ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ на тему: «Законы

Зубович С.О., Суркаев А.Л., Сухова Т.А.,
М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ПО ФИЗИКЕ
на тему:
«Законы сохранения»
Волгоград
2014
Министерство образования и науки РФ
Волжский политехнический институт (филиал)
государственного образовательного учреждения высшего
профессионального образования
«Волгоградский государственный технический университет»
С.О. Зубович, А.Л. Суркаев, Т.А. Сухова,
М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ПО ФИЗИКЕ
на тему:
«Законы сохранения»
Учебное пособие
Волгоград
2014
УДК. 536.7
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой «Общая
физика» Волжского филиала ГОУ ВПО МЭИ (ТУ) В.Г. Кульков,
Канд. тех. наук, доцент кафедры «Промышленная энергетика» Волжского филиала ГОУ ВПО МЭИ (ТУ) Староверов В.В.
Издается по решению редакционно–издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Зубович, С.О. Лабораторный практикум по физике на тему: «Законы сохранения» [Электронный ресурс]:учебное пособие/С.О. Зубович,
А.Л. Суркаев, Т.А. Сухова, М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова //Сборник
«Учебные пособия». Выпуск 3.–Электрон. текстовые дан.(1 файл–1,03MB)
– Волгоград: ВПИ (филиал) ВолгГТУ, 2012 г. – Систем. требования:
Windows 95и выше; ПК с процессором 486+; CD–ROM.
Настоящее пособие написано в целях оказания помощи студентам инженернотехнических специальностей в проведении и осмысливании эксперимента по разделу
«Механика» общего курса физики.
Издание также будет полезно для преподавателей и учащихся лицеев и гимназий, для членов и руководителей физических кружков и факультативов, всех тех, кто
хочет изучать физику с помощью экспериментов.
Ил. 25, табл.10, библиограф.15 назв.
 Волгоградский государственный
технический университет, 2014
 Волжский политехнический институт, 2014
Содержание
Предисловие авторов....................................................................................................... - 4 Глава 1 Теоретическое введение..................................................................................... - 6 § 1. Пространство, время, движение ........................................................................... - 6 § 1.1. Предмет физики ............................................................................................. - 6 § 1.2. Математический аппарат физики.................................................................. - 7 § 1.3 Общефизические представления.................................................................. - 11 § 1.4. Системы единиц измерения и размерность физических величин.............. - 13 § 1.5. Пространство и время в ньютоновской механике ...................................... - 14 § 1.6. Физические модели...................................................................................... - 17 § 2. Законы сохранения
.................................................................. - 19 § 2.1. Общая характеристика законов сохранения ............................................... - 19 § 2.2. Закон сохранения импульса......................................................................... - 19 § 2.3. Закон сохранения момента импульса.......................................................... - 23 § 2.4. Механическая работа и мощность............................................................... - 24 § 2.5. Кинетическая энергия.................................................................................. - 26 § 2.6. Потенциальная энергия................................................................................ - 28 § 2.7. Закон сохранения энергии .......................................................................... - 29 § 2.8. Равновесие механической системы............................................................. - 30 § 2.9. Упругие и неупругие соударения тел.......................................................... - 32 § 2.10. Движение в неинерциальных системах отсчета ....................................... - 34 § 2.11. Силы инерции............................................................................................. - 35 Глава 2 Физический практикум .................................................................................... - 38 Лабораторная работа № 105. Определение скорости полета пули с помощью
крутильно-баллистического маятника...................... - 38 Лабораторная работа № 106. Изучение законов соударения тел............................. - 44 Лабораторная работа № 107. Определение момента инерции маятника Максвелла. - 56 Лабораторная работа № 114. Определение показателя адиабаты для воздуха. ..... - 63 Приложение. .................................................................................................................. - 67 § Список библиографических источников ............................................................... - 73 -
-3-
Предисловие авторов
Современный курс физики никоим образом не может сводиться
только к учебнику и лекционному курсу. Не меньшая роль принадлежит
лабораторным работам.
Ясное и глубокое усвоение основных законов физики и ее методов
невозможно без работы в физической лаборатории, без самостоятельных
практических занятий. В физической лаборатории студенты не только проверяют известные законы физики, но и обучаются работе с физическими
приборами, овладевают навыками экспериментальной исследовательской
деятельности, учатся грамотной обработке результатов измерений и критическому отношению к ним.
Данное пособие представляет собой попытку создания единого руководства по экспериментальной физике для ведения занятий в физических
лабораториях профильных физико-математических школ и лицеев. Оно
рассчитано на студентов, обладающих малым опытом самостоятельной работы в физической лаборатории. Поэтому описания работ выполнены подробно и обстоятельно. Особое внимание уделено теоретическому обоснованию применяемых экспериментальных методов, вопросам обработки
результатов измерений и оценки их погрешностей.
Описание экспериментальных работ начинается с теоретического
материала по данной теме исследования. В экспериментальной части каждой работы приводятся описания экспериментальных установок и задания,
регламентирующие последовательность работы студентов при проведении
измерений, образцы рабочих таблиц для записи результатов измерений и
рекомендации по методам обработки и представления результатов. В конце описаний предлагаются контрольные вопросы, ответы на которые учащиеся должны подготовить к защите работ.
В среднем за учебный год каждый студент должен выполнить 10 – 20
экспериментальных работ в соответствии с учебным планом. Перед началом выполнения работы учащийся получает допуск к работе.
Примерный перечень вопросов для получения допуска:
1. Цель работы.
2. Основные физические законы, изучаемые в работе.
3. Схема установки и принцип ее действия.
4. Измеряемые величины и расчетные формулы.
5. Порядок выполнения работы.
Учащиеся, допущенные к выполнению работы, обязаны следовать
порядку выполнения строго в соответствии с описанием.
Работа в лаборатории заканчивается выполнением предварительных
расчетов и обсуждением их с преподавателем.
К следующему занятию учащийся самостоятельно заканчивает обработку полученных экспериментальных данных, построение графиков и
-4-
оформление отчета.
На защите работы учащийся должен уметь ответить на все вопросы
по теории в полном объеме программы, обосновать принятую методику
измерений и обработки данных, вывести самостоятельно расчетные формулы.
Выполнение работы на этом завершается, выставляется окончательная итоговая оценка за работу.
Семестровая и годовая оценки выставляются при успешном выполнении всех работ в соответствии с учебным планом.
-5-
Глава 1
Теоретическое введение
§ 1. Пространство, время, движение
§ 1.1. Предмет физики
Физика – одна из основных естественных наук. Это наука о наиболее простых и вместе с тем наиболее общих формах движения материи и
их взаимных превращениях.
Материя – весь окружающий нас мир, всё существующее вокруг нас
и обнаруживаемое нами посредством ощущений. Материя существует
только в движении. К физическим формам движения материи относятся
механическая, молекулярная, электромагнитная и ядерная. Движущаяся
материя существует в пространстве и времени. Следовательно, пространство и время – формы существования материи.
Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, тепловая и др.) присутствуют во всех высших и более сложных формах движения материи (химических, биологических и др.). Поэтому физика тесно
связана с естественными науками и эта связь привела к образованию ряд
новых смежных дисциплин, таких, как астрофизика, геофизика, физическая химия, биофизика и др.
Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь носит двусторонний характер. Физика выросла из потребностей техники, и техника, в
свою очередь, определяет направление физических исследований. С другой стороны, от развития физики зависит технический уровень производства. Физика – база для создания новых отраслей техники (электронная
техника, ядерная техника и др.).
Физика – наука опытная. Все физические законы, физические исследования начинаются с опыта или подтверждаются (иногда опровергаются)
опытом. Данные новых опытов уточняют физические законы или определяют границы их применимости.
Физика – наука точная, широко использующая математический аппарат, при этом, математика дает лишь один из инструментов исследования природы, но не может подменять собою естественные науки. Отметим еще одно
принципиальное свойство естественных наук – принципиальная неточность,
приблизительность любого количественного описания. Ни одна формула в механике, физике, химии и т.д. не может считаться абсолютно точной, она справедлива лишь в пределах границ ее применимости, указанных или подразумеваемых. И ни одна экспериментально определенная величина не имеет
смысла, если не указано, в каких условиях и с какой точностью она измерена.
-6-
§ 1.2. Математический аппарат физики
Элементы векторной алгебры.
Физические величины могут быть:
1. скалярными;
2. векторными.
Скалярными величинами (скалярами) называются такие, которые характеризуются только числовым значением. Примерами скалярных величин являются время t, масса m, температура T, электрический заряд q, потенциал φ и др. Скалярные величины могут быть положительными и
отрицательными и складываются алгебраически.
Векторными величинами (векторами) называются такие, которые
характеризуются числовым значением и направлением. Примерами
век



торных величин являются скорость  , ускорение a , сила F , импульс p ,


напряженность
E
электрического
поля,
магнитная
индукция
B
, напря
женность H магнитного поля и многие др.
Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный.


Сумма двух векторов. Пусть нам даны два вектора A и B (рис.1.1,а),
причем, эти составляют с горизонтом
углы α и β соответственно Чтобы по
лучить результирующий С , перенесем B параллельно
самому себе так,

чтобы его начало оказалось совмещенным
  сконцом A (рис.1.1,б). Тогда:
С  A B.

Модуль вектора С находим по теореме косинусов (рис.1.1,в):

С  A 2  B 2  2 AB cos   .



A
A
α B
α

а)
в)


B б)
C
C

B
Рис.1.1
Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну и ту же
или в противоположные стороны), называются коллинеарными. Векторы,
направления которых параллельны одной и той же плоскости, называются
компланарными.
 

Разностью двух векторов
A

B
называется
такой
вектор
, котоС


рый
с вектором B дает вектор A (рис.1.2,а).
 в сумме
 Поскольку


 разность
С  A  B может быть представлена в виде вектора С  A   B , это озна

чает, что можно получить
вектор
,
сложив
вектор
A
с вектором, равным
С

по величине вектору B , но имеющим противоположное ему направление
(рис.1.2,б).
-7-

A
а)

A

C

B
б)
 
A B
 
A B

B
Рис.1.2

Проведем через начало и конец вектора A плоскости, перпендикулярные к направлению п. Точки 1' и 2', в которых пересекаются эти
 плоскости с осью п, называются проекциями начала и конца вектора A на ось
п. Величина отрезка оси, заключенного между плоскостями, называется
проекцией вектора A на направление (или на ось) п (рис.1.3). Проекция
вектора – скаляр.

A
2

n
1
α
2ʹ
1ʹ
Рис.1.3
Если направление от точки 1' к точке 2' совпадает с направлением п,
проекция считается положительной; в противном случае проекция отрицательна. Проекция обозначается той же буквой, что и сам вектор, с добавлением индекса, обозначающего то направление, на которое спроектирован вектор. По заданным проекциям вектора на три координатные оси
может быть построен сам вектор. Следовательно, всякий вектор может
быть определен тремя числами – проекциями его на оси координат.

Умножение вектора на скаляр. В
результате
умножения
вектора
A

на скаляр а получается
новый
вектор
B
, модуль которого в |a|раз больше

модуля вектора A , а направление совладает с направлением A , если скаляр а положителен, и противоположно ему, если скаляр а отрицателен. Ес



ли B  aA , то B  a A .
Деление вектора на скаляр b равносильно умножению вектора на
скаляр а = 1/b.

Единичный вектор. Каждому вектору A может быть
 сопоставлен
единичный вектор, имеющий то же направление, что и A , а по модулю
равный единице. Единичный вектор имеет также другое название – орт.
Модули составляющих вектора по координатным осям Ax, Ay, Az, равны
модулям проекций вектора на эти оси.
Введем единичные векторы, имеющие направления координатных
-8-
осей. Их принято обозначать следующим
образом: единичный

 вектор, направленный по оси X, символом i , по оси Y – символом j и по оси Z –


 
символом k . Векторы i , j и k называют ортами осей X, Y и Z соответственно.

Поскольку вектор A равен сумме своих составляющих, можно разложить вектор по базису:




A  Ax i  Ay j  Az k .



Векторным произведением векторов A и B называется вектор С ,
обладающий следующими свойствами:


1. модуль вектора С равен: C =C = AB sin a;

2.
вектор
перпендикулярен к плоскости, в которой лежат
С



 векторы
A и B , причем направление его связано с направлениями
A и B по пра
вилу правого винта: если смотреть вслед вектору С , то совершаемый по
кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке (рис.1.4).
Символически векторное произведение можно записать двумя способами:
 


[ A, B ]
или
A X B.
Изменение порядка сомножителей вызывает изменение направления
результирующего вектора
на противоположное




 (рис.1.4).

[ B , A] = – [ A, B ]
или
B
X A = – ( A X B ).

A
 
BA
A,B


 
C
A
α
B ,A
α

AB

B
B
Рис.1.4
Рис.1.5


Скалярным произведением векторов A и B называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла
 α между ними
(рис.1.5). Скалярное произведение
по определению равно

  AB =AB cos α.
При α остром AB больше нуля, при а тупом AB меньше нуля; скалярное произведение двух взаимно-перпендикулярных векторов (α = π/2)
равно нулю.
Скалярное произведение коммутативно, т.е. не зависит от порядка
сомножителей:

AB = АВ cos а = А (В cos a) = В (A cos а).
Скалярное произведение векторов
дистрибутивно – скалярное про
изведение некоторого вектора A на сумму нескольких векторов равно
 
 
-9-

сумме скалярных произведении вектора A на каждый из слагаемых векторов, взятый в отдельности:   
 
A B  C  ...  AB  AC  ...
Операции деления вектора на вектор не существует.


