Лекция 8 Аберрации в турбулентной атмосфере Содержание 1 Структурная функция фазы 1.1 Плоская волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Колмогоровская модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Радиус Фрида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 2 Корреляционная матрица для атмосферы 2.1 Коэффициенты Нолла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Учет внешнего масштаба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 3 Функции Карунена-Лоэва 3.1 Диагонализация матрицы корреляционных коэффицентов . . . . . . 3.2 Функции Карунена-Лоэва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 4 Задания по Лекции 8 6 5 Вопросы по Лекции 8 6 1 1.1 Структурная функция фазы Плоская волна Рассмотрим два параллельных луча, расстояние между которыми — ρ, распространяющихся вдоль оси z по трассе длиной L. Набеги фаз вдоль лучей: Рис. 1: Геометрия хода лучей при расчете структурной функции фазы ϕ(M1 ) = k ϕ(M2 ) = k 2 ∆ϕ = k h∆ϕ2 i = 2 RL 0 RL n1 (z)dz, n2 (z)dz, 0 RL RL 0 (1) [n1 (z ) − n2 (z )] [n1 (z ) − n2 (z )] dz dz , 0 0 00 00 0 00 0 k RL RL 2 [n1 (z 0 ) − n2 (z 0 )] [n1 (z 00 ) − n2 (z 00 )] dz 0 dz 00 . 0 0 Раскрывая скобки и производя усреднение, получим: ZL ZL h i p 2 2 2 2 Dn ( ξ + ρ ) − Dn (ξ) dz 0 dz 00 . ∆ϕ = Dϕ (ρ) = k 0 (2) 0 здесь ξ = z −z , Dn (ξ) — структурная функция показателя преломления, и учтено, что p ρ2 + |z 0 − z 00 |2 (3) hn1 (z 0 )n2 (z 00 )i = B 0 00 Рис. 2: Преобразование координат при расчете структурной функции Область интегрирования в (2) имеет вид: 0 00 η = z +z 2 ξ = z 0 − z 00 . (4) В переменных (ξ, η) формула (2) принимает вид: Dϕ (ρ) = k 2 ZL 0 dη ξZ2 (η) ξ1 (η) h i p 2 2 Dn ( ξ + ρ ) − Dn (ξ) dξ. А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8 (5) 2 При ξ → ∞ выражение в квадратных скобках (при разумных ограничениях на вид Dn (ξ) ) стремится к нулю, и если L >> ρ , пределы во внутреннем интеграле можно устремить к бесконечности. В результате получим: Z∞ h i p Dϕ (ρ) ≈ k L Dn ( ξ 2 + ρ2 ) − Dn (ξ) dξ. 2 (6) −∞ 1.2 Колмогоровская модель Из Колмогоровской модели турбулентности следует, что Dn (ξ) = Cn2 ξ 2/3 , (7) где Cn2 – структурная постоянная, определяющая силу турбулентности. Подставляя (7) в (6), получим: Dϕ (ρ) = k 2 LCn2 Z∞ −∞ или, полагая x = (ξ 2 + ρ2 )1/3 − ξ 2/3 dξ, (8) ξ ρ Dϕ (ρ) = k 2 LCn2 ρ5/3 Z∞ −∞ (1 + x2 )1/3 − x2/3 dx. (9) Последний интеграл не зависит от параметров задачи, а просто равен некоторому числу. Вычислив этот интеграл, для плоской волны получим: Dϕ (ρ) = 2.92k 2 LCn2 ρ5/3 . (10) По аналогии с этим выводом можно получить выражение для структурной функции сферической волны (задание студентам): 3 Dsph (ρ) = Dpl (ρ). (11) 8 Можно показать (задание для студентов), что если Cn2 не является постоянной величиной вдоль оси z, а меняется достаточно плавно, то вместо (10) получим: Dϕ (ρ) = 2.92k 2 ρ5/3 ZL Cn2 (z)dz. (12) 0 Формально, (10) остается в силе, если заменить Cn2 его средним значением: 1 C̄n2 = L ZL Cn2 (z)dz, 0 практически именно эта величина измеряется обычно при исследовании атмосферы. А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8 3 1.3 Радиус Фрида Формулу (10) часто используют в следующей форме: ρ Dϕ (ρ) = 6.88 r0 35 (13) . где r0 — т.