3709 изучение законов сохранения при столкновении тел на

3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
Цель работы: изучение законов сохранения в механике на примере столкновения шаров
на плоскости; определение коэффициента восстановления скорости и средней силы
удара.
Основы теории
Законами сохранения в механике являются законы сохранения импульса, энергии и
момента импульса. При этом последний из перечисленных законов имеет смысл
рассматривать при вращательном движении. В данной работе изучается
поступательное движение тел. В этом случае остается рассмотреть применимость двух
первых законов.
Импульсом или количеством движения называется векторная величина, численно
равная произведению массы тела на его скорость: . Закон сохранения импульса
выполняется в замкнутой системе. Система тел называется замкнутой, если эти тела
взаимодействуют только между собой, т.е. сумма внешних сил, действующих на каждое
из этих тел, равна нулю. В этом случае можно записать закон сохранения импульса:
. (1)
В этом выражении - скорости тел в начальный момент времени, а - скорости тел в
любой другой момент времени.
1 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
Закон сохранения энергии - один из наиболее фундаментальных законов физики. Если
учитывать все виды энергии, то этот закон выполняется всегда. Однако при изучении
механики некоторые виды энергии выводят из рассмотрения, так как их невозможно
определить, используя только механические величины. Например, внутренняя энергия
тела зависит от его агрегатного состояния и его температуры, которая в механике не
рассматривается. Поэтому в механике часто применяют закон сохранения механической
энергии. Под механической энергией системы тел подразумевают сумму их
кинетических и потенциальных энергий.
Кинетической называется энергия движения тела. При движении с малой скоростью
кинетическая энергия определяется выражением:
. (2)
Если же скорость движения тела соизмерима со скоростью света (с), то кинетической
энергией называется разность между релятивистской энергией двигающейся массы и
энергией покоя тела (m 0 - масса покоя этого тела):
(2а)
При малой скорости выражение (2а) превращается в (2).
2 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
Потенциальной называется энергия, связанная со взаимодействием тел между собой и
зависящая от их взаимного расположения. Понятие потенциальной энергии связано с
понятием работы. Если при взаимодействии тел работа, совершаемая силами
взаимодействия этих тел, не зависит от траектории движения, а зависит только от
начального и конечного положения тел, то подобное взаимодействие можно
характеризовать потенциальной энергией. При этом такие силы называются
консервативными, а работа этих сил равна изменению потенциальной энергии.
Основными видами потенциальной энергии являются: энергия гравитационного
взаимодействия (энергия тяготения), энергия упругой деформации, энергия
кулоновского взаимодействия заряженных тел.
Если работа силы зависит от траектории движения, а не только от начального и
конечного положения, то такому взаимодействию нельзя поставить в соответствие
потенциальную энергию. Такие силы называются диссипативными (т.е. приводящими к
потери механической энергии). Их работа обычно переводит часть механической
энергии во внутреннюю энергию тел. Наиболее типичные примеры таких сил - это силы
трения.
Таким образом, механическая энергия замкнутой системы тел остается постоянной, если
в этой системе действуют только консервативные силы.
В данной работе изучаются законы сохранения при столкновении двух тел на плоскости.
При этом считается, что тела взаимодействуют только между собой, так что система
является замкнутой.
Ударом или соударением называется столкновение двух тел, при котором их
взаимодействие длится очень короткое время. Время взаимодействия можно считать
коротким, если за время соударения тела не успевают изменить своего положения в
пространстве. При этом потенциальная энергия взаимодействия с другими телами
(помимо сталкивающихся) не изменяется и кинетическая энергия сталкивающихся тел
полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации и
внутреннюю энергию тел.
3 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
Для замкнутой системы из двух тел закон сохранения импульса примет вид:
. (3)
здесь и - скорости тел до, а и - после удара , и - массы сталкивающихся тел.
Закон сохранения энергии в этом случае можно записать в виде:
, (4)
где - та часть первоначальной кинетической энергии сталкивающихся тел, которая при
ударе переходит в их внутреннюю энергию. Эта величина зависит от «упругости» удара.
Если удар является абсолютно упругим, то , и суммарная кинетическая энергия тел не
изменяется. Если удар является абсолютно неупругим, то упругой деформации не
возникает, в результате чего после столкновения тела двигаются с одной скоростью
(или покоятся). В этом случае максимально ( при заданных начальных данных) и
соотношения (3) и (4) можно записать в виде:
4 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
; (3а)
. (4а)
В этих формулах - общая скорость тел после столкновения.
В переходном случае (от абсолютно упругого до абсолютно неупругого ) удар
называется неупругим и потерю кинетической энергии можно определить по формуле
(4). В этом случае механическая энергия системы не сохраняется.
О степени «упругости» удара можно судить по так называемому коэффициенту
восстановления скорости:
(5)
При абсолютно упругом ударе К с =1, а при абсолютно неупругом - К с =0. На практике
коэффициент восстановления скорости зависит в основном от материала
сталкивающихся тел.
Для расчета силы, возникающей между сталкивающимися телами, нужно применить
основной закон динамики:
5 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
. (6)
При этом, однако, следует помнить, что во время удара сила меняется и изменение
импульса позволяет найти только среднее значение силы:
, (7)
где t - время ударного взаимодействия. Так как при столкновении двух тел в замкнутой
системе выполняется закон сохранения импульса, то можно записать:
. (7а)
В данной лабораторной работе моделируется столкновение двух гладких шаров, при
котором скорости тел до и после удара лежат в одной плоскости. При этом первый
(левый) шар первоначально двигается в направлении оси OX, а второй - под
произвольным, задаваемым при выполнении работы углом a (рис 1, а). После удара
скорости тел могут быть направлены произвольно (рис 1, б). При выполнении работы под
углом b понимается угол, под которым направлена скорость первого шара после удара
по отношению к оси OX, а под углом g - направление скорости второго шара после удара.