Элементы дифференциального и интегрального исчислений.
Пусть в некоторой области значений х существует функция f (x)
(рис.1.6). Обозначим ∆x = x1 – х2, ∆f (x) = f (x1) – f (x2). Выражение
f  x 
df x 
im
 f ' x  
называется первой производной функции f (x) по
X  0 x
dx
аргументу x.
Y
2
Δy
αʹ
1
y
α
x
Δx
X
Рис.1.6
df x 
 tg  ,
dx
где α – угол наклона касательной к кривой в точке 1 к оси абсцисс.
Производная от первой производной называется второй производной
d 2 f x 
или производной второго порядка и обозначается
. Производные
dx 2
d N f x 
N-го порядка обозначаются
.
dx N
Свойства производной:
df x 
dx 
1. Если f (x) = Сφ(x), где С = const , то
С
.
dx
dx
df x  d1  x  d2  x 
2. Если f (x) = φ1(x) + φ2(x), то


.
dx
dx
dx
df x  d1  x 
d x 
3. Если f (x) = φ1(x) φ2(x), то

 2 x   2 1 x .
dx
dx
dx
d1 x 
d2  x 
2  x  
1 x 
1  x 
df x 
dx
dx
4. Если f (x) =
, то

.
2  x 
dx
22  x 
Геометрический смысл производной – графически
- 10 -
5. Если f (x) = f (φ(x)), то
df   df   dx 
.

dx
d dx
df x 
> 0, то при возрастании х функция f (x) возрастает.
dx
df x 
Если
< 0, то при возрастании х функция f (x) убывает.
dx
df x 
Если
= 0, то функция f (x) имеет экстремальное значение.
dx
Пусть в некоторой области значений х существует функция f (x)
(рис.1.7). Разобьем интервал [a, b] изменения х на элементарные отрезки
Если
n
∆x1, ∆x2, …, ∆xi, …, ∆xN. Составим сумму
 f x x .
i
i
i 1
N
b
i 1
a
Выражение im  f xi  xi   f x dx называется определенным интегралом.
То же выражение без пределов интегрирования
 f  x dx
называется
неопределенным интегралом.
Физический смысл определенного интеграла – равен площади, ограниченной слева и справа границами интервала [a, b], снизу – осью x, сверху функцией f (x) (рис.1.7).
f (x)
Δx
Рис.1.7
a
b
x
Свойства интеграла:
N
1. Если f (x) =  f i  x dx , то
i 1
N
N
  f x dx    f x dx .
i
i 1
i
i 1
2. Если f (x) = Сφ(x), где С = const, то  Cx dx  C   x dx .
§ 1.3 Общефизические представления
Одной из фундаментальных общефизических идей является идея о
дискретном строении материальных объектов. Так, считается, что Вселенная состоит из совокупности крупных материальных объектов, каждый из
которых состоит из совокупности более мелких, а каждый из более мелких
состоит, в свою очередь, из еще более мелких объектов и т.д. до элемен- 11 -
тарных частиц, являющихся наименьшими материальными объектами.
Другой общефизической идеей является идея о единстве всего материального мира. Оно проявляется в том, что все материальные объекты состоят из большого числа по-разному сгруппированных и взаимодействующих, но одинаковых протонов, нейронов, электронов, фотонов и
некоторых других элементарных частиц.
Одним из фундаментальных понятий в физике является понятие
взаимодействия. Благодаря взаимодействию возможно существование
больших и малых объектов, протекание различных процессов. Всякое
взаимодействие – есть совокупность большого числа элементарных актов
взаимодействия элементарных частиц. Каждый элементарный акт состоит
в том, что две взаимодействующие элементарные частицы обмениваются
третьей элементарной частицей. Среди большого разнообразия взаимодействий в природе выделяют четыре вида фундаментального взаимодействия: сильное, электромагнитное, электрослабое, гравитационное, каждое
из которых характеризуется своим типом обмениваемых элементарных
частиц. В таблице 1.1 приведены относительные интенсивности видов
взаимодействия, пространственные области их действия, материальные
объекты, подверженные этим взаимодействиям.
Таблица 1.1. Характеристика фундаментальных видов взаимодействий.
ВзаимодейстВид взаимовующие частидействия
цы
Проявление
ОтносительМеханизм ная интенсивность
ядерные силы,
тяжелые частиобмен
обеспечивающие
Сильное
цы (кварки, нусуществование глюонами
клоны)
ядер
кулоновская сизаряженные
ла, обеспечиобмен
Электрочастицы, фотофотонами
магнитное
вающая сущестны
вование атома
обмен
Электрокварки, лептоны
β–распад
бозонами
слабое
всемирное тягообмен гратение, обеспечивитонами
Гравитаци- все тела вселен- вающее сущест(пока не
ной
вование звезд,
онное
обнаружепланетных сисны)
тем
Область
действия,
м
1
10–15
10–2
0...
10–10
10–18
10–38
0...
Процесс испускания и поглощения элементарных частиц по своей
природе является вероятностным, т.е. каждый отдельный акт взаимодействия случаен, и можно говорить лишь об определенной вероятности его наступления. Поэтому общефизической является идея о статистичности поведения
элементарных
частиц.
Поведение
их
описывается
- 12 -
статистическими законами. В случае больших тел число обмениваемых
элементарных частиц очень велико и время взаимодействия велико, поэтому взаимодействие больших систем может быть описано не только статистическими законами, но и усреднено динамическими законами.
Общефизической является идея о том, что динамические законы –
результаты усредненного статистического подхода.
§ 1.4. Системы единиц измерения и размерность физических величин
Измерить какую-либо физическую величину – это значит сравнить ее
с другой однородной физической величиной, принятой за единицу измерения. Следовательно, для измерения физических величин необходимо выбрать единицы измерения (эталоны). Эталоны можно выбрать произвольно, но они должны легко воспроизводиться в любом количестве и быть
удобны для использования в практической деятельности.
Выбор единиц, их хранение и воспроизведение определяются методологией, ВНИИ метрологии г. Санкт-Петербурга.
Чаще всего выбирают несколько эталонов для некоторых независимых физических величин и принимают их за основные. Эталоны всех остальных величин, называемые производными, получают, пользуясь физическими законами. Эталоны – это меры и измерительные приборы,
предназначенные для хранения и воспроизведения единиц измерений с
наивысшей достижимой при данном состоянии науки и техники точностью
и принятые в общегосударственном или международном масштабе.
Совокупность основных и производных единиц образуют системы
единиц. Т.к. выбор основных единиц произволен, то может быть построен
целый ряд систем единиц СГС, в мех. СГСЭ, в эл. МКС МКГСС и др. В
последнее время в качестве предпочтительной принята Международная
система единиц СИ – единая система для всех разделов физики.
В этой системе основными единицами измерения являются:
1. длина (L),
2. масса (M ),
3. время (t),
4. температура (Tº),
5. количество вещества (ν),
6. сила тока (I ),
7. сила света (Jсв)
и две дополнительные – радиан и стерадиан.
Размерностью физических величин называется соотношение, на основании которого можно судить об изменении единицы сложной величины вследствие изменения основных единиц.
Так для ускорения [a] = LT–2 – это значит, что при увеличении единицы пути в n раз, в n раз увеличится и ускорение. При увеличении в m раз
- 13 -
единицы времени, единица ускорения уменьшится в m2 раз.
Формулы размерностей единиц сложных величин устанавливают закономерности, связывающие физические величины.
Обозначим размерности так: [F] = [Н] – единица размерности силы;
[υ] = [м/с] – единица размерности скорости; [а] = [м/с2] – единица размерности ускорения и т.д.
Размерность любой физической величины в механике можно записать в виде LαMβTγ, где α, β, γ – любые целые, дробные, положительные и
отрицательные числа, в частности они могут быть равны 0.
Т.к. физические законы не зависят от выбора единиц измерения, входящих в них физических величин, то размерности обеих частей уравнений
этих законов должны быть одинаковыми.
Это правило используется для проверки правильности полученного
результата, а также для установления размерностей физических величин.
Иногда размерности частей уравнений не совпадают, тогда для устранения этого недостатка в правую часть выражения добавляют коэффициент пропорциональности k. Значения k определяют опытным путем, а их
размерности получают из основных законов (метод размерностей).
§ 1.5. Пространство и время в ньютоновской механике
Механика – это раздел физики, в котором изучается простейшая
форма движения материи – механическая, т.е. движение тел в пространстве и времени. Дадим развернутое определение «движению».
Движение – это изменение относительного положения тел в пространстве с течением времени. В таком утверждении как бы заранее подразумевается, что понятия «пространство» и «время» являются совершенно естественными и не нуждающимися в каком-либо специальном,
формальном определении.
В действительности оказывается, что сами эти понятия могут быть
определены лишь через материальные предметы и события, с ними происходящие. Можно сказать, что движение есть перемещение рассматриваемого тела относительно других тел. Нет других тел – нет и движения. Таким образом, пространство задается расположением материальных
объектов. Время, в свою очередь, воспринимается через последовательность событий.
В отличие от пространства, которое для нас представимо хотя бы какими-то зрительными ассоциациями, время – понятие более абстрактное,
основанное более всего на нашем жизненном опыте, который, в частности,
свидетельствует о таком его фундаментальном свойстве, как однонаправленность. На нем базируются понятия причинно-следственных связей.
Эта парадоксальная ситуация не приводит, однако, к каким-либо
практическим затруднениям. Дело в том, что хотя мы и не можем сформулировать логически безупречного определения пространства или времени,
- 14 -
мы, тем не менее, можем сделать самое главное, что необходимо для описания и изучения любого явления, а именно, мы можем указать способ измерения его свойств и способ представления результатов измерений на математическом языке. Введем определение: измерение какой-либо
величины – это сравнение с однородной величиной, условно принятой за
эталонную единицу измерения.
В течение долгого времени эталоном длины, который получил название метр, служило определенное расстояние между двумя штрихами,
нанесенными на стержне особой формы, изготовленном из сплава платины
и иридия и находившемся в Международном бюро мер и весов во Франции. И точные копии этого эталона имелись в других странах. Сейчас, однако, отказались от такого эталона, так как он слишком чувствителен к изменению внешних условий и уже не удовлетворяет возросшим
требованиям современной науки и техники. В настоящее время в качестве
эталона длины принята длина волны электромагнитного излучения, которое испускается атомом химического элемента криптона при определенном изменении его внутреннего состояния. На практике при этом попрежнему пользуются привычной единицей длины в 1 метр, на котором
укладывается 1 650 763,73 вышеуказанных эталонных длин волн.
Имея в своем распоряжении способ измерения пространственных
интервалов между телами, можно на этой основе перейти к рассмотрению
тех свойств пространства, которые могут быть исследованы с помощью
указанных измерений. Таких свойств два: трехмерность и эвклидовость.
Трехмерность пространства определяется тем, что для однозначного определения положения одной точки пространства А относительно другой В необходимо в общем случае задать три пространственных интервала.
Эвклидовость пространства определяется тем, что в нем выполняются все теоремы известной нам эвклидовой геометрии, такие, например,
как теорема Пифагора или теорема о том, что сумма углов треугольника
равна 180°. Астрономические исследования свидетельствуют о том, что на
доступных исследованию расстояниях (а это миллиарды световых лет)
кривизна мирового пространства в среднем отсутствует. Имеются лишь
указания на ничтожное локальное искривление пространства в непосредственной близости от звезд. Поэтому в рамках классической механики
пространство считается эвклидовым.
Характерные пространственные масштабы, с которыми приходится
сталкиваться при исследовании природы, приведены в табл.1.2.
Движение, как уже говорилось, происходит не только в пространстве, но и во времени. С доисторических времен в качестве меры времени
было принято рассматривать какое-либо повторяющееся явление природы,
так как число циклов, число повторов этого явления является удобным и
естественным способом измерения времени. В течение многих столетий
использовались хорошо известные песочные часы. Как любопытный исто- 15 -
рический факт, можно отметить, что Галилей при изучении законов движения тел использовал в качестве часов биение собственного пульса. До
недавнего времени единым эталоном времени являлся период обращения
Земли вокруг своей оси. Точнее, за эталонную единицу времени, называемую секундой, принималась 1/86 400 часть средних суток. Однако сейчас
за эталон времени принят период колебаний электромагнитного поля, испускаемого атомами химического элемента цезия при определенном изменении их внутренней энергии. В течение одной секунды совершается
9 192 631 770 вышеуказанных эталонных колебаний.
Таблица 1.2. Пространственно-временные масштабы мира.
Пространство
Время
Между звездами
Homo sapiens
16
12
10 м (световой год)
10 с (100000 лет)
Солнечная система
Оборот Земли вокруг Солнца
11
10 м
107 с (один год)
Земля
Оборот Земли вокруг оси
6
10 м
104 с (одни сутки)
Человек
Один удар сердца
1м
1с
Прохождение электромагнитного импульса
Живая клетка
по нервному волокну
10–6 м
10–1 с
Атом
Время одной операции ЭВМ
–10
10 м
10–9 с
Атомное ядро
Время жизни некоторых элементарных частиц
–15
10 м
10–23 с
Механика ставит перед собой две основные задачи:
1. Изучение различных движений и обобщение полученных результатов в виде законов движения – законов, с помощью которых может быть
предсказан характер движения в каждом конкретном случае.
2. Отыскание общих свойств, присущих любой системе, независимо
от конкретного рода взаимодействий между телами системы.
Решение первой задачи привело к установлению Ньютоном и Эйнштейном так называемых динамических законов, решение же второй задачи – к обнаружению законов сохранения таких фундаментальных величин,
как энергия, импульс и момент импульса. Это основные законы механики.
Механику обычно делят на 3 части: кинематику, статику, динамику.
В кинематике рассматривается движение тел вне связи с причинами,
которые вызывают это движение или изменяют его.
В статике изучаются законы равновесия одного тела или системы
тел.
- 16 -
В динамике рассматриваются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют движение.
Движение тел происходит в пространстве и во времени. Пространственно–временное описание движения возможно только тогда, когда выбрана определенная система отсчета. Тело отсчета, связанная с ним система координат и синхронизированные между собой часы образуют систему
отсчета.
Тело отсчета – тело, которое служит для определения положения
интересующего нас тела, т.к. положение тела в пространстве может быть
определено только по отношению к каким–либо другим телам.
Для описания движения в пространстве с телом отсчета связывают
какую-нибудь систему координат. Для описания движения во времени
используют часы.
Опыт показывает, что, пока скорости тел малы по сравнению со скоростью света, линейные масштабы и промежутки времени остаются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, т.е. не зависят
от выбора системы отсчета. Механику, изучающую движения тел именно в
этих случаях, называют ньютоновской или классической.
При переходе же к скоростям, сравнимым со скоростью света, обнаруживается, что характер движения тел радикально меняется. При этом
линейные масштабы и промежутки времени уже зависят от выбора системы отсчета и в разных системах отсчета будут разными. Механику, основанную на этих представлениях, называют релятивистской. Естественно,
что релятивистская механика является более общей и в частном случае малых скоростей переходит в классическую.
§ 1.6. Физические модели
Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, необходимо отвлечься от несущественных для рассматриваемого движения деталей (в противном случае задача так усложнилась бы, что решить ее практически было бы невозможно). С этой целью используют понятия
(абстракции, идеализации, другими словами физические модели), применимость которых зависит от конкретного характера интересующей нас задачи, а также от той степени точности, с которой мы хотим получить результат.
В механике пользуются следующими абстракциями:
1. материальная точка;
2. система материальных точек;
3. абсолютно твердое тело;
4. абсолютно упругое тело и др.
Материальная точка (МТ) – это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Ясно, что одно и то же тело в одних
случаях можно рассматривать как материальную точку, в других же – как
- 17 -
протяженное тело.
Система материальных точек – совокупность малых взаимодействующих между собой частиц, составляющих произвольное макроскопическое тело или систему тел, причем каждая из частиц рассматривается как
МТ.
Абсолютно твердое тело – это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. Реальное тело
можно считать абсолютно твердым, если в условиях рассматриваемой задачи его деформации пренебрежимо малы.
Абсолютно упругое тело – тело, основными характеристиками которого являются его упругие свойства, для которого силы однозначно определяют деформации и наоборот.
Правильность выбранной абстракции подтверждается совпадением,
определенной точностью результатов теории и опыта.
- 18 -
§ 2. Законы сохранения
§ 2.1. Общая характеристика законов сохранения
Если проинтегрировать второй закон Ньютона, то можно найти траекторию частицы r = r(t, F). Однако часто это не является необходимым.
Оказывается, уравнения Ньютона обладают тем свойством, что некоторые
величины, характеризующие движение частицы, остаются неизменными во
все время движения. О таких величинах принято говорить, что они сохраняются. Их также называют интегралами движения. Знание интегралов
движения позволяет получить ряд важных следствий без фактического решения уравнений движения. Интегралами движения являются энергия, импульс и момент импульса. Эти три величины имеют важное общее свойство аддитивности: их значение для системы, состоящей из частей,
взаимодействие которых пренебрежимо мало, равно сумме значений для
каждой из частей в отдельности.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса представляют собой универсальные законы природы. Они «действуют» и в области элементарных частиц, и в области космических объектов.
Законы сохранения используются как инструмента исследования
движения потому, что:
1. Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд весьма
общих и существенных заключений о свойствах различных механических
процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений
движения.
2. Тот факт, что законы сохранения не зависят от характера действующих сил, позволяет использовать их даже тогда, когда силы вообще
неизвестны.
3. Даже в тех случаях, когда силы в точности известны, законы сохранения могут оказать существенную помощь при решении многих задач
о движении частиц. Хотя все эти задачи могут быть решены с помощью
уравнений движения, привлечение законов сохранения очень часто позволяет получить решение наиболее простым и изящным путем, избавляя нас
от громоздких и утомительных расчетов.
§ 2.2. Закон сохранения импульса
Импульс частицы – это векторная величина, равная произведению
массы тела на его скорость и сонаправленная с вектором скорости:


