Учебное пособие по физике для учащихся 7

Федеральное агентство по образованию
Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
С. Н. Борисов
Учебное пособие
по физике
для учащихся 7-го класса
Москва 2009
УДК 53(075)
ББК 22.3я7
Б82
Борисов С.Н. Учебное пособие по физике для учащихся 7-го класса. – М.: МИФИ, 2009. – 100 с.
В настоящем пособии представлено шесть тем, которые изучаются в
курсе физики 7-го класса. По каждой теме представлен необходимый
теоретический материал, рассмотрены примеры решения задач. Задачи
для самостоятельного решения, которые приведены в конце каждой темы,
сгруппированы по трем уровням сложности. Задачи второй и третьей
группы сложности могут быть использованы при проведении физических
олимпиад.
Пособие предназначено для учащихся 7-го класса вечернего физикоматематического лицея при МИФИ, а также для учителей, преподающих
в этом лицее. Оно может быть полезно и для учащихся старших классов,
желающих глубже изучать физику.
Рецензент канд. физ.-мат.наук, доц. Е. Е. Городничев
© Национальный исследовательский ядерный
университет «МИФИ», 2009
ISBN 978-5-7262-1104-6
Предисловие
Пособие предназначено для учеников 7-го класса, начинающих углубленное изучение физики в физико-математическом лицее. Будем надеяться, что вы – это как раз те ученики, которые не желают ограничиваться
знаниями по математике и физике, получаемыми на уроках в своей «родной» школе. Наша задача – помочь вам расширить и углубить эти знания,
сделать так, чтобы вы ощущали себя сейчас и особенно в дальнейшем
полноценными и успешными участниками научно-технического прогресса.
Практически вы, как и любой современный семиклассник, уже много
всего знаете и много умеете, вы постоянно находитесь в информационном
поле: Интернет – телевизор, телевизор – Интернет… Как правило, легко
можете пользоваться разными услугами Интернета, загрузить «игрушку»
на компьютер и т.д. Короче говоря, уже обладаете определенным (а иногда и очень большим) набором пользовательских умений и навыков. Однако мало кто из вас задумывается, каким образом появляются эти игры и
различные изображения на мониторе и на экране телевизора.
Пытались ли вы самостоятельно что-нибудь создать, сконструировать, предварительно рассчитав параметры вашего изделия, например,
обычной рогатки? Автор уверен, что подавляющее большинство из вас
ответят отрицательно. И это абсолютно нормально – ведь вы только начинаете постигать физические законы, которыми объясняются самые разнообразные явления окружающей нас природы.
Физика – наука, которую создало человечество, чтобы попытаться
объяснить различные окружающие нас явления. Да, физикам уже давно
понятно, почему небо имеет днем голубой цвет. А вот как образовалась
наша Вселенная – еще окончательного ответа нет. Может быть, кто-то из
вас окажется на передовом крае современной науки, и ответит на многие
пока нерешенные вопросы. Но это все в будущем, а пока вам предстоит
овладевать самыми основами физики. Для этого вам предстоит решать
3
задачи, овладевать математическим аппаратом, пока, конечно, достаточно
простым.
Да, физика в своей основе является наукой экспериментальной. Но в
настоящее время физические эксперименты стали настолько сложны, что
без надежных теоретических знаний в этой области человеческих знаний
обойтись невозможно. А если оперировать более «приземленными» понятиями, то так сложилось, что на дополнительных занятиях не предусмотрено пока проведение опытов. Зато вы будете решать физические задачи
повышенной сложности – такие, которые, как правило, в обычной школе
не рассматриваются.
Цель, которую ставят перед собой автор настоящего пособия и преподаватели лицея – научить понимать логику решения физических задач,
правильно их математически оформлять, анализировать полученные ответы и многое другое.
В пособии рассматриваются 6 тем в соответствии со стандартной программой по физике для 7-го класса. Однако в отличие от школьного учебника, автор не включил в пособие разделы по потенциальной и кинетической энергии, а также по превращению одного вида энергии в другой. Автор посчитал, что корректное объяснение этих физических разделов для
учеников 7-го класса затруднительно (может быть, он и не очень прав).
Каждая тема структурно выглядит следующим образом. Сначала
приводятся краткие теоретические сведения по данному разделу физики.
Возникает вопрос: почему краткие сведения и зачем тогда они нужны?
Во-первых, у автора есть твердое убеждение, что никакое, даже самое
хорошее пособие не заменит учебник. Учебник надо обязательно внимательно изучать: там приводятся описания опытов, даются разного рода
исторические справки – что очень познавательно и интересно. А, вовторых, повторить необходимые определения и формулы всегда полезно.
Затем приведены примеры решения задач по данной теме. Как правило, разбираются задачи повышенного уровня сложности. Здесь преследуется цель показать, как применить на практике физические законы. Здесь
автор не сосредоточивал усилия на том, как надо оформлять решение задач – этому вас должны научить учителя физики. Главное – научиться
правильным подходам к выявлению физической сущности рассматриваемых явлений. Также крайне важно научиться той математике (пока очень
и очень ограниченной!), которая используется при решении данной физической задачи. Именно поэтому автор так много внимания уделяет так
называемому «решению задач в буквах», в котором формируется специфическая культура физиков.
4
Далее предлагаются задачи для решения на уроках и для самостоятельного решения. Какие и где будут решаться – выберет преподаватель.
Этих задач достаточно много, и они разбиты на три уровня сложности.
Уровень А практически соответствует сложности задач, которые вы решаете в обычной школе. Здесь вы не найдете слишком оригинальных задач. Уровню В соответствует более сложные задачи. Практически все они
оригинальные «авторские». Чтобы их решить, надо овладеть определенной техникой решения задач и обладать хорошими математическими навыками. Задачи группы С соответствуют так называемому «олимпиадному» уровню сложности. Для их решения зачастую требуется не только
уверенная физическая (не в смысле ваших мускулов, хотя это тоже важно)
и математическая подготовка, но и определенная смекалка.
Следует отметить, что все задачи из групп В и С прошли «боевое
крещение». Причем решали ваши старшие товарищи, когда сдавали экзамен по физике при поступлении в 8 класс физико-математического лицея
при МИФИ по дневной форме обучения. Этот экзамен проводится уже
больше 10 лет и стандартно включает в себя 7 задач, из которых от трех
до пяти соответствуют указанным выше уровням сложности. Так вот, были ученики и ученицы, которые абсолютно правильно решали все предложенные им задачи. Абсолютно искренне желаю и вам таких же успехов!
Автор с благодарностью рассмотрит все замечания и предложения,
которые будут высказаны по поводу настоящего пособия.
5
Тема 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕЛА.
ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Теоретические сведения
Физика – наука, изучающая основные законы природы. Эти законы природы также называют фундаментальными. Установив
фундаментальные законы природы, человек использует их в процессе своей жизнедеятельности:
Природа
Физика
Техника
Любой физический закон устанавливает причинную взаимосвязь между различными физическими величинами и их изменениями. Физической величиной называют характеристику материальных тел, систем тел, а также физических процессов, которую
можно выразить количественно в соответствующих единицах.
Обычно все физические величины измеряются в Международной системе единиц, имеющей сокращенное название СИ – система
интернациональная. Такая система единиц была построена в 1960–
1983 годах. Она основана на семи основных и двух дополнительных единицах. Мы будем использовать пока только три из них.
Они приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Физическая величина
Единица
Обозначение
Длина
метр
м
Масса
килограмм
кг
Время
секунда
с
Еще в 1790 г. была создана комиссия их лучших физиков и математиков того времени, которая выбрала в качестве единицы длины метр, а единицы времени – секунду.
6
Метр определялся как одна десятимиллионная часть четверти
земного меридиана. Секунда определялась как 1/86400 часть средних солнечных суток. В настоящее время метр и секунда определяются иначе – более сложно, но зато и более точно. Об этом вы
узнаете в старших классах.
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма, который хранится в Международной палате мер и весов во
Франции в г. Севре.
Чтобы было удобнее измерять «большие» физические величины, используют кратные единицы, которые в 10, 100, 1000 и т.д.
раз больше основных единиц измерения. Напротив, чтобы измерять
«маленькие» физические величины, используют дольные единицы,
которые в 10, 100, 1000 и т.д. раз меньше основных единиц измерения. Для обозначения кратных и дольных единиц используют специальные приставки, некоторые из которых приведены в таблицах
1.2 и 1.3.
Таблица 1.2
Кратные единицы
Приставка
Наименование
Обозначение
гига
Г
мега
М
кило
к
гекто
г
дека
да
Множитель
109
106
1000 или 103
100 или 102
10
или 101
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Таблица 1.3
Дольные единицы
Приставка
Наименование
Обозначение
нано
н
микро
мк
милли
м
санти
с
деци
д
Множитель
10─9
10─6
0,001 или 10─3
0,01 или 10─2
0,1 или 10─1
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
7
Зачастую на практике (в повседневной жизни), кроме метра, секунды и килограмма, применяются и другие единицы измерения. Их
обычно называют внесистемными. Некоторые внесистемные единицы, которые затем будут использоваться, приведены в таблице 1.4.
Таблица 1.4
Величина
Время
Масса
Объем
Давление
Единица (ее обозначение)
минута (мин)
час (ч)
сутки (сут)
тонна (т)
литр (л)
миллиметр ртутного столба
(мм рт. ст.)
физическая атмосфера (атм)
Содержит единиц СИ
60 с
3600 с = 3,6⋅103 с
86400 с = 8,64⋅104 с
1000 кг = 1·103 кг
0,001 м3 = 1·10─3 м3
133 Па
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
1,01⋅105 Па
P
P
Примеры использования кратных и дольных единиц:
1) длина 1 км = 1000 м = 1·103 м = 10000 см = 1·105 см = 1·106 мм;
2) время 1 мс = 0,001 с = 1·10-3 с ;
3) длина 4 нм = 0,000000004 м = 4·10-9 м.
Как видите, писать много нулей неудобно. Лучше использовать
для записи больших и малых чисел степень десяти, как это было
показано в примерах. Это непривычно для учеников 7 класса, но
такую запись надо обязательно освоить – потом будет проще.
Примеры использования внесистемных единиц:
1) масса 5 т = 5·1000 кг = 5000 кг или масса 5 т = 5·103 кг;
2) объем 20 л = 20·0,001 м3 = 0,02 м3 или 20 л = 20·10-3 м3 =
= 2·10-2 м3;
3) время 2 ч = 2·3600 с = 7200 с
или 2 ч = 2·3,6·103 с =
= 7,2·103 с.
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Примеры решения задач
Задача 1.1. Лист плотной бумаги в форме квадрата со стороной 1 м разрезали на 100 одинаковых маленьких квадратиков. Ка8
кова площадь и сторона одного квадратика? Сколько времени потребуется для укладки всех квадратиков в ряд вплотную друг к
другу, если на укладку двух квадратиков уходит 5 с?
Решение. Площадь листа бумаги равна 1 м × 1 м = 1 м2. Пло1 м2
щадь одного квадратика будет равна
= 0,01 м2 = 1·10-2 м2. Сто100
рона одного квадратика будет равна 0,1 м.
Для нахождения времени укладки квадратиков используем
пропорцию:
2 квадратика – 5 с
100 квадратиков – х с
Используя основное свойство пропорции, найдем искомое время:
100 ⋅ 5 c
x=
= 250 c.
2
Ответ: 1·10-2 м2; 250 с.
Задача 1.2. На поверхности воды разлилась нефть объемом V =
= 1 м3. Какую площадь займет нефтяное пятно, если толщина слоя
нефти h = 2,5·10-5 мм?
Решение. Нефтяное пятно представляет собой цилиндр с площадью основания S и высотой h – толщиной слоя нефти. Объем
цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
V
V = Sh . Отсюда площадь пятна S = . Для получения числового
h
ответа выразим теперь толщину слоя в СИ:
2,5·10-5 мм = 2,5·10-5 ·10-3 м = 2,5·10-5-3 м = 2,5·10-8 м.
Теперь можно рассчитать площадь пятна:
1 м3
1
1
S=
=
⋅ − 8 м 2 = 0,4 ⋅ 108 м 2 = 4 ⋅ 107 м 2 .
−8
2,5 ⋅ 10 м 2,5 10
Мы получили ответ в СИ. Но это число не слишком удобно
употреблять в обыденной жизни. Представьте себе, что диктор телевидения, говоря об экологической катастрофе, зачитает, что разлилось нефтяное пятно площадью «четыре умножить на десять в
седьмой степени квадратных метров». Сколько процентов населеP
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
9
ния поймет эту фразу? А в чем же лучше выразить полученную
площадь? Попробуем в квадратных километрах:
1 км2 = 1·103 м × 1·103 м = 1·103+3 м2 = 1·106 м2.
Для того чтобы выразить найденную нами площадь пятна в
квадратных километрах, необходимо 4·107 разделить на 1·106:
4 ⋅107
S=
км 2 = 4 ⋅107-6 км 2 = 4 ⋅101 км 2 = 40 км 2 .
1 ⋅106
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
V
= 4 ⋅107 м 2 = 40 км 2 .
h
Ответ: S =
Задачи к теме 1
Уровень А
1.1. Вода в кастрюле закипела через 4,5 мин после включения плиты.
Выразите это время в секундах и часах.
1.2. Масса мальчика равна 52 кг. Выразите массу мальчика в граммах,
миллиграммах и тоннах (правда, смешно?).
1.3. Муравей прополз расстояние 46 см. Выразите это расстояние в
метрах, километрах, миллиметрах и нанометрах.
1.4. Завтрак длился 0,15 ч. Выразите длительность завтрака в минутах
и секундах.
1.5. Стороны прямоугольника равны a = 20 см и b = 1 м. Определите
площадь прямоугольника. Ответ запишите в м2 и см2.
1.6. Площадь прямоугольника S = 80 см2. Одна сторона прямоугольника равна a = 0,04 м. Найдите другую сторону прямоугольника. Ответ
запишите в СИ.
1.7. По известной площади квадрата S = 81 мм2 определите его сторону. Ответ запишите в СИ.
1.8. Длина ребра куба равна 4 см. Определите объем этого куба. Ответ запишите в м3 и см3.
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Уровень В
1.9. Представьте результаты измерений физических величин в единицах СИ. При необходимости (если получается много нулей в записи) пе10
репишите результат в виде степени с основанием 10, как это было показано выше в примерах: а) радиус Земли 6400 км; б) масса груженого автомобиля с прицепом 8 т; в) радиус атома водорода 0,051 нм; г) масса пылинки 0,05 мкг; д) масса мальчика 60000 г; е) дорога от школы до дома
занимает 18 мин.
1.10. Диаметр некоторой молекулы равен 2·10-7 см. Сколько таких
молекул нужно «уложить» в ряд, чтобы длина полученной цепочки была
равна 1 мм?
1.11. Площадь квадрата равна S = 25·102 см2. Чему равна сторона
квадрата? Ответ запишите в СИ.
1.12. Куб имеет объем V = 8·103 мм3. Чему равна длина ребра куба?
Ответ запишите в СИ.
1.13. Площадь основания цилиндрического сосуда S = 20 см2, а его
высота H = 0,3 м. Определите объем сосуда. Ответ запишите в м3 и см3.
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Уровень С
1.14. Имелся квадрат площадью S = 100 см2. Сторону этого квадрата
уменьшили в 2 раза – получился новый квадрат. Чему равны его площадь
и сторона? Ответ запишите в СИ.
1.15. Цилиндрический сосуд имеет объем V = 9·103 см3. Высота сосуда H = 0,45 м. Определите площадь основания сосуда. Ответ запишите в
м2 и см2.
1.16. Из куба объемом V = 100 см3 сделали сто тысяч маленьких кубиков. Каким получился объем кубика? Какой длины ряд (в метрах) можно сложить из этих кубиков за время t1 = 2 ч, если на укладку двух кубиков уходит время t2 = 1 с?
1.17. Куб, объем которого V1 = 1 м3, разделили на кубики объемом
V2 = 1 мм3 каждый. Сколько кубиков получилось? Определите время укладки этих кубиков в ряд, если на укладку 500 кубиков уходит время
t = 8 мин.
P
P
P
P
P
P
B
B
P
P
P
B
B
B
B
P
P
P
B
P
B
P
P
P
11
Тема 2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Теоретические сведения
Путь – физическая величина, равная длине траектории от начального до конечного положения тела (материальной точки). Эта
длина траектории соответствует определенному промежутку времени t. Обычно путь в физических задачах обозначают через S.
Равномерным называется движение, при котором за любые
равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути.
Скорость тела при равномерном движении является постоянной величиной и определяется соотношением:
s
υ= .
(2.1)
t
На начальном этапе некоторым ученикам есть
смысл запомнить формулу (2.1) в виде своеобразной геометрической интерпретации (рис. 2.1). Тогда, чтобы выразить из (2.1) нужную величину,
надо ее прикрыть пальцем в этой фигуре. Наприs
Рис. 2.1
мер, прикрывая время t, получим: t = . Прикрыυ
вая υ, получим формулу (2.1).
В СИ путь измеряется в метрах, а время – в секундах. Поэтому
единицей измерения скорости в СИ будет метр в секунду: [υ] = м/с.
Используют, конечно, для удобства и другие единицы измерения
скорости: км/ч, см/с, км/с и т.д. Например, показания радара, который использует сотрудник ДПС для измерения скорости автомобилей, приводятся в км/ч. И было бы крайне неудобно, чтобы спидометр автомобиля показывал скорость в м/с.
Если скорость тела меняется со временем, то такое движение
называют неравномерным. Для характеристики такого движения
вводят понятие средней скорости как отношение всего пройденного пути sобщ ко всему времени движения tобщ:
s
υср = общ .
(2.2)
tобщ
B
12
B
B
B
Если известны пути s1, s2, s3 …, проходимые телом за соответствующие промежутки времени t1, t2, t3…, то среднюю скорость
можно рассчитать по формуле:
s + s + s +L
υср = 1 2 3
.
(2.3)
t1 + t 2 + t3 + L
Если из формулы (2.1) выразить путь, s
получим s = υt. Этому соотношению можно
υ2> υ1
дать графическую интерпретацию. При
фиксированном значении скорости путь s
будет линейной функцией переменой t.
υ1
График такой линейной функции представляет собой прямую линию, проходящую
t
через начало координат, как показано на
Рис. 2.2
рис. 2.2. Причем, чем больше скорость, тем
круче идет прямая линия. Это и понятно: за одно и то же время при
большей скорости тело проходит и больший путь.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Примеры решения задач
Прежде чем переходить рассмотрению примеров решения задач, обсудим некоторые моменты, касающиеся оформления решения физической задачи и, собственно, порядка решения задачи. В
школе обычно требуют оформления, которое мы продемонстрируем на простой задаче.
Задача 2.1. Определить скорость некоторого объекта, который
за время 0,5 ч прошел расстояние 3 км.
Дано:
СИ:
s = 3 км
t = 0,5 ч
Найти:
s = 3000 м
t = 1800 с
υ=?
Решение. υ =
м/с
υ=
s
.
t
s 3000 м
м
=
≈ 1,67 .
t 1800 с
с
Ответ: 1,67 м/с.
Итак, какие действия мы здесь выполнили?
13
B
1. Записали данные задачи, используя для этого общепринятые
обозначения физических величин: путь s, время t, скорость υ.
2. Выразили данные задачи в единицах Международной системы единиц, т.е. в СИ.
3. Используя обозначения физических величин, записали необходимое соотношение между ними.
4. В полученную формулу подставили числовые данные и произвели вычисления.
5. Записали ответ к задаче.
А теперь сделаем некоторое замечание по решению. Требование всегда представлять ответ в СИ не всегда является разумным.
Здесь удобнее было бы выразить скорость в км/ч:
s 3 км
км
υ= =
=6
.
t 0,5 ч
ч
Во-первых, так мы получаем точный, а не приближенный ответ. А во-вторых, в таких единицах измерения на практике проще
представить такую скорость – она соответствует быстрому шагу
или медленному бегу человека. По этой причине в дальнейшем мы
будем использовать те единицы измерения, которые удобны в данной задаче.
Далее из-за экономии места автор не будет использовать порядок оформления задач, приведенный в задаче 2.1. Вы можете это
сделать самостоятельно.
Задача 2.2. Тело, двигаясь с некоторой скоростью, проходит
путь s1 = 400 м за время t1 = 50 с. Какой путь пройдет это тело за
время t2 = 120 с, двигаясь со скоростью в 2 раза меньшей, чем в
первом случае?
Решение. Рассмотрим два способа решения этой задачи. Их
можно условно назвать «решение в числах» и «решение в буквах».
Конечно, численный ответ в обоих случаях должен получиться
одинаковым.
Первый способ. Определим сначала скорость, с которой тело
проходит путь 400 м. Для этого по формуле (2.1) необходимо этот
400 м
м
=8 .
путь разделить на время прохождения этого пути:
50 с
с
B
B
B
B
14
B
B
По условию задачи скорость тела на следующем пути уменьшается в 2 раза, т.е. следующий путь тело пройдет со скоростью
4 м/с. Используя затем формулу (2.1) для нахождения другого пути
(или, если нравится, фигуру на рис. 2.1), получим ответ:
м
4 × 120 c = 480 м .
с
Второй способ. Пусть υ1 – скорость, с которой тело проходит
путь s1 за время t1. По определению (2.1) при равномерном движеs
нии тела скорость υ1 = 1 . Пусть s2 – путь, пройденный телом за
t
время t2, а υ2 – скорость на этом пути. Тогда путь s2 = υ2t2. По условию задачи скорость на пути s2 в два раза меньше скорости тела на
υ
υ
пути s1, т.е. υ2 = 1 . С учетом этого запишем, что путь s2 = 1 t2 .
2
2
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Подставим теперь выражение для скорости υ1: s2 = s1 t 2 .
B
B
2t1
Мы получили так называемый «буквенный» ответ. Теперь под400 м ⋅ 120 с
ставим числовые значения: s2 =
= 480 м.
2 ⋅ 50 с
Второй способ, наверное, показался вам гораздо более трудоемким! Но, получив конечную формулу, вы можете подставлять в
нее любые значения (кроме t1 = 0) и получать численный ответ. Вы
можете ее запрограммировать, и за вас считать будет компьютер –
сколько хотите раз. Наконец, вы просто практикуетесь в алгебраических преобразованиях, ведь без того, чтобы быстро выполнять
так называемые «выкладки», все равно в дальнейшем не обойтись,
если вы решили свою дальнейшую судьбу связать с изучением математики и физики. Кстати, попробуйте без калькулятора решить
эту задачу первым способом при условии, что скорость тела
уменьшилась не в 2, а в 3 раза.
Ответ: s2 = s1 t 2 = 480 м.
B
B
2t1
Задача 2.3. Маленькая букашка ползет с постоянной скоростью по проволочному каркасу, имеющему форму квадрата. Время
одного оборота букашки составляет t = 1 мин. Какое время затра15
тит букашка на два оборота, если сторона квадрата будет в k = 2
раза меньше, а свою скорость букашка уменьшит в n = 3 раза?
Решение. Эта задача сложнее предыдущей, так как неизвестно
расстояние, пройденное букашкой. Придется его каким-то образом
задать. Пусть a – первоначальная сторона
a
квадрата, а υ – первоначальная скорость буυ кашки (рис. 2.3). Тогда время одного оборота
букашки по формуле для равномерного двиs 4a
жения будет равно t = =
.
υ υ
Если сторону квадрата уменьшить в k
раз, а скорость букашки уменьшится в n раз,
Рис. 2.3
то время двух оборотов будет равно
⎛a⎞
4⎜ ⎟
n 4a
n
3
k
= 2 ⋅ t = 2 ⋅ ⋅1 мин = 3 мин.
