ; ≤i
n-элементных алгебр и шкалы потенциалов вычислимости hCT ; ≤i всех конечных алгебр. При этом под потенциалом вычислимости A универсальной алгебры A = hA; σi
имеется в виду совокупность CT (A) всех программно-вычислимых (или иначе условнотермальных) функций алгебры A (подробнее см., к примеру, [3; 4]). При этом мы говорим о совпадении A1 = A2 потенциалов вычислимости алгебр A1 = hA1 ; σ1 i,
A2 = hA2 ; σ2 i (о условно рациональной эквивалентности алгебр A1 и A2 ), если существует биекция π множества A1 на A2 такая, что CT (A2 ) = CT (π(A1 )), где алгебра
π(A1 ) сигнатуры σ1 определяется на базовом множестве A2 с помощью π-сопряжения
сигнатурных функций алгебры A1 , т. е.
π(A1 ) = hA2 ; πf (π −1 (x1 ), . . . , π −1 (xn )) | f (x1 , . . . , xn ) ∈ σ1 i.
Для любого подмножества B основного множества А алгебры A = hA; σi через CTB (A)
обозначим совокупность функций
{f (x1 , . . . , xn ) ∈ CT (A) | f (B, . . . , B) ⊆ B},
а через CTB (A) ¹ B — совокупность B-ограничений функций из CTB (A).
Введем отношение порядка ≤ на потенциалах вычислимости n-элементных (всех
конечных) алгебр: для алгебр A1 = hA1 ; σ1 i и A2 = hA2 ; σ2 i имеет место:
A1 ≤ A2 если существует биекция π множества A1 на A2 такая, что πCT (A1 )π −1 ⊆
⊆ CT (A2 ), если |A1 | = |A2 |;
A1 ≤ A2 , если существуют B ⊆ A2 и биекция π : A1 → B такие, что πCT (A1 )π −1 ⊆
⊆ CTB (A2 ) ¹ B, если |A1 | ≤ |A2 |.
Пусть CTn — совокупность потенциалов вычислимости всех n-элементных универсальных алгебр, а CT — совокупность потенциалов вычислимости всех конечных алгебр. Под шкалой потенциалов вычислимости всех (n-элементных) алгебр имеется в
виду частично упорядоченное множество hCT ; ≤i (hCTn ; ≤i).
∗
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-01-00159-а).
ISSN 1818-7897. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, вып. 2. C. 88–93
c А. Г. Пинус, 2009
°
Об элементарной теории шкалы потенциалов вычислимости
89
Существует удобная система инвариантов для потенциалов вычислимости универсальных алгебр. Стандартным образом, через SubA будем обозначать решетку подалгебр алгебры A, а через IsoA — инверсную полугруппу внутренних изоморфизмов алгебры A (изоморфизмов между подалгебрами алгебры A. При этом подалгебры алгебры
A отождествляем с идемпотентами полугруппы IsoA — c тождественными автоморфизмами этих подалгебр.
Как доказано в работах [1] и [2]:
для n-элементарных алгебр A1 и A2 отношение A1 ≤ A2 имеет место тогда и
только тогда, когда πIsoA1 π −1 ⊇ IsoA2 для некоторой биекции π множества
A1 на A2 ;
если |A1 | ≤ |A2 |, то отношение A1 ≤ A2 имеет место тогда и только тогда,
когда для некоторых подмножества B ⊆ A2 и биекции π множества A1 на B
имеет место включение IsoB A2 ⊆ πIsoA1 π −1 .
Здесь SubB A = {ϕn (. . . ϕ2 (ϕ1 (G ∩ B) ∩ B) ∩ B . . . ) ∩ B | n ∈ ω и G ∈ SubA, ϕi ∈ IsoA}
и IsoB A = {ϕ ¹ G | ϕ ∈ IsoA, G, ϕ(G) ∈ SubB A}.
Тем самым множества CTn конечны при любом n, а множество CT счетно.
В работе [5] найдено описание инвариантов hSubA, IsoAi для потенциалов вычислимости конечных алгебр A. Через P (A) далее будем обозначать совокупность всех
подмножеств множества A. Совокупность H ⊆ P (A) называется решеткой подмножеств
множества A, если H решеточно упорядочена отношением ⊆ и при этом роль операции
∧ играет теоретико-множественное пересечение ∩.
