9. Электростатика. - EDUCON.BY

Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9. Электростатика.
Оглавление
9.01. Электрический заряд и его свойства. ........................................................................................................ 2
9.02. Закон Кулона. ............................................................................................................................................... 5
9.03. Электрическое поле. Напряженность поля. Связь силы и напряженности. ........................................ 10
9.04. Принцип суперпозиции. ........................................................................................................................... 14
9.05. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов. ЗСЭ в электростатике. .......................................... 18
9.06. Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение. .................................................................................. 21
9.07. Расчет работы электростатического поля. .............................................................................................. 27
9.08. Электрическая емкость. Плоский конденсатор. ..................................................................................... 31
9.09. Соединения конденсаторов. ..................................................................................................................... 35
9.10. Энергия конденсатора. .............................................................................................................................. 37
9.11.П. Сложные задачи по электростатике..................................................................................................... 39
9.12. Проводящая сфера и кольцо. .................................................................................................................... 42
9.13.П. Соединения проводников и конденсаторов. ....................................................................................... 46
9.14.П. Концентрические сферы. ...................................................................................................................... 49
9.15.П. Еще раз о сохранении энергии. ............................................................................................................ 52
9.16. Хитрые конденсаторы. .............................................................................................................................. 54
1
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.01. Электрический заряд и его свойства.
Простейшие наблюдения еще в древности показали, что некоторые тела при натирании,
соприкосновении, разделении на части приобретают способность взаимодействовать друг с другом
особым образом. Заметьте, что это взаимодействие совершенно не описывается в рамках известных
законов механики (а именно закона всемирного тяготения). Очевидно, проявление такого взаимодействия
свидетельствует о возникновении у тел некоторой новой характеристики, которая и описывает такое
взаимодействие. Эта характеристика называется электрическим зарядом. Подобно понятию массы тела
в механике Ньютона, понятие заряда в электродинамике является первичным, основным понятием.
Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая способность частиц или тел
вступать в электромагнитные взаимодействия.
Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q.
В системе СИ электрический заряд измеряется в Кулонах (Кл). Свободный заряд в 1 Кл – это гигантская
величина заряда, практически не встречающаяся в природе. Как правило, Вам придется иметь дело с
микрокулонами (1 мкКл = 10-6 Кл), нанокулонами (1 нКл = 10-9 Кл) и пикокулонами (1 пКл = 10-12 Кл).
Электрический заряд обладает следующими свойствами:
1. Электрический заряд является видом материи.
2. Электрический заряд не зависит от движения частицы и от ее скорости.
3. Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому.
В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой
данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.
4. Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и
отрицательными.
5. Все заряды взаимодействуют друг с другом. При этом одноименные заряды
отталкиваются, разноименные – притягиваются. Силы взаимодействия
зарядов являются центральными, то есть лежат на прямой, соединяющей
центры зарядов.
6. Существует минимально возможный (по модулю) электрический заряд,
называемый элементарным зарядом. Его значение
e = 1,602177·10–19 Кл ≈ 1,6·10–19 Кл.
Электрический заряд любого тела всегда кратен элементарному заряду
q  Ne ,
где N – целое число!!! Обратите внимание, невозможно существование заряда, равного 0,5е; 1,7е;
22,7е и.т.д. Только целое число е!!!
Физические величины, которые могут принимать только дискретный (не непрерывный) ряд
значений, называются квантованными. Элементарный заряд e является квантом (наименьшей
порцией) электрического заряда.
7. Закон сохранения электрического заряда. В изолированной системе алгебраическая сумма
зарядов всех тел остается постоянной:
q1 + q 2 + q 3 + ... + q n = const.
Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут
наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака.
Из закона сохранения заряда так же следует, если два тела одного размера, обладающие зарядами
q1 и q2 (совершенно не важно какого знака заряды), привести в соприкосновение, а затем обратно
раздвинуть, то заряд каждого из тел станет равным:
q q
q  1 2 .