t2 = 2 ⋅ ⎝ ⎠ = 2 ⋅ ⋅
υ
k υ
k
2
n
В условии задачи не сказано, что результат должен быть обязательно представлен в СИ. Поэтому в качестве числового ответа
вполне можно оставить 3 мин.
Замечание. Если вы еще не готовы к таким алгебраическим преобразованиям, а задачу решить очень надо, то можно поступить так.
Пусть сторона квадрата равна 1 м. Тогда в первом случае скорость букашки будет равна 4 м/мин, так как пройденный путь будет равен 4 м, а время прохождения этого пути 1 мин. Во втором
случае скорость в 3 раза меньше и будет равна 4/3 м/мин. Пройденный путь во втором случае по условию будет таким же (два
оборота сделает букашка). Осталось только разделить 4 м на
4м
4/3 м/мин и получить ответ:
= 3 мин.
4 м
n
Ответ: t2 = 2 t = 3 мин.
k
16
3 мин
Задача 2.4. За время t1 = 4 ч моторная лодка проходит по течению расстояние l = 48 км. За какое время она пройдет в обратном
направлении половину этого расстояния, если скорость течения
реки υ0 = 3 км/ч.
Решение. Обозначим скорость лодки в стоячей воде через υл.
При движении вниз по течению реки скорости лодки и течения
складываются (рис. 2.4). Поэтому расстояние, проходимое лодкой
вниз по течению, будет определяться выражением: l = (υ0 + υл )t1 . Выразим отсюда
B
B
B
B
B
l − υ0t1 l
= − υ0 .
t1
t1
При движении вверх по течению скорости лодки и течения реки вычитаются, а
l
по условию задачи лодка проходит вдвое
меньший путь, поэтому будет справедлиl
= (υл − υ0 )t2 . Подвым соотношение:
2
ставим сюда полученное выше выражение для скорости лодки в стоячей воде:
⎞
⎛l
⎞
l ⎛l
= ⎜⎜ − υ0 − υ0 ⎟⎟t2 = ⎜⎜ − 2υ0 ⎟⎟t2 .
2 ⎝ t1
⎠
⎝ t1
⎠
скорость лодки: υл =
υл – υ0
B
υ0 + υл
B
B
B
B
B
l/2
B
Течение
реки
Рис. 2.4
Из этого уравнения найдем искомое время:
l
.
t2 =
⎞
⎛l
2⎜⎜ − 2υ0 ⎟⎟
⎠
⎝ t1
Теперь подставим заданные числовые значения:
48 км
t2 =
= 4 ч.
⎛ 48 км
км ⎞
⎟
⎜
2⎜
− 2⋅3
ч ⎟⎠
⎝ 4ч
Ответ: t 2 =
l
⎛l
⎞
2⎜⎜ − 2υ0 ⎟⎟
⎝ t1
⎠
= 4 ч.
17
Задача 2.5. По правой полосе прямой дороги едет автобус со
скоростью υ1 = 10 м/c. По левой полосе его обгоняет автомобиль,
движущийся со скоростью υ2 = 72 км/ч. В течение какого времени
автомобиль проезжает мимо автобуса, если длина автобуса L1 =
= 20 м, а длина автомобиля L2 = 4 м?
Решение. Эту задачу решим двумя способами.
Первый способ. На рис. 2.5 показаны начальное и конечное
положения автобуса и автомобиля (конечное положение показано
пунктиром). Из рисунка видно, что за время обгона t передняя
точка автобуса А прошла путь s1 = x + L1, а передняя точка автомобиля – путь s2 = L1 + x + L1 + L2, где x – неизвестное расстояние.
Учитывая теперь, что путь s1 = υ1t , а путь s2 = υ2t , получим
систему из двух уравнений:
(1)
υ1 t = x + L1 ,
A
υ2 t = L1 + x + L1 + L2. (2)
Выражая неизвестное расстояние x
из уравнения (1) и подставляя в уравs1 нение (2), получим:
s2
υ2 t = L1 + υ1t – L1 + L1 + L2.
υ1
x
Отсюда (υ2 – υ1)t = L1 + L2. Решая
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
это уравнение относительно t, находим
искомое время обгона:
L1
υ2
L + L2
t= 1
.
υ2 − υ1
L2
Подставим числовые значения,
учитывая, что 72 км/ч = 20 м/с:
20 м + 4 м
Рис. 2.5
t=
= 2,4 с.
м
м
20 − 10
с
с
Второй способ. Этот способ основан на введении такого особого понятия как скорость сближения. В нашем случае автомобиль
и автобус движутся в одном направлении, поэтому их скорость
сближения будет равна разности их скоростей: υсбл = υ2 − υ1 . С такой скоростью должно быть пройдено расстояние, равное суммарA
B
B
B
18
ной длине автобуса и автомобиля: s = L1 + L2 . Тогда L1 + L2 = υсбл t .
B
B
B
B
L1 + L2
.
υсбл
Как видите, второй способ дает возможность существенно сократить математические преобразования!
L + L2
= 2,4 с.
Ответ: t = 1
υсбл
Задача 2.6. Каскадер начинает бежать со скоростью υ1 = 5 м/с
за движущимся грузовым автомобилем. Догнав его, каскадер прыгает в его кузов, и проезжает в автомобиле вдвое большее время,
чем он его догонял. Найдите среднюю скорость каскадера в указанном движении, если скорость автомобиля υ2 = 4 м/с.
Решение. Согласно определению (2.2) средняя скорость каскадера равна:
s
υср = общ ,
tобщ
Отсюда получает искомое время обгона: t =
B
B
B
B
где sобщ – путь каскадера за все его время движения tобщ.
Особенностью этой задачи является тот факт, что не заданы ни
общий путь, ни общее время движения. Заданы только скорости
каскадера и автомобиля, а также соотношение между временем
движения каскадера самого по себе и в кузове автомобиля.
Поступим следующим образом. Обозначим за t время, в течение которого каскадер, движущийся со скоростью υ1, догонял грузовик. Тогда по условию задачи 2t – время, в течение которого каскадер ехал в кузове грузовика со скоростью υ2. Следовательно, общий путь каскадера в указанном движении будет равен сумме двух
путей: sобщ = s1 + s2 = υ1t + υ22t.
Все время движения tобщ = t + 2t = 3t. Подставим теперь полученные выражения в формулу для средней скорости:
s
υ t + 2υ2t t (υ1 + 2υ2 ) υ1 + 2υ2
.
υср = общ = 1
=
=
3t
3t
3
tобщ
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Полученное выражение не содержит заданного первоначально
времени t. Как говорят, оно «сократилось» в результате алгебраических преобразований! Конечно, при условии t ≠ 0.
19
Теперь подставим числовые значения:
м
м
5 + 2⋅4
с ≈ 4,3 м .
υср = с
3
с
Замечание. Если вы все еще не являетесь поклонником алгебраических преобразований (зря, конечно, – все равно потом придется им быть!), то можно поступить так. Пусть каскадер догнал
м
автомобиль за 1 с. Тогда каскадер пробежал путь 5 ⋅ 1 с = 5 м. В
с
автомобиле каскадер ехал вдвое большее время (т.е. 2 с) со скоростью 4 м/с. Следовательно, в кузове автомобиля он проехал путь
м
4 ⋅ 2 с = 8 м. Таким образом, весь путь равен 5 м + 8 м = 13 м, а
с
все время движения равно 1 с + 2 с = 3 с. По определению средней
скорости (2.2) получим:
5м+8м
м
υср =
≈ 4,3 .
3с
с
υ1 + 2υ2
м
≈ 4,3 .
с
3
Задача 2.7. Семиклассник проходит четыре одинаковых отрезка пути, уменьшая каждый раз время прохождения соответствующего участка пути вдвое. Скорость семиклассника на первом отрезке пути постоянна и равна υ = 0,15 м/с. Определите его среднюю
скорость на всем пути.
Решение.
По определению средняя скорость движения семиклассника определяется отношением пройденного им пути к времени движения:
s
υср = общ .
tобщ
Ответ: υср =
Обозначим длину одного отрезка пути через s. Тогда весь
пройденный путь будет равен sобщ = 4s. Общее время движения
определяется суммой отдельных времен прохождения четырех участков пути: tобщ = t1 + t2 + t3 + t4 . Время движения на первом отрезке
B
B
20
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
s
. По условию задачи семиклассник каждый раз уменьυ
шает время прохождения следующего отрезка пути вдвое. Поэтому
соответствующие времена прохождения остальных участков пути
s
s
s
будут определяться следующим образом: t 2 =
, t3 =
, t4 = .
4υ
8υ
2υ
Подставляя найденные соотношения в формулу для средней скорости, получим:
4s
υср =
.
s s
s
s
+ + +
υ 2υ 4υ 8υ
Теперь преобразуем это выражение, «сокращая» введенную
нами длину одного отрезка s:
4
4
32υ
м
υср =
=
=
= 0,32 .
1
1
1
8 + 4 + 2 + 1 15
с
υ+
+
+
2υ 4υ 8υ
8υ
Замечание. Если решение этой задачи опять показалось вам алгебраически слишком сложным (здесь этот факт действительно
имеет место), то можно немного «схитрить». Правда, цена у этой
хитрости тоже есть: вы не получите ответа «в буквах». Примем
длину каждого отрезка пути равным 0,15 м (понятно, почему так?).
Время прохождения первого отрезка будет равно 1 с. Соответствующие времена прохождения следующих отрезков по условию
задачи будут равны 0,5 с, 0,25 с и 0,125 с. Тогда весь путь будет
равен 0,6 м, а все время движения будет равно 1,875 с. Искомая
средняя скорость: 0,6 м : 1,875 с = 0,32 м/с.
32υ
м
Ответ: υср =
= 0,32 .
15
с
s, км
Задача 8. На рис. 2.6 представлены
2
80
графики зависимости пути от времени
для двух автомобилей. Сколько времени
1
потребуется второму автомобилю, что35
бы догнать первый автомобиль, если
они выехали одновременно в одном наt, ч
1
правлении, а первоначальное расстояние
между ними было равно l = 70 км?
Рис. 2.6
пути t1 =
21
Решение. По данным в задаче графикам определяем скорости
первого и второго автомобилей:
35 км
80 км
υ1 =
= 35 км/ч, υ2 =
= 80 км/ч.
1ч
1ч
Так как по условию задачи автомобили движутся в одном направлении, то их скорость сближения будет равна
υсбл = υ2 – υ1.
С такой скоростью должно быть пройдено первоначальное
расстояние l. Тогда искомое время до встречи автомобилей
l
l
t=
=
.
υсбл υ2 − υ1
Осталось только подставить числовые значения:
70 км
t=
≈ 1,56 ч .
км
км
80
− 35
ч
ч
l
≈ 1,56 ч .
Ответ: t =
υ 2 −υ1
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Итак, мы решили 8 задач по теме «Механическое движение».
Теперь можно сформулировать предпочтительный порядок решения физических задач из 10 пунктов.
1. Запишите данные задачи «в буквах» и числах, используя для
этого общепринятые обозначения физических величин и удобные
для данной задачи единицы их измерения.
2. Если необходимо, сделайте рисунок к задаче (вопрос о необходимости рисунка решается сам собой по мере увеличения Вашего опыта по решению задач).
3. Напишите необходимые физические формулы и соотношения по теме задачи.
4. Запишите уравнения, связывающие известные величины и
величины, которые требуется определить.
5. Если число неизвестных величин больше количества уравнений, то необходимо, используя условие задачи, составьте дополнительные уравнения.
22
6. Полученное уравнение (или систему уравнений, что пока
достаточно редко Вам будет встречаться) желательно решите что
называется «в буквах».
7. В полученную формулу подставьте числовые данные в согласованных единицах измерения и определите численное значение искомой величины. После проведения расчетов округлите
(если это необходимо) полученное число. Для записи больших (или
малых) чисел крайне желательно использовать степень с основанием 10. При желании можно также использовать приставки для
образования десятичных кратных и дольных единиц (см. тему 1
настоящего пособия).
8. Проверьте единицы измерения искомых физических величин.
9. Запишите ответ «в буквах и числах», обязательно указывая
единицы измерения.
10. Подумайте над вопросом о более простом способе решения
данной задачи (помните задачу 2.5?).
Задачи к теме 2
Уровень А
2.1. Велосипедист едет со скоростью 2,5 м/с. Выразите эту скорость в
км/ч и в см/с. Какая система единиц измерения больше подходит к этому
примеру?
2.2. Скорость первого объекта 15 м/с, а второго – 72 км/ч. Скорость
какого объекта больше? Приведите примеры объектов, которые могут
двигаться с такими скоростями.
2.3. Определите среднюю скорость самолета, который за промежуток
времени 0,5 ч пролетел расстояние 250 км. Выразите эту скорость в м/с.
2.4. В течение 20 с автомобиль двигался равномерно со скоростью
72 км/ч. Какой путь проехал автомобиль за это время?
2.5. Трактор за первые 5 мин проехал 600 м. Какой путь он проходит
за 0,5 ч, двигаясь с той же скоростью? Ответ запишите в метрах и в километрах.
2.6. Некоторый участок пути один велосипедист проехал за 10 с, двигаясь со скоростью 4 м/с. Другой велосипедист этот же участок пути проехал за 8 с. Какова средняя скорость второго велосипедиста на данном
участке пути?
23
2.7. Поезд движется со скоростью 90 км/ч. За какое время мимо неподвижно стоящего на платформе пассажира проедут первые три вагона,
если длина каждого вагона равна 24 м, а расстояние между вагонами равно 1 м? Ответ выразите в секундах.
2.8. Поезд движется со скоростью 80 км/ч. За какое время мимо неподвижно стоящего на платформе пассажира проедут последние четыре
вагона, если длина каждого вагона равна 28 м, а расстояние между вагонами равно 1 м? Ответ выразите в секундах.
2.9. В подрывной технике употребляют сгорающий с небольшой скоростью бикфордов шнур. Какой длины надо взять шнур, чтобы успеть
отбежать на расстояние 300 м, после того, как его зажгут? Скорость
бега 5 м/с, а пламя по шнуру распространяется со скоростью 0,8 см/с.
2.10. Мотоциклист за первые 10 мин проехал 5 км, а за следующие
8 мин – 9,6 км. Чему равна средняя скорость мотоциклиста на всем пути?
2.11. Определите среднюю скорость автобуса на всем пути, если первые 6 км пути он проехал за 0,2 ч, а следующие 10000 м пути – за 18 мин.
2.12. Теплоход по течению двигался со скоростью 15 км/ч, а против
течения – со скоростью 10 км/ч. С какой средней скоростью теплоход
прошел весь путь туда и обратно, если расстояние между двумя пристанями равно 8 км?
2.13. Гепард, мчащийся со скоростью 108 км/ч, догоняет антилопугну, которая находится в 100 м от него и убегает со скоростью 20 м/с. Через какое время произойдет их встреча?
2.14. Из двух противоположных вершин квадратного каркаса со стороной a = 40 см одновременно начинают движение навстречу друг другу два
маленьких жучка. Первый жучок движется из левой верхней вершины А со
скоростью υ1 = 1 мм/с, второй – из вершины В со скоростью υ2 = 2 мм/с. На
каком расстоянии от вершины А (считая вдоль каркаса по часовой стрелке) встретятся жучки первый раз?
2.15. Из двух противоположных вершин квадратного каркаса со стороной a = 30 см одновременно начинают движение друг за другом два
маленьких жучка. Первый жучок движется из правой нижней вершины А
со скоростью υ1 = 1 мм/с, второй – из вершины В со скоростью υ2 = 3 мм/с.
На каком расстоянии от вершины В (считая вдоль каркаса по часовой
стрелке) встретятся жучки первый раз?
B
B
B
B
B
B
B
B
Уровень В
2.16. Тело, двигаясь с некоторой скоростью, проходит путь s1 = 0,2 км
за время t1= 50 с. Какой путь пройдет это тело за время t2 = 20 с, двигаясь
со скоростью в 2 раза большей, чем в первом случае?
B
B
24
B
B
B
B
2.17. Маленькая букашка ползет с постоянной скоростью по проволочному каркасу, имеющему форму квадрата. Время двух оборотов букашки t = 6 мин. Какое время затратит букашка на один оборот, если сторону квадрата уменьшить в n = 3 раза, а свою скорость букашка увеличит
в k = 2 раза?
2.18. Автомобиль 2 ч двигался со скоростью 15 м/с, а затем проехал
еще 72 км со скоростью 20 м/с. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
2.19. Неопознанный летательный объект (НЛО), совершая разведывательный полет вокруг Земли с целью изучения интеллектуальных способностей учеников 7-го класса, двигался со скоростью υ1 = 7000 м/с в течение t1 = 2 мин., затем со скоростью υ2 = 9000 м/с в течение t2 = 3 мин. Напоследок он пролетел расстояние L = 600 км за время t3 = 140 c. Определите среднюю скорость НЛО на всем пути.
2.20. Первую половину пути автомобиль проехал с постоянной скоростью υ1 = 50 км/ч, а вторую половину пути – с постоянной скоростью
υ2 = 60 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
2.21. Первую половину всего времени движения автомобиль проехал
с постоянной скоростью υ1 = 50 км/ч, а вторую половину этого времени –
с постоянной скоростью υ2 = 60 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля за все время движения.
2.22. Автомобиль проехал две трети всего времени движения со скоростью υ1 = 54 км/ч, а остальное время – со скоростью υ2 = 10 м/с. Определите среднюю скорость автомобиля за все время движения.
2.23. Автомобиль проехал первую четверть пути со скоростью υ1 =
= 18 м/с, а оставшийся участок пути – со скоростью υ2 = 72 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
2.24. На прохождение некоторого расстояния ученик затрачивает
время t1 = 10 с. На прохождение в 5 раз большего расстояния тот же ученик затрачивает время на t = 15 с больше. Во сколько раз при этом увеличивается средняя скорость ученика?
2.25. Тело движется из пункта А в пункт В через промежуточный
пункт С. Двигаясь из пункта А до пункта С с постоянной скоростью, тело
проходит путь s = 3 км за время t = 1 ч. Увеличивая затем скорость в
3 раза, тело затрачивает на движение из С в В вдвое меньшее время. Чему
равна средняя скорость тела при движении из пункта А в пункт В?
2.26. Товарный поезд проезжает мимо станции “Везенье” со скоростью υ1 = 36 км/ч. Через промежуток времени t0 = 30 мин мимо этой станции в том же направлении проезжает экспресс со скоростью υ2 = 144 км/ч.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
PB
B
B
P
B
B
B
B
25
На каком расстоянии от станции “Везенье” экспресс догонит товарный
поезд?
2.27. Первый пешеход проходит расстояние s = 8 км между пунктами
А и В за время t1 = 2 ч, в второй – за время t2 = 4 ч. На каком расстоянии от
пункта А встретятся пешеходы, если выйдут одновременно навстречу
друг другу из пунктов А и В? Скорости пешеходов постоянны.
2.28. Сколько времени пассажир, сидящий у окна поезда, движущегося со скоростью υ1 = 36 км/ч, будет видеть обгоняющий поезд длиной L =
= 100 м, идущий со скоростью υ2 = 72 км/ч?
2.29. По двум параллельным сторонам дороги едут навстречу друг
другу грузовик и мотоцикл со скоростями υ1 = 10 м/c и υ2 = 54 км/ч, соответственно. В течение какого времени грузовик проезжает мимо мотоцикла, если длина грузовика L1 = 20 м, а длина мотоцикла L2 = 2 м?
2.30. За время t1 = 4 ч моторная лодка проходит по течению расстояние l = 48 км. За какое время она пройдет в обратном направлении половину этого расстояния, если скорость течения реки υ0 = 3 км/ч.
2.31. За время t1 = 1,5 ч моторная лодка проходит против течения расстояние l = 18 км. За какое время она пройдет в обратном направлении
вдвое большее расстояние, если скорость течения реки υ0 = 3 км/ч.
2.32. На рис. 2.7 представлены графики зависимости пути от времени
для двух автомобилей. Сколько времени потребуется первому автомобилю, чтобы догнать второй автомобиль, если они выехали одновременно в
одном направлении, а первоначальное расстояние между ними было равно L = 40 км?
s, см
B
PB
P
B
B
P
PB
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
s, км
B
8
1
6
220
4
2
100
2
2
1 2 3 4 5 6 t, с
t, ч
Рис. 2.7
Рис. 2.8
2.33. Первый пешеход проходит расстояние s = 4 км между пунктами
А и В за время t1 = 1 ч, в второй – за время t2 = 3 ч. На каком расстоянии
от пункта А встретятся пешеходы, если выйдут одновременно: первый из
пункта А в направлении В, второй из В в направлении от А? Скорости пешеходов постоянны.
B
26
PB
P
B
PB
P
2.34. На рис. 2.8 представлен график зависимости пути s, пройденного муравьем, от времени t. Определите скорость муравья на временных
интервалах: (0; 3 с), (3 с; 4 с), (4 с; 6 с мин) и среднюю скорость прохождения пути за время 5 с.
2.35. Из пунктов А и В в одном направлении одновременно выехали
два автомобиля: легковой из пункта А и грузовой из пункта В. Расстояние
между пунктами L1 = 50 км. Скорость грузового автомобиля υг = 12 м/с.
Определите скорость легкового автомобиля, если известно, что он догнал
грузовой автомобиль на расстоянии L2 = 36 км от пункта В. Скорости автомобилей считать постоянными.
2.36. Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали
два автомобиля: грузовой из пункта А и легковой из пункта В. Известно,
что встреча автомобилей произошла на расстоянии L1 = 12,6 км от пункта А. Определите скорость легкового автомобиля, если расстояние между
городами L = 41 км, а скорость грузового автомобиля υг = 14 м/с. Скорости автомобилей считать постоянными.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Уровень C
2.37. Два семиклассника движутся навстречу друг другу так, что за
каждые t1 = 10 с расстояние между ними уменьшается на s1 = 16 м. Если
же семиклассники будут двигаться в одном направлении, то за каждые t2 = 5 с расстояние между ними будет увеличиваться на s2 = 3 м. Найдите скорости семиклассников.
2.38. Если два семиклассника от линии старта на стадионе побегут по
кругу в одном направлении, то расстояние между ними будет увеличиваться за каждые t1 = 2 c на s1 = 4 м. Если же они побегут в разные стороны (один из них что-то перепутал), то за каждые t2 = 3 c расстояние между
ними будет увеличиваться на s2 = 10 м. За какое время наиболее быстрый
семиклассник вернется к линии старта, если длина беговой дорожки
L = 300 м?
2.39. Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали
две машины. В промежуточном пункте С они встретились и продолжили
свое движение. Первая машина (выехавшая из пункта А) приехала в пункт
В через t1 = 4 ч после встречи. Вторая машина приехала в пункт А спустя
t2 = 1 ч после встречи. Определите скорость второй машины, если скорость
первой машины υ1 = 50 км/ч. Скорости машин считать постоянными.
2.40. Средняя скорость мотоциклиста на всем пути υср = 90 км/ч. Первую треть пути мотоциклист проехал со скоростью υ1 = 60 км/ч. Определите скорость мотоциклиста на остальном пути.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
27
2.41. Средняя скорость поезда на всем пути υср = 60 км/ч. Две трети
пути поезд проехал со скоростью υ1= 90 км/ч. Определите скорость поезда
на остальном пути.
2.42. Каскадер увидел приближающийся к нему автомобиль и побежал навстречу ему со скоростью υ1 = 4 м/с. Добежав до автомобиля, каскадер прыгает на его крышу и едет втрое большее время, чем бежал до
автомобиля. Найдите среднюю скорость каскадера в указанном движении,
если скорость автомобиля υ2 = 3 м/с.
2.43. Семиклассник проходит три одинаковых отрезка пути, увеличивая каждый раз время прохождения соответствующего участка пути
вдвое. Скорость семиклассника на последнем отрезке пути υ = 0,7 м/с.
Определите его среднюю скорость на всем пути.
2.44. Скорость автомобиля на первой половине пути υ1 = 20 м/с, а на
второй половине пути υ2 = 10 м/с. Во сколько раз средняя скорость на
первых 3/4 пути больше средней скорости на всем пути?
2.45. Букашка начинает движение из одной вершины квадрата со скоростью υ = 1,5 мм/с. Пройдя каждую сторону квадрата, она отдыхает
столько времени, сколько двигалась по этой стороне. При этом скорость
букашки на следующей стороне квадрата в 2 раза больше, чем на предыдущей стороне. Определите среднюю скорость букашки на первом обороте (с учетом отдыха в конце первого оборота).
2.46. Букашка начинает движение из одной из вершин квадрата со
скоростью υ = 4,5 мм/с. Пройдя каждую сторону квадрата, она устраивает
себе отдых на время, равное половине времени движения по этой стороне.
При этом скорость букашки на следующей стороне квадрата в 2 раза
меньше, чем на предыдущей стороне. Определите среднюю скорость букашки на первом обороте.
2.47. Некоторый объект делает пять оборотов, увеличивая с каждым
оборотом свою скорость вдвое. Считая скорость объекта на каждом обороте постоянной и пренебрегая временем, необходимым для изменения
скорости, определите, во сколько раз средняя скорость на последних двух
оборотах больше средней скорости на первых трех оборотах.
2.48. Некоторый объект делает пять оборотов, уменьшая с каждым