Лемма 1. Для любой пары hH; Si, состоящей из некоторой решетки H подмножеств
некоторого конечного множества A и некоторой совокупности S биекций между множествами из H, следующие условия эквивалентны:
а) hH; Si = hSubA, IsoAi для некоторой универсальной алгебры A = hA; σi;
б) пара hH; Si удовлетворяет принципам обратимости, композиции, неподвижных
точек, ограничения, согласованности и одноэлементных подалгебр.
Эти принципы определены здесь следующим образом.
Принцип обратимости: для любого g ∈ S отображение g −1 так же входит в S;
Принцип композиции: для любых g, h ∈ S, если rangh = domg, то gh ∈ S;
Принцип неподвижных точек: для любого g ∈ S, множество F ixg = {a ∈ A |
g(a) = a} входит в H;
Принцип ограничения: для любых g ∈ S, G ∈ H, если G ⊆ domg, то g ¹ G ∈ S;
Принцип согласованности: для любого G ∈ H имеет место включение idG ∈ S и
для любого g ∈ S имеют место включения domg, rangg ∈ H;
Принцип одноэлементных подалгебр: для любых a, b ∈ A, если {a}, {b} ∈ H, то
существует h ∈ H, такое, что domh = {a}, rangh = {b}.
Через Iso0 A будем обозначать совокупность биекций из IsoA отличных от тождественных. Таким образом, IsoA = Iso0 A ∪ {idG | G ∈ SubA}. Алгебру A (соответственно, точку A шкалы hCT ; ≤i) будем называть сверхжесткой, если Iso0 A = ∅. Через En = hn; σi будем обозначать n-элементную алгебру такую, что SubEn = {n} и
90
А. Г. Пинус
Iso0 En = ∅. Таким образом, точка E n — наибольший элемент шкалы hCTn ; ≤i. Пусть
Tn = hn, σi — n-элементная алгебра такая, что SubTn = P (n) и Iso0 Tn = ∅. Тем самым
сверхжесткие точки шкалы hCTn ; ≤i это точки интервалаIn = [T n ; En].
В работе [2] построены формулы Ψ(x, y), Φn (x) сигнатуры h≤i такие, что для любых
A, B ∈ CT :
hCT ; ≤i |= Ψ(A, B) ⇔ |A| = |B|,
hCT ; ≤i |= Ψn (A) ⇔ |A| = n.
В работе [6] была доказана неразрешимость элементарной теории класса шкал {hCTn ;
≤i | n ∈ ω}, а в работе [2] на основе этого и существования указанной выше формулы
Ψ(x, y) отмечена неразрешимость теории шкалы hCT ; ≤i.
В настоящей работе будет показано, что элементарные теории шкалы hCT ; ≤i и натуральной модели арифметики hN ; +, ·i взаимно интерпретируются друг в друге. Здесь
N — совокупность натуральных чисел, а + и · — стандартные операции сложения и
умножения чисел из N . При этом при интерпретации арифметики в элементарной теории T h(hCT ; ≤i шкалы hCT ; ≤i натуральные числа будут интерпретироваться конечными алгебрами соответствующей мощности, т. е. элементарными формулами шкалы
hCT ; ≤i выразимы любые элементарные свойства мощностей конечных алгебр.
Через Pω (N ) далее будем обозначать совокупность всех конечных подмножеств множества N . Для построения интерпретации T h(hN ; +, ·i) в T h(hCT ; ≤i) укажем элементарные формулы сигнатуры h≤i : Φ+ (x, y, z), Φ· (x, y, z) такие, что hCT /Ψ; Φ+ , Φ· i ∼
=
∼
= hN ; +, ·i. Здесь CT /Ψ — фактор множества CT по эквивалентности определенной на
CT формулой Ψ.
В работе [1] были описаны коатомы шкал hCT ; ≤i: потенциалом вычислимости A
алгебры A = hn; σi являются коатомы шкалы hCTn ; ≤i, если либо
1) SubA = {n, B} для некоторого ∅ 6= B ⊂ n и Iso0 A = ∅,
либо
2) SubA = {n} и IsoA = AutA = {idn , ϕ, . . . , ϕp−1 }, где p — некоторый простой делитель числа n и перестановка ϕ, не имеющая неподвижных точек, состоит из p-циклов
на множестве n. Коатомы шкалы hCTn ; ≤i первого типа называют сверхжесткими, а
второго — циклическими.