2
С современной точки зрения, носителями зарядов являются элементарные частицы. Все обычные тела
состоят из атомов, в состав которых входят положительно заряженные протоны, отрицательно
заряженные электроны и нейтральные частицы – нейтроны. Протоны и нейтроны входят в состав
атомных ядер, электроны образуют электронную оболочку атомов. Электрические заряды протона и
электрона по модулю в точности одинаковы и равны элементарному (то есть минимально возможному)
заряду e.
2
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
e = 1,602177·10–19 Кл ≈ 1,6·10–19 Кл.
В нейтральном атоме число протонов в ядре равно числу электронов в оболочке. Это число называется
атомным номером. Атом данного вещества может потерять один или несколько электронов или
приобрести лишний электрон. В этих случаях нейтральный атом превращается в положительно или
отрицательно заряженный ион. Обратите внимание, что положительные протоны входят в состав ядра
атома, поэтому их число может изменяться только при ядерных реакциях. Очевидно, что при
электризации тел ядерных реакций не происходит. Поэтому в любых электрических явлениях число
протонов не меняется, изменяется только число электронов. Так, сообщение телу отрицательного
заряда означает передачу ему лишних электронов. А сообщение положительного заряда, вопреки частой
ошибке, означает не добавление протонов, а отнимание электронов. Заряд может передаваться от одного
тела к другому только порциями, содержащими целое число электронов.
Иногда в задачах электрический заряд распределен по некоторому телу. Для описания этого
распределения вводятся следующие величины:
1. Линейная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по нити.
q
 ,
L
где L – длина нити. Измеряется в Кл/м.
2. Поверхностная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по
поверхности тела.
q
 ,
S
где S – площадь поверхности тела. Измеряется в Кл/м2.
3. Объемная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по объему тела
q
 ,
V
где V – объем тела. Измеряется в Кл/м3.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: Масса электрона равна:
me = 9,11∙10-31 кг.
ТЕСТ 9.01.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Нейтральная водяная капля разделилась на две. Первая из них обладает зарядом –1,5 нКл.
Определить в нанокулонах заряд второй капли,
От водяной капли с зарядом 1 нКл отделилась капля с электрическим зарядом –1 нКл. Определить
в нанокулонах заряд оставшейся капли.
Три капли, имеющие заряды соответственно 2q, –3q, –q, слились в одну. Определите суммарный
заряд большой капли.
Незаряженный шарик, находящийся на изолирующей подставке, соединили проводником с таким
же шариком, имеющим заряд –4q. Определите заряд каждого шарика.
Заряд небольшого проводящего шарика равен 5 мкКл. Во сколько раз увеличится заряд этого
шарика, если его привести в контакт с таким же шариком, заряд которого равен 15 мкКл?
Два одинаковых металлических шарика, заряд одного из которых первоначально равен –5 мкКл,
соприкасаются и затем снова разводятся. Заряд одного из шариков после разведения равен 3 мкКл.
Определить в микрокулонах заряд второго шарика до соприкосновения.
Два одинаковых металлических шарика с зарядами –3 мкКл и 8 мкКл на короткое время
соединяются тонкой проволочкой. Определить в микрокулонах величину заряда одного из шариков
после того, как уберут проволочку.
Какой заряд приобретет моль вещества, если у каждой сотой молекулы отнять по одному
электрону? Число Авогадро принять равным 6∙1023 1/моль.
Два одинаковых проводящих шарика, электрические заряды которых равны 3,2∙10-19 Кл и –3,2∙10-19
Кл, привели в соприкосновение. Сколько электронов перешло с одного шарика на другой?
3
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Определить заряд медной пластинки массой 1 г, если у каждого атома меди отнять по одному
электрону. Число Авогадро принять равным 6∙1023 1/моль. Молярная масса меди 0,064 кг/моль.
Имеется 0,5 моля некоторого вещества. Если у каждой тысячной молекулы отнять один электрон,
то вещество приобретет заряд, равный …
Поверхностная плотность заряда на металлическом шаре равна 10–5 Кл/м2. Радиус шара 10 см.
Величина заряда шара равна …
Если из каждого десятого атома частички свинца (молярная масса 208 г/моль) массой 10–3 г удалить
по одному электрону, то заряд частицы будет равен …
Металлический шар диаметром 10 см имеет заряд 3,14∙10-8 Кл. Поверхностная плотность заряда
равна …
Стеклянную палочку наэлектризовали и ее заряд стал равным 6,4∙10-9 Кл. Масса стеклянной
палочки:
1. увеличилась на 3,6∙10-20 кг.