оборотом свою скорость вдвое. Считая скорость объекта на каждом обороте постоянной и пренебрегая временем, необходимым для изменения
скорости, определите, во сколько раз средняя скорость на первых трех
оборотах больше средней скорости на последних двух оборотах.
2.49. Два объекта одновременно отправляются из пункта А в пункт В.
Первый объект первую треть всего времени своего движения двигался со
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
28
B
B
скоростью υ = 20 м/с в 2 раза меньшей, чем остальное время. Второй же
объект первую половину всего пути проехал со скоростью υ = 20 м/с в
3 раза большей, чем вторую его половину. Во сколько раз отличаются
времена движения объектов из пункта А в пункт В?
2.50. Два объекта одновременно отправляются из пункта А в пункт В.
Первый объект первые две трети всего пути двигался со скоростью
υ = 20 м/с в 2 раза большей, чем последнюю его треть. Второй же объект первую половину всего времени движения проехал со скоростью υ =
= 20 м/с в 4 раза меньшей, чем оставшееся время. Во сколько раз отличаются времена движения объектов из пункта А в пункт В?
2.51. Скорости мотоциклиста на двух участках траектории находятся
в соотношении υ2:υ1 = 3:4. Соотношение длин участков траектории s1:s2 =
= 1:2. Определите среднюю скорость мотоциклиста на всей длине траектории, если на ее первом участке скорость υ1 = 10 м/с.
2.52. Скорости мотоциклиста на двух участках траектории находятся
в соотношении υ1:υ2 = 5:4. Соотношение длин участков траектории s1:s2 =
= 3:2. Определите среднюю скорость мотоциклиста на всей длине траектории, если на ее втором участке скорость υ2 = 22 м/с.
2.53. На карте маршрут движения семиклассника обозначен треугольником АВС (∠САВ = 30°, ∠АСВ = 90°). Вдоль катета СВ движение
происходит со скоростью υ = 1 м/с, а вдоль гипотенузы ВА – со скоростью в три раза большей. Изобразите траекторию семиклассника. Определите среднюю скорость семиклассника на пути СВА.
2.54. На карте маршрут движения семиклассника обозначен треугольником ВАС (∠АВС = 30°, ∠ВСА = 90°). Вдоль гипотенузы ВА движение происходит со скоростью υ = 2 м/с, а вдоль катета АС – со скоростью в три раза меньшей. Определите среднюю скорость семиклассника
на пути ВАС.
2.55. Мотоциклист движется по окружности, практически мгновенно
увеличивая свою скорость после каждого оборота на 1 м/с. Какова будет
его средняя скорость на трех оборотах, если первый оборот он проходит
со скоростью υ = 5 м/с?
2.56. Мотоциклист движется по окружности, практически мгновенно
уменьшая свою скорость после каждого оборота на 2 м/с. Какова будет
его средняя скорость на четырех оборотах, если последний оборот он проходит со скоростью υ = 10 м/с?
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
29
Тема 3. МАССА И ПЛОТНОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕЛ
Теоретические сведения
Инертность – свойство тела, состоящее в том, что для изменения его скорости при воздействии на него другого тела требуется
некоторый промежуток времени. Если тело при взаимодействии с
другим телом меньше изменяет свою скорость, то говорят, что оно
более инертно.
Масса тела – количественная мера инертности тел; обозначается, как правило, буквой m или M.
За единицу массы в СИ принят 1 кг: [m] = 1 кг.
Часто используемыми производными единицами измерения
массы являются:
один грамм (1 г = 0,001 кг = 10-3 кг);
один миллиграмм (1 мг = 0,000001 кг = 10-6 кг);
один центнер (1 ц = 100 кг = 102 кг);
одна тонна (1 т = 1000 кг = 103 кг).
Важным свойством массы является ее аддитивность (от английского to add – добавлять): масса системы тел равна сумме масс
всех тел, входящих в эту систему. При этом существует закон сохранения массы: если ни одно из тел системы не взаимодействует с
телами, не входящими в эту систему, то суммарная масса тел этой
системы остается неизменной при любых процессах, происходящих в этой системе. Следует отметить, что такие системы называют замкнутыми.
Плотность однородного тела – тела, физические свойства которого одинаковы по всему его объему, определяется отношением
массы тела m к его объему V:
m
(3.1)
ρ= .
V
Запомнить и применять эту формулу можно, используя геометрическую интерпретацию, представленную на рис. 3.1. Например, чтобы выразить объем,
m
прикроем букву V на этой фигуре и получим V = .
Рис. 3.1
ρ
P
P
P
P
P
30
P
P
P
В СИ плотность измеряют в килограммах на кубический метр:
кг
[ρ] = 3 . Однако зачастую более удобно использовать другие едим
г
ницы измерения плотности, например
.
cм3
г
кг
Полезно запомнить, что 1 3 = 1000 3 .
cм
м
Если физические свойства тела неодинаковы по всему его объему, то такое тело называют неоднородным. Средняя плотность
неоднородного тела определяется соотношением:
m
ρ ср = общ ,
(3.2)
Vобщ
где mобщ – общая (суммарная) масса тела, а Vобщ – его полный (общий) объем.
Если известны массы m1, m2, m3 … отдельных частей тела,
имеющих соответственно объемы V1, V2, V3 …, то среднюю плотность неоднородного тела можно рассчитать по формуле:
m + m2 + m3 + L
ρ ср = 1
.
(3.3)
V1 + V2 + V3 + L
Необходимые нам в дальнейшем плотности некоторых твердых
тел и жидкостей приведены в таблице 3.1. Более полный список вы
можете найти в своем школьном задачнике или в физическом справочнике.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Таблица 3.1
Твердые тела
Вещество Плотность, Вещество Плотность,
103 кг/м3
103 кг/м3
Алюминий
2,7
Олово
7,3
Золото
19,3
Свинец
11,3
Лед
0,9
Серебро
10,5
Медь
8,9
Сталь
7,8
P
P
P
P
P
P
P
P
Жидкости
Вещество Плотность,
103 кг/м3
Вода
1,0
Керосин
0,8
Нефть
0,9
Ртуть
13,6
P
P
P
P
31
Примеры решения задач
Задача 3.1. Первая тележка массой m1 = 2 кг, которая двигалась
со скоростью υ1 = 2 м/с, столкнулась со второй тележкой, первоначально покоящейся. Вследствие этого столкновения первая тележка
остановилась, а вторая начала двигаться со скоростью υ2 = 0,4 м/с.
Какова масса второй тележки?
Решение. Указанная в условии задачи ситуация схематично показана на рис. 3.2.
B
B
B
B
B
υ1
B
υ2
B
B
1
1
2
2
Рис. 3.2
При взаимодействии тележек из опыта известно, что произведения масс тележек на соответствующие величины изменения скорости тележек должны быть равны (об этом опыте подробно рассказано в Вашем школьном учебнике, по этой причине автор пособия решил не повторяться). В нашем случае это утверждение запишется так:
т1υ1 = т2υ2.
Отсюда находится масса второй тележки:
м
2 кг ⋅ 2
mυ
с = 10 кг.
m2 = 1 1 =
м
υ2
0,4
с
Ответ: m2 = 10 кг.
B
B
B
B
B
B
B
B
Задача 3.2. Сплошной стеклянный куб имеет массу m = 857,5 г.
Определите плотность стекла, если площадь всей поверхности куба
S = 294 см2. Ответ выразить в СИ.
Решение. Куб имеет шесть граней, поэтому площадь одной
грани куба будет равна:
P
32
P
S 294 см 2
=
= 49 см2.
6
6
Площадь грани куба равна квадрату длины ребра куба а, поэтому длина ребра куба будет равна а = 7 см. Объем куба равен
произведению его трех ребер, т.е. объем
V = a3 = 73 = 343 см3.
Так как по условию задачи куб сплошной, то его можно считать
однородным телом. Согласно определению, плотность стекла будет
равна:
m 857,5 г
г
кг
ρ= =
= 2,5 3 = 2500 3 .
3
V 343 см
см
м
3
Ответ: ρ = 2500 кг/м .
Задача 3.3. Брусок квадратного сечения имеет массу m = 40 кг.
Какой станет масса бруска, если его длину увеличить в n = 6 раз, а
каждую сторону квадрата уменьшить в k = 2 раза? Плотность материала бруска остается неизменной.
Решение. По смыслу задачи брусок здесь также является однородным телом. Введем некоторые обозначения. Пусть a – сторона
квадрата, l – длина бруска, ρ – плотность бруска. Нижний индекс
«2» будем использовать для обозначения параметров нового бруска. Тогда масса бруска определяется как произведение плотности
бруска на его объем: m = ρV. Объем бруска равен произведению
трех его сторон, т.е. V = a × a × l .Теперь длину бруска увеличим в
n раз: l 2 = nl , а сторону квадрата уменьшим в k раз: a2 = a/k. Так
как плотность бруска остается неизменной, то новая масса бруска
будет равна:
aa
ρa 2l n
m2 = ρV2 = ρ
.
ln =
kk
k2
Учитывая теперь, что первоначальная масса бруска
m = ρ a a l = ρ a 2l , получим новую массу:
S1 =
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
B
B
n
n
ρa 2l n
= ρa 2l 2 = m 2 .
2
k
k
k
Теперь подставим числовые значения:
m2 =
33
m2 = 40 кг ⋅
6
= 60 кг.
22
n
= 60 кг.
k2
Задача 3.4. Тело имеет массу m = 2 кг и объем V = 0,3 дм3.
Треть объема тела заполнено веществом с плотностью ρ1 = 2 г/см3.
Какова плотность вещества, заполняющего остальной объем этого
тела?
Решение. Обозначим через V весь объем тела, а через ρ2 неизвестную плотность второй части тела. По условию задачи треть
объема тела занимает вещество с плотностью ρ1 , а две трети – веV
щество с плотностью ρ2 . Тогда m1 = ρ1 – масса первой части, а
3
2V
– масса второй части. Масса тела является суммой масс
m2 = ρ 2
3
составляющих его частей (вспомните свойство аддитивности массы): m = m1 + m2. Подставляя выражения для масс, получим:
ρ V 2ρ V
m= 1 + 2 .
3
3
Решая это уравнение относительно неизвестной плотности,
найдем искомую плотность вещества:
3m − Vρ1
ρ2 =
.
2V
Для получения численного значения преобразуем единицы измерения массы и объема: m = 2 кг = 2000 г, V = 0,3 дм3 = 300 см3.
Тогда
3 × 2000 г − 300 см3 × 2 г/см3
= 9 г/см3 = 9·103 кг/м3.
ρ2 =
2 × 300 см3
Ответ: m2 = m
B
B
B
B
B
B
B
B
P
P
P
P
B
B
B
B
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
3m − Vρ1
= 9 г/см3.
2V
Задача 3.5. Какова плотность сплава, изготовленного из V1 =
= 3 см3 олова и V2 = 8 см3 свинца? Плотность олова ρ1 = 7,3 г/см3,
свинца ρ2 = 11,3 г/см3.
Ответ: ρ 2 =
P
P
B
P
P
B
B
34
B
B
P
P
P
P
B
B
B
P
P
Решение. Здесь разберем пример решения задачи на определение средней плотности тела. Несмотря на то, что сплав из свинца и
олова, по сути, является однородным телом, формально мы можем
считать, что имеем дело с двумя частями одного тела с известными
объемами и плотностями. Используем определение средней плотности как отношение общей массы тела к суммарному объему отдельных его частей:
m + m2
ρ ср = 1
.
V1 + V2
Масса первой части (из олова) равна произведению плотности
олова на его объем: m1 = ρ1V1 . Аналогично масса второй части (из
свинца) равна m2 = ρ 2V2 . Подставляя в формулу для средней плотности, получим:
ρ V + ρ 2V2
ρ ср = 1 1
.
V1 + V2
Теперь осталось только подставить числовые значения:
г
г
7,3 3 ⋅ 3 см3 + 11,3 3 ⋅ 8 см3
г
см
см
ρср =
= 10,2 3 .
3
3
3 см + 8 см
см
ρ V + ρ 2V2
г
Ответ: ρ ср = 1 1
= 10,2 3 .
V1 + V2
см
Задача 3.6. Кубик изготовлен из материала с
плотностью ρ1 = 3 г/см3. В кубике сделали выемку, объем которой составляет 1/3 объема кубика,
и заполнили ее материалом с некоторой плотностью ρ2 (рис. 3.2). Известно, что средняя плотность такого кубика ρср = 4 г/см3. Чему плотность
Рис. 3.3
материала ρ2?
Решение. Для решения задачи используем формулу для средней
плотности (3.3). По условию задачи тело состоит из двух частей с
различными плотностями и объемами.
m + m2
Средняя плотность такого тела ρ ср = 1
.
V1 + V2
B
B
B
P
P
B
B
B
B
P
P
B
35
Обозначим объем кубика через V. Тогда объем материала с
плотностью ρ1 будет равен 2V/3, а объем выемки будет равен V/3.
V
2V
, масса второй части m 2 = ρ 2 . ТоМасса первой части m1 = ρ1
3
3
гда средняя плотность будет определяться выражением:
2V
V
+ ρ2
ρ1
3
3 .
ρср =
V
2ρ + ρ 2
. Из этого
Преобразуя это выражение, получим ρ ср = 1
3
уравнения найдем искомую плотность: ρ 2 = 3ρ ср − 2ρ . Подставляя
B
B
числовые значения, получим ρ2 = 6 г/см3.
Ответ: ρ 2 = 3ρ ср − 2ρ = 6 г/см3.
B
B
P
P
P
P
Задача 3.7. Из двух металлов с плотностями ρ1 = 4 г/см3 и
ρ2 = 9 г/см3 изготовили сплав массой m = 10 кг. Плотность этого
сплава ρ = 6 г/см3. Определите массу первого металла в сплаве.
Решение. Эта задача похожа на задачу 3.5, но сложнее ее. Как
уже отмечалось, плотность сплава по сути является средней плотm + m2
. Выразим
ностью и определяется соотношением (3.3): ρ = 1
V1 + V2
B
B
B
P
B
P
P
P
P
P
объемы металлов как отношение масс к объему: V1 =
m1
m
,V2 = 2 .
ρ1
ρ2
m1 + m2
. Очевидно, масса второго металла в
m1 m2
+
ρ1 ρ 2
сплаве m2 = m − m1 . Отсюда получаем уравнение относительно неизвестной массы первого металла:
m
ρ=
.
m1 m − m1
+
ρ1
ρ2
Сначала преобразуем это линейное уравнение к стандартной
форме:
Тогда получим: ρ =
36
m1ρ 2 + mρ1 − m1ρ1 =
mρ1ρ 2
⇒
m1ρ 2 + mρ1 − m1ρ1
⇒ m1ρ 2ρ + mρ1ρ − m1ρ1ρ = mρ1ρ 2 .
Отсюда получаем
mρ1 (ρ 2 − ρ)
.
m1 =
ρ(ρ 2 - ρ1 )
Осталось только подставить числовые значения (в СИ значения
плотности не надо переводить – будет только более громоздко):
г
г
г
10 кг ⋅ 4 3 ⋅ (9 3 − 6 3 )
см = 4 кг.
см
см
m1 =
г
г
г
6 3 ⋅ (9 3 − 4 3 )
см
см
см
mρ1 (ρ 2 − ρ)
= 4 кг.
Ответ: m1 =
ρ(ρ 2 − ρ1 )
Задачи к теме 3
Уровень А
3.1. Плотность некоторого вещества равна 2 г/см3. Выразите эту плотность в кг/м3.
3.2. Определите плотность металла массой 26,7 кг и объемом 3000 см3.
Что это за металл?
3.3. В кузов одного автомобиля помещается 3 м3 песка. Какую массу
песка увезут 20 таких автомобилей? Плотность песка 1,5 г/см3.
3.4. При строительстве железнодорожной линии вынули 6000 м3 грунта, плотность которого 1400 кг/м3. Сколько грузовых автомобилей можно
нагрузить этим грунтом, если грузоподъемность одного автомобиля 12 т?
3.5. Определите массу медного бруска, имеющего длину 100 см, высоту 30 см и ширину 20 см.
3.6. На сколько масса 1 м3 воздуха меньше массы 1 дм3 алюминия?
Плотность воздуха 1,29 кг/м3.
3.7. На прокатном стане прокатывают стальные листы размером 6 м ×
15 м. Масса каждого листа 355,5 кг. Какова толщина одного стального
листа?
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
37
Уровень В
3.8. Два мальчика стоят на роликовых коньках вплотную друг к другу.
Второй мальчик толкает первого. В результате второй мальчик приобретает скорость υ2 = 40 см/с. Каким будет расстояние между мальчиками
через время t = 6 с, если масса первого мальчика в 1,2 раза меньше? Трение не учитывать.
3.9. Два мальчика стоят на роликовых коньках вплотную друг к другу.
Первый мальчик толкает второго. В результате первый мальчик приобретает скорость υ1 = 70 см/с. Каким будет расстояние между мальчиками
через время t = 5 с, если масса второго мальчика в 1,4 раза больше? Трение не учитывать.
3.10. Определите массу воды, полученной при таянии льда объемом
100 литров.
3.11. Определите массу льда, полученного при замерзании воды объемом 10 л.
3.12. Определите массу изделия объемом V = 200 см3, если известно,
что треть объема изделия выполнено из материала плотностью ρ1 =
= 3000 кг/м3 , а остальная часть – из материала плотностью ρ2 = 4500 кг/м3 .
3.13. Определите массу изделия объемом V = 300 см3, если известно,
что три четверти объема изделия выполнено из материала плотностью ρ1 =
= 2000 кг/м3, а остальная часть – из материала плотностью ρ2 = 6000 кг/м3.
3.14. Два тела сделаны из одного и того же материала. При этом масса
первого тела на m = 400 г меньше массы второго тела, а объем второго
тела в 6 раз больше объема первого тела. Чему равна масса второго тела?
3.15. Два тела сделаны из одного и того же материала. При этом масса
первого тела на m = 1 кг больше массы второго тела, а объем второго тела
в 3 раза меньше объема первого тела. Чему равна масса второго тела?
3.16. Какова плотность сплава, изготовленного из V1 = 2 см3
золота и V2 = 5 см3 серебра? Плотность золота ρ1 = 19,3 г/см3, серебра
ρ2 = 10,5 г/см3.
3.17. Масса сплошного куба, сделанного из некоторого вещества, равна 8 кг. Какую массу будет иметь куб из этого же вещества, но с вдвое
меньшим ребром?
3.18. Масса сплошного куба, сделанного из некоторого вещества, равна 1 кг. Какую массу будет иметь куб из этого же вещества, у которого
площадь одной боковой грани в 16 раз больше.
3.19. Брусок квадратного сечения имеет массу m = 180 г. Какой станет
масса бруска, если его длину уменьшить в k = 4 раз, а каждую сторону
квадрата увеличить в n = 2 раза?
B
B
B
B
P
P
B
P
P
B
P
B
B
P
P
P
B
P
P
B
B
P
B
B
B
B
38
B
P
P
P
P
B
B
B
P
P
B
P
P
P
3.20. Масса стального кубика на 23 г больше массы алюминиевого
кубика. Определите массу стального кубика, если его объем в 4 раза
меньше объема алюминиевого кубика.
3.21. Масса алюминиевого кубика на 57 г больше массы железного
кубика. Определите массу алюминиевого кубика, если его объем в 5 раз
больше объема железного кубика.
3.22. На поверхность воды разлили нефть массой m = 900 кг. Какую
площадь займет нефть, если она растеклась тонким слоем толщиной
d = 1/4000 мм? Ответ выразите в квадратных километрах.
3.23. Железный кубик с ребром a = 8 см снаружи покрыли тонким
слоем олова массой m = 650 мг. Какова толщина слоя олова? Ответ выразите в миллиметрах.
3.24. Какую массу имеет сплошной куб, если площадь его поверхности S = 150 см2, а плотность вещества куба ρ = 2700 кг/м3?
P
P
P
P
Уровень С
3.25. Масса второго бруска в 4 раза больше массы первого бруска, а
объем второго бруска больше объема первого в 3 раза. По заданной плотности ρ2 = 3 г/см3 второго бруска определите плотность ρ1 первого бруска.
3.26. Масса первого бруска в 2 раза больше массы второго бруска, а
объем второго бруска больше объема первого в 3 раза. По заданной плотности ρ1 = 2,4 г/см3 первого бруска определите плотность ρ2 второго бруска.
3.27. Первый брусок имеет массу m = 90 г. Второй брусок имеет высоту в 3 раза большую, длину в 6 раз меньшую, а ширину в 5 раз меньшую, чем у первого бруска. Определите массу второго бруска, если его
плотность втрое больше, чем у первого бруска.
3.28. Первый брусок имеет массу m = 120 г. Второй брусок имеет высоту в 4 раза меньшую, длину в 3 раза меньшую, а ширину в 5 раз большую, чем у первого бруска. Определите массу второго бруска, если его
плотность вдвое меньше, чем у первого бруска.
3.29. Масса первого изделия в 2 раза больше массы второго изделия, а
их объемы находятся в соотношении V1:V2 = 1:3. Плотность первого изделия ρ1 = 4 г/см3. Какова будет средняя плотность “составного” тела, если
два изделия склеить? Массой и объемом клея пренебречь.
3.30. Масса первого изделия в 3 раза меньше массы второго изделия, а
их объемы находятся в соотношении V1:V2 = 2:1. Плотность первого тела
B
B
B
P
B
P
P
B
P
B
B
B
B
P
B
B
B
B
B
P
B
B
B
B
39
ρ1 = 1,8 г/см3. Какова будет средняя плотность “составного” тела, если два
изделия склеить? Массой и объемом клея пренебречь.
3.31. Тело имеет массу m = 2 кг и объем V = 0,3 дм3. Треть объема тела заполнено веществом с плотностью ρ1 = 2 г/см3. Какова плотность вещества, заполняющего остальной объем этого тела?
3.32. Кубик с ребром a = 20 см сделан из материала с плотностью
ρ = 3000 кг/м3 . Однако внутри кубика имеется воздушная полость, поэтому его средняя плотность ρср = 1200 кг/м3 . Определите объем этой воздушной полости. Во сколько раз изменится средняя плотность кубика,
если полость целиком заполнить водой? Массой воздуха внутри полости
можно пренебречь.
3.33. Кубик изготовлен из материала с плотностью ρ = 3 г/см3. В кубике сделали выемку, объем которой составляет 40 % объема кубика, и
заполнили ее материалом с плотностью ρ1 = 5 г/см3. Чему стала равна
средняя плотность кубика?
3.34. Изделие, склеенное из трех различных частей, имеет объем
V = 600 см3 . Объемы частей находятся в соотношении V1:V2:V3 = 2:3:5, а
их плотности – в соотношении ρ1:ρ2:ρ3 = 4:3:1. Чему равна масса изделия,
если плотность первой части ρ1 = 2000 кг/м3.
3.35. Изделие, склеенное из трех различных частей, имеет объем
V = 900 см3 . Объемы частей находятся в соотношении V1:V2:V3 = 5:3:1, а
их плотности – в соотношении ρ1:ρ2:ρ3 = 1:2:5. Чему равна масса изделия,
если плотность первой части ρ1 = 500 кг/м3 .
B
B
P
P
P
B
P
B
P
P
P
P
B
B
P
P
P
B
P
B
B
B
B
B
B
B
P
P
B
B
B
B
B
B
B
B
P
B
B
B
B
B
B
40
P
P
P
P
B
B
B
P
P
B
B
B
B
B
P
Тема 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛ.
СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. ДАВЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Теоретические сведения
Сила – физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия одного тела на другое.
Общепринятое обозначение силы – F. За единицу силы в СИ
принят ньютон: [F] = Н. Приложенная к телу сила изменяет его
скорость. Сила в 1 Н – такая сила, которая за промежуток времени
1 с изменяет скорость тела массой 1 кг на 1 м/с при его прямолинейном движении.
Сила является векторной величиной – она характеризуется числовым значением и направлением. Кроме того, сила всегда имеет
точку приложения. Как правило, направление силы на рисунках
указывают стрелкой, рядом с которой указывают ее обозначение.
Если к телу приложено несколько сил, то часто используют
понятие равнодействующей силы. Любая равнодействующая сила
вызывает такое же движение тела, как все отдельные силы, действующие на тело совместно. Говорят, что равнодействующая сила
равна сумме сил, действующих на тело. Ввиду того, что сила является векторной величиной, для сложения отдельных используют
особые правила, отливающиеся от давно знакомых Вам правил
сложения в математике. Поясним это на конкретных примерах
сложения сил, действующих вдоль одной прямой (более сложные
случаи Вы будете рассматривать в старших классах, после изучения соответствующих разделов математики).
Пусть к телу приложены две силы F1 и F2 , направленные вдоль
одной прямой в одну сторону (рис. 4.1, а).
B
r
F1
B
B
r
F1
r
F2
r
F2
а
B
r
Fр
б
r
Fр
Рис. 4.1
41
Тогда равнодействующая сила направлена в ту же сторону, а ее
величина равна сумме величин этих сил:
(4.1)
Fр = F1 + F2 .
Пусть теперь к телу приложены две силы, действующие вдоль
одной прямой, но направленные в противоположные стороны (рис.
4.1, б) и пусть для определенности F1 > F2. В этом случае равнодействующая сила направлена в сторону большей силы F1 , а ее величина равна разности величин сил:
(4.2)
Fр = F1 − F2 .
B
B
B
B
B
B
Замечание. Если на тело в одном направлении действуют не
две силы, а больше, то поступают аналогичным образом. В примерах решения задач такие ситуации будут рассмотрены.
Кратко рассмотрим силы, с которыми приходится иметь дело
при изучении физики в 7 классе.
Сила, с которой Земля притягивает к себе тела, называется силой тяжести. В отсутствии сопротивления воздуха все тела вблизи поверхности Земли свободно падают, увеличивая свою скорость
за 1 с на 9,8 м/с. Характеристикой такого движения является ускорение свободного падения, обозначаемое буквой g. Сила тяжести
определяется как произведение массы тела m на ускорение свободного падения g: Fт = mg , где g = 9,8 Н/кг. Для удобства расчета
иногда принимают g = 10 Н/кг. На рисунках силу тяжести всегда
изображают стрелкой, направленной вертикально вниз (рис. 4.2).
Силы упругости возникают при упругой деформации тел, т.е.
при изменении формы или размеров этих тел. Именно силы упругости не дают возможности этой книжке провалиться сквозь стол, а