p  m ,
где т и υ – ее масса и скорость.
Воспользовавшись понятием импульса, запишем основное уравнение
- 19 -
динамики в иной форме:



d 2r
d d p n 

ma  m 2  m

  Fi ,
dt
dt dt i 1
т.е. производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе.
В частности, если F = 0, то p = const.
Заметим, что в неинерциальной системе отсчета сила F в уравнении
включает в себя не только силы взаимодействия данной частицы с другими
телами, но и силы инерции.
Уравнение позволяет найти приращение импульса частицы за любой
промежуток времени, если известна зависимость F(t). Действительно, из
формулы следует, что элементарное приращение импульса частицы за
промежуток времени dt есть dp = F dt. Проинтегрировав это выражение по
времени, найдем приращение импульса частицы за конечный промежуток
времени t:
t
p2  p1   F dt .
0
t
Величину  F dt называют импульсом силы.
0
Рассмотрим некоторые понятия.
Механическая система – совокупность материальных точек (тел),
рассматриваемых как единое целое.
Внутренние силы – силы взаимодействия между частицами системы.
Внешние силы – силы, обусловленные действием других тел, не входящих в данную систему. Ясно, что такое разделение сил на внутренние и
внешние условно – оно целиком зависит от выбора интересующей нас системы частиц. Заметим также, что в неинерциальных системах отсчета к
внешним силам относятся и силы инерции.
Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы,
называется замкнутой.
Импульс системы. Теперь введем понятие импульса системы как
векторную сумму импульсов ее отдельных частиц:
n

 n 
pсис   pi   mi i .
i 1
i 1
Заметим, что импульс системы – величина аддитивная, т.е. импульс
системы равен сумме импульсов ее отдельных частей независимо от того,
взаимодействуют они между собой или нет.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и
скорость которых соответственно равны т1, m2, . .., тn и υ1, υ2, .. ., υn. Пусть
F'1, F'2, ..., F'n – равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a F1, F2, ..., Fn – равнодействующие внешних сил. Запишем
- 20 -
второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:




d mn n  
d m11    d m2  2   
 F1  F1 ;
 F2  F2 ; …;
 Fn  Fn .
dt
dt
dt
Складывая почленно эти уравнения, получим



d m11  m2 2  ...  mn  n  n  n 
  Fi   Fi .
dt
i 1
i 1
Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то:



d m11  m2 2  ...  mn n  n 
  Fi ,
dt
i 1
или

dp n 
  Fi .
dt i 1
Таким образом, производная по времени от импульса механической
системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.
В случае замкнутой системы:

dp n d

  mi i   0 ,
dt i 1 dt
или
 n 
p   mi i  const .
i 1
Это выражение и является законом сохранения импульса: импульс
замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Другими словами, отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться импульсами.
У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс р, а его
проекция рх на некоторое направление х. Это бывает тогда, когда проекция
результирующей внешней силы на направление х равна нулю, т.е. вектор
силы перпендикулярен ему:
dp x
 Fx ,
dt
откуда следует, что если Fx = 0, то px = const. Например, при движении системы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция ее импульса на
любое горизонтальное направление, что бы в системе ни происходило.
Закон сохранения импульса справедлив не только в классической
физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы.
Закон сохранения импульса является следствием определенного
свойства симметрии пространства – его однородности. Однородность про- 21 -
странства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы
движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения
начала координат инерциальной системы отсчета.
В механике Галилея – Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.
Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек
называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор rC находят из равенства:
n
  n
m
r
 i i  rC  mi ,
i 1
i 1
n
где m   mi – масса системы.
i 1
Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром
тяжести. Впрочем, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда
поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.
Скорость центра масс:

n
n
dri

  mi
mi i 

dr

p
С  C  i 1 dt  i 1
 .
dt
m
m
m
Можно написать:


p  mC ,
т.е. из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой
системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.
Преобразовав формулу, получим:

n 
d C
m
  Fi .
dt
i 1
Выражение представляет собой закон движения центра масс и формулируется так: центр масс любой системы частиц движется так, как
если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были
бы приложены все внешние силы.
В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не ее движение как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой
центр масс покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления, и соответствующие расчеты.
Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют
системой центра масс.
Единица измерения импульса в СИ – килограмм на метр в секунду
[кг∙м/c].
- 22 -
§ 2.3. Закон сохранения момента импульса
При сравнении законов вращательного и поступательного движений
просматривается аналогия между ними, поэтому аналогом импульса тела
является момент импульса тела относительно оси.
Для отдельно взятой частицы (материальной точки) A моментом импульса Li относительно произвольно взятой точки O называется векторное произведение радиуса-вектора ri, проведенного из этой точки к частице
A, на ее импульс pi (рис.5.1): 
 
 
Li   ri , pi    ri ,mi i  ,
где L – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p.

Li
Z

Lz
Li

pi

pi
А


ri
O
А
ri
ℓi
O
Рис. 5.2
Рис. 5.1
Модуль вектора момента импульса:
L = rp sin α = mυ r sin α = pℓ,
где α – угол между векторами r и p, ℓ – плечо вектора р относительно точки О.
Моментом импульса относительно неподвижной оси Z называется
скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси
(рис.5.2). Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки О
на оси Z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси Z
каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой скоростью υi. Скорость υi; и импульс miυi перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора miυi. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы:
Liz = тiυiri.
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:
n
n
n
2
Lz   mi i ri   mi ri    mi ri 2  J z  .
i 1
i 1
i 1
Продифференцируем уравнение по времени:
- 23 -
dLz
d
 Jz
 J z  M z .
dt
dt
Это выражение – еще одна форма закона динамики вращательного
движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная
момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.
В замкнутой системе момент внешних
сил М = 0 и dL/dt = 0, откуда:

L  const .
Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса:
момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы, Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора
направления осей координат системы отсчета (относительно поворота
замкнутой системы в пространстве на любой угол).
§ 2.4. Механическая работа и мощность
Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется
(например, горячее тело нагревает холодное), в других – переходит в иную
форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в
механике вводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная
сила F, которая составляет некоторый угол с направлением перемещения s,
то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление
перемещения (Fs = F cos ), умноженной на перемещение точки приложения силы:
A = Fs s = F s cos  .
В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения – прямолинейным. Элементарной
работой силы F на перемещении dr называется
скалярная величина:
 
A  Fdr  Fs ds ,
где ds = |dr| – элементарный путь; Fs – проекция вектора F на вектор dr.
- 24 -
Справа в формуле записано
скалярное произведение векторов. Уч
 
тем, что dr  dt , тогда A  F dt .
Величина δА – алгебраическая: в зависимости от угла между векторами F и dr она может быть как
так и отрицательной и, в
 положительной,

частности, равной нулю (если F  d r ).
Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых
участках пути. Эта сумма приводится к интегралу:
2
2
A   F ds cos    Fs ds .
1
1
Выражению можно придать наглядный геометрический смысл. Изобразим график Fs(s) (рис.5.3). Из ри+
сунка видно, что элементарная работа
δА
s
δА численно равна площади заштрихо0
1
2
–
ванной полоски, а работа А на пути от
точки 1 до точки 2 – площади фигуры,
Рис.5.3
ограниченной кривой, ординатами 1 и
2 и осью s. При этом площадь фигуры над осью s берется со знаком «+», а
площадь фигуры под осью s – со знаком «–».
Полезную работу при конечном
перемещении точки вдоль линии L
 
можно записать в виде A   F dr .
Fs
L
1
a
b
Рис.5.4
2
Потенциальными (консервативными) называются силы, работа которых определяется
только положением начальной и конечной точек
траектории. Полную работу при перемещении
материальной точки из начального положения 1
в конечное положение 2 по пути а или b (рис.5.4)
обозначим A1a2 и A1b2.
Согласно определению потенциальных сил A1a2 = A1b2. Но если изменить направление движения по траектории, то изменится и знак работы.
A1a2 = –A2b1 или A1a2 + A2b1 = 0. Слева записана полная работа на замкнутом
пути 1a2b1, т. е. по контуру L. Это означает, что работа потенциальных сил
на замкнутом пути равна нулю. Представляя работу в интегральном виде,
имеем:
 
F
 dr  0
L
Непотенциальными силами являются гироскопические и диссипативные силы. Первые из них всегда направлены нормально к вектору скорости. Поэтому их работа всегда равна нулю. Формально понятие потенциальных сил выполнено в этом случае, однако гироскопические силы к
- 25 -
потенциальным не относятся. Диссипативные силы зависят от вектора
скорости. К ним относятся все силы трения. Направление таких сил противоположно направлению вектора скорости, поэтому их работа всегда отрицательна. Величина таких сил либо слабо зависит от величины скорости,
либо представляется ее степенной функцией.
При поступательном движении твердого тела все его точки движутся
по одинаковым траекториям. Поэтому можно рассматривать только
 траекторию одной точки, например центра масс С. В этом случае A  FdrC , где

F – главный вектор внешних сил.
Единица работы в СИ – Джоуль (Дж): 1 Дж – работа, совершаемая
силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н∙м).
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:
A
N
.
dt
За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая
этой силой, в данный момент времени:
dr  
N F
 F,
dt
т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с
которой движется точка приложения этой силы; N – величина скалярная.
Единица мощности в СИ – Ватт (Вт): 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).
§ 2.5. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы.
Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело
прошло за время возрастания скорости от 0 до υ, идет на увеличение кинетической энергии dEк тела, т.е.:
δA = dEк.
Используя второй закон Ньютона F = m(dυ/dt) и умножая обе части
равенства на перемещение dr, получим:
Fdr = m(dυ/dt)dr = δA,
δA = mυ dυ = dEк.
или, интегрируя и принимая кинетическую энергию состояния покоя равной нулю:

m 2
Eк   m d 
.
2
0
Из формулы видно, кинетическая энергия системы есть функция со- 26 -
стояния ее движения. При выводе формулы предполагалось, что движение
рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя
было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах
отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом,
кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.
Найдем взаимосвязь кинетических энергий системы материальных
точек в двух различных системах отсчета. Пусть система K' движется от
носительно K со скоростью u . Соотношение между скоростями точки в
  
неподвижной системе K и в подвижной K' имеет вид: i  i  u . Подставляем это соотношение в формулу кинетической энергии с учетом того, что
n


 mi i  p :
i 1
2
mi i
 u 2 n
  mu 2
Eк  
 u p    mi  Wк  u p 
.
2
2 i 1
2
i 1

Если в качестве системы K' выбрать систему центра масс, то p  0 .
Тогда уравнение принимает вид:
mu 2
Eк  Eк 
.
2
Это соотношение выражает теорему Кёнига. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме её кинетической энергии в системе
центра масс и половины произведения ее массы на квадрат относительной скорости системы.
Кинетическая энергия вращения. Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси Z, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами
m1, m2, ..., mn, находящиеся на расстоянии r1, r2, ..., rn от оси вращения. При
вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его
элементарные объемы массами mi, опишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости υi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов
одинакова:
 = υ1/r1 = υ2/r2 = ... = υn/rn.
Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:
n m 2
n m 2
J z 2
2 n
2
2
i i
i
Eвр  

ri 
 mi ri  2 ,
2
2
2 i 1
i 1
i 1
где Jz – момент инерции тела относительно оси Z.
Из сравнения формулы с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (Eк = mυ2/2), следует, что момент инерции
вращательного движения – мера инертности тела.
n
- 27 -
В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:
mC2 J C 2
T

, где m – масса катящегося тела; υС – скорость центра масс
2
2
тела; JС – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его
центр масс.
§ 2.6. Потенциальная энергия
Тот факт, что работа консервативных сил в случае стационарного
поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает
возможность ввести понятие потенциальной энергии.
Представим себе стационарное поле консервативных сил, в котором
мы перемещаем частицу из разных точек Pi в некоторую фиксированную
точку О. Так как работа сил поля не зависит от пути, то остается зависимость ее только от положения точки Р (при фиксированной точке О). Это
значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора r
точки Р. Обозначив эту функцию f (r), запишем:
O
APO   F dr  E П r  .
P
Функцию ЕП (r) называют потенциальной или потенциалом поля.
Найдем работу сил поля при произвольном перемещении частицы из
точки 1 в точку 2 (рис.5.4). Так как работа не зависит от пути, выберем
путь, проходящий через некую точку a. Тогда работа на пути 1a2 может
быть представлена в виде A12 = A1a + Aa2 = A1a – A2a или:
2
A12   F dr  П1  П 2 .
1
Таким образом, работа сил поля на пути 1–2 равна убыли потенциала поля.
Тело, находясь в потенциальном поле внешних сил, обладает потенциальной энергией ЕП. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа
совершается за счет убыли потенциальной
  энергии:
A  Fdr  dE П .
Потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле может
быть определена как:
E П    F dr  C или ЕП = ЕП0 + A,
где С = ЕП0 – постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной
- 28 -
нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Для консервативных
сил:
E
E
E
Fx   П , Fy   П , Fz   П
x
z
y
или
F = –grad ЕП,


