РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА Колдаев М.В., Карпенко Г.А. Учебно-методическое пособие для проведения лабораторных работ по физике. Электромагнетизм и волны. Одобрено учебно-методической комиссией факультета разработки нефтяных и газовых месторождений и кафедрой физики. Москва 2014 Лабораторная работа № 208 Определение удельного заряда электрона методом магнетрона. 1.Цель работы. Изучение движения заряда в электромагнитном поле и определение удельного заряда электрона по сбросовым характеристикам магнетрона. 2. Теоретическое введение. Электрон является одной из самых легких элементарных частиц. Масса электрона составляет (9,1085±0,0006)·10-31 кг. Заряд электрона является отрицательным и совпадает по модулю с элементарным qe e . Все другие электрические заряды являются кратными по модулю элементарному заряду e 1,6022 1019 Кл . Электрон был открыт при изучении катодных лучей в вакуумных трубках в 1895 г., а его заряд был определен в 1911 г. Отношение e/m заряда электрона e к его массе m называется удельным зарядом электрона. Определив значение удельного заряда и величину заряда, можно рассчитать массу частиц. При движении электрона в электромагнитном поле, описываемом векторами напряженности электрического поля E и индукцией магнитного поля B , на него действуют электрическая сила и магнитная (сила Лоренца). F Fэ Fл (1) Fэ qe E (2) (3) Fл qe υ B Уравнение движение электрона имеет вид: d 2 r qe (4) E υ B , dt 2 m dr где r - радиус-вектор электрона, υ - его скорость. dt Из уравнения (4) следует, что для частиц, имеющих одинаковый удельный заряд, кинематика совпадает. Другими словами, изучая движение заряженной частицы в электрическом и магнитном полях, нельзя определить заряд и массу, а только их отношение. В лабораторной работе исследуется движение электрона в электрическом и магнитном полях. Электрическое поле создается цилиндрическим конденсатором. Вектор напряженности поля расположен в плоскости, перпендикулярной оси конденсатора, направлен по радиусу и по модулю равен 1 U (5) E r a , r ln ra rк где U a – разность потенциалов между положительно заряженной обкладкой конденсатора (анодом) и отрицательно заряженной (катодом), ra и rк – радиусы анода и катода, r – расстояние от оси. Если электрон начинает движение с нулевой скоростью от катода, то его траектория совпадает с силовой линией, и по достижении анода электрон приобретает кинетическую энергию: mυ2 (6) eU a 2 Магнитное поле создается соленоидом. Внутри бесконечного соленоида поле однородно, направлено по оси соленоида и равно (7) B μ 0nI c , N где μ 0 – магнитная постоянная ( μ 0 4 107 Гн м ), n – число витков l соленоида, приходящееся на единицу его длины, I с - ток в соленоиде. На заряженную частицу в магнитном поле действует сила Лоренца (3). Направление силы Лоренца (рис.1) задается векторным произведением векторов υ и B , то есть сила Лоренца всегда перпендикулярна индукции магнитного поля и скорости частицы, поэтому эта сила работы не совершает, т.е. не изменяет энергию и модуль скорости частицы. Сила Лоренца изменяет только Рисунок 1. направление скорости частицы и, соответственно, траекторию ее движения. В случае, когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле со скоростью, перпендикулярной вектору B , сила Лоренца, равная Fл eυB , сообщает частице постоянное нормальное ускорение, и ее траекторией является окружность, расположенная в плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля. Уравнение движения частицы имеет вид υ2 m eυB , (8) R где R – радиус окружности, откуда R mυ . eB (9) Период вращения равен T 2πR 2πm υ eB (10) Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле со скоростью υ , направленной вдоль линий магнитной индукции, угол между векторами υ и B равен 0 или . В этом случае сила Лоренца равна нулю, т.е. магнитное поле на частицу не действует, и она движется равномерно и прямолинейно. Если скорость υ частицы направлена под углом к вектору B , то траекторией ее движения является винтовая линия, ось которой совпадает с направлением B (рис. 2). Проекция скорости υ на направление магнитного поля υ x υcosα определяет шаг винтовой линии h υ xT , а составляющая скорости υ в перпендикулярной полю B плоскости, равная υsin α , определяет радиус R винтовой линии. y α х R h Рисунок 2. При коаксиальном расположении цилиндрического конденсатора и соленоида движение частиц происходит в скрещенных электромагнитных полях ( E B ). 