также шарику, привязанному к
r
нити, упасть (см. рис. 4.2).
Fу
r
Ведь
на все тела вблизи или на
Fу
поверхности Земли, всегда
действует направленная вниз
сила тяжести. Часто силу упруr
r
Fт гости, возникающую в нити
Fт
при малых ее деформациях,
Рис. 4.2
называют силой натяжения
42
нити и обозначают T. Силу же упругости, возникающую при малых деформациях опор (например, стола), на которых находятся
тела, называют нормальной реакцией опоры и обозначают буквой
N. Вам делать это не обязательно, но для будущего полезно.
r
Для малых упругих деформаций тел спраFу
ведлив закон Гука: сила упругости прямо пропорциональна упругой деформации этих тел. В
школе обычно этот закон используют для решения задач с пружинами, которые могут либо
растягиваться, либо сжиматься. Направление
r
силы упругости, действующей на тело со стоFу
роны пружины, будем определять таким образом: если пружина растянута, то сила упругости будет направлена от тела к пружине; если
Рис. 4.3
пружина сжата – от пружины к телу (рис. 4.3).
Закон Гука для пружины можно записать в
виде формулы. Если величину деформации обозначить за x (x ≥ 0),
а положительный коэффициент пропорциональности за k, то
Fу = kx .
(4.3)
Заметим, что коэффициент k называется коэффициентом жесткости пружины. В СИ он измеряется в Н/м.
Силы трения возникают при взаимодействии между соприкасающимися телами и препятствуют их движению друг относительно друга. Силы трения можно разбить на две группы: силы сухого
трения, которые возникает между поверхностями твердых тел, и
силы трения (сопротивления), которые возникают при движении
тел в жидкостях или в воздухе. Обычно считается, что силы трения
препятствуют движению тел. Однако для автомобиля сила сухого
трения является как раз «движущей» силой! Что касается решения
задач, у учащихся обычно не возникает проблем с выбором направления силы трения.
Опыт показывает, что результат действия тела на опору зависит
как от площади соприкосновения тела с опорой, так и от силы, действующей со стороны тела на опору. Эти факторы учитывает физическая величина, называемая давлением. Давлением называется фи43
зическая величина, равная отношению величины силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности:
F
p= ⊥ .
(4.4)
S
1Н
В СИ давление измеряется в паскалях: 1 Па =
. Заметим
1 м2
также, что в отличие от силы давление является скалярной величиной. Сила давления всегда приложена к опоре и направлена от тела к опоре.
Если на тело не действует никаких вертикальных сил, кроме
силы тяжести, то давление тела на поверхность есть отношение
силы тяжести к площади соприкосновения тела с поверхностью:
F
mg
.
(4.5).
p= т =
S
S
Примеры решения задач
Задача 4.1. Самолет летит запад, увеличивая свою скорость и
не изменяя высоту над Землей. Изобразите силы, действующие на
самолет.
r
Решение. В горизонтальном
Fпод
направлении на корпус самолета
действуют силы: сила тяги двигаr
телей F и сила сопротивления
Fсопр
движению Fсопр. В вертикальном
r
F
направлении на корпус действуют: сила тяжести Fт и подъемная
r
сила крыла самолета Fпод, которая
Fт
создается набегающим на него
Рис. 4.4
воздушным потоком.
Из чертежа видно, что векторы сил, действующих в горизонтальном направлении, имеют длину и направления. Сила тяги двигателей больше силы сопротивления, поэтому самолет по условию
задачи увеличивает скорость. Равнодействующая же силы тяжести
B
B
B
B
B
44
B
и подъемной силы равна нулю, так как по условию самолет не изменяет высоту над Землей.
Задача 4.2. К бруску, покоящемуся на гладком горизонтальном
столе, приложены три силы: F1 и F2 вправо, а сила F3 влево. Величина силы F2 в 4 раза меньше F1. Будет ли этот брусок находиться в
покое, если к нему приложить силу F1, направленную вправо, и направленную влево силу F4, если величина силы F4 равна половине
суммы сил F2 и F3? Все указанные силы направлены параллельно
поверхности стола.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
r
F2
r
F3
B
r
F4
r
F1
а
r
F1
б
Рис. 4.5
Решение. На рис. 4.5, а показаны силы, действующие на брусок в первом случае. Так как по условию брусок покоится, то равнодействующая сила равна нулю. Тогда F3 = F1 + F2 . По условию
сила
задачи сила F2 в 4 раза меньше силы F1. Тогда
F1 5
F3 = F1 +
= F1 .
4 4
На рис. 4.5, б показаны силы, действующие на брусок во втором случае. По условию задачи сила F4 равна полусумме сил F2 и
F1 5 F1
+
F + F3
4 = 3F .
F3 . Тогда F4 = 2
= 4
1
2
2
4
Получилось, что сила, действующая на брусок справа, не равна
силе, действующей на брусок слева. Следовательно, равнодействующая сила не равна нулю, и брусок не будет находиться в покое.
Ответ: брусок будет двигаться влево
Задача 3. Деревянный брусок с прикрепленными к нему тремя
пружинами покоится на столе (рис. 4.6). Пружины 2 и 3 сжаты на
1 см, а пружина 1 растянута на 2 см (относительно недеформированного состояния). В результате предварительных испытаний
пружин было установлено, что под действием силы 1 Н пружины
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
45
2 и 3 растягиваются на 1 см, а 1 – на 0,5 см. Изобразите силы,
действующие на брусок. Определите силу трения, действующую
на брусок, а также силу давления бруска на стол. Масса бруска
m = 0,4 кг.
r
N
3
1
r
Fу1
2
r
Fу3
r
Fу2
r
Fт
Рис. 4.6
r
Fтр
Рис. 4.7
Решение. На брусок действуют (см. рис. 4.7):
- сила тяжести Fт = mg = 4 Н, направленная вниз;
- три силы упругости Fу1, Fу2, Fу3 со стороны трех пружин – их
направления показаны;
- направленная вверх сила упругости со стороны горизонтальной поверхности – ее мы называем «нормальная реакция опоры» и
обозначаем N;
- сила трения Fтр со стороны горизонтальной поверхности, направленная вправо.
Выбор направлений указанных трех сил упругости достаточно
очевиден: первая пружина растянута, и она притягивает к себе брусок. Напротив, пружины 2 и 3 сжаты, поэтому они отталкивают
брусок от себя. Выбор направления силы трения в этом случае очевиден, однако расчет силы требует предварительного определения
сил упругости для первой и второй пружин.
Согласно закону Гука сила упругости при растяжении или
сжатии пружины пропорциональна ее деформации – удлинению
или укорочению. Сравнивая деформацию пружин на предварительных испытаниях с заданными в условии задачи деформациями,
получим, что Fу1 = 4 Н, а Fу2 = Fу3 = 1Н. Можно, например, запиB
B
B
B
B
B
B
46
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Fу1
1Н
, откуда по свойству
=
0,5 см 2 см
пропорции можно выразить силу упругости первой пружины Fу1 =
= 4 Н. Согласно условию равновесия тела, в горизонтальном направлении равнодействующая сила должна быть равна нулю. Потому сила трения
Fтр = Fу1 + Fу2 = 5 Н.
Аналогично из условия равновесия бруска в вертикальном направлении найдем нормальную реакцию опоры:
N = Fу3 + mg = 5 Н.
Сила давления бруска на стол численно равна нормальной реакции опоры, но направлена в противоположную сторону:
Fд = N = 5 Н.
Ответ: Fтр = 5 Н, Fд = N = 5 Н.
Задача 4.4. Грузы подвешены на двух легких
нитях так, как показано на рис 4.8. Отношение сил
натяжения нижней и верхней нитей F2/F1 = k = 1/3.
m1
Определите отношение масс верхнего и нижнего
грузов (m1/m2).
Решение. Сначала сделаем важное замечание:
m2
если дано несколько тел, то обязательно рисовать их
Рис. 4.8
надо отдельно. Иначе можно запутаться с расстановкой действующих на них сил.
На верхний груз следующие действуют (см. рис. 4.9, а):
- сила тяжести m1g, направленная вниз;
- сила натяжения верхней нити F1,
r
F1
направленная вверх;
r
- сила натяжения нижней нити F2 .
F2
При этом условие равновесия этого
груза имеет вид:
r
F1 = F2 + m1g.
m1 g
r
m2 g
На нижний груз действуют направF2
ленная вниз сила тяжести m2g и сила наа
б
тяжения нижней нити F2, направленная
вниз (см. рис. 4.8 б).
Рис. 4.9
сать в виде такого соотношения:
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
47
Условие равновесия нижнего груза:
F2 = m2g.
С учетом последнего соотношения, сила натяжения верхней
нити будет равна F1 = m2g + m1g.
По условию задачи отношение сил натяжения нижней и верхF
ней нитей равно k: 2 = k . Подставляя сюда выражения для F2 и F1,
F1
получим:
m2 g
m2
=k
=k .
и
m1 g + m2 g
m1 + m2
Теперь маленькая математическая хитрость: разделим числи1
= k . Решая это уравтель и знаменатель дроби на m2. Тогда:
m1
+1
m2
нение относительно неизвестного отношения масс, найдем:
1
1−
m1 1 − k
3 = 2.
=
=
1
m2
k
3
m 1− k
= 2.
Ответ: 1 =
m2
k
Задача 4.5. Если груз аккуратно положить на
вертикально установленную пружину, то она сожмется на x1 = 4 см. На сколько сожмутся две таких же пружины, если их установить так, как показано на рис. 4.10, и положить на них груз втрое
большей массы?
Решение. Рассмотрим случай, когда груз масРис. 4.10
сой m находится на одной пружине (рис. 4.11, а).
На этот груз действует сила тяжести (сила притяжения груза к Земле) mg, направленная вертикально вниз, и сила упругости со стороны пружины Fу1, направленная вертикально вверх. Условие равновесия груза заключается в равенстве этих сил: mg = Fу1. Другими
словами, равнодействующая сила должна быть равна нулю.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
48
B
B
B
B
r
Fу2
r
Fу1
r
Fу2
r
mg
а
r
3 mg
б
Рис. 4.11
Теперь рассмотрим груз втрое большей массы, покоящийся на
двух вертикально установленных пружинах (рис. 4.11, б). На этот
груз действует сила тяжести 3mg и две силы упругости со стороны
каждой пружины. Условие равновесия этого груза примет вид:
3mg = 2Fу2.
Тогда получаем, что
3
3Fу1 = 2Fу2 или Fу2 = Fу1 .
2
Так как пружины одинаковые, а силы упругости пропорциональны деформации пружин (в данном случае сжатию), то аналогичное соотношение будет справедливым и для деформаций:
B
B
B
B
B
B
x2 =
3
2
x1 .
3
Следовательно, две пружины сожмутся на x2 = ⋅ 4 см = 6 см .
2
Ответ: x2 =
3
2
x1 = 6 см.
Задача 4.6. Папа и его сын надели лыжи. Масса папы 80 кг,
сына – 40 кг. Размер лыж папы 200 см × 5 см, сына – 1,6 м × 4 см.
Чему равны давления папы и сына на снег? Принять g = 10 Н/кг.
Решение. По формуле (4.5) для папы получим давление:
Н
80 кг ⋅ 10
mп g
кг = 8000 Па = 8 кПа .
pп =
=
Sп
2 м ⋅ 0,05 м
Давление сына на снег найдем по той же формуле:
49
Н
40 кг ⋅ 10
mс g
кг
pс =
=
= 6250 Па = 6,25 кПа .
Sс
1,6 м ⋅ 0,04 м
Ответ: 8 кПа и 6,25 кПа.
Задачи к теме 4
Уровень А
4.1. На тело по вертикали действуют силы 5 Н и 15 Н. Изобразите эти
силы. Сколько вариантов у Вас получилось?
4.2. На тело вдоль одной прямой действуют силы 2 Н и 3 Н. Может
ли равнодействующая этих сил быть равной: а) 1 Н; б) 2 Н; в) 4 Н; г) 5 Н?
Сделайте пояснительные рисунки.
4.3. Найдите равнодействующую сил, действующих вдоль одной
прямой: а) 1 Н влево, 0,8 Н и 1,2 Н вправо; б) 6 Н вверх, 10 Н и 3 Н вниз.
4.4. Карлсон «завис» напротив окна Малыша. Масса Карлсона 100 кг.
Какова подъемная сила моторчика Карлсона?
4.5. Перышко массой 0,03 г опускается вертикально вниз с постоянной скоростью. Чему равна сила сопротивления воздуха, действующая на
перышко?
4.6. Пружина удлиняется на 1 см под действием силы 20 Н. Под действием какой силы эта пружина сожмется на 2,5 см.
4.7. Под действием силы F1 = 5 Н пружина удлинилась на x1 = 3 см.
Чему будет равна длина пружины при действии на нее силы F2 = 15 Н,
если длина недеформированной пружины равна l0 = 4 см?
4.8. Как, имея два одинаковых динамометра, определить массу груза,
вес которого превышает предел измерения каждого из динамометров?
4.9. Если стакан сдавливать ладонями за горлышко и дно, то на одной
ладони появится отпечаток, а на другой – нет. Почему?
4.10. Является ли единицей измерения давления 1 мН/км2?
4.11. Расположите давления в порядке уменьшения: 6 кН/м2,
60 Н/см2, 600 Па, 60 кН/дм2, 60 Н/м2.
4.12. Тело находится в состоянии покоя на горизонтальной плоскости. Определить давление тела на эту плоскость. Масса тела m = 700 г.
Площадь основания тела S = 35 см2.
4.13. Алюминиевый кубик с ребром 20 мм лежит на столе. Какое давление создает кубик?
B
B
B
B
B
B
B
B
P
P
P
P
P
P
P
P
50
P
P
P
P
4.14. Тело находится в состоянии покоя на горизонтальной плоскости. Давление тела на эту плоскость p = 2 кПа. Определить массу тела.
Площадь основания тела S = 45 см2.
4.15. Какое давление на пол производит стол массой m = 20 кг, если
площадь каждой из четырех ножек S = 5 см2? Влиянием атмосферного
давления пренебречь.
4.16. Ветер создает давление всего лишь 80 Па. С какой силой ветер
толкает вперед яхту с площадью паруса 60 м2?
P
P
P
P
P
P
Уровень В
4.17. На медный шар объемом 120 см3 действует сила тяжести, равная
9 Н. Имеется ли внутри этого шара полость?
4.18. К бруску, покоящемуся на гладком горизонтальном столе, приложены три силы: F1 = 12 Н влево, а F2 и F3 вправо. Величина силы F3 в
3 раза больше F2. Будет ли это тело находиться в покое, если к нему приложить силу F3, направленную влево, и направленную вправо силу F4,
если величина силы F4 равна половине суммы сил F1 и F2? Все указанные
силы направлены параллельно поверхности стола. Ответ обосновать.
4.19. Поезд весом Р = 20 МН движется по горизонтальному участку
пути с постоянной скоростью. Определите силу тяги тепловоза, если сила
трения составляет 0,5 % его веса.
4.20. Деревянный брусок под действием силы F = 12 Н движется по
горизонтальной поверхности с постоянной скоростью. Во сколько раз сила трения меньше веса бруска, если масса бруска m = 3 кг?
4.21. Известно, что вертикальная пружина растягивается на x = 2 см,
если на нее действует сила F = 10 Н. На сколько растянется эта пружина,
если к ней прикрепить ведро массой m = 0,2 кг и в него налить воду объемом V = 500 см3? Массой пружины пренебречь.
4.22. Пружина под действием силы F1 = 150 Н, растянулась на x1 =
= 1 см. Чему равно общее удлинение двух таких же пружин, соединенных
как показано на рис. 4.12, под действием силы, величина которой F2 = 450 Н?
P
B
B
B
B
B
B
P
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
P
B
B
B
B
B
P
B
B
B
B
r
F1
Рис. 4.12
B
B
r
F2
Рис. 4.13
51
4.23. Пружина под действием силы, величина которой F1 = 50 Н, растянулась на x1 = 1 см. Чему равно общее удлинение двух таких же пружин, соединенных как показано на рис. 4.13, под действием силы, величина которой F2 = 250 Н?
4.24. Какое наибольшее и наименьшее давления может создавать
оловянный брусок с размерами 10×5×8 см?
4.25. Оловянный брусок с размерами 10×20×25 см и массой 5 кг лежит на столе своей большей гранью. Какое он создает давление?
4.26. Оловянный брусок с размерами 20×25×10 см и массой 5 кг лежит на столе своей меньшей гранью. Какое он создает давление?
4.27. Какая сторона бетонного блока с размерами 50×150×100 см
опирается на землю, если блок создает давление 23 кПа? Плотность бетона 2,3 г/см3.
4.28. Латунный брусок с размерами 10 ×40 ×15 см, лежащий на столе,
создает давление 34 кПа. Грань с какими ребрами находится внизу? Плотность латуни 8,5 г/см3.
4.29. Медный кубик с ребром 2 см лежит на оловянном кубике с ребром 4 см. Какое давление испытывает оловянный кубик? Стол под ним?
Плотность олова 7,3 г/см3.
4.30. Оловянный кубик с ребром 4 см лежит на медном кубике с ребром 2 см. Какое давление испытывает медный кубик? Стол под медным
кубиком?
4.31. Брусок массой m = 2 кг движется по горизонтальной поверхности
с постоянной скоростью (рис. 4.14). В процессе движения на брусок действуют три силы со стороны привязанных к нему нитей: F1 = 4 Н, F2 = 8 Н,
F3 = 6 Н. Определите силу трения, действующую на брусок, и силу давления бруска на поверхность.
r
r
F1
F1
r
r
r
r
F2
F3
F3
F2
B
B
B
P
B
P
P
P
P
P
B
B
B
B
B
B
B
B
Рис. 4.14
Рис. 4.15
4.32. Брусок массой m = 1 кг движется по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью (рис. 4.15). В процессе движения на брусок
действуют три силы со стороны привязанных к нему нитей: F1 = 2 Н, F2 =
= 5 Н, F3 = 2 Н. Определите силу трения, действующую на брусок, и силу
давления бруска на поверхность.
B
B
52
B
B
B
B
4.33. Объем кубика увеличили в k = 27 раз, а его плотность уменьшили в m = 1,5 раза. Во сколько раз при этом изменилось давление кубика на
стол?
4.34. Объем кубика уменьшили в т = 8 раз, а его плотность увеличили в k = 3 раза. Во сколько раз при этом изменилось давление кубика на
стол?
4.35. Кубик сделан из материала с плотностью ρ = 2 г/см3. Внутри кубика имеется полость, объем которой составляет 25% объема кубика. Найдите ребро кубика, если он оказывает давление на стол равно p = 7 кПа.
4.36. Кубик с ребром а = 10 см имеет внутри себя полость, объем которой составляет 30% объема кубика. Найдите плотность кубика, если он
оказывает давление на стол p = 900 Па.
4.37. Кубик с ребром а = 10 см стоит на столе. Каким должен быть
объем воздушной полости внутри кубика, чтобы давление, оказываемое
кубиком на стол, уменьшилось в 4 раза?
P
P
Уровень С
4.38. Грузы подвешены на двух легких нитях так, как показано на
рис. 4.16. Отношение сил натяжения верхней и нижней нитей F1/F2 = k =5.
Определите отношение масс нижнего и верхнего грузов (m1/m2).
B
B
m2
m1
B
m1
B
B
B
B
m2
Рис. 4.16
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Рис. 4.18
Рис. 4.17
4.39. Грузы подвешены на двух легких нитях так, как показано на рис.
4.17. Отношение сил натяжения верхней и нижней F1/F2 =3. Определите
массу верхнего груза, если сила натяжения нижней нити равна F2 =10 Н.
4.40. Если груз аккуратно положить на вертикально установленную
пружину, то она сожмется на x1 = 3 см. На сколько сожмутся две такие же
пружины, если их установить так, как показано на рис. 4.18, и положить
на них груз втрое меньшей массы?
4.41. Деревянный брусок с прикрепленными к нему тремя пружинами
покоится на столе (рис. 4.19). Пружины 2 и 3 сжаты на 1 см, а пружина 1
B
B
B
B
B
B
B
B
53
растянута на 2 см (относительно недеформированного
состояния). В результате предваритель3
ных испытаний пружин установлено, что под
1
2
действием силы 1 Н первая и третья растягиваются на 1 см, а вторая – на 2,5 мм. Изобразите
силы, действующие на брусок. Определите силу
трения, действующую на брусок, и силу давлеРис. 4.19
ния бруска на стол. Масса бруска m = 1 кг.
4.42. В результате испытаний было установлено, что
первая
пружина под действием силы F1 = 18 Н удлини1
лась на x1 = 2 см, а вторая пружина под действием силы F2 =
36 Н удлинилась на x2 = 1 см. Каково будет суммарное удлинение этих двух пружин, если их подвесить вертикально и
m1
прикрепить к ним грузы массой m1 = 4 кг и m2 = 6 кг так,
2 как показано на рис. 4.20? Массой пружин пренебречь.
4.43. Первая пружина под действием силы F1 = 24 Н
удлинилась
на x1 = 1 см. Вторая пружина под действием
m2
силы F2 = 18 Н удлинилась на x2 = 2 см. Каково будет
Рис. 4.20
суммарное удлинение этих двух пружин, если их подвесить
вертикально и прикрепить к ним грузы массой m1 = 2 кг и
m2 = 3 кг так, как показано на рис. 4.21? Массой пружин
1 пренебречь.
4.44. Два кубика, сделанные из одного материала, поставлены на стол так, как показано на рис. 4.22. Объем верхm2
него кубика в 10 раз меньше объема нижнего кубика. В верх2 нем кубике высверливают отверстие, объем которого в 3 раза
меньше объема этого кубика. Как следует изменить плотность
нижнего кубика, чтобы давление на стол не изменилось?
m1
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Рис. 4.21
Рис. 4.22
Рис. 4.23
4.45. Два кубика, сделанные из одного материала, поставлены на стол
так, как показано на рис. 4.23. Объем верхнего кубика в 8 раз больше объема нижнего кубика. В верхнем кубике высверливают отверстие, объем
54
которого в 4 раза меньше объема этого кубика. Как следует изменить
плотность нижнего кубика, чтобы давление на стол не изменилось?
4.46. Брусок с размерами a×a×b (a< b) поставили на стол сначала вертикально (на грань a×a), а затем положили горизонтально (на грань a×b).
При этом отношение разности давлений к первоначальному давлению k =
= 0,2. Определите сторону бруска b, если сторона a = 5 см.
4.47. Брусок с размерами a×a×b (a < b) сначала положили на стол горизонтально (на грань a×b), а затем поставили вертикально (на грань a×a).
При этом отношение разности давлений к первоначальному давлению
n = 1,5. Определите сторону бруска a, если сторона b = 7,5 см.
4.48. Кубик с ребром а = 5 см стоит на столе. Кубик сделан из материала с плотностью ρ = 2 г/см3. Внутри кубика имеется полость, объем
которой равен 3/5 объема кубика. Какой должна быть плотность материала, заполняющего полость, чтобы давление, оказываемое кубиком на стол,
увеличилось в 7/4 раза?
4.49. Два кубика с одинаковыми внутренними воздушными полостями оказывают равное давление на стол. Плотность вещества, из которого
изготовлен первый кубик, в k = 3 раза больше плотности вещества, из которого изготовлен второй кубик, зато у второго кубика в n = 2 раза больше длина ребра. Пусть x – отношение объема воздушной полости к объему первого кубика. Найдите x. Массой воздуха в полости пренебречь.
4.50. Два кубика с одинаковыми внутренними воздушными полостями оказывают равное давление на стол. Плотность вещества, из которого
изготовлен первый кубик, в k = 2 раза меньше плотности вещества, из которого изготовлен второй кубик. У второго кубика в n = 1,2 раза меньше
длина ребра. Пусть x – отношение объема воздушной полости к объему
второго кубика. Найдите x. Массой воздуха в полости пренебречь.
P
P
55
Тема 5. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.
СИЛА АРХИМЕДА
Теоретические сведения
В данном разделе рассматриваются основы гидростатики –
раздела механики, в котором изучаются физические явления в покоящейся жидкости.
Силами давления жидкости называют силы, действующие со
стороны жидкости на погруженные в нее тела, а также между отдельными частями самой жидкости. Важной особенностью этих
сил является то, что они направлены перпендикулярно поверхности
тел или частей жидкости.
Гидростатическим давлением называют давление в жидкости,
обусловленное весом этой жидкости. Во всех точках жидкости с
плотностью ρж, находящихся на одной глубине h от поверхности
жидкости, гидростатическое давление одинаково и не зависит от
формы сосуда:
pг  ρ ж gh .
(5.1)
Закон сообщающихся сосудов: высоты
поверхностей двух разнородных несмешиh2 вающихся жидкостей относительно их поh1
верхности раздела в открытых сообщающихся
сосудах обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей (рис. 5.1):
h1 ρ 2
 .
(5.2)
Рис. 5.1
h2 ρ1
Важнейшую роль в гидростатике играет закон Паскаля: давление, оказываемое на жидкость (или газ) поверхностными силами,
передается во все точки жидкости одинаково. Пример применения
этого закона рассмотрен в задаче 5.2.
Закон Паскаля лежит в основе работы гидравлического пресса –
устройства, широко распространенного в технике (например, автомобильные гидравлические тормоза). На рис. 5.2 изображена
56