н. Фридовский радиус (D. Fried), который учитывает параметры атмосферы и длину трассы: r0 ∼ = 1.68 k 2 LC̄n2 2 2.1 − 53 (14) . Корреляционная матрица аберрационных коэффициентов для атмосферы Коэффициенты Нолла Подставим выражение (10) для Dϕ (ρ) в формулы для элементов корреляционной матрицы коэффициентов Цернике. После замены переменных получим: 5/3 αik = γik D r0 (15) 5/3 α00 = σ 2 − γ00 D r0 Здесь D — диаметр апертуры, а γik — числовые коэффициенты, введенные Ноллом (R. Noll): Z γik = (r1 − r2 )5/3 ϕi (r1 )ϕk (r2 )d2 r1 d2 r2 . (16) Вот некоторые значения диагональных элементов: γ00 γ11 γ33 γ66 2.2 = 1.029 = γ22 = 0.449 = γ44 = γ55 = 0.023 = γ77 = γ88 = γ99 = 0.0062 Учет внешнего масштаба Величина σϕ2 , входящая только в выражение для α00 , в рамках Колмогоровской теории не может быть найдена. При учете внешнего масштаба турбулентности L0 : σϕ2 = 5/3 0.4Cn2 Lk 2 L0 ≈ L0 r0 5/3 . (17) С учетом внешнего масштаба элементы матрицы αik были вычислены Винкером (Winker) [3]. Для диагональных элементов справедливо выражение: αii = γii · D r0 5/3 А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8 wi (D/L0 ). (18) 4 Здесь считается, что параметр r0 сохраняет прежнюю величину (14), хотя и утрачивает прежний физический смысл радиуса корреляции фазовых возмущений. Функции wi (D/L0 ) для первых нескольких порядков приведены на рис. 3. 1.0 4, i=10,11.12.13.14 5, i=15,16,17,18,19,20 0.8 w i 0.6 0.4 1, i=1,2 2, i=3,4,5 3, i=6,7,8,9 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 D/L 0 Рис. 3: Функции wi (D/L0 ) для радиальных порядков n = 1, 2, 3, 4 3 3.1 Функции Карунена-Лоэва Диагонализация матрицы корреляционных коэффицентов Подбором системы функций {ϕi (r)} можно сделать матрицу корреляционных коэффицентов αik диагональной. Рассмотрим функции ϕi , удовлетворяющие интегральному уравнению: Z λi ϕi (r) = B(r, r0 )ϕi (r0 )d2 r0 . (19) Возьмем уравнение (19) для ϕi (r) и ϕk (r), умножим соответственно на ϕk (r) и ϕi (r), проинтегрируем по апертуре и вычтем одно из другого. В результате получим: Z (λi − λk ) ϕi (r0 )ϕk (r0 )d2 r0 = 0. (20) Таким образом, функции, удовлетворяющие (19), ортогональны, если λi 6= λk . Для равных собственных значений функции можно ортогонализировать. Такие функции называют ф-циями Карунена-Лоэва. 3.2 Функции Карунена-Лоэва Найдем αik : А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8 5 1 αik = 2 S Z Z λk B(r, r )ϕi (r)ϕk (r )d rd r = 2 S 0 0 2 2 0 Z ϕi ϕk d 2 r 0 = λk δik . S (21) т.е. αii = λi /S . Функции (19) удобны для теоретических исследований, однако они не имеют аналитического представления, поэтому чаще для практических применений все же используют функции Цернике. 4 Задания по Лекции 8 1. Получить выражение (11) для структурной функции сферической волны. 2. Вывести формулу (12). 5 Вопросы по Лекции 8 1. Специфика измерения Список литературы 1. Воронцов М.А., Шмальгаузен В. И. Принципы адаптивной оптики, М.: Наука, 1985, 288 с. 2. А.В. Токовинин. Учебное пособие по адаптивной оптике обсерватории Серро Тололо, http://www.astronet.ru/db/msg/1205112/intro.html 3. Winker D. M. // J. Opt. Soc. Am. A. 1991. 8. p.1568. А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8 6