При выполнении работы все углы задаются или выводятся после столкновения в
6 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
градусах..
При использовании таких обозначений для нахождения силы взаимодействия между
шарами можно воспользоваться формулами
Рис. 1. Направление скоростей сталкивающихся шаров до (а) и после (б) удара в данной
лабораторной работе
для проекции силы на оси OX и OY:
, (8)
. (9)
Затем можно найти силу по теореме Пифагора: . Для нахождения коэффициента
восстановления скорости по формуле (4) следует найти величины:
7 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
,
.
При выполнении лабораторной работы задается значение прицельного параметра (b).
Прицельный параметр - это расстояние, на котором находится центр налетающего шара
в момент удара от линии, проходящей через центр второго шара, при этом линия через
центр второго шара проводится параллельно скорости налетающего шара (рис. 2). В
данной работе прицельный параметр задается в долях от радиуса, так что он может
принимать значения от 0 до 2. При задании прицельного параметра, равного 0,
получится центральный удар, а при приближении этого параметра к 2 - удар по
касательной. При выполнении лабораторной работы не следует задавать значение
прицельного параметра больше 2, так как при этом столкновения не произойдет.
Для проведения моделирования столкновения следует задать (или оставить принятые в
программе по умолчанию) следующие входные параметры: массы каждого из
сталкивающихся шаров (кг), их начальные скорости (м/с), прицельный параметр, угол
направления скорости второго шара по направлению к скорости первого (угол a на рис.
1, а). Выходными данными являются: скорости шаров после удара (м/с), углы, под
которыми направлены скорости шаров после удара (углы b и g на рис. 1, б), время
столкновения в миллисекундах.
При моделировании столкновения двух шаров, для приближения исследуемой ситуации
к реальной, заложены некоторые погрешности в задании начальных данных. Величины
разброса начальных данных могут определяться преподавателем. Вследствие этого
выходные данные, которые должны фиксироваться студентами, также будут иметь
некоторые отклонения от среднего. Поэтому при выполнении работы следует
произвести ряд модельных экспериментов при постоянных начальных данных и затем
усреднить полученные результаты и оценить погрешность проведенных измерений.
8 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
В работе предусмотрено моделирование ударов различной упругости - от абсолютно
упругого удара (получается при задании «резиновых» шаров) до абсолютно неупругого (
при задании «пластилиновых» шаров). В случае выбора других материалов удар будет
неупругим, но не абсолютно.
Чтобы получить допуск к выполнению лабораторной работы, студентам нужно ответить
на пять вопросов, которые случайным образом задаются программой. Если количество
правильных ответов будет меньше четырех, то допуск не будет получен.
Порядок выполнения работы
Задание 1
1. Задайте следующие начальные данные: скорость первого шара 1 м/c; второго шара 0
м/c; прицельный параметр 0; масса первого шара 1 кг. Материал - резина.
2. Задайте массу второго шара равной 0.1 кг, проведите опыт пять раз и найдите
среднюю скорость второго шара.
3. Повторите пункт 2 для массы второго шара, равной 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.75, 1, 1.2, 1.5,
1.7, 2, 3, 4, 5, 6 и 10 кг.
4. Постройте график зависимости скорости второго шара от его массы.
5. Повторите пункты 1-4 для других материалов.
6. Объясните полученные результаты.
9 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
Задание 2.
1. Задайте следующие начальные данные: скорость первого шара 1 м/c; прицельный
параметр 0; масса первого шара 1 кг; масса второго шара 1 кг . Материал - резина.
2. Задайте скорость второго шара 0 м/c. Проведите опыт пять раз и найдите среднюю
скорость первого и второго шара после удара, вычислите среднюю силу взаимодействия
шаров используя время столкновения и формулы (8) и (9) и коэффициент
восстановления скорости. Под каким углом друг к другу направлены скорости шаров
после столкновения?
3. Изменяя скорость второго шара до 2 м/с через 0.2 м/с, повторите пункт 2.
4. Повторите пункты 1-3 для других материалов. Рассчитайте, какое количество
энергии перешло во внутреннюю во время столкновения.
5. Проверьте, выполнялись ли законы сохранения импульса и энергии.
6. Объясните полученные результаты.
Задание 3
1. Задайте следующие начальные данные: скорость первого шара 1 м/c; скорость
второго шара 0 м/c; масса первого шара 1 кг; масса второго шара 1 кг. Материал резина.
10 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
2. Изменяя прицельный параметр от 0 до 1.9, проведите опыт пять раз и найдите
среднюю скорость первого и второго шара после удара, вычислите среднюю силу
взаимодействия шаров используя время столкновения и формулы (8) и (9) и
коэффициент восстановления скорости.
3. Повторите пункты 1,2 для других материалов. Рассчитайте, какое количество энергии
перешло во внутреннюю во время столкновения.
4. Постройте графики зависимости угла отклонения первого шара (угол b) от
прицельного параметра.
5. Проверьте, выполнялись ли законы сохранения импульса и энергии.
6. Объясните полученные результаты.
Контрольные вопросы
1. Какое взаимодействие тел называется ударом?
2. Какой удар называется абсолютно упругим? Абсолютно неупругим?
3. Сформулируйте закон сохранения импульса. При каких условиях он выполняется?
4. Что называется потенциальной энергией? Что такое кинетическая энергия?
11 / 12
3709 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
5. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. При каких условиях он
выполняется?
6. Что такое коэффициент восстановления скорости?
7. Какие силы называются консервативными? Какие силы называются диссипативными?
12 / 12