принципиальная схема гидравлического пресса. Так

F
1
как давление p, оказываемое на малый поршень
F2
площадью S1, передается без изменения во все точки жидкости, а значит, и на большой поршень площадью S2, то на него действует сила
F
F2  pS 2  1 S 2 .
S1
Отсюда
F2 S 2
Рис. 5.2
 .
(5.3)
F1 S1
Таким образом, гидравлический пресс дает выигрыш в силе во
столько раз, во сколько раз площадь одного поршня больше площади другого.
Закон Архимеда является отправным пунктом при изучении
условий плавания тел. Согласно этому закону на любое тело, погруженное в жидкость (или газ) с плотностью ρж, действует выталкивающая (направленная вверх) сила, равная по величине весу
жидкости в объеме погруженной части тела. Эту силу называют
силой Архимеда и рассчитывают по формуле:
FA  ρ ж gVпчт ,
(5.4)
где Vпчт – объем погруженной в жидкость части тела.
Условие плавания тела заключается в равенстве (по величине)
действующих на него сил Архимеда и тяжести, т.е.
FA  mg .
(5.5)
Если сила Архимеда при помещении тела в жидкость превышает силу тяжести, то тело будет всплывать в этой жидкости. В
противном же случае тело будет тонуть.
Атмосферой называется воздушная оболочка Земли. Верхние
слои атмосферы давят на нижние точно так же, как это происходит
в жидкости, что приводит к появлению атмосферного давления –
давления у поверхности Земли. Значение атмосферного давления,
равное давлению столба ртути высотой 760 мм при температуре 0 С
называют нормальным атмосферным давлением. Нормальное ат57
мосферное давление в СИ равно 1,01∙105 Па. Измеряют атмосферное давление барометрами. Наиболее известные из них ртутный
барометр и барометр-анероид – безжидкостный барометр.
Примеры решения задач
Задача 5.1. Докажите, что гидростатическое давление жидкости можно рассчитать по формуле pг = ρжgh.
Решение. Выделим в жидкости узкий столбик жидкости в форме цилиндра. При этом пусть
верхнее основание цилиндра находится на уровh не границы раздела воздух–жидкость, а нижнее –
на глубине h от этой границы (рис. 5.3).
Обозначим через S площадь основания цилиндра. Согласно определению давления p = F/S.
В данном случае в качестве силы F будет выстуРис. 5.3
пать сила тяжести, действующая на столбик жидкости: F = mжg. Масса жидкости в объеме цилиндра равна произведению плотности жидкости на ее объем: mж = ρжV. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = Sh. Тогда для давления на глубине h получим:
m g ρ Shg
p ж  ж
 ρ ж gh ,
S
S
что и требовалось доказать.
Задача 5.2. В цилиндрическом сосуде слой воды толщиной
h = 1 м плотно закрыт поршнем массой m = 10 кг (рис. 5.4). Площадь дна сосуда S = 20 см2. Плотность воды ρ = 1 г/см3. Определите давление на дно сосуда. Атмосферное давление

F0
p0 = 105 Па.
Решение. Согласно (5.1), гидростатическое давление, обусловленное весом жидкости в сосуде,
равно pг  ρgh . Но это еще не ответ в данной задаче. Согласно закону Паскаля, чтобы найти давление
на
дно сосуда, к этому гидростатическому давлению
Рис. 5.4
следует прибавить давление, оказываемое на жид58
кость поверхностными силами. В нашем случае – это силы, обусловленные наличием атмосферного давления и поршня. Таким
образом, давление на дно сосуда будет определяться суммой трех
слагаемых:
p  pг  p0  pп ,
где p0 – атмосферное давление; pп – давление поршня на поверхность воды. Значение атмосферного давления нам задано в условии
задачи, а давление поршня на поверхность воды определяется отmg
ношением веса поршня к площади его сечения: p 
. ОкончаS
тельно получим выражение для давления на дно сосуда:
mg
p  ρgh  p0 
.
S
Подставим теперь числовые значения в СИ:
Н
10 кг  10
кг
Н
кг  1,6  105 Па.
p  103 3  10  1м  105 Па 
4 2
кг
м
20  10 м
mg
= 1,6∙105 Па.
S
Задача 5.3. В вертикальную цилиндрическую
трубку, снизу закрытую пробкой, наливают воду (см.
рис. 5.5). Известно, что пробка вылетает, если избыточная сила давления на нее превышает значения F =
6 Н (влияние сил трения, действующих на пробку со
стороны дна трубки). Какую максимальную массу воды можно налить в трубку, если площади поперечного
сечения трубки и пробки относятся как 3:1? Массой
Рис. 5.5
пробки, а также толщиной стенок трубки пренебречь.
Решение. Обозначим через h высоту уровня воды в трубке, а
через Sпр площадь сечения пробки. Тогда гидростатическое давление на дно сосуда будет равно pг  ρgh . Сила, действующая со
стороны воды на пробку, определяется произведением гидростатического давления на площадь пробки. Так как по условию задачи
Ответ: p  ρgh  p0 
59
мы пренебрегаем массой пробки, то эта сила должна быть равна
силе трения, действующей на пробку со стороны дна трубки, т.е.
Fг  F .
Если обозначить через Sдно площадь дна цилиндрической трубки, то можно записать выражение для массы воды, находящейся в
трубке:
m  ρV  ρS дно h .
Таким образом, мы получили два соотношения: m  ρS дноh и
ρghSпр  F . Выражаем теперь произведение ρh из первого соотm
ношения: ρh 
. Затем подставляем во второе соотношение и
S дно
получаем:
m
g
Sпр  F .
S дно
Отсюда выражаем искомую массу воды:
F S
m   дно .
g Sпр
Так как по условию задачи площади поперечного сечения дна
и пробки относятся как 3:1, то окончательно получим:
3F
36 Н
m

 1,8 кг.
g 10 Н
кг
3F
Ответ: m 
 1,8 кг.
g
Задача. 5.4. В U-образную трубку с площадью поперечного сечения S = 10 см2 налиты ртуть, вода и керосин (рис. 5.6). Высота
слоя керосина в левом колене трубки hк = 26 см. В правом колене трубки уровень ртути на a = 0,5 см ниже, чем в левом. Определите массу содержимого трубки, если масса ртути mрт = 200 г.
Плотность ртути рт = 13,6г/см3, плотность керосина к=0,8г/см3.
Решение. Масса содержимого трубки складывается из массы
ртути mрт, массы воды mв и керосина mк:
m  mрт  mк  mв .
60
Масса керосина mк  ρ кVк , где объем керосина в трубке равен произведению площади сечения трубки на высоту слоя керосина:
Vк  Shк . Аналогично масса воды в трубке:
hк
hв
mв  ρ в Shв , где hв – неизвестная пока высота
слоя воды.
a
К сожалению, для нахождения высоты
слоя воды в этой задаче нельзя напрямую
воспользоваться законом сообщающихся соРис. 5.6
судов в форме (5.2). Все дело в том, что здесь
присутствуют не две, а три жидкости: вода, ртуть и керосин. Высоту столба воды определим из равенства гидростатических давлений
в коленах U – образной трубки на уровне (см. рис. 5.6), ниже которого в трубке находится однородная жидкость, т.е. ртуть. На этом
уровне гидростатическое давление в правом колене трубки будет
равно pв  ρв ghв . В левом же колене трубки на этом уровне гидростатическое давление будет равно сумме гидростатических давлений керосина и ртути (опять проявление закона Паскаля!). Тогда
получим:
ρ в ghв  ρк ghк  ρ рт ga .
Из этого уравнения находим высоту уровня воды:
ρк hк  ρ рт a
hв 
.
ρв
Зная теперь высоту уровня воды в трубке, находим массу воды:
mв  S ρк hк  ρ рт a .


Окончательно получаем искомую массу содержимого трубки
m  mрт  Sρк hк  S ρ к hк  ρ рт a  mрт  S 2ρ к hк  ρ рт a .




Подставим теперь числовые значения (здесь не обязательно
использовать СИ):
m = 200 г +10 см2 ∙(2∙0,8 г/см3 ·26 см +13,6 г/см3 ∙0,5 см) = 684 г.


Ответ: m  mрт  S 2ρ к hк  ρ рт a = 684 г.
61
Задача 5. В цилиндрическом сосуде слой воды плотно закрыт
невесомым тонким поршнем, на который действует направленная
вертикально вниз сила F = 20 Н (рис. 5.7). Сила тяжести, действующая на воду, в 2 раза меньше силы F, а площадь дна в 3 раза
меньше площади боковой поверхности цилиндра. С какой силой
действует вода на боковую поверхность цилиндра? Атмосферное
давление не учитывать.

Решение. Это достаточно сложная для учеников
F
7 класса задача, поэтому разберем ее подробно. Согласно закону Паскаля, давление, обусловленное поверхностными силами, передается во все точки жидкости без изменения. Давление, обусловленное действием силы F, будет одинаковым для дна и боковой
поверхности
цилиндрического сосуда:
Рис. 5.7
F
pFбок  pFдно 
.
Sдно
Гидростатическое давление на дно, обусловленное действием
силы тяжести на воду, будет равно:
mg
pгд. дно 
.
S дно
По условию задачи сила тяжести, действующая на воду, в 2
F
F
раза меньше заданной силы F: mg  , тогда pгд. дно 
.
2S дно
2
Гидростатическое давление на боковую поверхность цилиндра
равно половине гидростатического давления на дно, т.е.
pгд. бок 
p гд. дно
2

F
.
4 S дно
Сила, действующая на боковую поверхность, определяется
двумя слагаемыми: Fбок  FF бок  Fгд. бок .
Подставляя выражения для этих слагаемых, получим:
F
F
Fбок  pFбок S бок pгд. бок S бок 
S бок 
S бок .
S дно
4 Sдно
62
По условию задачи площадь боковой поверхности цилиндра в 3
S
раза больше площади дна, т.е. бок  3 . Тогда искомая сила
S дно
Fбок  3F 
3F 15 F

 75 Н .
4
4
15F
 75 Н.
4
Задача 5.6. Кубик с ребром a = 10 см плавает в жидкости с
плотностью ρ = 1,5 г/см3, погрузившись на 1/3 своего объема. Какую вертикальную силу следует приложить к другому кубику, сделанному из того же материала, но с вдвое меньшим ребром, чтобы
удержать его в воздухе?
Решение. Согласно (5.5), условие плавания кубика заключатся
в равенстве сил Архимеда и тяжести, т.е. mg = FA (рис. 5.8, а). Учитывая, что сила тяжести

FА
mg = ρтVg = ρтa3g,,
а сила Архимеда
Ответ: Fбок 
ρ ga 3
FA 
3

F

mg
(тело погружено на треть своего
объема), получим:
ρ ga 3
.
ρ т ga3 
3
Отсюда найдем плотность тела
ρт 
ρ
.
3

m2 g
а
б
Рис. 5.8
Чтобы удержать другой кубик в воздухе (рис. 5.8, б) к нему необходимо приложить силу, равную действующей на него силу тяжести:
F  m2 g .
Так как длина ребра этого кубика в два раза меньше, чем у кубика, плавающего в жидкости, то искомая сила
63
ρ т ga 3 ρ ga 3 1,5  10 3  10  10 3


 0,625 Н.
8
24
24
Ответ: F = 0,625 Н.
Задача. 5.7. Кубик льда плавает в широком сосуде с водой. Как
изменится уровень воды в сосуде, если лед растает?
Решение. Это очень известная задача – она есть во многих задачниках. Тем не менее, ее решение приводится в «рассудительной» форме без использования конкретных математических соотношений. Мы же решим эту задачу с использованием уже известных вам физических законов строго математически, доказав торжество хотя и достаточно примитивной, но «математической физики»!
Воспользуемся условием плавания кубика льда в воде и законом сохранения массы в замкнутой системе тел. Обозначим через
mл массу льда, тогда по условию плавания:
mл g = ρвVпчтg,

FА
откуда масса льда mл = ρвVпчт .
По закону сохранения массы суммарная масса льда и воды до таяния льда
должна быть равна массе воды после
таяния льда. Пусть S – площадь основа
ния цилиндрического сосуда, в котором
mg
H1 плавает лед, H – первоначальная высота
1
Vпчт
уровня воды в сосуде (рис. 5.9). Тогда
первоначальная суммарная масса воды и
льда будет равна:
Рис. 5.9
mл + ρв(SH1 – Vпчт).
После таяния льда образуется вода массой ρвSH2. По закону
сохранения массы:
mл + ρв(SH1 – Vпчт) = ρвSH2.
Подставляя массу льда и раскрывая скобки, получим:
ρвVпчт + ρвSH1 – ρвVпчт = ρвSH2.
Отсюда H1 = H2, т.е. уровень воды не изменится.
Ответ: уровень воды в сосуде не изменится.
F
64
Задача. 5.8. Чтобы удержать в воде полностью погруженное
тело объемом V = 80 см3, к нему необходимо приложить вертикальную силу F = 0,25 Н. Определите объем полости внутри тела,
если плотность воды в = 1 г/см3, плотность тела т = 1,5 г/см3.
Массой воздуха внутри полости пренебречь.
Решение. Это задача «с изюминкой». Она имеет два решения,
так как в условии задачи ничего не сказано о направлении приложенной к телу силы F. А она может быть направлена как вертикально вверх, так и вертикально вниз. Рассмотрим оба этих случая.
Случай 1. Пусть сила F направлена вертикально вверх. Так как
ее направление совпадает с направлением силы Архимеда, то условие равновесия тела будет иметь вид:
F  FA  mg .
Так как сила Архимеда FА = вVg, а сила тяжести mg = тg(V – Vп),
то получим:
F  ρвVg ρ т g (V  Vп ) .
Из этого уравнения выражаем искомый объем полости:
Vg (ρ т ρв )  F
Vп 
.
ρт g
Подстановка числовых значений в СИ дает результат: Vп = 10 см3 .
Случай 2. Пусть теперь сила F будет направлена вертикально
вниз. В этом случае условие равновесия тела имеет вид:
F  mg  FA .
Аналогично случаю 1 находим объем полости:
Vg (ρ т ρв )  F
Vп 
.
ρт g
Подстановка числовых значений в СИ дает результат: Vп = 43 см3 .
Как мы убедились, в обоих случаях получился «разумный» ответ для объема полости. Вот если бы объем полости получился отрицательным, тогда стало бы понятно: что-то не так с числовыми
значениями. Попробуйте самостоятельно проанализировать, при
каких значениях приложенной силы и плотности тела задача не
имеет решения. Ведь на самом деле объем полости не может быть
отрицательным. Если вы это сделаете, то, надеюсь, не останется
65
сомнений относительно необходимости решения большинства физических задач «в буквах».
Vg (ρ т ρв )  F
Ответ: 1) Vп 
= 10 см3;
ρт g
2) Vп 
Vg (ρ т ρв )  F
= 43 см3.
ρт g
Задачи к теме 5
Уровень А
5.1. Определите высоту столба керосина, который оказывает гидростатическое давление на дно сосуда равное 4∙103 Па.
5.2. Найдите гидростатическое давление на дно сосуда цилиндрической формы с площадью основания 50 см2, в который налили 2 л воды.
5.3. Сила Архимеда (выталкивающая сила), действующая на полностью погруженное в воду тело, равна 16 Н. Чему равен объем этого тела?
5.4. Определите силу Архимеда, действующую на тело с размерами
4×2×0,2 м, наполовину погруженное в воду.
5.5. Какая выталкивающая сила действует на тело, если его вес в воздухе равен 180 Н, а в воде 150 Н?
5.6. Длина плота равна 4 м, а ширина – 2 м. На середину плота кладут
стальной лист, в результате чего глубина погружения плота увеличивается на 5 мм. Чему равна масса листа?
5.7. Медный и деревянный шары бросили в воду. Как соотносятся
выталкивающие силы, действующие на эти шары, если: а) шары имеют
одинаковые объемы; б) шары имеют одинаковые массы?
5.8. Гидравлический пресс имеет поршни с площадью S1 = 0,003 м2 и
S2 = 400 см2. На больший поршень действует сила F = 1000 Н. Какая сила
действует на меньший поршень?
5.9. Гидравлический пресс имеет поршни с площадью S1 = 200 см2 и
S2 = 0,15 м2. На меньший поршень действует сила F = 100 Н. Какая сила
действует на больший поршень?
5.10. С какой силой атмосферный воздух давит на бумажный лист,
расположенный на горизонтальном столе? Размеры листа 16×20 см, атмосферное давление 1∙105 Па.
5.11. Давление газа в баллоне 23 кПа. С какой силой газ давит на дно
баллона площадью 3,2 дм2?
66
5.12. Высота столба ртути, уравновешивающего атмосферное давление, равна 760 мм. Во сколько раз будет больше высота столба воды,
уравновешивающего это давление?
5.13. Во сколько раз высота столба жидкости в спиртовом барометре
будет больше, чем в ртутном барометре? Давление атмосферное. Плотность ртути рт = 13,6 г/см3 , плотность спирта с = 0,79 кг/дм3.
5.14. Водяной насос может создавать давление не более 220 кПа. На
какую высоту он сможет подавать воду?
Уровень В
5.15. Сапоги, увязшие в размокшей p, кПа
глине, вытащить довольно трудно. Попробуйте объяснить это явление.
30
5.16. На рис. 5.10 представлен график
зависимости гидростатического давления
20
некоторой жидкости от глубины погружения, которая отсчитывается от поверхно10
сти жидкости. Определите плотность этой
жидкости.
5.17. В сосуд налили керосин и воду.
1
2
3 h, м
Толщина слоя нижней жидкости h1 = 1,5 см,
Рис. 5.10
верхней жидкости – h2 = 12 см. Сделайте
пояснительный рисунок. Вычислите давление на дно сосуда.
5.18. В сосуд налили воду и ртуть. Толщина слоя верхней жидкости 4 см, а нижней – 1 см. Сделайте пояснительный рисунок. Определите
давление на дно сосуда.
5.19. Корабль получил пробоину площадью 25 см2 на глубине 3м. С
какой силой нужно прижимать заглушку из трюма корабля, чтобы давление воды не выбило ее? Изменением давления в разных местах пробоины
пренебречь.
5.20. На каждый квадратный сантиметр поверхности батискафа океан
давит с силой 3кН. Оцените глубину, на которой находится батискаф.
5.21. В цилиндрический сосуд налили масло до высоты h1 = 60 см.
До какой высоты нужно налить воду в другой сосуд, площадь основания
которого в четыре раза меньше, чтобы давление на дно было таким же,
как и в первом сосуде? Плотность масла ρ1 = 0,9 г/см3, воды ρ2 = 1 г/см3.
5.22. В цилиндрический сосуд налили воду до высоты h1 = 40 см. До
какой высоты нужно налить керосин в другой сосуд, площадь основания
67
которого в два раза больше, чтобы давление на дно было таким же, как и в
первом сосуде? Плотность воды ρ1 = 1 г/см3, керосина ρ2 = 0,8 г/см3.
5.23. В цилиндрический сосуд налиты равные массы воды и керосина.
Определите гидростатическое давление на дно сосуда, если высота столба
керосина hк = 10 см. Плотность воды в = 1000 кг/м3 , плотность керосина
к = 800 кг/м3 . Во сколько раз изменится полученный ответ, если массу
воды увеличить в 2 раза, а массу керосина оставить прежней?
5.24. В цилиндрический сосуд налиты равные массы воды и керосина. Определите гидростатическое давление на дно сосуда, если высота
столба воды hв = 12 см. Плотность воды в = 1 г/см3 , плотность керосина
к = 800 кг/м3 . Во сколько раз изменится полученный Вами ответ, если
массу керосина увеличить в 2 раза, а массу воды оставить прежней?
5.25. В цилиндрическом сосуде слой воды толщиной h = 30 см плотно закрыт поршнем массой m = 3 кг. Плотность воды ρ = 1г/см3. Площадь
дна сосуда S = 30 см2. Определите давление на дно сосуда. Атмосферное
давление не учитывать.