Ранг точки A ∈ CTn это максимальная длина цепи в hCTn ; ≤i, соединяющей точку A
с наибольшим элементом E шкалы hCTn ; ≤i. Таким образом, точки ранга 1 суть коатомы
шкал hCTn ; ≤i.
В работе [7] построен, в частности, следующий ряд элементарных формул сигнатуры h≤i, выражающих существенные свойства потенциалов вычислимости A конечных
алгебр A как точек шкалы hCT ; ≤i, которые потребуются нам далее:
Rn+1 (x) : hCT ; ≤i |= Rn+1 (A) ⇐⇒ A — точка ранга n.
В частности,
hCT ; ≤i |= R1 (A) ⇐⇒ A = E n для некоторого n,
hCT ; ≤i |= R2 (A) ⇐⇒ A — коатом какой-либо из шкал hCTn ; ≤i.
Φs (x) : hCT ; ≤i |= Φs (A) ⇐⇒ A — сверхжесткий коатом какой-либо из шкал hCTn ; ≤i;
Об элементарной теории шкалы потенциалов вычислимости
91
Φ1 (x, y) : hCT ; ≤i |= Φ1 (A, B) ⇐⇒ B = E m и A ∈ CTm для некоторого m;
S(x) : hCT ; ≤i |= S(A) ⇐⇒ A — сверхжесткая точка.
Теорема 1. Элементарные теории шкалы hCT ; ≤i и натуральной модели арифметики
hN ; +, ·i взаимно интерпретируются друг в друге.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Напомним, что формула Ψ(x, y) утверждает, что соответствующие алгебры равномощны. Каждой сверхжесткой точке A шкалы hCT ; ≤i сопоставим конечное множество S(A) натуральных чисел — мощностей собственных подалгебр
алгебры A. Построим формулу Φ² (x, y), интерпретирующую вхождение натурального
числа m (интерпретируемого алгебрами мощности m) в совокупность S(A), где A —
сверхжесткая точка, т. е. формулу φ² (x, y) такую, что для A, B ∈ CT
hCT ; ≤i |= Φ∈ (A, B) ⇐⇒ B — сверхжесткая точка, |A| = m для некоторого m
и существует m-элементная подалгебра алгебры B.
Прежде всего отметим, что среди сверхжестких коатомов шкалы hCTn ; ≤i точка A
такая, что SubA = {n, B}, где |B| = 1, отличается от иных сверхжестких коатомов
тем, что для любого такого коатома B шкалы hCTn ; ≤i существуют только две максимальные нижние грани для A и B в hCTn ; ≤i (эти грани суть B 1 и B2 — сверхжесткие точки такие, что SubB1 = {n, B, C1 }, SubB2 = {n, B, C2 }, где B ⊆ C1 , |C1 | = k,
B ∩ C2 = ∅, |C2 | = k и SubB = {n, C}, k = |C|). Для сверхжестких коатомов A шкалы
hCTn ; ≤i с неодноэлементной подалгеброй B и подобных же коатомов B с неодноэлементной подалгеброй C существуют еще другие максимальные нижние грани для пары A, B,
связанные с ситуацией, когда B 6⊆ C, C 6⊆ B и B ∩ C 6= ∅. Тем самым легко выписывается элементарная формула Φ1 (x) сигнатуры h≤i такая, что hCT ; ≤i |= Φ1 (A) ⇐⇒ A —
сверхжесткий коатом некоторой шкалы hCTn ; ≤i и алгебра A имеет одноэлементную
подалгебру.
Пусть формула Φm (x) утверждает, что выше сверхжесткой точки x лежит единственный коатом и он удовлетворяет формуле Φ1 , а ранг точки x равен m.
Тогда
hCT ; ≤i |= Φm (A) ⇐⇒ A — сверхжесткая точка, и если |A| = n,
то SubA = {n, B1 , . . . , Bm }, где |B1 | = . . . = |Bm | = 1.