2. уменьшилась на 3,6∙10-20 кг.
3. увеличилась на 1,8∙10-20 кг.
4. уменьшилась на 1,8∙10-20 кг.
5. масса палочки не изменилась.
Эбонитовую палочку наэлектризовали трением, и ее заряд стал равным –3,2•10-9 Кл. Масса
эбонитовой палочки:
1. увеличилась на 3,6∙10-20 кг.
2. уменьшилась на 3,6∙10-20 кг.
3. увеличилась на 1,8∙10-20 кг.
4. уменьшилась на 1,8∙10-20 кг.
5. не изменилась.
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
5
6
7
8
1,5
2
–2q
–2q
2
11
2,5
960
9
10
11
13
14
15
16
2
1500
48 Кл
12
12,57•10-7
Кл
0,047 Кл
10-6 Кл/м2
2
3
4
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.02. Закон Кулона.
Впервые закон взаимодействия неподвижных зарядов был установлен
французским физиком Ш. Кулоном (1785 г.). В своих опытах Кулон измерял
силы притяжения и отталкивания заряженных шариков с помощью
сконструированного им прибора – крутильных весов, отличавшихся
чрезвычайно высокой чувствительностью. Так, например, коромысло весов
поворачивалось на 1° под действием силы порядка 10–9 Н.
Идея измерений основывалась на блестящей догадке Кулона о том, что если
заряженный шарик привести в контакт с точно таким же незаряженным, то
заряд первого разделится между ними поровну. Таким образом, был указан
способ изменять заряд шарика в два, три и т. д. раз. В опытах Кулона
измерялось взаимодействие между шариками, размеры которых много меньше
расстояния между ними. Такие заряженные тела принято называть точечными
зарядами.
Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого в
условиях данной задачи можно пренебречь.
На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон:
Силы взаимодействия неподвижных точечных зарядов прямо пропорциональны произведению
модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:
q q
F k 1 2 2
r
Если же заряды находятся в каком-либо веществе, то:
q q
F  k 1 22 ,
r
где  – диэлектрическая проницаемость среды – безразмерная физическая величина, показывающая, во
сколько раз сила электростатического взаимодействия в данной среде будет меньше, чем в вакууме (то
есть во сколько раз среда ослабляет взаимодействие). Например, диэлектрическая проницаемость воды 81.
Это означает, что сила взаимодействия данных электрических зарядов в воде в 81 раз меньше, чем в воздухе
при том же расстоянии между зарядами.
Здесь k – коэффициент в законе Кулона, величина, определяющая численное значение силы
взаимодействия зарядов. В системе СИ его значение принимается равным
Н  м2
м
k  9 109
 9 109 .
2
Кл
Ф
Силы взаимодействия точечных неподвижных зарядов подчиняются третьему закону Ньютона:
F1   F2 .
Они являются силами отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами
притяжения при разных знаках (см. рисунок). Взаимодействие неподвижных
электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским
взаимодействием.
Раздел
электродинамики, изучающий
кулоновское
взаимодействие, называют электростатикой.
Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел, равномерно заряженных
сфер и шаров. В этом случае за расстояния r берут расстояние между центрами
сфер или шаров. Практически закон Кулона хорошо выполняется, если размеры
заряженных тел много меньше расстояния между ними.
Коэффициент k в системе СИ иногда записывают в виде:
1
k
,
4 0
Ф
где:  0  8,85 1012
– электрическая постоянная.
м
5
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
Опыт
показывает,
что
силы
кулоновского
взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции:
Если
заряженное
тело
взаимодействует
одновременно с несколькими заряженными телами,
то результирующая сила, действующая на данное
тело, равна векторной сумме сил, действующих на
это тело со стороны всех других заряженных тел.
Рисунок поясняет принцип суперпозиции на примере
электростатического взаимодействия трех заряженных
тел. При решении задач вспомните, как Вы
расписывали силы в механике.