5.26. В цилиндрическом сосуде слой воды толщиной
F
h = 50 см плотно закрыт невесомым поршнем, на который
действует направленная вертикально вниз сила F = 10 Н
(рис. 5.11). Плотность воды ρ = 1г/см3. Площадь дна сосуда
S = 25 см2. Определите давление на дно сосуда. Атмосферное давление не учитывать.
5.27. Длина аквариума a = 40 см, ширина b = 20 см, а высота h = 30 см. Определите силу, действующую на все бокоРис. 5.11
вые стенки аквариума. Аквариум полностью заполнен водой.
5.28. Длина аквариума a = 50 см, ширина b = 30 см. Аквариум наполовину заполнен водой. Сила, действующая на одну боковую
сторону аквариума, равна F = 180 Н. Определите высоту аквариума.
5.29. В сосуд высотой H = 60 см, в основании которого квадрат со
стороной a = 10 см, доверху налили воду и масло. Высота столба масла
H1 = 20 см, плотность воды 2 = 1 г/см3, плотность масла 1 = 0,9 г/см3.
Определите гидростатическое давление на дно сосуда и силу гидростатического давления, действующую на боковую поверхность сосуда.
5.30. В сосуд высотой H = 50 см, в основании которого квадрат со
стороной a = 20 см, доверху налили воду и керосин. Высота столба воды
H1 = 20 см, плотность воды 1 = 1 г/см3, плотность керосина 2 = 0,8 г/см3.
Определите гидростатическое давление на дно сосуда и силу гидростатического давления, действующую на боковую поверхность сосуда.
5.31. В U-образную трубку с площадью поперечного сечения S = 8 см2
налиты ртуть, вода и масло. Высота слоя воды в левом колене трубки
68
hв = 10 см. В правом колене трубки уровень ртути на b = 0,6 см выше,
чем в левом. Определите массу содержимого трубки, если масса ртути
mрт = 150 г. Плотность ртути рт = 13,6 г/см3, масла м = 0,8 г/см3.
5.32. На столе находятся стопка из пяти кирпичей массой m = 1 кг
каждый и пустой цилиндрический сосуд массой М = 1 кг. В сосуд начинают аккуратно наливать воду с расходом q = 10 см3/с. Через какое время
давления кирпичей и сосуда на стол сравняются? Чему при этом будет равна высота столба воды в сосуде? Площадь основания кирпича S1 = 200 см2.
Площадь поперечного сечения сосуда, измеренная по внешнему диаметру
сосуда S2 = 50 см2, по внутреннему диаметру – S3 = 40 см2. Плотность воды ρ = 1 г/см3.
5.33. На столе находится цилиндрический сосуд массой М = 3 кг, в
который налили воду высотой h1 = 50 см. Площадь поперечного сечения
сосуда, измеренная по внешнему диаметру сосуда, S2 = 40 см2, по внутреннему диаметру – S1 = 20 см2. Рядом на стол вплотную друг на друга
начинают укладывать стальные листы. Какова должна быть толщина слоя
стальных листов, при которой давления на стол с их стороны и со стороны сосуда с водой сравняются? Сколько листов окажется в стопке, если
толщина одного листа d = 5 мм? Плотность воды ρв = 1 г/см3, плотность
стали ρс = 8 г/см3.
5.34. В аквариум, размеры которого составляют 1,00,20,4 м, налили
воду, объем которой составляет 7/8 объема аквариума, и опустили в нее
камни массой m = 25 кг. Выльется ли вода из аквариума, если плотность
камней  = 2,6 г/см3, а плотность воды в = 1 г/см3 ?
5.35. В аквариум, размеры которого составляют 1,00,30,2 м, налили воду, объем которой составляет 8/9 объема аквариума, и опустили в
нее камни массой m = 30 кг. Выльется ли вода из аквариума, если плотность камней  = 2,6 г/см3, а плотность воды в = 1 г/см3 ?
5.36. В жидкости плавает однородный брусок. Объем погруженной в
жидкость части бруска в n = 7/3 раз превышает объем части бруска, расположенной выше уровня жидкости. Определите плотность жидкости,
если плотность бруска  = 0,7 г/см3.
5.37. В воде плавает однородный брусок. Какова его плотность, если
объем надводной части бруска в n = 4/3 раза превышает объем его подводной части? Плотность воды ρ = 1 г/см3.
5.38. Куб, плавающий в воде, погружен в воду на 1/3 своего объема
V. Какая часть куба будет находиться в воздухе, если на этот куб положить сверху тело той же плотности, что и куб, и объема V/3?
69
5.39. Куб, плавающий в воде, погружен в воду на 1/2 своего объема
V. Какая часть куба будет находиться в воздухе, если на этот куб положить сверху тело той же плотности, что и куб, и объема V/4?
5.40. Деревянный кубик с ребром a = 5 см плавает в воде. Какую вертикальную силу надо приложить к этому кубику, чтобы объем его надводной части уменьшился на 25%? Плотность дерева ρ1 = 0,6 г/см3, плотность воды ρ2 = 1 г/см3.
5.41. Пластмассовый кубик с ребром a = 10 см плавает в воде.
Какую вертикальную силу надо приложить к этому кубику, чтобы
объем его подводной части уменьшился на 40 %? Плотность пластмассы
ρ1 = 0,8 г/см3, плотность воды ρ2 = 1 г/см3.
5.42. Кубик с ребром a = 6 см плавает в первой жидкости, выступая из
нее на h1 = 2 см. Тот же кубик плавает в другой жидкости, погружаясь в нее
на h2 = 5 см. На сколько будет погружен этот кубик в жидкость, плотность
которой равна половине суммы плотностей первой и второй жидкостей?
5.43. Кубик с ребром a = 5 см плавает в первой жидкости, погружаясь
в нее на h1 = 1 см. Тот же кубик плавает в другой жидкости, выступая из
нее на h2 = 2 см. На сколько будет погружен этот кубик в жидкость, плотность которой равна сумме плотностей первой и второй жидкостей?
5.44. Давление на нижнюю грань плавающего в жидкости куба
p=1,5 кПа. Чему будет равно давление на эту грань, если на куб сверху
положить тело такого же объема, что и куб, но с плотностью в 3 раза
меньшей? Куб при этом полностью в жидкость не погружается.
5.45. Давление на нижнюю грань плавающего в жидкости куба
p=1 кПа. Чему будет равно давление на эту грань, если на куб сверху
положить тело массой в 4 раза меньше массы куба? Куб при этом полностью в жидкость не погружается.
5.46. Кубик массой m = 100 г плавает в жидкости. Чему равно гидростатическое давление на нижнюю грань кубика, если ребро кубика a = 10 см?
5.47. В деревянном кубике с ребром a = 4 см имеется воздушная полость объемом V = 8 см3. Кубик опустили в воду. Какова глубина погружения кубика? Плотность дерева ρ = 0,6 г/см3. массой воздуха в полости
пренебречь.
5.48. Чтобы удержать куб с ребром a = 10 см в воздухе, к нему необходимо приложить силу F = 5 Н. На какую часть своего объема погрузится кубик с той же плотностью, но с вдвое меньшим ребром, если его опустить в жидкость с плотностью ρ = 1,2 г/см3.
5.49. Кубик с ребром a = 10 см плавает в жидкости с плотностью
p=1,2 г/см3, погрузившись на h = 4 см. Какую вертикальную силу следу70
ет приложить к другому кубику, сделанному из того же материала, но с
втрое большим ребром, чтобы удержать его в воздухе?
5.50. В воздухе пружина под действием подвешенного к ней груза
растягивается на x1 = 4 см. На сколько сожмется эта пружина, если этот
груз целиком погрузить в воду? Плотность груза  = 0,2 г/см3.
5.51. В воздухе пружина под действием подвешенного к ней груза
растягивается на x1 = 3 см. На сколько растянется эта пружина, если этот
груз целиком погрузить в воду? Плотность груза  = 3 г/см3.
5.52. Подъемная сила шара, заполненного гелием, равна F = 660 Н.
Определите объем шара, если плотность воздуха ρв = 1,3 кг/м3, а плотность гелия ρг = 0,2 кг/м3.
Уровень С
5.53. В цилиндрическом сосуде слой воды плотно закрыт невесомым
тонким поршнем, на который действует направленная вертикально вниз
сила F = 20 Н (см. рис. 5.11). Сила тяжести, действующая на воду, в 2 раза
больше силы F, а площадь дна в 4 раза больше площади боковой поверхности цилиндра. С какой силой
действует вода на боковую поверхность цилиндра?
Атмосферное давление не учитывать.
5.54. В конический сосуд (рис. 5.12) аккуратно
H
наливают воду так, что давление на дно увеличивается
на 100 Па за 1 с. С какой скоростью (в м/с) повышается уровень H воды в сосуде?
Рис. 5.12
5.55. Из конического сосуда (рис. 5.13) аккуратно
выкачивают воду так, что давление на дно уменьшается на 50 Па за 1 с. С какой скоростью (в м/с) понижается уровень H воды в сосуде?
5.56. Резервуар кубической формы заполняют воH
дой с помощью шланга, имеющего площадь поперечного сечения S = 4 см2. Скорость истечения воды из
шланга υ = 1 м/с. Определите время заполнения резервуара водой, если известно, что в конце заполнения
Рис. 5.13
сила, действующая со стороны воды на одну боковую
стенку резервуара, равна F = 72 кН. Плотность воды  = 1 г/см3.
5.57. Аквариум, в основании которого квадрат, заполняют, наливая
ежесекундно q = 10 г/с воды. Определите время заполнения аквариума водой (целиком), если известно, что моменту заполнения половины аквариума на каждую боковую стенку аквариума действовала сила F = 600 Н.
Высота аквариума в 2 раза больше стороны основания.
71
5.58. В цилиндрическую вертикальную трубку налили доверху масло
и воду. Масса воды в два раза меньше массы масла. Какую часть трубки
занимает вода? Чему равно гидростатическое давление на дно трубки,
если посередине ее давление pс = 2,4 кПа? Плотность масла м = 0,8 г/см3,
плотность воды в = 1 г/см3.
5.59. В цилиндрическую вертикальную трубку налили доверху ртуть
и воду в равных по массе количествах. Какую часть трубки занимает
ртуть? Чему равно гидростатическое давление на дно трубки, если посередине ее давление pс = 5 кПа? Плотность ртути рт = 13,6 г/см3, плотность
воды в = 1 г/см3.
5.60. На рис. 5.14 представлен график
p, кПа
зависимости гидростатического давления
в вертикальной трубке от глубины погру5,2
жения. Известно, что в трубке находятся
две несмешивающиеся жидкости. Определите их плотности. Чему равна масса
3,2
содержимого трубки, если площадь ее
поперечного сечения S = 20 см2?
5.61. Сосуд квадратного сечения
полностью заполнен взятыми в равных по
массе количествах воды и керосина. Оп20
40 60 h, см
ределите давление на расстоянии от дна
Рис. 5.14
сосуда, равном 1/5 его высоты. Масса воды m = 1 кг, площадь основания S = 10 см2.
5.62. Цилиндрический сосуд полностью заполнен взятыми в равных
по массе количествах воды и керосина. Определите давление на расстоянии от дна сосуда, равном 1/6 его высоты. Масса воды m = 2 кг, площадь
основания S = 20 см2.
5.63. В вертикальную цилиндрическую трубку, снизу закрытую пробкой, наливают воду. Пробка с площадью поперечного сечения S = 8 см2
вылетает, когда масса воды становится равной m = 300 г. Чему равна
площадь поперечного сечения трубки, если максимальная сила трения, действующая на пробку, равна
F = 1,2 Н? Толщиной стенок трубки пренебречь.
h
5.64. Концы U-образной трубки на h = 30 см
выше уровня воды в ней (рис. 5.15). Левую трубку
целиком заполнили керосином. Определите массу
залитого в трубку керосина. Плотность воды
pв=1 г/см3, плотность керосина ρк = 0,8 г/см3, плоРис. 5.15
щадь сечения трубки S = 3 см2.
72
5.65. U-образная трубка частично заполнена водой. В правое колено
наливают керосина столько, что он образует столб высотой h = 30 см. На
сколько повысится уровень воды в левом колене трубки? Плотность воды
ρв = 1 г/см3, плотность керосина ρк = 0,8 г/см3.
5.66. В сообщающиеся сосуды площадью сечения S1 = 150 см2 и
S2 = 100 см2 налита вода. Сосуды сверху закрыты поршнями массами
m1 = 2 кг и m2 = 1 кг. Когда на второй поршень положили перегрузок, оказалось, что уровень воды в сосудах одинаков. Какой будет разность высот
воды в сосудах, если перегрузок положить на первый поршень? Плотность воды в = 1 г/см3.
5.67. В сообщающиеся сосуды площадью сечения S1 = 100 см2 и
S2 = 200 см2 налита вода. Сосуды сверху закрыты поршнями массами
m1 = 1 кг и m2 = 3 кг. Когда на первый поршень положили перегрузок, оказалось, что уровень воды в сосудах одинаков. Какой будет разность высот
воды в сосудах, если перегрузок положить на второй поршень? Плотность
воды в = 1 г/см3.
5.68. В сосуд, основанием которого является квадрат со стороной
a = 20 см, налили масло с плотностью 1 = 0,8 г/см3. На дно сосуда поставили тяжелую перегородку с размерами a(a/5)a, которая разделила сосуд
на две части. Уровень масла при этом оказался равным высоте перегородки (т.е. равным a). Определите силу F1 , действующую на дно сосуда, и
силу F2, действующую на боковую стенку сосуда, не имеющую контакта с
перегородкой. Плотность перегородки 2 = 8 г/см3.
5.69. В сосуд, основанием которого является квадрат со стороной
a = 40 см, налили воду с плотностью 1 = 1 г/см3. На дно сосуда поставили тяжелую перегородку размерами a(a/4)a, которая разделила сосуд
на две части. Уровень воды при этом оказался равным половине высоты
перегородки (т.е. равным a/2). Определите силу F1 , действующую на дно
сосуда, и силу F2 , действующую на боковую стенку сосуда, не имеющую
контакта с перегородкой. Плотность перегородки 2 = 8,5 г/см3.
5.70. Ко дну сосуда с водой с помощью одинаковых пружин прикреплены два одинаковых по
объему шарика (рис. 5.16). Для шарика с плотностью ρ1 = 1,4 г/см3 пружина оказалась сжатой на x1 =
= 1 см. Чему равна плотность второго шарика, если
для него пружина оказалась растянутой на x2 = 2 см?
Плотность воды ρ0 = 1 г/см3.
Рис. 5.16
73
5.71. Куб, сделанный из материала плотностью 2 = 2 г/см3, плавает в
воде плотностью 1 = 1 г/см3. Внутри куба имеется воздушная полость
неизвестного объема. Чтобы вытащить куб из воды целиком, к нему необходимо приложить силу F1 = 26 Н, а чтобы его полностью погрузить в
воду – силу F2 = 50 Н, направленную вниз. Пренебрегая массой воздуха
внутри полости, определите ее объем.
5.72. Вес куба в воздухе Р1 = 53 Н. Тот же куб, помещенный в воду, весит Р2 = 13 Н. Плотность вещества, из которого изготовлен куб, 1 = 8 г/см3.
Плотность воды 2 = 1 г/см3. Определите объем воздушной полости внутри куба (массой воздуха пренебречь).
5.73. В цилиндрическом сосуде с площадью основания
S = 8 см2 плавает шарик, прикрепленный к дну нитью (рис.
5.17). Известно, что сила, с которой натянута нить, в 2 раза
больше действующей на шарик силы тяжести. Нить перерезают, и некоторое время ждут установления равновесия. Чему равен объем шарика, если уровень воды в сосуде понизился на h = 0,5 см?
5.74. В цилиндрическом сосуде с площадью основания
S = 10 см2 плавает шарик, прикрепленный к дну нитью (см.
Рис. 5.17
рис. 5.17). Известно, что сила, с которой натянута нить, в 3
раза меньше действующей на шарик силы тяжести. Нить перерезают, и
некоторое время ждут установления равновесия. Насколько при этом изменится уровень воды в сосуде, если объем шарика V = 4 см3?
5.75. Кубик плавает на границе раздела двух несмешивающихся
жидкостей с плотностями ρ1 = 0,8 г/см3 и ρ2 = 1,2 г/см 3. При этом отношение объемов, погруженных в верхнюю и нижнюю жидкости, равно
V1/V2 = n = 2. Определите плотность кубика.
5.76. Доска толщиной L = 5 см плавает в воде, погрузившись на
α = 70 % своего объема. Поверх воды разливается слой нефти толщиной
d = 1 см. На сколько будет выступать доска над поверхностью нефти?
Плотность воды ρв = 1000 кг/м3, плотность нефти
pн=800 кг/м3.
5.77. Изделие, склеенное из двух кубиков, плавает
внутри водоема (рис. 5.18). Объемы кубиков относятся
как 1:8. Определите плотность меньшего кубика, если
плотность большего кубика ρ1 = 0,5 г/см3. Плотность
воды ρв = 1г/см3.
5.78. Изделие, склеенное из двух кубиков, плавает
внутри
водоема (рис. 5.19). Объемы кубиков относятся
Рис. 5.18
как 4:1. Определите плотность большего кубика, если
74
плотность меньшего кубика ρ1 = 2 г/см3. Плотность воды
ρв = 1 г/см3.
5.79. Кубик плавает в первой жидкости так, что под
ее поверхностью находится треть объема кубика. Во
второй жидкости этот же кубик плавает, погружаясь на
две трети своего объема. Жидкости смешивают до полного взаимного растворения так, что объем первой жидкости в два раза превышает объем второй жидкости. Какая часть кубика будет погружена в такую смесь жидкоРис. 5.19
стей?
5.80. Кубик плавает в первой жидкости так, что над ее поверхностью
находится две трети объема кубика. Во второй жидкости этот же кубик
плавает, погружаясь на две пятых своего объема. Жидкости смешивают
до полного взаимного растворения так, что объем второй жидкости в три
раза превышает объем первой жидкости. Какая часть кубика будет погружена в такую смесь жидкостей?
5.81. Открытая сверху стальная коробка плавает в воде. Масса коробки m = 400 г, ее высота H = 5 см, площадь основания S = 100 см2. Сверху в
середину коробки начинают заливать расплавленный свинец, который равномерно растекается по дну коробки и застывает. Через какое время коробка целиком уйдет под воду, если скорость заливки свинца q = 0,09 см3/с?
Плотность свинца  = 11,3 г/см3.
5.82. Внутри кубика льда находится небольшой железный шарик.
Масса льда m1 = 20 г, масса шарика m2 = 2 г. Кубик помещают в воду,
где лед начинает равномерно по всей поверхности таять со скоростью
q = 0,02 мг/с. Через какое время объем погруженной части кубика уменьшится в n = 13/12 раза? Шарик остается внутри льда.
5.83. В гидравлической машине, состоящей из малого и большого
поршней, малый поршень под действием силы F1 = 200 Н опустился на
h1 = 8 см. При этом большой поршень поднялся
на h2 = 2 см. Какая сила действовала на большой поршень?
5.84. На рис. 5.20 схематично показана
гидравлическая машина, состоящая из одного
малого и двух больших поршней. Малый поршень под действием силы F1 = 400 Н опустился
на h1 = 10 см. При этом каждый большой поршень поднялся на h2 = 2 см. Какая сила дейстРис. 5.20
вует на каждый из больших поршней?
75
Тема 6. РАБОТА. МОЩНОСТЬ.
ПРОСТЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Теоретические сведения
Введем понятие работы в механике. Механическую работу
можно определить при помощи одного «простого» математического выражения, но…оно появится у Вас в курсе математики лишь
через два года! Поэтому поступим следующим образом. Пусть под
действием постоянной силы F при прямолинейном движении тело
переместилось на расстояние s.
Если направление действия силы совпадает с направлением
движения (рис. 6.1, а), то сила совершает положительную работу
А = Fs.
(6.1)
Если направления действия силы и движения противоположны
(рис. 6.1, б), то сила совершает отрицательную работу
А = –Fs.
(6.2)
Если же сила перпендикулярна направлению движения (рис.
6.1, в), то работа этой силы равна нулю: A  0 .