Пусть теперь B 1 , B 3 — сверхжесткие коатомы одной из шкал hCTn ; ≤i, а C 1 , C 2 —
максимальные нижние грани точек B 1 и B 3 в hCT ; ≤i. При этом SubC1 = {n, B10 , B30 },
SubC2 = {n, B100 , B300 }, |B10 | = |B100 | = |B1 |, SubB1 = {n, B1 }, SubB3 = {n, B3 }, |B30 | = |B300 | =
= |B3 |, B10 ∩ B30 = ∅, B300 ⊆ B100 . Тогда существует сверхжесткий коатом B 2 шкалы
hCTn ; ≤i такой, что SubB2 = {n, B2 } и сверхжесткая точка D шкалы hCTn ; ≤i, являющаяся максимальной нижней гранью точек B3 и B 2 в hCT ; ≤i. При этом D — нижнее
покрытие точки C2 , а C2 — нижнее покрытие точек B 3 и B 2 (SubD = {n, B1000 , B2000 , B3000 },
B3000 = B1000 ∩ B2000 , |B3000 | = |B3 |, |B1000 | = |B1 |, |B2000 | = |B2 |). Для точки же C 1 существование
подобных точек B 2 и D невозможно. Таким образом, существует элементарная формула
Φ0 (x) сигнатуры h≤i такая, что для любой A ∈ CT
hCT ; ≤i |= Φ0 (A) ⇐⇒ A — сверхжесткая точка ранга 2 и
92
А. Г. Пинус
SubA = {n, B1 , B2 }, где B1 ⊆ B2 .
Пусть теперь формула Φ00 (x, y) утверждает, что x — сверхжесткий коатом и существует сверхжесткая точка z — наименьшая точка такая, что единственный коатом,
лежащий выше z, удовлетворяет формуле Φ1 , y — является максимальной нижней гранью точек x и z и выше y нет точек, удовлетворяющих формуле Φ0 . Таким образом, в
силу отмеченного выше свойств формул Φ1 и Φ0 , для любых A, B ∈ CT
hCT ; ≤i |= Φ00 (A, B) ⇐⇒ A, B — сверхжесткие точки, и если SubA = {n, B},
то SubB = {n, B, {a} | a ∈ n\ B 0 } и |B 0 | = |B|.
В качестве формулы Φ∈ (x, y), интерпретирующей отношение включения натурального числа m (интерпретируемого в hCT ; ≤i точкой A мощности m) в подмножество
S ∈ Pω (N ) (интерпретируемого сверхжесткой точкой A такой, что S(A) = S; Pω (N ) —
совокупность всех конечных подмножеств множества N ), укажем на формулу
(
(
Φ∈ (x, y) = ∃ x1 Ψ(x, x1 ) & R1 (x1 ) & S(y) & ∃ z, u z ≥ y & R2 (z) & Φ00 (z, u) &
(
)))
& x1 ≤ u & ¬∃ x0 R1 (x0 ) & x0 > x1 & x0 ≤ u
.
Очевидно, что для любых A, B ∈ CT hCT ; ≤i |= φ∈ (A, B) ⇐⇒ |A| = m для некоторого m, A, B — сверхжесткие точки и B имеет собственную подалгебру мощности m.
Построим теперь с помощью формулы Φ∈ (x,y) искомые формулы Φ+ (x,y,z), Φ· (x,y,z)
такие, что для любых A, B, Z ∈ CT
hCT ; ≤i |= Φ+ (A, B, Z) ( Φ· (A, B, Z) ) ⇐⇒ |Z| = |A| + |B| ( |Z| = |A| · |B| ).
В качестве формулы Φ+ (x, y, z) очевидным образом можно выбрать следующую:
(
)
Φ+ (x, y, z) = ∃ z1 R1 (z1 ) & Ψ(z, z1 ) и z1 — минимальная точка такая, что
(
)
∃ u Ψ(u, z1 ) & S(u) & R3 (u) & ¬ Φ0 (u) & Φ∈ (x, u) & Φ∈ (y, u) .