E
E
E 
где grad E П  П i  П j  П k .
x
y
z
Для него наряду с обозначением grad ЕП применяется также обозначение ЕП .  («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:
      
 i 
j k,
x
y
z
или
 

F  E П  x , y , z ,t   C   E П  x , y , z ,t 
Конкретный вид функции ЕП (x, y, z, t) зависит от характера силового
поля.
Пример №1. Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на
высоту h над поверхностью Земли (в однородном поле сил тяжести), равна:
ЕП = mgh.
Пример №2. Потенциальная энергия упругодеформированного тела
жесткостью k:
x
kx 2
A   kx dx 
 EП .
2
0
Пример №3. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух точечных масс m1 и m2, разделенных расстоянием R:
G m1m2
EП 
.
R
Пример №4. Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов q1 и q2, разделенных расстоянием R в кулоновском поле:
kqq
EП  1 2 .
R
§ 2.7. Закон сохранения энергии
Полная механическая энергия системы во внешнем консервативном
поле – энергия механического движения и взаимодействия:
Е = Ек + ЕП ,
т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
Запишем второй закон Ньютона:
- 29 -


 d d  m 2   dr
F
m
 
.
dt dt  2 
dt
Проинтегрируем соотношение вдоль некоторой траектории от точки
1 до точки 2:
2
 m 2  2  
 d  2    Fdr .
1 
 1
Левая часть представляет собой приращение кинетической энергии
на пути между точками 1 и 2, а величина есть работа силы на пути 1–2.
Таким образом, работа сил, действующих на частицу, расходуется на
изменение ее кинетической энергии:
m22 m12
A  E к 2  E к1 

.
2
2
Но так как A12 = EП1 – EП2, то получаем:
U1 + T1 = U2 + T2 = const.
Если в системе материальных точек отсутствуют неконсервативные
силы, то выполняется закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы частиц, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной.
В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии
несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда
возникает эквивалентное количество энергии другого вида.
Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь,
она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность
неуничтожимости материи и ее движения.
§ 2.8. Равновесие механической системы
Под равновесием понимают состояние покоя или равномерного и
прямолинейного движения или вращения. Различают следующие виды
равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Из закона сохранения следует, что при постоянной величине полной энергии кинетическая
энергия частицы может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии. Поэтому, если потенциальная энергия имеет минимальное
значение, кинетическая энергия не может измениться без внешнего воздействия.
Таким образом, условием механического равновесия системы является экстремальное значение ее потенциальной энергии dEП /dr = 0, что эквивалентно равенству нулю сил, действующих на частицу.
Условием устойчивого равновесия является минимальное значение
- 30 -
потенциальной энергии, что математически равносильно условию
d 2EП /dr2 > 0.
Условием неустойчивого равновесия является максимальное значение потенциальной энергии, что математически равносильно условию
d 2EП /dr2 < 0.
Условием устойчивого равновесия является постоянное значение потенциальной энергии, что математически равносильно условию
d 2EП /dr2 = 0.
График зависимости EП = EП (x) называется потенциальной кривой.
Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения
тела.
Будем рассматривать только консервативные системы, т.е. системы,
в которых взаимные превращения механической энергии в другие виды
отсутствуют.
Для тела в однородном поле тяжести график данной зависимости
EП = EП (h) – прямая линия, проходящая через начало координат, угол наклона которой к оси h тем больше, чем больше масса тела (так как
tg  = mg).
Для упругодеформированного тела зависимость потенциальной
энергии упругой деформации EП = kx2/2 от деформации х имеет вид параболы.
В общем случае потенциальная
EП
кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и миниD
мумами (рис.5.5). Проанализируем
A
G
C
E
E
эту потенциальную кривую.
B
K
Если Е – заданная полная энергия частицы, то частица может нахоI
II
III
IV
диться только там, где EП (х)  E, т.е. в
xA xB xC xD
xК
x
областях I и III. Переходить из обласРис.5.5
ти I в III и обратно частица не может,
так как ей препятствует потенциальный барьер CDG. В области I частица с
полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме ABC и совершает колебания между точками с координатами xA и хC.
В точке В с координатой xB потенциальная энергия частицы минимальна.
Так как действующая на частицу сила Fх = –∂ EП /∂х, а условие минимума потенциальной энергии ∂EП /∂х = 0, то в точке В графика Fx = 0.
При смещении частицы из положения xB (и влево, и вправо) она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение xB является положением устойчивого равновесия.
Указанные условия выполняются и для точки хD (для EП max). Однако
- 31 -
эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при
любом смещении частицы из положения хD появляется сила, стремящаяся
удалить ее от этого положения.
Потенциальная кривая правее точки K вырождается в прямую, параллельную оси x. Следовательно, область правее координаты хK – область
безразличного равновесия, т.е. в любой точке на прямой не могут возникнуть возвращающие силы.
§ 2.9. Упругие и неупругие соударения тел
Удар (или соударение) – это столкновение двух или более тел, при
котором взаимодействие длится очень короткое время. При ударе в телах
возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами,
действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать
соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.
Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется
в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Относительная скорость
тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется
тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей.
При соударении шаров из определенного материала величины относительных скоростей до и после удара находятся в постоянном отношении,
следовательно, можно ввести безразмерную величину, характеризующую
удар (с некоторой степенью точности можно считать, что величина постоянна и зависит только от материала соударяющихся шаров) – коэффициент восстановления k, равный отношению нормальных составляющих относительной скорости тел после u и до удара υ:
u
k .

По значению коэффициента восстановления k различают три типа
ударов:
1. при k = 1 – абсолютно неупругий (после удара тела движутся
как одно целое),
2. при k = 0 – абсолютно упругий (механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии),
3. при 0 < k < 1 – неупругий (реальные тела).
Очевидно, что первые два случая являются идеализированными моделями, например, абсолютно упругий удар невозможен, так как реально
часть исходной кинетической энергии тел при ударе непременно теряется,
расходуясь на некоторое разрушение кристаллической решетки, а также на
звуковые волны в окружающей среде. Реальные тела взаимодействуют
- 32 -
только посредством неупругих соударений. Согласно опытам при ударе
шаров из дерева k ≈ 0,5, из мягких сталей – k ≈ 0,7, из слоновой кости –
k ≈ 0,9, из стекла – k ≈ 0,94.
Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная
к поверхности их соприкосновения, называется линией удара.
Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся
тел лежат на линии удара (рис.5.6,а). После удара центры масс тел продолжат движение вдоль линии удара.
Удар называется прямым, если перед ударом скорости центров масс
соударяющихся тел параллельны линии удара (рис.5.6,б). Если это условие
не выполняется, то удар называют косым (рис.5.6,в). После прямого удара
центры масс тел продолжат движение под углом к линии удара по параллельным прямым.

u1
m1   m2
1
2
x

u1 m1
m2 u
2
а
m1 
1
m2

u2

u1
m1

2
m1
m1 
1
m2

2

u2
m2
m2
б
в
Рис.5.6. Схемы ударов:
а – центрального, б – прямого, в – косого.
Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар.
Пусть массы шаров m1 и m2, скорости до удара υ1, и υ2, после удара u1
и u2. Для определенности возьмем случай движения шаров, изображенный
на рис.5.6,а.
В применении к данной задаче закон сохранения импульса системы
шаров имеет вид:
m1υ1 + m2υ2 =m1u1 + m2u2,
Закон сохранения энергии дает:
m112 m2 22 m1u12 m2 u22



.
2
2
2
2
Решая полученную систему уравнений совместно, получаем:
m  m2 1  2m2 2 ,
u1  1
m1  m2 
m  m1  2  2m11 .
u2  2
m1  m2 
Исследуем полученный результат в частных случаях.
1. Соударение одинаковых шаров. Тогда m1 = m2 и u1 = υ2, u2 = υ1,
т.е. произойдет обмен скоростями и, соответственно, энергиями.
- 33 -
2. Удар шара о массивную стенку. В этом случае m2 >> m1 и приближенно будем иметь:
m
u1   1  22 ,
u2  2  2 1 1   2 .
m2
Как видно отсюда, скорость массивного тела после удара меняется
незначительно. В результате удара стенке передается значительный импульс, но передача энергии при ударе сравнительно мала:
p  m2 u2  m2  2  2m11 .
Рассмотрим теперь центральный абсолютно неупругий удар шаров.
При таком ударе энергия налетающего шара полностью расходуется на
изменение внутренней энергии другого шара и на сообщение ему некоторой скорости. Закон сохранения механической энергии не выполняется, и
для определения скорости после удара достаточно закона сохранения импульса.
m   m2 2
m1υ1 + m2υ2 =(m1 + m2)u1, откуда
u 1 1
.
m1  m2
Потеря механической энергии, перешедшей во внутреннюю энергию
шаров, равна разности энергий до и после удара:
m112 m2 22 m1  m2 u 2
m1m2
E 


или E 
1   2 2 .
2
2
2
2m1  m2 
Когда неподвижное тело имеет большую массу (m2 > m1), то почти
вся кинетическая энергия переходит при ударе во внутреннюю энергию.
Напротив, при m1 >> m2 изменение внутренней энергии мало и большая
часть кинетической энергии идет на сообщение движения ударяемому телу.
§ 2.10. Движение в неинерциальных системах отсчета
Имеется много случаев, когда решение интересующей нас задачи необходимо получить в неинерциальных системах, поэтому возникает вопрос: как следует изменить основное уравнение динамики, чтобы оно оказалось справедливым и для неинерциальных систем отсчета?
С этой целью возьмем две системы отсчета: инерциальную К и неинерциальную K'. Пусть известны масса m частицы, сила F, действующая
на нее со стороны окружающих тел, и характер движения системы K' относительно K.
Рассмотрим достаточно общий случай, когда K'–система вращается с
постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, перемещающейся поступательно с ускорением а0 относительно K.
Ускорение частицы в К'–системе:
  
 
a   a  a0  2 R  2,,
где υ' – скорость частицы относительно К'–системы. Умножив обе части
- 34 -
уравнения
на массу m частицы и учтя, что в инерциальной системе отсчета
 
ma  F , получим
 
 

ma   F  ma0  m2 R  2m, .
Это и есть основное уравнение динамики в неинерциальной системе
отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг
оси, перемещающейся поступательно с ускорением а0. Из него видно, что
даже при F = 0 частица будет двигаться в этой системе с ускорением, в
общем случае отличным от нуля, причем так, как если бы на нее действовали некоторые силы, соответствующие последним трем членам уравнения. Эти силы назвали силами инерции.
Уравнение показывает, что введение сил инерции позволяет сохранить по форме основное уравнение динамики и для неинерциальных систем: слева – произведение массы частицы на ее ускорение (но уже по отношению к неинерциальной системе отсчета), справа – силы. Однако
кроме силы F, обусловленной действием окружающих тел (силы взаимодействия), необходимо учесть и силы инерции – остальные слагаемые в
правой части уравнения.
§ 2.11. Силы инерции
Перепишем последнее уравнение
в таком
 виде:

  
ma   F  Fин  Fцб  Fкор ,


где Fин   ma0 – поступательная сила инерции, обусловленная поступательным
неинерциальной системы отсчета;
 движением
2
Fцб  m R – центробежная сила инерции;

 
Fкор  2m, – кориолисова сила инерции.
Последние две силы обусловлены вращательным движением системы отсчета.
Мы видим, таким образом, что силы инерции зависят от свойств неинерциальной системы отсчета (а0, ω0), а также от расстояния ρ и скорости
υ' частицы в этой системе отсчета. Все силы инерции направлены в обратную сторону по отношению к соответствующему ускорению.
Пример №1: При резком торможении вагона поступательная сила
инерции бросает нас вперед, т.е. в сторону, противоположную вектору а0.
Пример №2: Система отсчета, связанная с земной поверхностью, во
многих случаях может считаться практически инерциальной, но не всегда.
Известно, например, что уменьшение ускорения свободного падения тел
по мере приближения к экватору объясняется не только несферичностью
Земли, но и возрастающим действием центробежной силы инерции. Или
такие явления, как отклонение свободно падающих тел к востоку, размыв
правых берегов рек в северном полушарии и левых берегов – в южном,
- 35 -
вращение плоскости качания маятника Фуко и др. Подобные явления объясняются действием сил Кориолиса.
Пример №3: Поезд массы m движется по меридиану на широте φ со

скоростью υ'. Найдем силу R' бокового давления, с



которой поезд действует на рельсы. В системе от
Fкор счета, связанной с Землей (она вращается с угловой

скоростью ω), составляющая ускорения поезда, перR
m
пендикулярная плоскости меридиана, равна нулю.
Это значит, что сила Кориолиса Fкоp должна уравноφ
вешиваться силой R бокового давления, действующей на поезд со стороны правого по ходу движения
рельса, т.е. Fкop = –R.
Рис.5.7
По третьему закону Ньютона, поезд будет действовать на этот рельс
направлении с силой R' = –R.
 в горизонтальном
 
Следовательно, R  Fкор  2m, .
Модуль вектора R' равен R' = 2mυ'ω sin φ.
Пример №4: На поверхности стола находится горизонтальный диск

D, свободно вращающийся вокруг вертикальной

m
оси с постоянной угловой скоростью ω. Над диском висит шарик массы т, как показано на
рис.5.8,а. Рассмотрим поведение этого шарика в
а)
K–системе отсчета, связанной со столом (она
предполагается инерциальной), и в K'–системе,
 связанной с вращающимся диском.