3. Экспериментальная часть. 3.1. Методика проведения эксперимента. Удельный заряд электрона можно определить, рассматривая движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях магнетрона. Магнетроном называется двухэлектродная вакуумная лампа (диод) с коаксиальными цилиндрическими катодом и анодом, помещенная в магнитное поле коаксиального с электродами соленоида (рис.3). Рисунок 3. Отрицательно заряженный катод и положительно заряженный анод образуют цилиндрический конденсатор, в поле которого движутся электроны, испускаемые нагретым катодом вследствие термоэлектронной миссии. Поскольку энергия теплового движения электронов, по порядку величины равная ε kT , что для T 1000K составляет ε 0,1эВ 1, много меньше энергии, до которой электроны разгоняются электрическим полем eU 102 эВ , можно считать, что электроны покидают катод с нулевой скоростью. В отсутствие магнитного поля (т.е. когда ток в соленоиде равен нулю) электроны под действием электрического поля движутся прямолинейно от катода к аноду по направлению действия силы электрического поля Fэ eE , т.е. по радиусам (рис. 4(а)). Соответственно, в анодной цепи возникает ток, величина которого определяется температурой катода (количеством испускаемых электронов) и значением анодного напряжения. При включении магнитного поля на электрон действует сила Лоренца. υ движения электрона лежит в плоскости, Вектор скорости перпендикулярной оси магнетрона, а вектор индукции магнитного поля B направлен вдоль оси, т.е. векторы υ и B являются взаимно перпендикулярными, а величина силы Лоренца равна Fл eυB . (11) Под действием магнитного поля траектория движения электронов становится не прямой, как в случае приложения только электрического поля, а криволинейной. При слабых магнитных полях, несмотря на искривление траектории, все электроны, вылетевшие из катода, попадают на анод (Рис. 4, случай (b)). Поэтому при небольшой величине магнитного поля, в анодной цепи будет протекать практически такой же ток Ia, как и в отсутствие магнитного поля. (a) B=0 (b) B<Bкр (с) В=Bкр (d) B>Bкр Рисунок 4. Рисунок 4. 1 1эВ – энергия, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов в 1В, 1эВ 1,6 1019 Дж . При увеличении магнитного поля (при увеличении тока, протекающего по соленоиду Ic), траектории движения электронов будут все больше искривляться. При некотором значении Bкр (при силе тока в соленоиде Icкр), называемом критическим магнитным полем, электроны будут перемещаться по дуге вблизи анода без попадания на него и возвращаться на катод (рис. 4, случай (с)). В результате, при В=Вкр анодный ток должен снизиться до нуля. При дальнейшем росте Ic и увеличении B, траектории электронов будут все больше искривляться (рис. 4, случай (d)) и последние не будут долетать до анода, т.е, анодный ток будет оставаться равным 0. Рисунок 5. Зависимость анодного тока Ia от величины индукции магнитного поля B при постоянном напряжении анода и постоянном токе накала катода называется сбросовой характеристикой магнетрона. На рисунке 5 показаны сбросовые характеристики магнетрона для различных значений анодного напряжения Ua. Сбросовая характеристика магнетрона не является резкой ступенькой, а имеет область размытости по ряду причин: тепловое распределение по скоростям эмитированных электронов, нарушение коаксиальности катода, анода и соленоида, неоднородность магнитного поля в пределах магнетрона, краевые эффекты (конечность длины электродов и соленоида). Оценим критическое поле Вкр. В случае, когда радиус катода много меньше радиуса анода rк << ra из формулы (5) следует, что напряженность поля E , максимальная у катода, с увеличением r быстро уменьшается. Поэтому основное изменение скорости электрона происходит вблизи катода, и при дальнейшем движении скорость будет изменяться незначительно. Это означает, что при приложении