ЗАПОМНИТЕ также два важных определения:
Проводники – вещества, содержащие свободные носители электрического заряда. Внутри проводника
возможно свободное движение электронов – носителей заряда (по проводникам может протекать
электрический ток). К проводникам относятся металлы, растворы и расплавы электролитов,
ионизированные газы, плазма.
Диэлектрики (изоляторы) – вещества, в которых нет свободных носителей заряда. Свободное движение
электронов внутри диэлектриков невозможно (по ним не может протекать электрический ток). Именно
диэлектрики обладают некоторой не равной единице диэлектрической проницаемостью ε.
ПРИМЕР. Два одинаковых по размеру металлических шарика несут заряды 7 мкКл и –3 мкКл. Шарики
привели в соприкосновение и развели на некоторое расстояние, после чего сила их взаимодействия
оказалась равна 40 Н. Определите это расстояние (в см). Коэффициент в законе Кулона k = 9.109 м/Ф.
При соприкосновении одинаковых проводящих шариков заряды перераспределятся так, что шарики
окажутся заряжены одинаково. Однако полный заряд системы из двух шариков при этом не изменится
(закон сохранения заряда). Значит, заряд каждого шарика будет:
q q
q  1 2  2 мкКл.
2
2
q 

Закон Кулона для шариков в конечном положении: F  k 2 , откуда найдем расстояние между ними,
r
получим:
q q
k
r 1 2
 3 см.
2
F
ЗАМЕЧАНИЕ. Если исходить из закона Кулона, то коэффициент k имеет размерность Н.м2/Кл2. Однако,
учитывая связь между k и электрической постоянной 0 (k = 1/40), размерность k в СИ обычно
записывают короче: м/Ф.
6
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 9.02.
1.
Два точечных заряда взаимодействуют с силой 8 мН. Какова будет сила взаимодействия (в мН) между
зарядами, если, не меняя расстояния между ними, величину каждого из зарядов увеличить в 2 раза?
1. 8 2. 16 3. 24 4. 32
2.
Во сколько раз надо увеличить расстояние между двумя точечными зарядами, чтобы сила
взаимодействия осталась прежней при увеличении одного из зарядов в 4 раза?
1. 1 2. 2 3. 4 4. 8
3.
Два точечных заряда находятся в вакууме на расстоянии 0,03 м друг от друга. Если их поместить в
жидкий диэлектрик и увеличить расстояние между ними на 3 см, то сила взаимодействия зарядов
уменьшится в 8 раз. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика.
1. 1 2. 2 3. 4 4. 8
4.
Точечный заряд 1 мкКл в керосине ( = 2) взаимодействует со вторым зарядом, находящимся на
расстоянии 10 см, с силой 1,8 Н. Какова величина второго заряда (в мкКл)? Коэффициент в законе
Кулона k = 9.109 м/Ф.
1. 2 2. 4 3. 10 4. 40
5.
Два точечных заряда взаимодействуют в вакууме на расстоянии 10 см с такой же силой, как в
диэлектрике на расстоянии 5 см. Определите диэлектрическую проницаемость диэлектрика.
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
6.
Два точечных заряда взаимодействуют в вакууме на расстоянии 5 см с силой 120 мкН, а в жидком
диэлектрике на расстоянии 10 см – с силой 15 мкН. Найдите диэлектрическую проницаемость
диэлектрика.
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
7.
Два одинаковых маленьких металлических шарика находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Заряд
одного шарика в 4 раза больше заряда другого. Шарики привели в соприкосновение и развели на
некоторое расстояние. Найдите это расстояние (в см), если сила взаимодействия шариков осталась
прежней.
1. 25 2. 50 3. 100 4. 125
8.
Два одинаковых проводящих шарика, обладающих зарядами 50 нКл и 10 нКл, находятся на
некотором расстоянии друг от друга. Их приводят в соприкосновение и разводят на прежнее
расстояние. На сколько процентов увеличится в результате сила взаимодействия?
1. 10 2. 50 3. 60 4. 80
9.
Шарик массой 90 мг подвешен на непроводящей нити и имеет заряд 10 нКл. После того, как под
шариком на расстоянии 10 см от него поместили точечный заряд другого знака, натяжение нити
увеличилось вдвое. Найдите величину этого заряда (в нКл). k = 9.109 м/Ф, g=10 м/с2.