Fкор m Fцб
В инерциальной K–системе на шарик дейст
вуют две силы: сила тяжести и сила натяжения со
n

стороны нити. Эти силы компенсируют друг дру
га, и шарик покоится.
В неинерциальной К'–системе шарик двиб)
жется равномерно по окружности радиуса R с
Рис.5.8
нормальным ускорением ω2R.
Это ускорение обусловлено действием сил инерции. В самом деле, в
K'–системе помимо указанных выше двух сил, компенсирующих друг друга, действуют еще центробежная сила инерции и сила Кориолиса

(рис.5.8,б). Взяв проекции этих сил на нормаль n к траектории в точке нахождения шарика, запишем та'п = Fкор – Fцб = 2mυ'ω – mω2R = mω2R, где
учтено, что в данном случае υ' = ωR. Отсюда видно, что а'п = ω2R.
Особенности сил инерции. Подводя итог, перечислим важнейшие
особенности сил инерции, отличающие их от сил взаимодействия:
1. Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами
самих неинерциальных систем отсчета. Поэтому на силы инерции третий
закон Ньютона не распространяется.
2. Эти силы существуют только в неинерциальных системах отсчета
- 36 -
– это необходимо твердо помнить во избежание недоразумений. В инерциальных системах отсчета сил инерции вообще нет, и понятие сила в этих
системах отсчета применяется только в ньютоновском смысле, как мера
взаимодействия тел.
3. Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны
массе тела. Поэтому в однородном поле сил инерции, как и в поле сил тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от их
масс.
Принцип эквивалентности. Тот факт, что силы инерции, как и силы тяготения, пропорциональны массам тел, приводит к следующему важному заключению. Эйнштейн высказал предположение, что вообще никакими физическими опытами невозможно отличить однородное поле
тяготения от однородного поля сил инерции. Это предположение, возведенное в постулат, и составляет содержание так называемого принципа эквивалентности сил тяготения и сил инерции: все физические явления в однородном поле тяготения происходят совершенно так же, как и в
соответствующем однородном поле сил инерции.
Глубокая аналогия между силами инерции и силами тяготения послужила отправным пунктом при построении Эйнштейном общей теории
относительности, или релятивистской теории гравитации.
- 37 -
Глава 2
Физический практикум
Лабораторная работа № 105. Определение скорости полета пули
с помощью крутильно-баллистического маятника.
105.1. Цель работы: Изучение законов динамики вращательного
движения (определение скорости полета пули методом крутильнобаллистического маятника).
105.2. Описание лабораторной установки
9
1
2
3
10
4
6
5
7
Траектория
8
пули
Рис.105.1. Схема установки
Крутильно-баллистический маятник (рис.105.1) выполнен в форме
крестовины 9, подвешенной на тонкой проволоке 1. На крестовине расположены мишень 10, грузы 2, 3, 4 и зеркало 5.
Грузы 2 и 3 можно свободно перемещать по горизонтальной штанге,
тем самым изменяя момент инерции маятника. Груз 4 служит для уравновешивания мишени. Мишень 10 жестко прикреплена к концу горизонтальной штанги. Угол поворота маятника при попадании пули в мишень определяется по смещению светового «зайчика» по шкале 6, расположенной
рядом с маятником и освещенной осветителем. Смещение светового «зайчика» замеряется с помощью оптического прицела 7.
Световой «зайчик» возникает при отражении луча от зеркала 5. При
повороте маятника на угол φ луч поворачивается на угол 2φ.
Для устранения колебаний маятника в вертикальной плоскости к
- 38 -
крестовине подвешен тяжелый груз 8, прикрепленный к полу. Таким образом, маятник может совершать колебания только вокруг вертикальной оси,
проходящей через точку подвеса маятника.
105.3. Методика эксперимента
Крутильно-баллистический маятник представляет собой массивное
тело со значительным моментом инерции, подвешенное на упругой нити
(рис.105.1). При попадании пули в мишень 10 маятник поворачивается вокруг вертикальной оси и закручивает нить. При этом на маятник со стороны нити действует момент упругих сил М пропорциональный углу закручивания нити  но имеющий такое направление, что стремится вернуть
маятник в положение равновесия, поэтому:
M = –k φ,
(105.1)
где k – постоянная момента упругих сил.
Этим моментом упругих сил в момент удара пули в мишень можно
пренебречь, так как за чрезвычайно малое время соударения маятник успевает повернуться на очень малый угол  и соответственно возникает малый момент сил M. Тогда систему «маятник–пуля» можно считать замкнутой и для нее закон сохранения момента импульса имеет вид:
mυh = Jω + mωh2 = (J + mh2)ω,
(105.2)
где m – масса пули; υ – скорость пули; h –расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули; mυh – момент импульса пули до удара;
J – момент инерции маятника относительно вертикальной оси вращения;
mh2 – момент инерции пули относительно вертикальной оси вращения маятника;  – угловая скорость системы «маятник – пуля».
После удара кинетическая энергия вращательного движения маятника переходит в энергию упругой деформации нити, и закон сохранения механической энергии, если пренебречь незначительными потерями на трение, имеет вид:
J  mh 
2
2
2
k  2max

,
2
(105.3)
где max – наибольший угол поворота маятника.
Из выражений (105.2) и (105.3), исключив , находим квадрат скорости полета пули:
k 2max J  mh 2 
 
m 2h 2
2
или, так как mh2 << J, то:
- 39 -
k  2max J
.
(105.4)
m 2h 2
Для определения скорости полета пули массой m, пробивающей мишень на расстоянии h от оси вращения маятника, в работе экспериментально определяется максимальный угол поворота маятника max после
удара пули. Для исключения из формулы (105.4) трудно поддающихся
экспериментальному определению величин k и J используется то обстоятельство, что после попадания пули в мишень маятник начинает совершать
гармонические колебания с периодом, зависящим от J и k. Уравнение гармонических колебаний можно получить, воспользовавшись основным законом динамики для вращательного движения:
2 
M = J ε,
(105.5)
где M – проекция момента сил на ось вращения маятника; ε – угловое ускорение.
С учетом выражения (105.1) уравнение (105.5) примет вид:
d 2
d
J 2 k
 0.
dt
dt
Решение уравнения (105.6) имеет вид:
φ = A cos ωt,
(105.6)
(105.7)
где A – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота.
Период колебаний определяется по формуле:
T
2
J
 2
.

k
(105.8)
Если изменить момент инерции маятника относительно оси вращения путем смещения грузов 2 и 3, то в соответствии со свойством аддитивности момента инерции и теоремой Штейнера можно записать:
J1 = J'c + 2J''c + 2m0r12,
(105.9)
J2 = J'c + 2J''c + 2m0r22,
(105.10)
где J1 и J2 – моменты инерции маятника относительно вертикальной оси
вращения, когда грузы 2 и 3 расположены соответственно на расстоянии r1
и r2 от оси вращения; J'c – момент инерции маятника без грузов относительно оси, проходящей через центр инерции маятника; J''c – момент инерции одного груза относительно оси, проходящей через центр инерции этого груза; m0 – масса одного груза.
Периоды колебаний маятника, имеющего момент инерции J1 и J2 , с
учетом формулы (105.8), соответственно равны:
- 40 -
T1  2
J1
J
, T2  2 2
k
k
(105.11)
С учетом выражений M = rF sin α и L = mυr скорость полета пули
для случая, когда грузы 2 и 3 расположены так, что момент инерции маятника J1 и произведен первый выстрел пулей массой m, попавшей в мишень
на расстоянии h1 от оси вращения, равна:
4  m0 1 T1 r22  r12 
1 
.
m h1 T22  T12 
(105.12)
Аналогично для случая, когда момент инерции маятника J2:
4  m0 2 T2 r22  r12 
2 
.
m h2 T22  T12 
(105.13)
Все значения величин, входящих в формулу (105.12) и (105.13), определяются экспериментально.
105.4. Порядок выполнения работы
1. Лабораторная установка настроена и регулировок не требует.
2. Сместите грузы 2 и 3 к оси вращения маятника до упора (положение 1) и определите расстояние груза от оси вращения r1, измерив расстояние между центрами грузов и разделив его пополам.
3. Включите осветитель шкалы.
4. Остановите маятник осторожными касаниями грузов в направлении противоположном движению маятника в этот момент.
5. Определите начальную угловую координату, для чего:
5.1. при помощи оптического прицела заметьте деления шкалы, соответствующие крайним (min…max) положениям светового «зайчика»;
5.2. определите деление, соответствующее его среднему положению n0,
сложив деления шкалы, соответствующие крайним положениям светового
«зайчика» и разделив результат пополам;
5.3. запишите результат в таблицу 105.1.
6. Зарядите ружье и произведите выстрел.
Внимание: При выстреле соблюдайте технику безопасности
7. Определите при помощи оптического прицела деление шкалы n,
на которое переместится «зайчик» при повороте маятника на максимальный угол.
8. С помощью секундомера измерьте время N = 10 полных колебаний
маятника (с точностью до сотых долей секунды), считая началом отсчета
момент наблюдения поворота маятника на максимальный угол (см. п. 7).
9. Измерьте расстояние h от пробоины в мишени 10 до оси маятника.
10. Сместите грузы 2 и 3 на одинаковые максимально возможные
- 41 -
расстояния от оси вращения (положение 2). Определите r2, n0, n, t, h в соответствии с пунктами 5...9.
11. Все результаты измерений и данные установки, приведенные на
лабораторном столе, занесите в таблицы 105.1 и 105.2.
Положение
грузов
Таблица 105.1. Экспериментальные данные.
Положение светового
Расстоя«зайчика» на шкале
Расстояние от
ние от
Начальное
При макси- n  n
оси ма0
центра (до выстрела) мальном отятника
груза до
n0
клонении n
до шкаоси r, м деледелелы ℓ, м
м
м
ний
ний
φ,
рад
1
2
Таблица 105.2.
Положение
грузов
r, м
Масса
одного
груза
m0, кг
Определение скорости полета пули.
Расстояние Время Пери- Скорость
Масса от пробои- 10 пол- од копули
пули ны в мише- ных ко- леба<υ>
υ,
m, кг
ни до оси лебаний ний
,
м/с
h, м
t, с
T, с
м/с
1
2
105.5. Обработка результатов измерений
1. Рассчитайте угол φ для каждого опыта по формуле:
n n
tg    0
,
2
где │n0 – n│ – линейное смещение светового «зайчика» по шкале; ℓ – расстояние от оси маятника до шкалы.
2. Зная время 10 полных колебаний, определите периоды T1 и T2 .
3. По формулам (105.12), (105.13) рассчитайте соответственно скорости пули υ1 и υ2.
4. Определите среднее значение скорости пули <υ>.
105.6. Контрольные вопросы
1. Какие типы и виды движения твердого тела существуют?
2. Как определить направления и значения момента силы и момента
импульса (в векторном и скалярном виде).
- 42 -
3. Математический и физический смысл момента инерции тела.
4. Что такое аддитивность момента инерции?
5. Выведите основное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
6. Закон сохранения момента импульса.
7. Кинетическая энергия вращающегося тела.
8. Сформулируйте теорему Штейнера.
9. Выведите формулы для расчета погрешностей определения моментов инерции маятника и грузов на стержнях маятника.
Литература, рекомендуемая для обязательной проработки: [3],
§§5.1,…, 5.4; [7], §§I.7.1, I.7.3; [8], §§34,…, 43; [10], §§30,…, 38; [13],
§§16,…, 20; [14], §4.3; [15], §§I.4.1,…, I.4.6.
- 43 -
Лабораторная работа № 106. Изучение законов соударения тел.
106.1. Цель работы: Изучение законов сохранения импульса и механической энергии для упругих столкновений. Измерение параметров
центрального неупругого удара двух шаров.
106.2. Описание лабораторной установки
7
3
2
8
11
4
1
10
9
6
5
9
Рис.106.1. Общий вид лабораторной установки.
Общий вид лабораторной установки для исследования столкновения
шаров представлен на рис.106.1. В основании 1 закреплена колонна 2 с
прикрепленным сверху кронштейном. На кронштейне закреплена рама 3, к
которой на гибких нитях 4 подвешены упругие шары.
Шары сгруппированы в двух вариантах: группа из пяти шаров 5
служит для исследования закона сохранения импульса, группа из двух шаров 6 – для определения коэффициента восстановления относительной
скорости и энергии после центрального удара двух шаров. Чтобы добиться
центрального соударения, на установке предусмотрены регулировочные
винты 7 и 8.
В основании закреплены угольники со шкалами 9 и 10, показывающие углы отклонения шариков в градусах, а на специальных направляющих – электромагнит 11, удерживающий первый шарик в исходном отклоненном положении. Электромагнит можно передвигать вдоль правой
шкалы и фиксировать высоту его установки, что позволяет изменять начальный угол отклонения первого шара от вертикали.
Внимание: Установка для опытов настроена и никаким регулировкам винтами не подлежит.
- 44 -
106.2.1. Установка для определения коэффициента восстановления
Для измерения времени контакта шаров используется электронный
секундомер, показывающий время удара в микросекундах (рис.106.2). Секундомер электрически соединен с шариками и электромагнитом. На лицевой панели секундомера находятся следующие манипуляционные элементы:
1. «Сеть» – выключатель сети.
2. «Пуск» – управление электромагнитом.
β2
мкс
α1
сеть
пуск
h2
h1
Рис.106.2. Схема соударения шаров и измерения времени удара.
При нажатии кнопки «Пуск» на секундомере магнит отпускает первый шарик. В момент соприкосновения шариков они замыкают цепь секундомера и включают на нем счетчик микросекунд, который работает до
момента размыкания шариков, а затем останавливается, фиксируя время
их электрического контакта, которое и принимается равным времени удара . При обратном ударе шариков счетчик уже не меняет своего показания, так что на нем фиксируются только время первого удара.
Для восстановления исходного состояния системы надо отжать
кнопку «Пуск» (при этом включится электромагнит и обнулятся показания
табло на секундомере) и прилепить первый шарик к электромагниту.
При спокойном положении шариков внизу они должны быть на одном уровне и в плоскости касания, почти касаться друг друга, а их указатели показывать на нули шкалы углов. При захвате магнитом первого шарика его указатель показывает на α1 = 15°.
Массы шариков m1 = m2 = m = 130 г, их радиусы R = 15 мм, расстояния от точек подвесов до центров шариков ℓ = 48 см. Если реально эти параметры иные, то они указаны на установке.
106.2.2. Установка для исследования закона сохранения импульса
Сначала происходит соударение шаров (рис.106.3) 1 и 2. В результате шар 1 останавливается полностью передав шару 2 свой импульс (а значит и скорость). Далее происходит аналогичная передача скорости шару 3
- 45 -
и т.д. Таким образом, последний шар 5, получив толчок, отклонится на такой же угол, на какой первоначально был отклонен шар 1, а все остальные
шары будут при этом покоится. Именно это движение последнего шара мы
и видим: движение «промежуточных» шаров незаметно для глаза.
ℓp 
1
β5
1
2
3
4
5
Рис.106.3. Схема установки для изучения закона
сохранения импульса.