критического магнитного поля электрон перемещается по траектории, близкой к окружности, радиус которой равен r половине радиуса цилиндрического анода ra (рис. 4(с)) rкр a . Подставляя 2 в уравнение движения eυB eE m 2 (12) rкр выражения для скорости электрона и напряженности электростатического r поля вблизи анода (считая ln a 1 ) rк mυ2 U eU a , E a 2 ra Получаем для критического поля 5U a 2eU a , Bкр rкр m или e 25U a . m 2 Bкр2 rа2 (13) (14) Интегрируя уравнения движения можно более точно найти критическое поле Вкр из условия, что траектория электрона в момент достижения им анода является касательной к поверхности анода (рис.4(с)). Это означает, что момент импульса электрона в этот момент времени равен La (15) La mra υ , где υ - скорость, до которой электрон разгоняется электрическим полем (6). Изменение момента импульса электрона описывается уравнением dL r F e r υ B e r E dt (16) Последнее слагаемое равно нулю, т.к. E направлено по r . По известной формуле векторной алгебры a bc b ac c ab получим dL e υ r B eB r υ dt (17) Первое слагаемое в правой части (17) равно нулю, т.к. поле B перпендикулярно r . Интегрируя (17) по времени от момента вылета электрона из катода и до достижения анода, имеем, считая начальную скорость электрона нулевой ra dr r2 ra2 rк2 . L eB r dt eB d eB dt 2 2 0 rc T (18) С учетом (15) и (6) получаем уравнение mra e ra2 rк2 2U а eBкр , m 2 определяющее критическое значение магнитного поля Вкр. Измеряя Вкр, можно из (19) определить удельный заряд электрона (19) e 8U а ra2 . m B 2 r 2 r 2 2 a к кр Для тонкого (нитевидного) катода выражение (20) упрощается e 8U а . m Bкр2 ra2 (20) (21) В данной работе для создания магнитного поля применяется соленоид, диаметр витков которого значительно меньше его длины. Это позволяет считать его бесконечно длинным и использовать формулу (7). Тогда величина критического магнитного поля будет равна (22) Bкр μ 0nI скр . Подставляя выражение (22) в (21), получим e 8U a . m μ 2 n 2 I кр 2 r 2 0 c a Величины n, rа – являются постоянными для экспериментальной установки. Поэтому можно ввести обозначение k (23) 8 , μ n 2 ra2 данной (24) 2 0 с учетом которого выражение (23) примет вид e Ua . k кр 2 m I (25) c Соотношение (25) можно переписать как, e Ic . (26) Ua m k Эта зависимость Ua от Icкр называется параболой критического режима магнетрона. Критическое значение магнитного поля является некоторой функцией от анодного напряжения: Bкр f U a , причем с увеличением анодного напряжения Ua увеличивается значение Bкр. Для нахождения этой величины нужно построить график зависимости производной анодного тока по току соленоида dI a dI c от тока соленоида I c . Для этого на графике зависимости анодного тока от тока соленоида (рис.7) горизонтальную ось разбивают на кр 2 Рисунок 8. Рисунок 7. мелкие равные отрезки I c - приращения тока соленоида. Из концов этих отрезков восстанавливают перпендикуляры к оси I c до пересечения с экспериментальной кривой. Затем из получившихся точек на кривой восстанавливают перпендикуляры на ось анодных токов I a . Получившийся на оси анодных токов отрезок I a и есть искомое приращение анодного тока, соответствующее приращению тока соленоида. Для вычисления производной анодного тока по току соленоида теперь достаточно разделить I a на I c . По полученным значениям dI a dI c строится график производной, подобный изображённому на рисунке 8. Такая операция называется графическим дифференцированием. Максимум построенной функции соответствует критической силе тока в соленоиде. 3.2. Краткое описание экспериментальной установки и оборудование. Лабораторная работа проводится на установке ФКЛ-14. Принципиальная электрическая схема установки приведена на рисунке 9. Рисунок 9. Установка содержит три цепи: цепь накала лампы 1, анодная цепь 2 и цепь соленоида 3. Анодная цепь, предназначенная для создания электрического поля, включает: 1. Источник электрического питания диода Ua . 2. Вольтметр V для измерения анодного напряжения Ua . 3.Миллиамперметр mA для измерения анодного тока. Радиус анода магнетрона ra=7мм. Цепь соленоида, предназначенная для создания магнитного поля, включает: 1. Источник питания. 