Для записи формулы Φ· (x, y, z) для точек E n , E m , E k (при k = n · m) опишем строение сверхжесткой алгебры A = hk ; σi такой, что SubA = {k, B, C1 , . . . , Cm , B ∩ C1 , . . . ,
B ∩ Cm }, где Ci ∩ Cj = ∅ при i 6= j, |B| = m, |C1 | = . . . |Cm | = n, |B ∩ C1 | = . . . =
= |B ∩ Cm | = 1 и такой, что C1 ∪ . . . Cm = k, как алгебры, мощности подалгебр которой равны мощностям алгебр E n , E m и E 1 , при этом подалгебра мощности n единственна, подалгебры мощности m попарно дизъюнктны, а их пересечения с подалгеброй мощности n одноэлементны, и не существует k-элементной алгебры, имеющей те же
m-элементные подалгебры, что и алгебра A, плюс дизъюнктную с ними одноэлементную подалгебру. Таким образом, для записи формулы Φ· (x, y, z) достаточно указать, что
существуют элементы x1 , y1 , z1 такие, что Ψ(x, x1 ) & Ψ(y, y1 ) & Ψ(z, z1 ) & R1 (x1 ) & R1 (y1 );
z1 — максимальная точка такая, что R1 (z), для которой существует точка u такая,
что S(u), {ν | φ∈ (ν, u)} = {x1 , y1 , E 1 } и существуют точки ν1 , ν2 для которых точка u является максимальной нижней гранью. При этом {ν | Φ∈ (ν, ν1 )} = {x1 }, {ν |
Φ∈ (ν, ν2 )} = {y1 } R2 (ν2 ) для любой точки ω такой, что u ≤ ω и {ν | Φ∈ (ν, ω)} ⊇
Об элементарной теории шкалы потенциалов вычислимости
93
⊇ {x, y} имеет место равенство {ν|Φ∈ (ν, ω} = {x1 , y1 , E 1 }. В то же время не существуют
точки ω 0 , ω 00 такие, что S(ω 0 ), Φ1 (ω 00 ), Ψ(z1 , ω 0 ), ω 0 является максимальной нижней гранью точек ν1 и ω 0 и выше точки ω 0 нет точек, удовлетворяющих формуле Φ0 . Роль u
играет указанная выше алгебра A, роль ν1 , ν2 — алгебры B1 , B2 соответственно такие,
что SubB1 = {k, B}, SubB2 = {k, C1 , . . . , Cm }.
Искомая интерпретация элементарной арифметики T h(hN ; +, ·i) в элементарной теории T h(hCT ; ≤i) построена.
По поводу обратной интерпретации: в связи с указанными в лемме 1 инвариантами отношения ≤ на потенциалах вычислимости конечных алгебр, вопрос сводится к интерпретации объектов вида hn, SubA, IsoAi, для n ∈ ω и n-элементных алгебр
A = hn; σi, и отношений, связанных с вложимостью между этими объектами в арифметике T h(hN : +, ·i. Очевидна возможность подобной интерпретации в натуральной
модели hN ∪ Pω (N ); ∈, +, ·i слабой арифметики второго порядка (здесь ∈ — теоретикомножественное отношение между элементами из Pω (N )uN ). В то же время, как хорошо
известно, элементарная теория T h(hN ∪Pω (N ); ∈, +, ·i) натуральной модели арифметики
интерпретируется в элементарной модели арифметики T h(hN ; +, ·i). Теорема доказана.
Список литературы
1. Пинус А. Г., Журков С. В. О шкалах потенциалов вычислимости универсальных
алгебр // Выч. системы. 2002. T. 169. C. 26–38.
2. Пинус А. Г. Шкала потенциалов вычислимости всех конечных алгебр // Сиб. мат.
журн. 2007. T. 48, № 3. C. 668–673.
3. Пинус А. Г. Условные термы и их применение в алгебре и теории вычислений //
Успехи мат. наук. 2001. T. 56, № 4. C. 35–72.
4. Пинус А. Г., Журков С. В. Шкалы потенциалов вычислимости конечных алгебр:
результаты и проблемы // Фунд. и прикл. мат. 2003. T. 9, № 3. C. 145–164.
5. Пинус А. Г. Исчисление условных тождеств и условно рациональная эквивалентность // Алгебра и логика. 1998. T. 37, № 4. C. 432–459.
6. Пинус А. Г., Журков С. В. Некоторые замечания о шкалах потенциалов вычислимости n-элементных алгебр // Алгебра и теория моделей 3. Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2001. C. 107–113.
7. Пинус А. Г. Автоморфизмы, формульные отношения и покрытия элементов шкалы
потенциалов вычислимости всех конечных алгебр // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 4.
С. 467–474.
Материал поступил в редколлегию 15.11.2008
Адрес автора
ПИНУС Александр Георгиевич
РОССИЯ, 630092, Новосибирск
пр. К. Маркса, 20
Новосибирский государственный
технический университет
e-mail: algebra@nstu.ru