Закон сохранения импульса m1  mu2 , в проекции на горизонталь-
m12 mu22
ную плоскость υ1 = υ2. Закон сохранения энергии

, 12  u22 и так
2
2
далее. Когда шар 5 вернется после отскока, мы увидим отскок шара 1 на
тот же угол и т.д.
Если отвести первоначально шары 1 и 2, то описанный процесс произойдет дважды: сначала по цепочке пробежит «толчок» от удара шара 2, а
затем, спустя малое время, «толчок» от удара шара 1. В результате мы
увидим, что с другой стороны цепочки отклоняется только шары 4 и 5, а
затем – снова отклоняется только шары 1 и 2 и т.д.
Массы шариков одинаковы mp = 110 г, их радиусы Rp = 30 мм, расстояния от точек подвесов до центров шариков ℓp = 72 см. Если реально
эти параметры иные, то они указаны на установке.
106.3. Методика эксперимента
α1
ℓ

m1g

m2g
h1

а
X

T 
Рис.106.4
Рассмотрим соударение шаров на данной
установке. Изобразим все внешние силы, дейст
вующие на шары во время удара (рис.106.4): m1 g ,
 

m2 g − силы тяжести шаров; N1 , N 2 − силы реакции нитей. Силы взаимного отталкивания, возникающие во время столкновения, являются внутренними, поэтому мы их не изображаем.
Внутренние силы не изменяют импульса рассматриваемой системы.
Используя второй закон Ньютона, запишем
закон изменения импульса системы за время
- 46 -
столкновения Δt:


 
pсистемы   m1 g  m2 g  N 1  N 2  t .
(106.1)
(Δpсистемы)x = ( m1gx + m2gx + N1x + N2x )·Δt.
(106.2)

Пусть первый шар до столкновения имеет скорость 1 , а второй до
 
 
столкновения покоился (υ2 = 0). В этом случае m2 g  N 2  0 , m1 g  N 1  0 .

Не скомпенсированной остается сила реакции нити N1 , действующей на
первый шарик перед ударом, т.к. первый шарик в этот момент имеет центростремительное ускорение. В этом случае мы имеем не замкнутую систему. Предполагая, что за время столкновения вектор суммы внешних сил
меняется не значительно, спроектировав равенство (106.1) на ось ОХ, получим:
OX:
Очевидно, что m1gx = m2gx = N1x = N2x = 0, поэтому проекция изменения импульса системы на ось ОХ равно нулю, т.е. проекция импульса системы до удара равна проекции импульса системы после удара. Это утверждение справедливо как для упругого, так и для неупругого удара. Это
утверждение подлежит проверке в данной работе.
Для определения скоростей шаров до и после ударов воспользуемся
законом сохранения механической энергии. При движении первого шара

до удара на него действуют две силы: сила тяжести m1 g и сила натяжения

нити N1 . Сила тяжести является консервативной, а сила натяжения в данном случае не совершает работы, т.к. на любом бесконечно малом участке
траектории она направлена перпендикулярно бесконечно малому перемещению. Поэтому во время полета механическая энергия первого шара сохраняется. Это же утверждение справедливо и для движения шаров после
столкновения. Обозначим начальный угол отклонения первого шара через
α1 и высоту – через h1.
Запишем закон сохранения механической энергии для первого шара:
m112
 mgh1 ,
2
(106.3)
m112
где m1gh1 – начальная механическая (потенциальная) энергия шара;
–
2
механическая (кинетическая) энергия шара перед столкновением. Отсюда
имеем следующее соотношение: 1  2gh1 . Из рис.106.4 видно что

h1     cos 1   1  cos 1   2 sin 2 1 , тогда:
2
1  2 g 1  cos 1   2 g sin
- 47 -
1
.
2
(106.4)
Аналогично определяются скорости первого u1 и второго шариков u2
сразу после удара:
u1  2 g 1  cos 1  ,
u2  2 gh2  2 g 1  cos  2  ,
(106.5)
где β1 – угол отскока первого шарика, β2 – угол отскока второго шарика,
h2 – высота подъема второго шарика.
Рассмотрим особенности абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.
Абсолютно упругий удар – это такой удар, при котором кинетическая
энергия стакиваются тел частично или полностью (т.е. без тепловых потерь) переходит в энергию их упругой деформации, а затем вновь превращается в кинетическую энергию разлетающихся тел. При этом оба тела
полностью восстанавливают свою форму. При абсолютно упругом ударе
выполняются законы сохранения как импульса, так и механической энергии.
ЗАМЕЧАНИЕ. После удара тела могут и вращаться, так что следовало бы добавить и закон сохранения момента импульса, позволяющий определить скорость вращения, но с целью упрощения опытов и расчетов,
вращательным движением пренебрегаем.
Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар шаров. Пусть
массы шаров m1 и m2, скорости до удара υ1 и υ2, после удара u1 и u2. Закон
сохранения импульса системы двух шаров в общем виде имеет вид:


 
 


 
p1  p2  p1  p2 или m11  m2 2  m1u1  m2u2 , где p1 , p2 – соответствен 
но импульсы первого и второго шаров до соударения, p1 , p2 – соответственно импульсы первого и второго шаров после соударения
В применении к данной задаче закон сохранения импульса в проекциях на ось OX имеет вид:
p1x + p2x = p'1x + p'2x
или
m11  m2 2   m1u1  m2 u2 .
(106.6)
Закон сохранения энергии дает:
m112 m2 22 m1u12 m2 u22



.
(106.7)
2
2
2
2
Решая полученную систему уравнений (106.6–106.7) совместно, получаем:
u1 
m1  m2 1  2m2 2  2 m11  m2 2   ,
(106.8)
u2 
m2  m1 2  2m11  2 m11  m2 2  
(106.9)
m1  m2
m1  m2
m1  m2
m1  m2
1
2
.
Исследуем полученный результат в частных случаях.
1) Соударение одинаковых шаров. Тогда m1 = m2 и из системы урав- 48 -
нений (106.8–106.9) получаем: u1 = υ2, u2 = υ1. В этом случае в результате
соударения тела только обменяются энергией и, соответственно, скоростью. Времена ударов, близких к абсолютно упругим, весьма малы – порядка 10–4 – 10–5 с, а давления на площадках контакта достигает 109 –
1010 Па (10 4 – 10 5 атм).
2) Удар шара о массивную стенку. В этом случае m2 >> m1 и из системы уравнений (106.8–106.9) приближенно будем иметь:
u1   1  22 ,
u2   2  2
(106.10)
m1
1   2 .
m2
(106.11)
Как видно из выражений (106.10–106.11), скорость массивного тела
после удара меняется незначительно. В результате удара стенке передается
значительный импульс Δp = m2u2 + m2υ2 = 2m1υ1, но передача энергии при
ударе сравнительно мала.
Выражение (106.4) позволяет выразить импульс и кинетическую
энергию первого шара перед ударом:
p1 x  m11 x  m1
2 g 1  cos 1   2m1 g sin
1
,
2
(106.12)
m112

T1 
 m1 g 1  cos 1   2m1 g sin 2 1 .
(106.13)
2
2
Рассуждая аналогично для движения шаров после столкновения,
можно записать следующие выражения для их импульсов и энергий:
p1x  m1u1 x  2m1 g sin
1

, p2 x  m2 u2 x  2m2 g sin 2 , (106.14)
2
2
m112

m 2

 2m1 g sin 2 1 , T2  1 2  2m2 g sin 2 2 ,
(106.15)
2
2
2
2
где β1, β2 − соответственно углы отклонения первого и второго шаров после удара.
Проекция импульса первого удара после столкновения p'1x является
положительной величиной в том случае, когда направление скорости первого шара до и после удара совпадают, в противном случае проекция импульса является отрицательной величиной.
Коэффициент восстановления скоростей и энергий k, равный отношению нормальных составляющих относительной скорости тел после u и
до удара υ:
T1 
k
u
,

- 49 -
(106.16)
также можно определить как отношение кинетической энергии системы
после удара T' к кинетической энергии системы до удара T:
k
T1  T2
.
T1  T2
(106.17)
Для установки (рис.106.2) T2 = 0, т.к. второй шар перед ударом покоится.
Коэффициент восстановления k для прямого удара шаров согласно
формуле (106.16) определяется отношением:
k
u2  u1
u u
 2 1,
 2  1 1  2
(106.18)
где υ1 и υ2 – скорости шаров до удара; u1 и u2 – после удара.
Значение k можно определить экспериментально, например, по высоте h, на которую подскакивает шарик, свободно подающий на горизонтальную плиту с высоты Н. Так как плита неподвижна, для нее υ2 = u2 = 0,
а для шарика: 1  2 gH , u1  2 gh , следовательно из формулы (106.16):
k
h
.
H
(106.19)
В настоящей работе коэффициент k определяется по формуле
(106.18) по скоростям двух одинаковых соударяющихся шаров, один из
которых вначале неподвижен: m1 = m2 = m и υ2 = 0.
Абсолютно неупругий удар – это такой удар, после которого оба тела
движутся как одно целое. При этом упругая



1
деформация не возникает или же она очень
N2
N1
мала и не приводит к отскоку, а кинетическая
энергия тел частично или полностью перехоm1
m2
m1 + m2
Рис.106.5. Схема цендит в тепловую. Поэтому при абсолютно неуптрального абсолютно
ругом ударе закон сохранения механической
неупругого удара.
энергии не выполняется, а выполняется только
закон сохранения импульса.
Рассмотрим центральный абсолютно неупругий удар шаров
(рис.106.5). При таком ударе энергия налетающего шара полностью расходуется на изменение внутренней энергии другого шара и на сообщение ему
некоторой скорости. Закон сохранения механической энергии не выполняется, и для определения скорости после удара достаточно закона сохранения импульса:
p1x + p2x = px
или m11  m2 2   m1  m2  u ,
откуда после несложных преобразований получаем:
u
m11  m2 2
,
m1  m2
- 50 -
(106.20)
где px, u – импульс и скорость единого тела после удара.
Потеря механической энергии ΔE, перешедшей во внутреннюю энергию шаров, равна разности энергий до и после удара:
m112 m222 m1  m2 u 2
m1m2
E 



1  2 2 .
2
2
2
2m1  m2 
(106.21)
Когда неподвижное тело имеет большую массу (m2 > m1), то почти вся
кинетическая энергия переходит при ударе во внутреннюю энергию. Напротив, при m1 >> m2 изменение внутренней энергии мало и большая часть кинетической энергии идет на сообщение движения ударяемому телу.
Импульс и кинетическая энергия первого шара перед ударом определяются выражениями (106.14–106.15). Те же величины для движения шаров после столкновения запишутся в виде:

p x  m1  m2 1 x  2m1  m2  g sin ,
2
(106.22)
m1  m2 12

 2m1  m2  g sin 2 ,
(106.23)
2
2
где β – угол отклонения первого и второго шаров, двигающихся как единое
тело, после удара.
T
Сила удара. Радиус контактной площадки. Давление.
F
Если второй шар до соударения остаётся в
покое, то закон изменения его импульса в проек<F>
ции на ось ОХ запишется в виде:
OX: Δp2x = (m2g + N2x + < Fx >) τ, (106.24)
τ
где Δp2x = m2u2x – m2υ2x – проекция вектора изменения импульса второго шара, υ2x – проекция его
Рис.106.6. Графическая
скорости до удара, < Fx > – среднее значение прозависимость F(t).
екции силы, действующий на второй шар со стороны первого в течение времени столкновения τ.
Т.к. второй шар до удара покоился (υ2 = 0), то Δp2x = m2u2x, кроме того m2gx = N2x = 0 (рис.106.2). Рассуждая аналогично – изменение импульса
первого шара Δp1x = Δp2x = m1υ1x – m1u1x. Окончательно имеем выражение
для средней силы взаимодействия шаров (средней силы удара) за время τ
(время удара):
F 
m11  m1u1 m2u2




2m1 g sin
1


 2m1 g sin 1 2m2 g sin 2
2
2 
2 . (106.25)


Время контакта  в работе измеряется электронным секундомером.
- 51 -
Величина < F >  называется импульсом силы.
Очевидно, что при ударе сила взаимодействия растет от нуля (при
начале контакта) до максимальной
R
R
(при максимальном сжатии шаров), а
r
R
r
затем снова падает до нуля (рис.106.6).
Вид кривой F(t) определить непросто,
однако с достаточной точностью можδ
но считать, что она имеет примерно
а
б
треугольный вид, как показано на
Рис.106.7. Схема удара шаров
рис.106.6, и тогда:
Fmax ≈ 2< F >.
(106.26)
Оценим характерную величину давления при ударе:
Fmax
,
(106.27)
S
где S = π r2 – максимальная площадь контакта при взаимном сжатии шаров,
r – радиус контактной площадки (рис.106.7,a). Из рис.106.7,б видно (считая, что  << R, где R – радиусы шаров), что:
P
2
r  R 2   R     2 R .
(106.28)
Деформация  – это расстояние, на которое смещается первый шар за
 

первую половину удара, т.е. за время , следовательно   1 . А так
2
2
как скорость шара за это время меняется от υ1 до 0, то можно считать, что


средняя скорость за это время 1  1 . Таким образом   1 и тогда из
2
4
формулы (106.28) радиус контакта равен:
r
R 1

2
2 R  g sin
2
1
2 .
(106.29)
Теперь, подставляя в формулу (106.27) выражения (106.26) и
(106.29), для характерного давления при ударе получаем:
 2m2u2 