F
s
а

F

F
s
б
s
в
Рис. 6.1
В СИ механическая работа измеряется в джоулях:
[A] = 1 Дж = 1 Н∙1 м.
В частности, работа силы тяжести при вертикальном движении
тела определяется соотношением:
A  mg (hн  hк ) ,
(6.3)
где hн и hк – начальная и конечная высоты тела над поверхностью
земли.
Мощность определяется как отношение работы A, совершенной некоторой силой, к промежутку времени t, за который эта работа была совершена:
76
A
.
(6.4)
t
В СИ мощность измеряется в ваттах: [N] = 1 Вт = 1 Дж/1 с.
Если тело движется с постоянной скоростью υ, и есть сила F,
сонаправленная со скоростью тела, то мощность этой силы определяется соотношением:
N = Fυ.
(6.5)
Механические устройства, служащие для преобразования величины или направления силы, называют простыми механизмами.
Простые механизмы можно найти почти в любых более сложных машинах и механизмах. Их всего выделяют шесть: рычаг,
блок, ворот, наклонная плоскость, клин и винт. На самом деле
можно говорить всего лишь о двух простейших механизмах – рычаге и наклонной плоскости, – так как нетрудно показать, что блок
и ворот представляют собой варианты рычага, а клин и винт – варианты наклонной плоскости.
Рычаг – твердое тело, которое способно вращаться вокруг неподвижной опоры (ось вращения рычага).
В рычаге первого рода ось вращения находится между точками
приложения сил F1 и F2 (рис. 6.2, а). В рычаге второго рода ось
вращения находится с какой-либо одной стороны от точек приложения сил F1 и F2 (рис. 6.2, б). При этом расстояние от оси вращения (находится там, где опора) до точки приложения силы, отсчитываемое вдоль рычага, называют плечом силы. Плечи соответствующих сил также показаны на рисунках.
N
l1
l1

F1
l2

F1

F2
а
Рис. 6.2
l2

F2
б
Замечание. На самом деле на рычаг, кроме сил F1 и F2, действует сила со стороны опоры – нормальная реакция опоры N. Она
77
приложена в точке касания рычага с опорой и направлена вертикально вверх. В частности, для случая, показанного на рис. 6.2, а,
сила N = F1 + F2. Автор счел возможным не указывать эту силу как
на этом рисунке, так и на последующих рисунках в этой теме. Это
вызвано тем, что ни в каких уравнениях, описывающих равновесие
рычагов, она участвовать не будет.
Для рычагов первого и второго рода правило равновесия рычага имеет следующий вид:
F1l1  F2l2 .
(6.6)
Таким образом, рычаг под действием двух сил, приложенных к
нему, будет находиться в равновесии, если произведения действующих сил на соответствующие плечи рычага будут равны.
Если на рычаг действует больше двух сил (не считая нормальной реакции опоры), то для формулировки условия равновесия
вводят понятие момента силы как произведение силы на ее плечо:
M  Fl . Условие же равновесия рычага будет заключаться в том,
что сумма моментов сил, вращающих рычаг в направлении по часовой стрелке, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих
рычаг в направлении против часовой стрелки. Из того правила,
кстати, и получается соотношение (6.6).
Блоком называют диск, который может вращаться вокруг некоторой оси. Мы будем рассматривать идеальные блоки – пренебрежем трением и массой диска.
Самый известный блок – неподвижный
– диск с неподвиж
F1
ной осью вращения (рис. 6.3, а).
Его предназначение – изменять
направление силы, не изменяя ее



F
по величине. По сути, такой блок
F2
F
является рычагом с одинаковыми
а
б
плечами. Говорят, что такой блок
Рис. 6.3
не дает выигрыша в силе.
Другим видом блока является подвижный блок – с подвижной
осью вращения (рис. 6.3, б). Его предназначение – давать выигрыш
в силе в 2 раза. Кроме этого, меняется и направление силы. В самом
78
деле, этот тип блока можно рассматривать как рычаг второго рода,
в котором плечо силы F1 в 2 раза больше плеча силы F2. Согласно
правилу равновесия рычага, к которому приложены 2 силы, получим, что F2 = 2F1.
Еще одним известным простым механизмом
является ворот или неподвижный двойной блок
(рис. 6.4). Как и подвижный блок, он дает выигрыш в силе и используется, например, в колодцах
для подъема ведер с водой. Ворот можно рассматривать как рычаг первого рода с разными плечами.


Если обозначить через R1 радиус большого диска
F2
F1
(плечо силы F1), а через R2 – радиус малого диска
Рис. 6.4
(плечо силы F2), то для равновесия рычага должно
выполняться условие: F1R1  F2 R2 . Тогда выигрыш
в силе будет равен отношению радиусов большого и малого дисков:
F2 R1

. Чем больше это отношение, тем больше выигрыш в силе!
F1 R2
Последний рассматриваемый нами


тип простого механизма – наклонная плосN
F
кость (рис. 6.5), с помощью которой под
нимают грузы. Наклонная плоскость так
Fтр
же, как ворот и двойной блок, дает выигH

L
рыш в силе. Однако расчет этого выигрыFт
ша на данном этапе вашего математического развития невозможен. Дело в том,
Рис. 6.5
что в данном случае силы не направлены
вдоль одной прямой, а такие силы вы пока не умеете складывать.
Для гладкой наклонной плоскости, т.е. когда сила трения равна
нулю, выигрыш в силе равен отношению длины наклонной плоскости к ее высоте: выигрыш в силе = L/H. Действительно, при медленном вертикальном подъеме груза массой m необходимо совершить работу Aп  Fт H . Назовем эту работу полезной – такая терминология нам скоро понадобится. С другой стороны, при подъеме
груза по наклонной плоскости сила совершает работу Aз  FL . Эту
79
работу назовем затраченной. Так как трение отсутствует, то эти
работы равны. Тогда Fт H  FL и искомый выигрыш в силе равен
отношению силы тяжести к силе F:
Fт
L
 .
(6.7)
F H
Простые механизмы передают механическую работу или мощность от источника энергии (так называемая затраченная работа
или мощность) к ее потребителю. В реальных механизмах всегда
присутствуют силы трения, поэтому затраченная работа всегда
больше работы, дошедшей до потребителя, которую называют полезной работой. Физическая величина, равная отношению полезной работы к затраченной, называется коэффициентом полезного
действия (КПД). КПД обычно выражается в процентах:
A
η  п  100% .
(6.8)
Aз
Используя определение мощности (6.4), КПД механизма можно рассчитать как отношение полезной мощности к затраченной:
N
η  п  100% .
(6.9)
Nз
Примеры решения задач
Задача 6.1. Кирпич массой m = 2 кг: а) передвинули по горизонтальной поверхности на расстояние s = 1 м; б) подняли на высоту h = 1 м; в) опустили на глубину h = 1 м. Определите работу
силы тяжести во всех трех случаях.
Решение. Для решения этой задачи воспользуемся определением работы. В первом случае действующая на кирпич сила тяжести,
направленная вертикально вниз, перпендикулярна горизонтальному перемещению кирпича. Поэтому работа сила тяжести Amg  0.
В случае б) воспользуемся соотношением (6.1) с учетом, что
сила тяжести равна произведению массы кирпича на ускорение
свободного падения, а перемещение кирпича по условию равно h:
80
Н
 1 м  20 Дж.
кг
В случае в) по формуле (6.2) получим:
Н
Amg   mgh  2 кг  10  1 м  20 Дж.
кг
Замечание. Для решения этой задачи можно воспользоваться
соотношением (6.3). Сделайте это самостоятельно.
Ответ: а) 0; б) 20 Дж; в) –20 Дж.
Задача 6.2. Определите полезную мощность мотоцикла, если
при скорости υ = 108 км/ч его сила тяги F = 400 Н.
Решение. Можно воспользоваться сразу соотношением (6.5). А
можно его и получить, чтобы оно не выглядело в дальнейшем как
некое заклинание. Действительно, сила тяги сонаправлена с перемещением мотоцикла, поэтому по определению (6.1) ее работа
A  Fs . Пройденный мотоциклом путь равен произведению скорости на время движения: s  υt . По определению мощности (6.4)
получим:
A Fs Fυ
N 

 Fυ.
t
t
t
Осталось только подставить числовые значения, предварительно выразив скорость в СИ:
м
N  400 Н  30  1200 Вт  1,2 кВт.
с
Ответ: N  Fυ  1,2 кВт.
Задача 6.3. На концах рычага подвешены гиря массой m1 = 10 кг
и пустое ведро массой mв = 2 кг. Удерживая рычаг, в ведро из
шланга начинают наливать воду. Площадь сечения шланга
S = 5 см2, скорость истечения воды υ = 20 см/с. Через какое максимальное время рычаг будет находиться в равновесии без внешнего воздействия, если отношение длин плеч рычага равно 2.
Плотность воды ρ = = 1 г/см3.
Решение. Здесь мы разберем достаточно хитрую комбинированную задачу. Масса воды, которая окажется в ведре, m  ρV .
Объем V воды можно рассчитать как объем цилиндра с площадью
Amg  mgh  2 кг  10
81
основания S и высотой h, которая, в свою очередь, может быть определена как произведение скорости истечения воды из шланга на
время истечения: h  vt . Тогда т = ρSυt.
Используем затем правило равновесия рычага (6.6):
F1l1  F2l2 .
В нашем случае (рис. 6.6) сила, действующая слева на рычаг, равна
силе тяжести, действующей на гирю: F1 = m1g.
l1
l2

F1
Вода

F2
m1
Рис. 6.6
Сила, приложенная к рычагу справа, равна суммарной силе тяжести, действующей на пустое ведро и воду в нем: F2 = mвg + mg.
Используя полученные соотношения, получим уравнение:
m1gl1 = (mвgl1 + ρSυtg)l2.
Отсюда выразим время наполнения ведра водой:
m l  mвl2
.
t  11
Sl2υ
Но это еще не ответ, так как нам не заданы плечи рычага, и
есть хитрое условие относительно максимальности времени наполнения ведра!
По условию задачи необходимо найти максимальное время,
поэтому длина левого плеча рычага должна быть больше длины
правого плеча: l1 > l2. Таким образом, отношение плеч рычага
l1/l2 = 2. Деля числитель и знаменатель дроби в последнем выражении на l2, теперь получим искомое время наполнения ведра водой:
l
m1 1  mв
2m  mв
l2
t
 1
.
ρSυ
ρSυ
Теперь осталось лишь подставить числовые значения:
82
2 10 кг  2 кг
 180 с  3 мин.
кг
м
3
-4 3
10 3  5  10 м  0,2
с
м
2m1  mв
Ответ: t 
= 3 мин.
ρSυ
Задача 6.4. Однородный стержень длиной l = 1 м укреплен при
помощи нити и опоры, как показано на рис. 6.7, а). При каком расстоянии x от левого конца стержня до опоры сила тяжести, действующая на стержень, будет больше силы натяжения нити в 3 раза?
t
x
x
а

T
б
mg
Рис. 6.7
Решение. Сила тяжести mg, действующая на стержень, прилоl
жена к его центру, т.е. на расстоянии  x от опоры (рис.6.7, б).
2
Сила натяжения нити Т приложена к правому концу стержня, т.е.
на расстоянии l  x от опоры. По сути, мы имеем дело с рычагом
второго рода. Запишем условие равновесия с учетом записанных
выражений для плеч рычага:
l

mg   x   T (l  x ) .
2

По условию задачи сила тяжести в 3 раза больше силы натяжения нити: mg = 3Т. Используя это условие:
l

3T   x   T (l  x) ,
2

получаем уравнение относительно неизвестного расстояния:
l

3  x   (l  x ) .
2


83
Решая это уравнение (раскрываем скобки, переносим члены,
содержащие неизвестное, в одну часть уравнения…), получим искомое расстояние:
x = l/4 = 0,25 м.
Ответ: x = l/4 = 0,25 м.
Задача 6.5. При помощи устройства, состоящего из подвижного и неподвижного блоков, медленно поднимают из воды гранитную плиту объемом V = 30 дм3. Изобразите на рисунке указанную
ситуацию. Какая сила приложена к свободному концу веревки?
Плотность гранита  = 2,6 г/см3.
Решение. Схема устройства для подъема из
воды гранитной плиты (конечно, без учета масштаба) показана на рис. 6.8, а. На этом же рисунке показана сила F, которую необходимо
найти.
Массой веревки и блоков мы пренебрегаем,
поэтому силу натяжения веревки считаем одина
F
ковой по всей ее длине. На плиту действуют сила тяжести, направленная вниз, сила натяжения
веревки и сила Архимеда, направленные вверх
а
(рис. 6.8, б). При медленном движении тела рав

нодействующая
всех сил должна быть равна нуFA
F
лю. Для нашего случая это условие примет вид:
F  FА  mg . Масса плиты равна произведению
ее плотности и объема: m  ρV . Сила Архимеда

mg
F  ρ gV , где ρ – плотность воды. Тогда
A
в
в
F  ρ в gV  ρgV .
б
Из этого уравнения найдем искомую силу:
Рис. 6.8
F  Vg (ρ  ρ в ) .
Теперь подставим числовые данные:
F  30  10 3 м 3  10
Н
кг
кг
 ( 2,6  103 3  1  103 3 )  480 Н .
кг
м
м
Ответ: F  Vg (ρ  ρ в ) = 480 Н.
84
Задача 6.6. Для подъема грузов на высоту H = 1,4 м используется доска длиной L = 5 м. Чтобы поднять по ней груз массой
m = 100 кг, к нему прикладывают силу F = 680 Н, параллельную
плоскости доски. Чему равен КПД такого подъемного устройства?
Какой выигрыш в работе дает это устройство, если во время подъема на груз действует сила трения Fтр = 400 Н? Какой выигрыш в
силе был получен, если пренебречь силой трения?
Решение. Ситуация, представленная в задаче, показана на рис.
6.5. Как уже отмечалось, коэффициент полезного действия подъемного устройства определяется отношением полезной работы к
А
работе затраченной: η  п  100% .
Аз
Работа, затраченная на подъем груза, определяется как произведение силы F на расстояние L:
Аз = FL.
Полезная работа в этом случае:
Ап = mgH.
Таким образом, коэффициент полезного действия механизма:
mgH
η
100% = 41.
FL
Выигрыш в работе наклонная плоскость не дает (впрочем, как
и любой другой простой механизм). Сила трения в данной задаче –
лишнее данное, но уверенного в своих знаниях ученика это не
должно смущать!
Выигрыш в силе в отсутствие сил трения рассчитаем, используя полученную выше формулу (6.7). Выигрыш в силе равен отношению высоты наклонной плоскости к ее длине:
H
5м

 3,6.
L 1,4 м
Ответ:  = 41; выигрыша в работе нет; выигрыш в силе в
отсутствие сил трения  3,6.
Задача 6.7. Электромотор, имеющий КПД η1 = 90%, приводит
в действие насос, КПД которого η2 = 90%. Чему равен КПД всей
такой установки?
85
Решение. Это сложная задача. Однако советуем вам с ней разобраться, а потом самостоятельно решить аналогичные задачи 6.49 и
6.50. Для решения воспользуемся формулой (6.9).
Пусть N – мощность, потребляемая электромотором. Это будет
затраченная мощность. Если эту мощность умножить на время, а
затем на тариф, то это уже будут деньги, которые надо будет заплатить энергетической компании. Полезная мощность на выходе
электромотора (КПД при такой записи выражается в десятичных
долях):
N п1  η1 N .
(1)
Эта полезная мощность передается потребителю – насосу. Поэтому для насоса она является затраченной мощностью:
N з2  N п1  η1 N .
(2)
Так как КПД насоса равен η2, то полезная мощность, получаемая от насоса, будет равна
N п2  η2 N з 2 .
Теперь с учетом (1) и (2), получим
N п2  η2 η2 N .
Используя теперь определение КПД (6.9), найдем КПД всей
установки:
N
N
ηη N
η  п  п2  1 2  η1η 2 .
Nз
N
N
Теперь посчитаем: η  0,9  0,6  0,54. Выразим в процентах:
η  0,54  100%  54%.
Ответ: η  η1η 2  54%.
Задачи к теме 6
Уровень А
6.1. Является ли единицей механической работы 1 кН∙мм?
6.2. Какие измерительные приборы нужно иметь для определения работы по подъему ведра с пола на табурет?
86
6.3. Какие силы совершают механическую работу в следующих ситуациях: а) теннисный мяч падает на землю; б) автомобиль, движущийся
по горизонтальной поверхности, останавливается? Определите знаки работы показанных вами сил.
6.4. Мальчик передвинул игрушечный автомобиль по полу на 90 см,
прикладывая к веревке горизонтальную силу 2 Н. Какую работу совершил
мальчик?
6.5. Какую работу совершит насос мощностью 500 Вт за 10 минут?
6.6. Насосу с мощностью 1,5 кВт нужно выполнить работу 900 кДж.
Сколько времени он должен работать?
6.7. К точке А рычага приложена сила F = 20 Н (рис. 6.9, а). Какую
силу надо приложить к рычагу в точке В, чтобы он находился в равновесии?
6.8. К точке А рычага приложена сила F = 20 Н (рис. 6.9, б). Какую
силу надо приложить к рычагу в точке В, чтобы он находился в равновесии?

F
А
В
А

F
В
б
а
Рис. 6.9
6.9. Какую силу F надо приложить к свободному

концу нити, чтобы удерживать груз весом 8 Н (рис. 6.10)?
F
6.10. КПД наклонной плоскости равен 40 %. При
поднятии по ней груза совершили работу 500 Дж. Чему
равна полезная работа при поднятии груза?
6.11. Лебедка, совершив работу 400 кДж, протянула
завязший грузовик на расстояние 4 м при силе натяжении
Рис. 6.10
троса 80 кН. Определите КПД лебедки.
6.12. Вес груза 40 кН. Лифт поднял его на высоту 7 м. Чему равен
КПД лифта, если его двигатель совершил работу 300 кДж?
6.13. Мощность двигателя подвесной канатной дороги 4 кВт. Для
равномерного подъема кабины с пассажирами общей массой 2,1 т двигателю потребовалось 18 мин. Определите КПД двигателя канатной дороги,
если кабина поднимается на высоту 105 м.
6.14. Вертолету массой 1,4 т требуется 1,5 мин, чтобы равномерно
подняться на высоту 350 м. Чему равна мощность двигателя вертолета,
если его КПД равен 30 %.
87
Уровень В
6.15. Девочка каждый раз прилагает горизонтально направленную силу
F, чтобы передвинуть (не переворачивая) по горизонтальной поверхности
ящик массой m = 30 кг. Сила трения, действующая на ящик, Fтр = 150 Н.
В каких пределах может изменяться сила F, если ящик переворачивается
при силе F0 = 350 Н? Какую работу совершит девочка, переместив ящик
на d = 2 м, действую на него силой F = 250 Н?
6.16. Девочка каждый раз прилагает вертикально направленную силу
F = 50 Н, чтобы поднять с земли различные камни на высоту h = 90 см. В
каких пределах может изменяться масса каждого из камней? Какую работу совершит девочка при подъеме камня массой m = 2 кг?
6.17. На левом конце рычага подвешен груз объемом V1 = 1 дм3, а на
правом – объемом V2 = 2500 см3. Плотность левого груза ρ1 = 3 г/см3,
плотность правого – ρ2 = 2000 кг/м3. Определите длину рычага, если длина
его левого плеча L1 = 20 см. Массой рычага пренебречь.
6.18. На левом конце рычага подвешен груз объемом V1 = 1500 см3, а
на правом – объемом V2 = 4 дм3. Плотность левого груза ρ1 = 1500 кг/м3,
плотность правого – ρ2 = 4 г/см3. Определите длину рычага, если длина
его правого плеча L2 = 0,1 м. Массой рычага пренебречь.
6.19. К концам горизонтально расположенного рычага прикреплены
грузы, объемы которых находятся в соотношении V1:V2 = 3:7. Каково отношение плотностей грузов, если длина левого плеча рычага L1 = 10 см, а
правого плеча L2 = 25 см?
6.20. К концам горизонтально расположенного рычага прикреплены
грузы, объемы которых находятся в соотношении V2:V1 = 9:2. Длина левого плеча рычага L1 = 30 см, а правого плеча L2 = 10 см. Чему равна плотность второго груза, если плотность первого 1 = 4,5 г/см3 ?
6.21. К концам рычага первого рода привязаны грузы с массами
m1 = 50 г и m2 = 80 г. Плотность грузов одинакова и равна  = 4 г/см3.
Длины плеч рычага L1 = 40 см и L2 = 15 см. Можно ли погружением одного из грузов в воду (частичным или полным) добиться равновесия рычага?
Ответ, конечно, надо обосновать.
6.22. На концах доски длиной L = 6 м стоят мальчики, массы которых
m1 = 70 кг и m2 = 50 кг. Посередине доски находится опора. Мальчики начинают аккуратно двигаться к середине доски со скоростями υ1 = 20 см/с и
υ2 = 15 см/с. Через какое время доска окажется в горизонтальном положении? Массой доски пренебречь.
6.23. Посередине доски массой m = 40 кг вплотную друг к другу стоят мальчики. Массы мальчиков m1 = 40 кг и m2 = 50 кг. Посередине доски
88
находится опора, правее которой на L0 = 1 м расположен центр тяжести
доски. Мальчики начинают аккуратно двигаться к краям доски со скоростями υ1 = 10 см/с и υ2 = 20 см/с. Через какое время доска займет горизонтальное положение?
6.24. К концам рычага первого рода с помощью невесомых нитей
прикреплены одинаковые грузы. Один из грузов полностью погружен в
воду с плотностью  = 1 г/см3. Определите плотность грузов, если длины
плеч рычага L1 = 1 м и L2 = 25 см. Сделайте рисунок к задаче.
6.25. К концам рычага первого рода с помощью невесомых нитей
прикреплены одинаковые грузы. Один из грузов полностью погружен в
масло с плотностью  = 0,8 г/см3, а второй – лишь наполовину. Определите плотность грузов, если длины плеч рычага L1 = 50 см и L2 = 1 м. Сделайте рисунок к задаче.
6.26. К концам горизонтально расположенного рычага первого рода с
помощью легких нитей прикреплены одинаковые грузы массой m = 1 кг и
плотностью  = 2 г/см3. Один из грузов целиком опускают в воду. На сколько нужно сместить точку опоры рычага, чтобы он снова занял горизонтальное положение? Длина рычага L = 150 см. Плотность воды 1 = 1 г/см3.
6.27. К концам горизонтально расположенного рычага первого рода с
помощью легких нитей прикреплены одинаковые грузы массой m = 2 кг
каждый. Плотность грузов  = 1,5 г/см3. Один из грузов наполовину опускают в воду. На сколько нужно сместить точку опоры рычага, чтобы он
снова занял горизонтальное положение? Длина рычага L = 120 см. Плотность воды 1 = 1 г/см3.
6.28. Груз какой массы можно поднять с помощью устройства, состоящего из подвижного и неподвижного блоков, если к свободному концу веревки приложить силу F = 210 Н. Вес подвижного блока Р = 20 Н.
Изобразите схему этого устройства. Трение не учитывать.
6.29. По наклонному настилу длиной l = 3 м рабочий вкатил в кузов
бочку массой m = 55 кг. Определите КПД погрузки, если рабочий прилагал параллельную настилу силу F = 330 Н, а высота кузова машины
h = 1,5 м.
6.30. Длина прямого подъема на дороге составляет l = 800 м. Верхняя
его точка возвышается на h = 11 м над подножием. Грузовик тянет прицеп
с силой F = 3,2 кН. Определите КПД подъема прицепа по дороге, если
масса прицепа m = 6 т.
6.31. Определите мощность потока воды, протекающей через плотину, если высота падения воды h = 25 м, а ее расход q = 120 м3/мин.
Плотность воды ρ = 1 г/см3. Сколько килограммов льда можно расплавить
89
с помощью всей энергии, полученной от этой плотины за 1 ч, если для
плавления 100 г льда требуется 34 кДж энергии? КПД этого процесса
η = 10%.
6.32. Башенный кран поднимает в горизонтальном положении бетонную балку длиной l = 5 м и поперечным сечением S = 100 см2. Какую
мощность развивает кран при равномерном подъеме балки на высоту
h = 12 м за время t = 1 мин.? Плотность бетона ρ = 2,7 г/см3. Сколько придется заплатить «энергетикам» за произведенную краном работу, если
1 кВт∙ч (киловатт-час) электроэнергии стоит 2 рубля, а КПД крана η =
= 10 %?
6.33. С помощью устройства, содержащего подвижный и неподвижный блоки, поднимают груз массой m = 150 кг. При этом на свободный
конец троса действуют силой F = 937,5 Н. Изобразите схему такого устройства. Определите КПД этого устройства. Какой выигрыш в работе дает
устройство, если груз поднимают на высоту H = 2 м?
Уровень С
6.34. К рычагу необходимо подвесить грузы с
массами m1 = 100 г, m2 = 360 г и m3 = 400 г так, чтобы он находился в равновесии (рис. 6.11). Массой
рычага и крючков пренебречь. Ответ пояснить. ПоРис. 6.11
ложение крючков не менять.
6.35. К рычагу необходимо подвесить грузы с
массами m1 = 50 г, m2 = 300 г и m3 = 600 г так, чтобы
он находился в равновесии (рис. 6.12). Массой рычага и крючков пренебречь. Ответ пояснить. ПолоРис. 6.12
жение крючков не менять.
6.36. На каком расстоянии от опоры следует подвесить груз массой
m2 = 18 кг, чтобы рычаг находился в горизонтальном положении (рис.
6.13)? Сила F = 40 Н, масса m1 = 60 кг , длина левого плеча рычага
L1 = 10 см, длина правого плеча рычага
L2 = 30 см. Массой рычага и блока преL1
L2
небречь.
6.37. К концам горизонтально расположенного рычага прикреплены грузы
 одинакового объема, при этом плотность
F
левого груза в 2 раза больше. Если правый груз погрузить в жидкость с плотноm1
Рис. 6.13
стью ρ1 = 3 г/см3, то рычаг будет нахо90
диться в равновесии, если отношение левого и правого плеч рычага
Lлев/Lправ = k = 1/8. Каким будет отношение левого и правого плеч рычага, если тот же груз поместить в жидкость с плотностью ρ2 = 1 г/см3?
6.38. К концам горизонтально расположенного рычага прикреплены
грузы с одинаковой плотностью, при этом объем правого груза в 2 раза
больше. Если левый груз погрузить в жидкость с плотностью ρ1 = 2 г/см3,
то рычаг будет находиться в равновесии, если отношение правого и левого плеч рычага Lправ / Lлев = k = 1/4. Каким будет отношение правого и левого плеч рычага, если тот же груз поместить в жидкость с плотностью
ρ2 = 0,8 г/см3?
6.39. В изображенной на рис. 6.14 системе стержень длиной 5D находится в равновесии. Диаметр каждого блока равен D. Масса груза 3 равна
12 кг. Чему равна масса груза 1? Массой стержня, нитей и блоков пренебречь.
3D
5D
1
3
2
Рис. 6.14
3
1
2
Рис. 6.15
6.40. В изображенной на рис. 6.15 системе стержень длиной 7D находится в равновесии. Диаметр каждого блока равен D. Масса груза 2 равна
4кг. Чему равна масса груза 3? Массой стержня, нитей и блоков пренебречь.
6.41. Как надо соединить подвижные и неподвижные блоки, используя их минимальное число, чтобы получить выигрыш в силе в 3 раза? Нарисуйте схему устройства и подтвердите расчетом. Трением и массой
блоков пренебречь.
6.42. Как надо соединить подвижные и неподвижные блоки, используя их минимальное число, чтобы получить выигрыш в силе в 5 раз? Нарисуйте схему устройства и подтвердите расчетом. Трением и массой
блоков пренебречь.
6.43. Однородный стержень длиной l = 90 см укреплен при помощи нити и опоры, как показано на рис. 6.16. При каком расстоянии x от
91
правого конца стержня до опоры сила натяжения нити в 4 раза меньше силы тяжести, действующей на стержень?
x
6.44. К концам рычага подвешены грузы. Их
плотности одинаковы, а объем правого груза в 2
раза больше. Если грузы целиком опустить в
Рис. 6.16
сосуды с разными жидкостями, то рычаг будет
находиться в равновесии, если отношение левого и правого плеч рычага
равно некоторому числу n. Если грузы поменять местами, то равновесие
рычага достигается при отношении тех же плеч, равном некоторому числу
k. Чему равно отношение n/k?
6.45. К концам рычага подвешены грузы. Их плотности одинаковы, а
объем левого груза в 3 раза больше. Если грузы целиком опустить в сосуды с разными жидкостями, то рычаг будет находиться в равновесии, если
отношение левого и правого плеч рычага равно некоторому числу n. Если
грузы поменять местами, то равновесие рычага достигается при отношении тех же плеч, равном некоторому числу k. Чему равно отношение n/k?
6.46. В системе, изображенной на рис. 6.17,
определите давление груза массой 2m на стол.
Масса меньшего груза равна 2 кг, площадь основания большего груза S = 200 см2.
6.47. На концах рычага подвешены гиря
массой m1 = 6 кг и пустое ведро массой mв = 1
m/2
кг. Удерживая рычаг, в ведро из шланга начинают наливать воду (см. рис. 6.6). Площадь сечения шланга S = 5 см2, скорость истечения во2m ды
υ = 10 см/с. Через какое минимальное
время рычаг будет находиться в равновесии без
внешнего воздействия, если отношение длин
Рис. 6.17
плеч рычага равно 3.
6.48. Разработайте устройство для подъема грузов, дающее выигрыш
в силе в три раза. Оно должно содержать рычаг длиной 1 м и неподвижный блок. Масса поднимаемого груза много больше масс рычага и блока.
Приведите схему устройства, на которой укажите длины плеч рычага.
Какое давление на пол оказывает человек, использующий это устройство
для подъема груза весом P = 300 Н, если масса человека m = 70 кг, а площадь подошв его обуви S = 400 см2?
6.49. Груз массой m = 1,5 кг поднимают на высоту h = 2 м с помощью
наклонной плоскости и блока (рис. 6.18). Длина доски L = 8 м. Сила, при92
ложенная к грузу при таком перемещении, равна F = 6 Н. КПД подъемного устройства  = 40. Каков при этом КПД блока бл?