1. 10 2. 50 3. 100 4. 1000
10.
Несколько одинаково заряженных шариков одного размера и массы подвешены на нитях
одинаковой длины, закрепленных в одной точке. Опуская шарики в жидкий диэлектрик, заметили,
что угол отклонения нитей от вертикали в воздухе и в диэлектрике остается одним и тем же.
Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если его плотность в 1,25 раза меньше
плотности материала шариков.
1. 2 2. 4 3. 5 4. 25
7
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
11.
Два одинаковых маленьких шарика массой 80 г каждый подвешены к одной точке на нитях длиной
30 см. Какой заряд (в мкКл) надо сообщить каждому шарику, чтобы нити разошлись под прямым
углом друг к другу? k = 9.109 м/Ф.
1. 2 2. 4 3. 5 4. 7
12.
Два маленьких шарика массой 6 г каждый подвешены к одной точке на нитях длиной 13 см. Какой
заряд (в нКл) надо сообщить каждому шарику, чтобы они разошлись на расстояние 24 см? k = 9.109
м/Ф, g = 10 м/с2.
1. 96 2. 196 3. 590 4. 960
13.
Вокруг точечного заряда 5 нКл по окружности радиусом 3 см вращается с угловой скоростью 5 рад/с
маленький отрицательно заряженный шарик. Найдите отношение заряда шарика к его массе (в
мкКл/кг). k = 9.109 м/Ф. Силу тяжести не учитывать.
1. 5 2. 7 3. 10 4. 15
14.
Небольшой заряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, вращается в горизонтальной
плоскости с угловой скоростью 3 рад/с, причем в центре описываемой им окружности расположен точно
такой же заряд, что имеет шарик. Если вращающийся шарик зарядить зарядом противоположного знака
(но такой же абсолютной величины), то при том же радиусе вращения угловая скорость станет 4 рад/с.
Найдите расстояние (в см) от точки подвеса шарика до плоскости его вращения.
1. 60 2. 65 3. 75 4. 80
15.
Два одинаковых положительных заряда находятся на некотором расстоянии друг от друга. Во
сколько раз возрастет величина силы, действующей на один из зарядов, если на середине прямой,
соединяющей заряды, поместить третий, такой же по величине, но противоположный по знаку
точечный заряд?
1. 2 2. 3 3. 4 4. 9
16.
Точечные заряды q, q и 2q расположены на одной прямой один за другим на одинаковом расстоянии.
На средний заряд действует сила 8 Н. Какая сила действует на заряд 2q?
1. 8 2. 10 3. 16 4. 20
17.
Когда посередине между двумя одинаковыми зарядами поместили третий заряд, система зарядов
оказалась в равновесии. Во сколько раз величина этого заряда меньше величины каждого из двух
крайних зарядов?
1. 2 2. 3 3. 4 4. 9
18.
Два точечных заряда по 8 нКл каждый находятся на расстоянии 3 см. С какой силой (в мкН) они
действуют на точечный заряд 1 нКл, находящийся на расстоянии 3 см от каждого из них?
k = 9.109 м/Ф.
1. 126 2. 136 3. 140 4. 146
19.
Четыре одинаковых точечных заряда по 10 нКл каждый расположены в вершинах квадрата со
стороной 3 мм. Найдите силу (в мН), действующую со стороны трех зарядов на четвертый. k = 9.109
м/Ф.
1. 130 2. 150 3. 160 4. 191
20.
В двух противоположных вершинах квадрата находятся одинаковые заряды 1 мкКл. Во сколько
раз увеличится сила, действующая на один из этих зарядов, если в две другие вершины квадрата
поместить заряды 1 мкКл и –1 мкКл?
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
8
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
Два одинаковых заряженных шарика, модули зарядов которых отличаются в 5 раз, притягиваются
друг к другу с некоторой силой. Как и на сколько процентов изменится величина этой силы, если
заряды ввести в соприкосновение и развести на первоначальное расстояние?
1. увеличится на 80%.
2. увеличится на 25%.
3. уменьшится на 25%.