2 F    
m u
P

 4 22 2 .
2
r
R 1
 R1 


 2 
- 52 -
(106.30)
106.4. Порядок выполнения работы
106.4.1. Определение коэффициента восстановления
1. Проверьте правильность исходного состояния установки, указанного в разделе 106.2.1. Контактная поверхность шариков должна быть чистой, иначе их электрический контакт будет плох и его время  показываемое секундомером, не будет соответствовать времени механического
контакта, т.е. истинному времени удара.
2. Включите секундомер кнопкой «Сеть». Кнопка «Пуск» отжата. На
табло должны высветиться нули.
3. Отведите первый шарик до его захвата магнитом (α1 = 15º). Шарик
при этом не должен перекручиваться на подвесе. Второй шарик – неподвижен.
4. Нажмите кнопку «Пуск» и зафиксируйте по угловым шкалам максимальный отброс второго шарика β2 и угол β1, на который отклонится
первый шарик, двигаясь по инерции после первого удара. Затем спишите с
табло время удара .
5. Восстановите исходное состояние установки, отжав кнопку
«Пуск», прилепите к магниту первый шарик и успокойте второй.
6. Повторите опыт с определением времени  и углов β1 и β2 еще четыре раза. Результаты запишите в таблицу 106.1.
7. Выключите секундомер кнопкой «Сеть».
Таблица 106.1. Определение коэффициента восстановления скорости и энергии.
№
α1,
β1, <β1>, β2, <β2>, τ, <τ>, υ1, u1, u2, T1, T'1, T'2,
k k
опыта град град град град град мкс мкс м/с м/с м/с Дж Дж Дж υ T
1
2
3
4
5
Для установки, состоящей из 2–х шаров: m = ________ кг, R = _________ м, ℓ = ______ м.
106.4.2. Исследование закона сохранения импульса
1. Проверьте правильность исходного состояния установки, указанного в разделе 106.2.2. Шарики должны висеть, выстроившись в одну линию и на одном уровне, и не должны перекручиваться на подвесе.
2. Отклоните шар 1 на угол α1 = 15º и по угловым шкалам определите
угол отклонения β5 шара 5 и угол β1, на который отклонится шар 1, двигаясь по инерции после первого удара.
3. Повторите опыт, отклоняя шар 1 на углы 20º и 25º. Результаты
опытов запишите в таблицу 106.2.
- 53 -
Таблица 106.2. Определение импульсов и энергий шаров до и после удара.
№
α1,
β1,
β5, υ1, u1, u5,
p1 ,
p'1 + p'5, T1, T'1 + T'5,
kT <kT>
опыта град град град м/с м/с м/с кг∙м/с кг∙м/с Дж
Дж
1
15
2
20
3
25
Для установки, состоящей из 5–ти шаров: mp = ________ кг,
ℓp = _________ м.
106.5. Обработка результатов измерений
1. Вычислите средние значения величин: < β1 >, < β2 >, < τ >.
2. По формулам (106.5) и (106.6) вычислите скорости шаров υ1, u1, u2
и u 5.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из–за трения шаров и проводов подвеса о воздух, истинная скорость υ1 будет несколько меньше вычисленной по формуле
(106.5), а истинные u1, u2 и u5 – несколько больше вычисленных по формулам (106.6). В данной работе это трение не учитывается.
3. По формуле (106.14) вычислите кинетическую энергию первого
шара до удара T1. По формулам (106.16) вычислите кинетические энергии
шаров после удара T'1, T'2 и T'5.
4. По формуле (106.13) вычислите импульс первого шара до удара p1.
По формулам (106.15) вычислите импульсы шаров после удара p'1, p'2 и p'5.
5. Вычислите коэффициент восстановления kυ по формуле (106.18),
полагая в ней υ2 = 0. Вычислите коэффициент восстановления kT по формуле (106.17), полагая в ней T2 = 0 и T5 = 0. Результаты расчетов запишите
в таблицы 106.1 и 106.2. Сделайте выводы.
6. По формуле (106.25) вычислите среднюю силу удара < F >.
7. По формуле (106.29) вычислите радиус контактной площадки r.
8. По формуле (106.30) вычислите давление Р при ударе.
106.6. Контрольные вопросы
1. На примере двух частиц вывести закон изменения импульса этой
системы. Сформулировать условия, при которых сохраняется импульс системы или его проекция.
2. Что такое внешние и внутренние силы?
3. Что такое механическая работа? Привести формулу для нахождения работы переменной силы по криволинейному участку траектории.
4. Какие силы называются консервативными и неконсервативными?
Что такое понятие потенциальная энергия?
5. Дать понятие кинетической энергии материальной точки и твердого тела. Вывести теорему об изменении кинетической энергии.
6. На примере одной материальной точки вывести закон изменения
- 54 -
ее полной механической энергии.
7. В чем различие между упругим и неупругим ударами?
8. Что такое изолированная система?
9. Какие превращения механической энергии совершаются в данной
работе?
10. От каких факторов зависят случайные погрешности в данной
экспериментальной работе?
Литература, рекомендуемая для обязательной проработки: [3],
§4.6; [7], §§I.6.1,…, I.6.5; [8], §§22, 23, 30; [10], §§25,…, 29; [13], §15; [14],
§§5.1, 5.2; [15], §I.4.6.
- 55 -
Лабораторная работа № 107. Определение момента инерции
маятника Максвелла.
107.1. Цель работы: Изучение сложного движения твердого тела и
определение момента инерции маятника.
107.2. Описание лабораторной установки
Маятник Максвелла (рис.
9
107.1) представляет собой за5
8
креплённый на цилиндрическом
4
3
стержне (на валу) 1 диск 2 с на6
детым на него кольцом 3. Дву2
мя нитями 4, намотанными на
1
10
стержень 1, маятник крепится к
11
кронштейну 5, установленному
7
на массивной стойке 6 с миллиметровой шкалой. Верти2,016
кальная стойка 6 установлена
12 14
13
на массивном основании 7. В
верхнем кронштейне 5 находятРис. 107.1
ся электромагниты 8 и регулировочный винт 9, с помощью которого ось маятника устанавливается горизонтально. У основания стойки 6 установлен другой кронштейн, на котором расположен фотоэлектрический датчик 10. Фотоэлектрический датчик
соединен с цифровым секундомером 11. При отключении электромагнитов
8 маятник из верхнего положения под действием силы тяжести начинает
двигаться вниз, вращаясь вокруг своей оси, и замыкание электрической
цепи запускает цифровой секундомер 11. Когда же маятник при своём
движении вниз прерывает световой поток, падающий на фотоэлектрический датчик 10, цепь секундомера разрывается, и секундомер 11 останавливается.
107.3. Методика эксперимента
Маятник Максвелла представляет собой массивный однородный
диск радиусом R и массой m, посаженный на стержень (вал) радиусом r, на
который предварительно закреплены и намотаны две нити, соединенные с
опорой (рис.107.2).
При освобождении маятника он начинает движение: вращательное
вокруг своей оси симметрии и поступательное вниз. Опустившись в крайнее нижнее положение (когда нити полностью размотаны), диск по инер- 56 -
ции будет вращаться в том же направлении, что приведет к наматыванию
нити на вал, следовательно, к подъему маятника с той начальной скоростью, которой он достиг в нижней точке.

2



Fн
R

mg

M
m

Fн

u
Рис.107.2
Кинетическая энергия, приобретенная при опускании маятника, будет преобразовываться в потенциальную энергию подъема. Скорость маятника при этом уменьшается, он останавливается, потенциальная энергия
достегает своего максимального значения, и затем маятник снова движется
вниз. Таким образом, возникает колебательное движение, которое совершается с постоянным ускорением, направленным вниз и составляющим
некоторую долю ускорения свободного падения.
Каждая точка маятника участвует одновременно в двух движениях:
поступательном со скоростью υ, равной скорости центра масс, и вращательном вокруг геометрической оси с угловой скоростью ω.
В соответствии с законом сохранения механической энергии для
замкнутой системы (силы трения в системе малы и ими можно пренебречь)
потенциальная энергия, которой обладает маятник в верхнем положении,
переходит в кинематическую энергию поступательного и вращательного
движения в нижнем положении, т.е.:
m 2 J 2
mgh 

,
(107.1)
2
2
где m – масса маятника; g – ускорение свободного падения; h – высота
поднятия маятника; υ – скорость поступательного движения центра масс
маятника в нижнем положении (при полном разматывании нити); ω – угловая скорость диска (в нижнем положении); J – момент инерции маятника
относительно оси, проходящей через центр масс.
Так как центр масс маятника опускается на столько, на сколько раскручивается нить, то перемещение x центра масс связано с углом поворота
φ соотношением:
x = φr
(107.2)
Дифференцируя выражение (107.2) дважды по времени, получим:
- 57 -
d 2x
d 2

r
 r.
(107.3)
dt 2
dt 2

Под воздействием силы Fн натяжения нити (рис. 107.2), намотанной
на вал, диск совершает вращательное движение, тем самым возникает
вращательный момент сил:

 
M  r ,Fн и sin α = 1, т.е.
a

r Fн  J

a
r
или
Fн  J
a
.
r2
Согласно второму закону Ньютона (рис. 107.2), имеем:
 

m g  Fн  m a .
(107.4)
(107.5)
Решая совместно (107.4) и (107.5), получим:
a
mg
,
J
m 2
r
(107.6)
либо:
Fн 
mg
.
m r2
1
J
(107.7)
Из уравнений (107.6) и (107.7) следует, что ускорение маятника и сила натяжения нити постоянны. Следовательно, если при опускании маятника координату его центра масс отсчитывать от точки его закрепления, то
со временем координата меняется по закону:
a t2
x
.
(107.8)
2
Подставляя (107.8) в (107.6), получим для момента инерции маятника Максвелла следующее выражение:
 g t2 
J  m r 
 1 ,
 2x

(107.9)

m d 2  g t2
J

 1 .
4  2x

(107.10)
2
В полученное выражение входят величины, которые можно легко
измерить, как–то: r – внешний радиус (d – диаметр) вала вместе с намотанной на него нитью; t – время опускания маятника; x = h – расстояние,
пройденное центром масс маятника; m – масса маятника.
- 58 -
В общем случае масса маятника складывается из массы вала маятника mвал, массы диска маятника mд, массы кольца mк, которое может быть
надето на диск маятника. Тогда для момента инерции имеем:
Jтеор = Jвал + Jд + Jк.
(107.11)
Моменты инерции этих тел рассчитываются по формулам, соответствующим моменту инерции цилиндра.
Момент инерции цилиндра (вала).
dr
r
Разобьем цилиндр (рис.107.3) радиуса R на концентрические слои толщиной dr. Пусть радиус какоR
го–то слоя – r, тогда масса частиц, заключенных в
слое:
dmц = ρ dV = ρ 2πr dr hц,
(107.12)
где dV – объем слоя; hц – высота цилиндра; ρ – плотность вещества цилиндра. Все частицы слоя находятся на расстоянии r от оси, следовательно, момент
инерции этого слоя:
dJц = dmц r2 = ρ 2π hц r3 dr.
(107.13)
Момент инерции цилиндра найдем, проведя инРис.107.3
тегрирование уравнения (107.13) по всем слоям:
R
R4
J ц   dJ   2 hц  r dr  2 hц .
4
0
3
(107.14)
Так как масса цилиндра mц = ρ πR2 hц , то момент инерции сплошного
цилиндра (формула (107.14)) будет равен:
1
J ц  mR 2 .
2
(107.15)
Момент инерции полого цилиндра (кольца).
Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R1,
а внешний R2 можно вычислить также по формуле (107.14), изменив в интеграле пределы интегрирования:
R2
 R24 R14 
J к   dJ к  2hк  r dr  2 hк 
 
4
4 

R1
3
(107.16)
Зная, что масса полого цилиндра mк  V   hк ( R22  R12 ), запишем
его момент инерции следующим образом:
1
J к  mк R22  R12  .
2
(107.17)
Сравнение значений моментов инерции маятника, найденного экспериментально и определённого теоретически (107.11), позволяет оценить
- 59 -
погрешность измерений δ.
107.4. Порядок выполнения работы
1. Измерьте параметры установки и занесите данные в таблицу 107.1:
1.1. Измерьте с помощью красного флажка на миллиметровой шкале
вертикальной стойки 6 начальную координату оси маятника y0 (маятник
находится в крайнем верхнем положении).
1.2. Аналогично измерьте конечную координату оси маятника yк (маятник находится в крайнем нижнем положении).
1.3. Масса вала маятника mвал = 19 г, диска mд = 100 г. Массы колец
(грузов) указаны на их торцевых поверхностях (mк1 = 177,2 г, mк2 = 276,3 г,
mк3 = 367,8 г,); запишите значения массы колец в таблицу 107.2.
1.4. Радиус вала маятника rвал = 4 мм; радиус диска Rд и внешний радиус колец (грузов) Rк измерьте при помощи линейки.
2. Аккуратно наденьте на диск 2 выбранное вами кольцо (груз) 3.
Произведите с помощью регулировочного винта 9 установку оси маятника
в горизонтальном положении. Маятник должен висеть без перекосов в
центре выемки нижнего кронштейна.
3. Подключите лабораторную установку к сети и переведите тумблер
на задней стенке цифрового секундомера 11 в положение «1». При этом
наблюдается свечение цифрового индикатора секундомера 11.
4. Очень тщательно, виток к витку, намотайте нить на стержень 1 и
зафиксируйте маятник в верхнем положении при помощи электромагнитов
8. Обратите внимание, чтобы нить в этом положении не была слишком натянута.
5. Выключите электромагнит 8, нажав на кнопку 12 «Старт» секундомера 11, и запишите показания секундомера в таблицу 107.2.
Внимание! Цифровой секундомер в каждом цикле измерений должен работать единовременно не более 15 секунд! Если
опыт не удался – сразу переходите к пункту 6.
6. Вручную, двумя руками придерживая вал маятника 1 за зубчатые
концы остановите его, и аккуратно переведите маятник в исходное положение (маятник находится в крайнем нижнем положении).
7. Нажатием кнопки 13 «Стоп/Готовность» верните электрическую
систему прибора в исходное состояние. О готовности прибора к следующему измерению свидетельствует горящий красный индикатор 14 на передней панели цифрового секундомера 11. Сброс значения времени на
цифровом индикаторе секундомера произойдет автоматически при последующем запуске установки с помощью кнопки «Старт».
8. Повторите замер времени t еще 2 раза.
9. Повторите опыт с 2–мя другими кольцами (грузами) 3, повторно
выполнив пункты 4–8, не забывая менять кольца 3 на диске 2 аккуратно!
- 60 -
10. Закончив измерения, переведите тумблер на задней стенке цифрового секундомера 11 в положение «0». Отключите лабораторную установку к сети.
y0 , м
Таблица 107.1. Значения параметров установки.
yк , м
mвал , кг
mд , кг
rвал , м
Rд , м
Rк , м
Таблица 107.2. Определение экспериментального значения момента инерции.
№ опыта
mк , кг
t, с
Jэксп , кг∙м2
< Jэксп >, кг∙м2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Таблица 107.3. Определение теоретического значения момента инерции.
Масса маятника
Jтеор ,
Jвал , кг∙м2
Jд , кг∙м2 Jк , кг∙м2
δ, %
m, кг
кг∙м2
107.5. Обработка результатов измерений
1. Учитывая, что высота поднятия маятника h = y0 – yк, а масса маятника m = mвал + mд + mк , определите с помощью формулы (107.9), экспериментальное значение момента инерции маятника Jэксп для каждого измерения. Вычислите среднее значение момента инерции < Jэксп > для каждой
группы опытов с определенной массой кольца (груза) отдельно.
2. Применяя выражения (107.15) и (107.17), определите моменты
инерции вала Jвал , диска Jд и кольца (груза) Jк. Используя свойство аддитивности момента инерции, определите теоретический момент инерции
маятника Jтеор при помощи формулы (107.11).
3. Рассчитайте относительную погрешность δ.
4. Заполните таблицу 107.3.
5. Сравните результаты определения моментов инерции, полученные
экспериментально и теоретически. Сделайте вывод.
- 61 -
107.6. Контрольные вопросы
1. Сформулируйте и запишите закон сохранения механической энергии для замкнутой консервативной системы.
2. Сформулируйте и запишите закон сохранения механической энергии системы, находящейся во внешнем стационарном поле консервативных сил.
3. Запишите закон сохранения энергии для маятника Максвелла.
4. Выведите расчетную формулу для момента инерции маятника.
5. Изобразите на чертеже силы, действующие на маятник.
6. Что называется крутильными колебаниями?
7. Получите дифференциальное уравнение, описывающее крутильные колебания твердого тела.
8. Что называется физическим маятником? Каким образом из маховика можно получить физический маятник?
9. Что называется математическим маятником?
10. Чему равны периоды малых колебаний математического и физического маятников?
11. Что понимается под моментом инерции твердого тела?
12. Запишите и сформулируйте теорему Штейнера.
13. Как определить момент инерции маховика произвольной формы?
14. Проанализируйте источники возможных погрешностей измерений.
Литература, рекомендуемая для обязательной проработки: [3],
§§5.1,…, 5.4; [7], §§III.1.1, III.1.2, III.2.1,…, III.2.4; [8], §§34,…, 43; [10],
§§30,…, 38; [13], §§16,…, 20; [14], §§27.1, 27.2, 28.1; [15], §§I.4.1,…, I.4.6.
- 62 -
Лабораторная работа № 114. Определение показателя адиабаты
для воздуха.
114.1. Цель работы: Определение показателя адиабаты (коэффициент Пуассона) для воздуха методом адиабатического изменения состава газа (метод Клемана–Дезорма).
114.2. Описание лабораторной установки
6
4
3
2
5
1
Рис.114.1
Установка (рис 114.1) состоит из стеклянного баллона 1, соединенного резиновым шлангом с манометром 2 (прибором для измерения давления), прикрепленным к стойке с миллиметровой шкалой 3. Второй шланг
через кран 4 соединяет баллон с электрическим насосом 5. Кран 4 позволяет соединить баллон с насосом или изолировать его от него. Кран 6 позволяет соединять баллон с атмосферой или изолировать его от нее.
114.3. Методика эксперимента
При помощи насоса в баллоне создается давление, несколько превышающее атмосферное:
P1 = P0 + P',
(114.1)
где P1 – давление атмосферы; P' – добавочное давление.
Выделим мысленно некоторую массу m воздуха, которая остается в
сосуде в течении всего эксперимента. Если температура окружающей атмосферы равна T1, то состояние 1 выделенной массы воздуха будет описываться параметрами P1, V1, T1.
Соединяем сосуд с атмосферой. При этом воздух будет расширяться
до тех пор, пока его давление не станет атмосферным. Выход воздуха происходит быстро, и, пренебрегая передачей некоторого количества теплоты
через стенки баллона, процесс расширения воздуха в болоне можно считать адиабатическим. При этом воздух охладится до температуры T2, по- 63 -
скольку он совершает работу расширения за счет внутренней энергии. Это
будет состояние 2 с параметрами P2 = P0, V2, T2.
Сразу после расширения воздуха закроем сосуд. Давление внутри
начнет возрастать, так как воздух в сосуде будет нагреваться до температуры окружающей атмосферы. Объем воздуха при этом не меняется и остается равным V3. Параметры P3, V3 = V2, T3 = T1 описывают состояние 3.
Здесь:
P3 = P0 + P'',
(114.2)
где P0 – давление атмосферы; P'' – новое добавочное давление, относительно от P'.
Если к описанным выше процессам применить уравнение Пуассона:
PV γ = const,
(114.3)
где  = Cp/CV = (i+2)/i. – показатель адиабаты; и уравнение изохорического
процесса P/T = const, то после математических преобразований и некоторых упрощений формула для вычисления γ примет вид:

P'
.
P'  P
(114.4)
Добавочные давления P' и P'' в эксперименте изменяются на разности уровней жидкости в коленах манометра h1 и h2 соответственно. Тогда
формула для вычисления γ примет вид:

h1
.
h1 - h2
(114.5)
114.4. Порядок выполнения работы
1. Установите кран 4 в положение, при котором он соединяет сосуд 1
с насосом 5.
2. Установите кран 6 в положение, при котором сосуд 1 изолирован
от окружающей атмосферы.
3. Накачаете воздух в сосуд так, чтобы разность уровней жидкости в
коленах манометра достигала 25–30 см.
Внимание: следите за тем, чтобы жидкость не выплеснулась из манометра.
4. Закройте кран 4 и сразу измерьте разность уровней жидкости по
шкале 3 манометра 2.
Примечание: вследствие несовершенства лабораторной установки, в ней наличествуют многочисленные утечки воздуха, поэтому уровень
жидкости установиться только когда давление внутри баллона сравняется
с атмосферным.
- 64 -
5. Установите кран 6 в положение, при котором он соединяет сосуд 1
с атмосферой. Как только уровни жидкости в манометре 2 сравняются, быстро верните кран 6 в прежнее закрытое положение.
6. Подождите около минуты – когда давление окончательно установится, измерьте установившуюся разность уровней жидкости в колене манометра 3.
7. Снова кран 6 сосуда соедините с атмосферой. Подождите 1–2 минуты и проводите следующий эксперимент.
8. Измерения проведите 10 раз. Результаты измерений занесите в
таблицу 114.1.
Таблица 114.1. Определение показателя адиабаты для воздуха.
Разность уровней жидкости
Показатель
№
в коленах манометра, мм
адиабаты
<γ>
γ
h1
h2
1
…
10
114.5. Обработка результатов измерений
1. По формуле (114.5) вычислите показатель адиабаты для каждого
опыта.
2. Рассчитайте среднее значение показателя адиабаты <γ>.
3. Сравните расчетное среднее значение <γ> с известным значением
γтеор. Определите ошибку полученного результата.
114.6. Контрольные вопросы
1. Как выглядит первый закон термодинамики для изопроцессов?
2. Что называется теплоемкостью процесса? Что такое теплоемкости
сp и сV ?
3. Что такое адиабатический процесс?
4. Почему в таблицах теплоемкостей для газов даются два значения
сp и сV, а для жидкостей и твердых тел только одно?
5. Каковы теплоемкости газов при адиабатическом и изотермическом
процессах?
6. Почему температура газа на первом этапе эксперимента повышается?
7. Почему различаются молярные теплоемкости для одноатомных и
двухатомных газов?
8. От каких факторов зависят случайные погрешности в данной экспериментальной работе?
- 65 -
Литература, рекомендуемая для обязательной проработки: [1],
§§V.1.1, V.1.2; [4], §§1.1,…, 1.6; [8], §§91,…, 105; [11], §§7, 8, 13,…, 15;
[13], §§41,…, 43, 47, 50,…, 55; [14], §§8.1,…, 8.4, 9.1,…, 9.6.
- 66 -
Приложение.
1. Основные физические константы (округленные значения)
Физическая
постоянная
Нормальное ускорение
свободного падения
Гравитационная постоянная
Обозначение
Числовое значение
g
9,81 м/с2
G
6,6710–11м3/(кгс2)
Постоянная Авогадро
NA
6,021023 моль–1
Молярная газовая постоянная
R
8,31 Дж/(мольК)
Постоянная Больцмана
k
1,3810–23 Дж/к
V0
22,410–3 м3/моль
e
1,6010–19 Кл
Масса покоя электрона
me
9,110–31 кг
Постоянная Фарадея
F
9,65103 Кл/моль
Скорость света в вакууме
c
3108 м/с
Боровский радиус
rb
0,52910–10 м
Объём одного моля идеального
газа при нормальных условиях
(Т = 273,15 К; Р = 101325 Па)
Элементарный заряд
2,1810–18 Дж = 13,6
Энергия ионизации
атома водорода
E0
Атомная единица массы
1 а.е.м.
1,66010–27 кг
Электрическая постоянная
0
8,8510–12 Ф/м
Магнитная постоянная
0
410–7 Гн/м
- 67 -
эВ
2. Плотность твердых тел , кг/м3
Медь
8,93103
Сталь (Железо)
7,87103
Свинец
11,3103
3. Плотность жидкостей , кг/м3
Вода (при 40С)
1,0103
Керосин
0,8103
Масло
0,9103
Ртуть
13,6103
4. Плотность газов (при нормальных условиях), кг/м3
Азот
1,25
Водород
0,09
Воздух
1,29
Кислород
1,43
5. Удельная теплоемкость С, Дж/(кг·К)
Вода
41,9102
Нихром
2,20102
Лед
21,0102
Свинец
1,26102
- 68 -
6. Множители и приставки СИ для образования десятичных кратных
Обозначение
Множитель
родное
междуна-
русское
приставки
ставки
Наименование при-
и дольных единиц
Наименование
множителя
экса
Э
Е
1000000000000000000=1018
квинтиллион
пета
П
Р
1000000000000000=1015
квадриллион
тера
Т
Т
1000000000000=1012
триллион
гига
Г
G
1000000000=109
миллиард
мега
М
М
1000000=106
миллион
кило
к
k
1000=103
тысяча
гекто
г
h
100=102
сто
дека
да
dа
10=101
десять
деци
д
d
0,1=10-1
одна десятая
санти
с
с
0,01=10-2
одна сотая
милли
м
m
0,001=10-3
одна тысячная
микро
мк
µ
0,000001=10-6
одна миллионная
нано
н
n
0,000000001=10-9
одна миллиардная
пико
п
p
0,000000000001=10-12
одна триллионная
фемто
ф
f
0,000000000000001=10-15
одна квадриллионная
- 69 -
7. Продолжительность некоторых процессов, с
Время жизни пи-нуль-мезона
8·10-17
Период колебаний крыльев комара
0,0016-0,0033
Время прохождения света от Земли до Луны
1,25
Время прохождения света от Солнца до Земли
499
Время жизни нейтрона, вылетевшего из ядра
1010
Период обращения Земли вокруг своей оси
86400
Период обращения Земли вокруг Солнца
3,16·107
Период полураспада урана-238
1,4·1017
8. Средние скорости движения тел, м/с
Пешеход
1,3
Стайер (бег на 10000 м)
6,01
Спринтер (бег на 100 м)
9,62
Слабый ветер
4-5
Сильный ветер
8-16
Ветер при шторме
19-21
Молекула кислорода (при 00 С)
425
Молекула водорода (при 00 С)
1693
Трамвай
16-17
Поезд метрополитена
40-50
- 70 -
9. Скорости движения в живой природе
скорость
Живое существо
Живое сущест-
скорость
м/с
км/ч
во
м/с
км/ч
Акула
8,3
30
Ласточка
17,5
63
Бабочка
2,3
8,3
Муха
5
18
Борзая
16
58
Пчела
2,8-7,0
10-18
Ворона
13
47
Скворец
20,6
74
Гепард
31
112
Слон
11
40
Заяц
16,7
60
Улитка
0,0014
0,005
Жираф
14,6
51,2
Черепаха
0,05-0,14
18-25
10. Ускорение свободного падения в различных местах Земли, м/с2
На полюсе
9,83235
На экваторе
9,78049
На широте 450
9,80612
Нормальное
9,80665
Значение g для некоторых городов
Архангельск
9,8228
Одесса
9,8077
Вашингтон
9,8078
Париж
9,8094
Санкт-Петербург
9,8192
Рим
9,8037
Москва
9,8156
Токио
9,7880
11. Ускорение свободного падения g на поверхности
некоторых небесных тел (для экватора), м/с2
Венера
8,8
Марс
3,8
Солнце
274,0
Земля
9,8
Меркурий
3,7
Уран
9,8
Луна
1,6
Нептун
13,5
Юпитер
23,5
- 71 -
12. Ускорение свободного падения g на различной
высоте h над Землей, м/с2
h, км
g, м/с2
h, км
g, м/с2
0
9,8066
20
9,7452
0,05
9,8065
30
9,7147
0,1
9,8063
50
9,6542
0,5
9,8051
100
9,5050
1
9,8036
500
8,4500
2
9,8005
5000
3,0800
3
9,7974
10 000
1,5000
5
9,7912
50 000
0,1300
10
9,7759
100 000
0,0025
- 72 -
§ Список библиографических источников
1. Белонучкин В.Е., Заикин Д.А., Ципенюк Ю.М., Основы физики. Курс
общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика /
Под ред. Ю.М. Ципенюка. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 504 с.
2. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы: Учебное пособие
для физич. спец. вузов. – 5-е изд., испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2010. – 263 с.
3. Иродов И.Е. Механика. Основные законы: Учебное пособие для физич.
спец. вузов. – 12-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. –
309 с.
4. Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы: Учебное пособие
для физич. и инж.-технич. спец. вузов. – 4-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 207 с.
5. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы: Учебное пособие
для физич. спец. вузов. – 9-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2013. – 319 с.
6. Калашников С.Г. Электричество. – 6-е изд., стер. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003. – 624 с.
7. Кингсеп А.С, Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основы физики. Курс общей
физики: Учебн. В 2 т. Т. 1. Механика, электричество и магнетизм, колебания и волны, волновая оптика / Под ред. А.С. Кингсепа. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2001, – 560 с.
8. Савельев И.В. Курс общей физики в 4-х томах. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. – М.: КноРус, 2012. – Т.1. – 528 с.
9. Савельев И.В. Курс общей физики в 4-х томах. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М.: КноРус, 2012. – Т.2. – 576 с.
10. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
МФТИ, 2010. – Т.1. – 560 с.
11. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – Т.2. – 544 с.
12. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2009. – Т.3. – 656 с.
13. Трофимова Т.И. Курс физики. – 20-е изд., стер. – М.: Изд-во «Академия», 2014. – 560 с.
14. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. – 9-е изд., стер. – М.: Изд-во
«Академия», 2014. – 720 с.
15. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – 8-е изд., испр. и
перераб. – М.: Изд-во «Оникс», 2008. – 1056 с.
- 73 -
Учебное издание
Сергей Олегович Зубович
Анатолий Леонидович Суркаев
Татьяна Александровна Сухова
Михаил Маркович Кумыш
Галлия Алиевна Рахманкулова
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ
на тему:
«Законы сохранения»
Учебное пособие
Редактор Е.М. Марносова
Темплан выпуска электронных изданий 2010 г., поз. № 26В/15э
На магнитоносителе. Уч.–изд. л. 4,61
Подписано на «Выпуск в свет» 16.10.2010 г. Заказ .
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. им. В. И. Ленина, 28. корп. 1