F
h
L
m
Рис. 6.18
1
2
Рис. 6.19

F
6.50. Груз массой m = 100 кг поднимают с помощью двух блоков на
высоту H = 1 м (рис. 6.19). Сила, действующая на свободный конец веревки, равна F = 1400 Н. КПД первого блока 1 = 90 %. Определите КПД
второго блока.
6.51. При помощи гидравлического пресса нужно поднять груз массой m = 100 т. Определите число ходов малого поршня за t = 1 мин, если
за один ход он опускается на высоту h = 20 см. Мощность двигателя, приводящего в движение малый поршень пресса, равна N = 3,68 кВт, а его
КПД  = 75 . Отношение площадей поршней пресса равно k = 0,01.
6.52. Со дна водоема с помощью подъемного устройства, содержащего электромотор, один подвижный и один неподвижный блоки, поднимают на поверхность воды груз с плотностью  = 3 г/см3 и объемом
V = 100 см3. Нарисуйте схему подъемного устройства и определите мощность электромотор, если скорость движения груза υ = 1 см/с. Плотность
воды 1 = 1 г/см3.
6.53. Со дна водоема с помощью подъемного устройства, содержащего электромотор, один подвижный и один неподвижный блоки, поднимают на поверхность воды груз массой m = 200 г и плотностью  = 4 г/см3.
Нарисуйте схему подъемного устройства и определите мощность электромотора, если глубина водоема H = 2 м, а длительность подъема t = 0,5 мин.
Плотность воды 1 = 1 г/см3.
6.54. Два шарика погружены в сосуд с водой (рис. 6.20). Они соединены нитью Н2 (на
шариках сделаны небольшие канавки, чтобы
нить не съехала), которая прикреплена к дну
сосуда и к потолку. Меньший шарик соединен с
дном сосуда нитью Н1. С какой силой натянуты Н2
Н1
нити, если объемы шариков V2 = 20 см3, V1 =
3
Рис. 6.20
=3V2, а их плотность  = 0,4 г/см ?
93
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1. Перышкин А.В. Физика: 7 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 12-е изд. – М.: Дрофа, 2008. – 192 с.
2. Лукашик В.И., Иванова Е.В. Сборник задач по физике для 7–9
классов общеобразовательных учреждений. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 240 с.
Дополнительная литература
1. Элементарный учебник физики: Учеб. пособие. В 3 т. /Под ред.
Г.С. Ландсберга: Т.1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. – М.:
Наука., 1995. – 608с.
2. Физика: 3800 задач для школьников и поступающих в вузы / Авт.сост. Н.В. Турчина, Л.И. Рудакова, О.И. Суров и др. – М.: Дрофа, 2000. –
672 с.
94
Ответы к задачам
1.9. а) 6,4∙106 м;
б) 8∙103 кг;
в) 5,1∙10-11 м;
г) 5∙10-8 кг;
д) 60 кг;
е) 1080 с.
1.10. 5∙105.
1.11. 0,5 м.
1.12. 0,02 м.
1.13. 6∙10-4 м3; 600 см3.
1.14. S2 = S/4 = 25 cм2;
a2 = 5 см.
1.15. S  V / h 
2.34. 1,5 см/с; 0; 3 м/с;
1 см/с.
υ ( L  L2 )
 54,5 км/ч.
2.35. υ  г 1

L2
υ1 υ2

2.21. υср 
 28,7 м/с.
2
υ ( L  L1 )
= 55 км/ч
2.36. υ  г

L1
2υ1 υ2
2.22. υср 

= 114,6 км/ч.
3
= 48 км/ч.
2.37.
s1 s2
4υ1 υ2

2.23. υср 

t
t2
м
1
3υ1 υ2
 1,1 ,
υ1 
2
с
 19,5 м/с.
s1 s2
= 200 см 2  0,02 м 2 .

υср
2  5t1  2.
t1 t 2
м
2.24.
1.16. 1 мм3 ; 3,6 м.
υ

 0,5 .
1
υср1 t 1t
2
с
1.17. 1000000 или
1∙106 кубиков;
5S
8
2.25. υср 
 5 км/ч. 2.38. υ1 = м/c,
9,6∙106 с ≈ 2,7∙103 ч.
3t
3
2.4. 400 м.
υ1υ2t0
2
2.26. s 
 24 км.
2.5. 3,6 км.
υ2 = м/с.
υ2  υ1
3
2.6. 5 м/с.
st
2.39.
100
км/ч.
2.7. 2,96 с.
2
2.27. s2 

2.40.
2.8. 5.18 с.
t 2  t1
2υ1 υср
км
2.9. 48 см.
 5,3 км.
 120
υ2 
.
2.10. ≈ 13, м/с.
3υ1 υср
ч
2.28. 10 с.
2.11. 32 км/ч.
2.41. 36 км/ч.
L  L2
2.12. 12 км/ч.
2.29. t  1
 0,88 c. 2.42.
υ1  υ2
2.13. 10 с.
υ 3υ2
м
υср  1
 3,25 .
2.14. ≈ 27 см.
lt1
4
с
2.30. t 2 

2.15. 90 см.
2(l  2υ0t1 )
12
2.43. υср  υ  1,2 с.
2s
= 4 с.
2.16. s2  1 t 2  160 м.
7
t1
2lt1
2.44.
2.31. t 2 
 2 ч.
υср
t
1  3(υ1  υ2 )  1,125.
l  2υ0t1
2.17. t2 
 30 с.
υ
2( 2υ 2 υ1 )
ср 2
2nk
2.32. 40 мин.
2.18. 60 км/ч.
st 2
16
мм
2.33. s2 
 6 км. 2.45. υср  υ  1,6
.
2.19. ≈ 7 км/с.
t 2  t1
15
c
2.20. υср 
2υ1 υ2

υ1 υ2
95
8
мм
υ  0,8
.
45
c
υср
1  36  5,1.
2.47.
υср 2
7
υср
2  56  6,2.
2.48.
υср1
9
t
3
2.49. 1  .
t 2 10
t
10
2.50. 1  .
3
t2
9
2.51. υср  υ1  9 м/с.
10
25
м
2.52. υср  υ2  25 .
22
с
12
м
2.53. υср  υ  2,4 .
5
с
3
2.54. υср  υ  1,2 м/с.
5
2.55. υср  5,9 м/с.
2.56. υср  6,2 м/с.
3.1. 2∙103 кг.
3.2. 8,9 г/см3.
3.3. 90 т.
3.4. 700.
3.5. 534 кг.
3.6. ≈ 2.1∙103.
3.7. 1,41 кг.
3.8. 5,28 м.
3.9. 6 м.
3.10. 90 кг.
3.11. 10 кг.
V
3.12. m  (ρ1  2ρ 2 ) 
3
= 0,8 кг.
V
3.13. m  (3ρ1  ρ 2 ) 
4
= 0,9 кг.
2.46. υср 
96
6m
 480 г.
5
m
3.15. m2   0,5 кг.
2
ρ1V1  ρ 2V2
3.16. ρ ср 

V1  V2
3.14. m2 
 13 г/см3.
3.17. 1 кг
3.18. 64 кг.
mn 2
3.19. m2 
 180 г.
k
3.20. 59,8 г.
3.21. 135 г.
3.22. 4 км2.
3.23. 2,310–3 мм.
3.24. 337,5 г.
3.25.
3ρ
г
ρ1  2  2,25 3 .
4
см
3.26. ρ2 = ρ1/6 =
= 400 кг/м3.
3
3.27. m2  m  27 г.
10
5
3.28. m2 
m  25 г.
24
3.29.
3
г
ρ 2  ρ1  1,5 3 .
8
см
3.30.
8
г
ρ ср  ρ1  4,8 3 .
3
см
3.31.
3m  ρ1V
г
9 3.
2V
см
г
3.32. ρ ср2  1,8 3 ;
см
ρ2 
Vп 
a 3 (ρ  ρ ср )
ρ

 4,8  103 см 3 .
3.33. ρср = 0,6ρ1+0,4ρ2 =
= 3,8 г/см3.
3.34. 660 г.
3.35. 800 г.
4.2. а) и г).
4.3. а) 1 Н вправо;
б) 7 Н вниз.
4.4. 1 кН.
4.5. 30 мН.
4.6. 50 Н.
F
4.7. l l 0  2 x1  13 см.
F1
mg
 2 кПа.
S
4.13. p  ρ А ga 
4.12. p 
= 5,4 10 2 Па.
4.14. 0,9 кг.
mg
4.15. p 
 1105 Па.
4S
4.16. 4,8 кН.
4.17. Есть полость.
4.18. Брусок движется
влево.
4.19. 0,1 МН.
4.20. В 2,5 раза.
4.21. 1,4 см.
2F
4.22. x2  2 x1  6 см.
F1
F2
x1  2,5 см.
2F1
4.24. 3,7 кПа и 7,3 кПа.
4.25. 1 кПа.
4.26. 2 кПа.
4.23. x2 
4.27. Гранью с размерами 50×150 см.
4.28. Гранью с размерами 10×15 см.
4.29. 1,7 кПа; 4,7 кПа.
4.30. 2,9 кПа; 4,7 кПа.
4.31. 2 Н; 24 Н.
4.32. 3 Н; 8 Н.
4.33. Увеличилось в 2
раза.
4.34. Увеличилось в 1,5
раза.
4p
4.35. a 
 6 см.
3ρg
5.24. р = 2ρвghв =
= 4,4 кПа; увеличится в 1,5 раза.
раза.
mg

4.45. Увеличить в 3 5.25. p  ρgh 
S
раза.
= 13 кПа .
a
F
4.46. b 
 6,25 см.
5.26. p  ρgh  
1 k
S
b
=
9
кПа.
4.47. a 
 3 см.
2
n 1
5.27. F  2ρgh (a  b) 
4.48. 1 г/см3.
= 540 Н.
4.49. 20/11.
4F
4.50. 9/4.
5.28. h 
 48 см.
abρg
5.1. 0,4 м.
5.29.5,8 кПа; 170 Н.
5.2. 4 кПа.
p
г
5.30. 4,8 кПа; 210 Н.
4.36. ρ 
 10 3 . 5.3. 1,6∙10-3 м3.
0,7ag
см
5.31. 337,5 г.
5.4. 8 кН.
5.32.
5.5. 30 Н.
3a3
4.37. V п
 750 см3 . 5.6. 40 кг.
g (5mS 2 MS1 )
4
t
 25 с;
5.8. 75 Н.
qρgS1
m1
1

 0,25. 5.9. 750 Н.
4.38.
h  6,25 см.
m2 k  1
5.10. 3,2 кН.
5.33.
5.11. 740 Н.
2F
4.39. m1  2  2 кг.
Mg  S 2ρ в gh1
5.12.
13,6.
h2 

g
5.13. 17,2.
S 2ρ с g
4.40. x2  6 x1  18 см.
5.14. 22 м.
= 15,6 см.
4.41. 6 Н и 11 Н.
5.16. 1 г/см3.
5.34. Не выльется.
4.42.
5.17. 1,11 кПа.
5.35. Выльется.
5.18. 1,76 кПа.
(m1  m2 ) g
1
xобщ 
x1  5.19. 75 Н.
5.36. ρ1  ρ(1  ) 
F1
n
5.20. 3 кН.
3
m g
 1 г/см .
ρ1
+ 2 x 2  12,8 см.
h

h

54
см.
5.21.
2
1
ρ
F2
ρ2
5.37. ρ1 

n 1
4.43.
ρ1
5.22. h2  h1 50 см.
(m  m ) g
 0,43 г/см 3 .
ρ2
xобщ  1 2 x1 
F1
5
5.23. p  2ρ к ghк 
5.38. .
mg
9
= 1,6 кПа; увеличится
 1 x2  4,3 см.
F2
3
в 1,5 раза.
5.39. .
8
4.44. Увеличить в
31
30
97
5.40. F  ρ 2 ga 3 (1  ρ1 ) 
ρ2
= 0,125 Н.
5.41. F  0,4ρ1 ga 3 
= 3,2 Н.
2h2 (a  h1 )

a  h2  h1
 4,4 см.
h (a  h2 )

5.43. h3  1
a  h2  h1
= 0,75 см.
4
5.44. p2  p  2 кПа.
3
5
5.45. p2  p 
4
= 1,25 кПа.
5.42. h3 
5.46. p 
5.47. h 
mg
a2
 0,1 кПа.
ρ( a 3  V )
ρв a 2

= 2,1 см.
5.48. n 
5.69.
5.58. 0,286; 5,14 кПа.
5.59. 0,068.
5.60. 800 кг/м3;
1000 кг/м3; 1,04 кг.
5.61.
mg
ρ
p
(1,8  0,2 в ) 
S
ρк
5.70.
= 15,5 кПа.
5.62.
mg
ρ  ρв
p
(2  к
)
S
6ρ к
= 16,25 кПа.
5.63.
mgS
S тр 
 20 см 2 .
Fтр
5.64.
F
ρa 2 g
 0,42 .
5.49. F  8ρga 2 h 
= 38,4 Н.
5.50. 16 см.
5.51. 2 см.
F
5.52. V 

g (ρ в  ρ г )
= 60 м 3 .
5.53. Fбок 
98
5.54. 1 см/с.
5.55. 0,5 см/с.
2F
 1 ч.
5.56. t 
ρsgυ
F
5.57. t 
 600 c.
qg
F
 10 Н.
2
m
2Shρ вρк
 120 г.
2ρ в  ρ к
ρк
h  24 см.
ρв
5.66. ≈ 5,6 см.
5.67. 7,5 см.
5.68
a 3ρ 2 g 4a 3ρ1 g


F1 
5
5
= 179 Н ;
5.65. h2 
F2 
ρ1 ga 3
 32 Н.
2
F1 
a 3ρ 2 g (2ρ 2  3ρ1 )

8
 1,6 кН;
F2 
a3ρ1 g
 80 Н.
8
x2
(ρ 0 ρ1 ) 
x1
= 0,2 г/см3.
5.71.
ρ 2  ρ0 
Vп 
F2ρ 2  F1 (ρ 2  ρ1 )

ρ 2 ρ1 g
= 6,3 дм 3 .
5.72.
Vп 
p1 (ρ 2  ρ1 )  p 2ρ1

ρ 2 ρ1 g
= 3,3 дм 3 .
3Sh
 6 см 3 .
2
5.74. Понизится на
V
h
 1мм.
4S
ρ n  ρ2
5.75. ρ  1

n 1
5,73. V 
 0,93 г/см 3 .
5.76. х =
ρ L(1 d )  d (ρв  ρн )
 в

ρв
= 1,3 см .
5.77. ρ 2  9ρ в  8ρ1 
= 5 г/см3.
5.78. ρ 2  5ρ в  ρ1 
4
= 0,75 г/см3.
5.83. 800 Н.
5.84. 1 кН.
6.4. 1,8 Дж.
6.5. 0,3 МДж.
6.6. 600 с.
6.7. 40 Н.
6.8. 60 Н.
6.9. 16 Н.
6.10. 200 Дж.
6.11. 80 %.
6.12. ≈ 93%.
6.13. ≈ 51%.
6.14. ≈ 180 кВт.
6.15. От 150 Н до 350 Н;
500 Дж.
6.16. Меньше 5 кг;
18 Дж.
ρV
6.17. l  l1 (1  1 1 ) 
ρ 2V2
= 32 см.
ρV
6.18. l  l2 (1  2 2 ) 
ρ1V1
= 0,81м.
6.19. 5,8 г/см3.
6.20. 3 г/см3.
6.21. Равновесия не
будет даже при полном
погружении первого
груза.
6.22.
(m1  m2 ) L
t

2(m1υ1  m2 υ2 )
 9,2 с.
6.23.
mL0
t
 6,7 с.
m2υ2  m1υ1 )
ρL 1
6.24. ρ г 

L 1 L 2
3
1 м  1 г/см 3
 1,3 г/см 3. 6.37. .
8
1 м  0,25 м
2
6.38. .
5
ρ (2 L2  L1 )
6.25. ρ1 
 6.39. 6 кг.
2( L2  L1 )

= 12 г/см3.
6.26.
Lρ1
x
 25 см.
2(2ρ - ρ1 )
6.27.
6.28.
Lρ1
x
 12 см.
2(4ρ  ρ1 )
6.29.
mgh
η
 100%  37% .
Fl
6.30.
mgh
η
 100%  26% .
Fl
6.31. N  ρghq 
= 5 МВт  5,3 т.
ρghlS
6.32. N 

t
= 2,7 кВт; 90 коп.
6.33.
mg
η
 100%  80% .
2F
6.34. Слева направо:
400 г; 100 г; 360 г.
6.35. Слева направо:
50 г; 600 г; 300 г.
6.36. Справа от опоры
mgL1  2 FL2
на x 

2mg
= 10 см.
6.40. 2,4 кг.
6.43. x = 2l/3 = 60 см.
n
6.44.  4.
k
n
6.45.  9.
k
mg
6.46. p 
 1 кПа.
S
6.47.
m  3mв
t 1
 20 c.
3ρSυ
6.48. р = 20 кПа.
6.49.
FL
ηбл  η
 64%.
mgh
6.50.
mg
η2 
 100% 
Fη1
 79% .
6.51. 828.
6.52. 10 мВт.
6.53. 0,1 мВт.
6.54.
3gV2 (ρ в  ρ)
T1 

2
= 0,18 Н;
Т2 = 0,48 Н.
99
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .......................................................................................3
Тема 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕЛА. ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Теоретические сведения .................................................................6
Примеры решения задач .................................................................8
Задачи к теме 1 .............................................................................10
Тема 2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Теоретические сведения ...............................................................12
Примеры решения задач................................................................13
Задачи к теме 2 .............................................................................23
Тема 3. МАССА И ПЛОТНОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕЛ
Теоретические сведения ...............................................................30
Примеры решения задач................................................................32
Задачи к теме 3 ..............................................................................37
Тема 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛ. СИЛЫ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. ДАВЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Теоретические сведения ...............................................................41
Примеры решения задач................................................................44
Задачи к теме 4 ..............................................................................50
Тема 5. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.
СИЛА АРХИМЕДА
Теоретические сведения ...............................................................56
Примеры решения задач................................................................58
Задачи к теме 5 ..............................................................................66
Тема 6. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ПРОСТЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Теоретические сведения ...............................................................76
Примеры решения задач................................................................80
Задачи к теме 6 .............................................................................86
Список литературы ...........................................................................94
Ответы к задачам ..............................................................................95
________
Редактор Е. Н. Кочубей
Подписано в печать 10.02.2009.
Формат 6084 1/16.
Изд. № 051-1. П.л. 6,25. Уч.-изд. л. 6,25. Тираж 2000 экз. Заказ № 60
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».
Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское шоссе, 31