2. Соленоид L (длина соленоида l=160мм, диаметр соленоида D=50мм, количество витков N=1000). 3. Амперметр А, измеряющий ток в соленоиде. 4. Реостат R, с помощью которого изменяется сила тока в соленоиде. В установке используются приборы, имеющие следующие характеристики. Миллиамперметр для измерения анодного тока Ia, рассчитанный на измерение тока в пределах от 0 до 2,6 мА. Приборная погрешность анодного тока ∆Ia =0,02 мА. Приборная погрешность измерения анодного напряжения не превышает ∆Ua =2В. Амперметр для измерения тока соленоида Ic, рассчитанный на измерение тока в пределах от 0 до 2 А. Приборная погрешность измерения тока соленоида не превышает ±0,02 А. 3.3. Порядок выполнения работы. Опыт проводится для трех значений анодного напряжения Ua1=80В,100В, 120В. Измерения проводятся в следующем порядке: 1.С помощью кнопка сеть включить установку и в течение 5 минут прогреть диод. 2. Установить на диоде первое значение анодного напряжения Ua1=80В. 3. Установить минимальное значение тока соленоида ( I c 0 ). Занести в таблицу 1.1. значение Ic и соответствующее значение анодного тока Ia. Таблица 1.1. Ua1=80В Ic, A Ia1, mA 4. Меняя ток соленоида Ic с шагом 0,2А , измерять анодный ток Ia до тех пор пока он не начнет уменьшаться. Продолжить измерения с шагом 0,1А (или 0,05А) до достижения минимально возможного значения анодного тока Ia. 5. Изменить анодное напряжение. Повторить пп. 3-5, записывая результаты в таблицы 1.2.,1.3.. Таблица 1.2. Ua2=100В Ic, A Ia2, mA Таблица 1.3. Ua3=120В Ic, A Ia3, mA 4. Обработка результатов измерений. 1. Для каждого значения анодного напряжения Ua построить кривую зависимости I a f I c (сбросовую характеристику магнетрона, рис.7). 2. Построить график зависимости производной анодного тока по току соленоида dI a dI c от тока соленоида I c . Для этого проведите графическое дифференцирование зависимости I a f I c на сбросовом участке кривой (∆Ic, - шаг измерений). Результаты запишите в таблицу 2. По максимуму построенной функции определите критический ток I скр в соленоиде. Таблица 2. Ic, A ∆Ic, A ∆Ia, A I a I c 3. По формуле (22) рассчитать значение постоянной k с учетом данных (n, ra). 4. По формуле (23), для каждой пары значений Icкр и Ua (Ia) рассчитать удельный заряд электрона (всего получается три значения e/m). 5. Для каждого из полученных значений удельного заряда рассчитать погрешность, обусловленную измерительными приборами по формуле 2 2 кр е e U а I с (25) кр , m m U I а c где U a - погрешность измерения анодного напряжения, I скр - погрешность измерения критического тока соленоида, U a - значение анодного напряжения, I cкр - значение критического тока соленоида. 7. Рассчитайте среднее значение удельного заряда e . Общий результат m запишите в виде: e e е (26) , m m m 8. Сравните полученное значение с табличными данными. 5. Контрольные вопросы. 1. Что называется удельным зарядом электрона? 2. Как устроен магнетрон? 3. Объясните влияние магнитного поля на движение заряда (сила Лоренца). 4. В чем заключается суть метода определения удельного заряда e/m методом магнетрона? 5. Что такое критическое магнитное поле? 6.Нарисуйте и объясните вид траекторий движения электрона при В=0, В<Вкр, В=Вкр, В>Вкр. 7. Выведите формулу для определения удельного заряда электрона. 8. Определите направление магнитного поля в соленоиде, если известно направление тока в соленоиде. 9. Определите направление напряженности E электрического поля диода с цилиндрическим анодом. 10. Определите направление силы Лоренца, которая действует на положительный заряд q, который двигается близ прямолинейного проводника с током параллельно к проводнику? 11. Почему экспериментальная сбросовая характеристика отличается от теоретической? 6. Литература. Савельев, И.В. Курс общей физики, т.2.- М.: Наука, Любой год издания. Детлаф А.А., Яворский В.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2002. Трофимова, Т.И. Курс физики. Т.И. Трофимова.- М.: Высшая школа, 2003. Грибов, Л.А. Основы физики / Л.А. Грибов, Н.И. Прокофьева.- М.: Градарика, 1998. 5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. М Физматлит, 2002г. 1. 2. 3. 4.