4. уменьшится на 20%.
5. не изменится.
21.
ОТВЕТЫ:
1
4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
2
2
3
2
4
4
3
3
2
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
4
4
4
2
4
3
2
4
3
4*
* Шарики притягиваются по условию задачи, значит их заряды разноименные. Тогда для их заряда
после соприкосновения получим:
q  5q0
q 0
 2q0
2
9
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.03. Электрическое поле. Напряженность поля.
Связь силы и напряженности.
По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно.
Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле. Это поле оказывает
силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на
электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел
осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля,
окружающие заряженные тела.
Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого
пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не вносит заметного
перераспределения исследуемых зарядов.
Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика напряженность электрического поля.
Как можно определить напряженность поля и что это такое? Электрическое поле создается только
зарядами, следовательно, действует только на заряды. Поэтому для исследования поля в некоторую его
точку необходимо помещать пробные заряды и исследовать действие поля на них. Оказывается, что при
помещении в одну и ту же точку поля разных зарядов сила, действующая на них со стороны поля,
увеличивается пропорционально величине заряда. То есть отношение силы, действующей на заряд,
остается неизменным для одной и той же точки поля. Логично предположить, что это отношение
представляет собой некую характеристику поля в данной точке.
Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы,
с которой поле действует на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого
заряда:
F
E .
q
Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора E
совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный
заряд. Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется
электростатическим.
Для наглядного представления электрического поля используют
силовые линии. Эти линии проводятся так, чтобы направление вектора
E в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой
линии (см. рисунок). Силовые линии обладаю следующими свойствами.
 Силовые линии электростатического поля никогда не
пересекаются.
 Силовые линии электростатического поля всегда направлены от
положительных зарядов к отрицательным. Вообще, в этом состоит
один из фундаментальных законов природы (шуточных, конечно). Все стремится от хорошего
(положительного) к плохому (отрицательному).
 При изображении электрического поля с помощью силовых линий их густота должна быть
пропорциональна модулю вектора напряженности поля.
Силовые линии начинаются на положительном заряде или бесконечности, а заканчиваются на
отрицательном или бесконечности. Густота линий тем больше, чем больше напряжённость.
В данной точке пространства может проходить только одна силовая линия, т.к. напряжённость
электрического поля в данной точке пространства задаётся однозначно.
Электрическое поле называют однородным, если вектор напряжённости одинаков во всех
точках поля. Например, однородное поле создаёт плоский конденсатор – две пластины,
заряженные равным по величине и противоположным по знаку зарядом, разделённые
слоем диэлектрика, причём расстояние между пластинами много меньше размеров
пластин.
10
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
Во всех точках однородного поля на заряд q, внесённый в однородное поле с

напряжённостью E , действует одинаковая по величине и направлению сила,


равная F  E q . Причём, если заряд q положительный, то направление силы
совпадает с направлением вектора напряжённости, а если заряд отрицательный,
то вектора силы и напряжённости противоположно направлены.
Силовые
линии
кулоновских
полей
положительных
и
отрицательных точечных зарядов изображены на рисунке.
При решении задач распишите силы, действующие на тело, добавив к ним силу
F  q  E . Например, заряженное тело на нити в горизонтальном электрическом поле.
Ох: q  E  T  sin  .
Оу: m  g  T  cos  .
ПРИМЕР. В однородном электрическом поле напряженностью 20 кВ/м, вектор
которой направлен вертикально вниз, на шелковой нити висит шарик массой 0,1 кг с
зарядом 0,2 мКл. Найдите силу натяжения нити, g = 10 м/с2.
На неподвижный шарик действуют три силы: сила тяжести, сила натяжения нити и
сила со стороны электрического поля Fэл  qE направленная вертикально вниз. Из
условия равновесия шарика: T – mg – qE = 0, находим силу натяжения нити
Т = mg + qE = 5 Н.
ТЕСТ 9.03.
1.
Заряженная частица создает в некоторой точке в вакууме напряженность 60 В/м. Какая сила (в нН) будет
действовать на заряд 5 нКл, помещенный в эту точку, если всю систему поместить в керосин,
диэлектрическая проницаемость которого 2?
1. 100 2. 150 3. 200 4. 300
2.
В однородном электрическом поле, вектор напряженности которого направлен вертикально вверх,
находится в равновесии пылинка массой 0,03 мкг с зарядом 3 пКл. Напряженность поля равна …
В/м. g = 10 м/с2.
1. 10 2. 50 3. 100 4. 150
3.
Во сколько раз увеличится сила натяжения нити, на которой висит шарик массой 0,1 кг с зарядом
10 мкКл, если систему поместить в однородное электрическое поле с напряженностью 200 кВ/м,
вектор которой направлен вертикально вниз? g = 10 м/с2.
1. 2 2. 3 3. 4 4. 6
4.
Шарик массой 4,5 г с зарядом 0,1 мкКл помещен в масло плотностью 800 кг/м 3. Плотность
материала шарика 1500 кг/м3. Определите напряженность электрического поля (в кВ/м), в которое
следует поместить шарик, чтобы он находился в равновесии, g = 10 м/с2.
1. 105 2. 150 3. 210 4. 220
11
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
5.
Маленький шарик, подвешенный на шелковой нити, имеет заряд 49 нКл. В горизонтальном
электрическом поле с напряженностью 100 кВ/м нить отклонилась от вертикали на угол, тангенс
которого 0,125. Найдите массу (в г) шарика, g = 9,8 м/с2.
1. 3 2. 4 3. 5 4. 6
6.
Найдите величину ускорения, которое приобретает частица массой 0,1 г с зарядом 4 мкКл под
действием однородного электрического поля с напряженностью 1000 В/м. Силу тяжести не
учитывать.
1. 25 2. 30 3. 40 4. 45
7.
Найдите ускорение, с которым падает шарик массой 0,01 кг с зарядом 1 мкКл в однородном
электрическом поле с напряженностью 20 кВ/м. Вектор напряженности направлен вертикально
вверх, g = 10 м/с2. Трение не учитывать.
1. 6 2. 7 3. 8 4. 9
8.
Когда телу сообщили заряд 7.10–8 Кл, оно за 10 с падения у земной поверхности прошло путь на 5
см больший, чем в отсутствие заряда. Чему равна масса (в г) тела, если напряженность
электрического поля 100 В/м?
1. 6 2. 7 3. 8 4. 9
9.
Пылинка массой 10–3 г падает в воздухе с постоянной скоростью 0,2 м/с. С какой установившейся
скоростью (в см/с) будет подниматься пылинка, если ее поместить в электрическое поле с
напряженностью 10 кВ/м и сообщить ей заряд 1,2 нКл? Сила сопротивления воздуха прямо
пропорциональна скорости, g = 10 м/с2.
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
10.
Незаряженная пылинка массой 5 мг падает в воздухе с постоянной скоростью 15 см/с. С какой
установившейся скоростью (в см/с) будет двигаться пылинка, если ее поместить в
горизонтальное электрическое поле с напряженностью 3 кВ/м и сообщить ей заряд 40 нКл? Сила
сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости, g = 10 м/с2.
1. 29 2. 35 3. 39 4. 47
11.
Протон, движущийся со скоростью 100 км/с, влетает в электрическое поле с напряженностью 50
В/м в направлении, противоположном направлению силовых линий поля. Через сколько
микросекунд скорость протона станет равной нулю? Отношение заряда протона к его массе 108
Кл/кг.
1. 10 2. 15 3. 20 4. 100
12.
Вдоль линий напряженности однородного электрического поля движется, замедляясь, электрон. В
некоторый момент скорость электрона 1,8 Мм/с. Какова напряженность поля, если скорость электрона
уменьшилась вдвое через 0,1 мкс? Удельный заряд электрона принять равным 1,8.1011 Кл/кг.
1. 25 2. 35 3. 40 4. 50
13.
Маленький шарик массой 0,01 мг, несущий заряд 10 нКл, помещен в однородное электрическое
поле, направленное горизонтально. Шарик начинает двигаться и через 4 с приобретает скорость 50
м/с. Найдите напряженность электрического поля (в мВ/м), g = 10 м/с2.
1. 5500 2. 6500 3. 7000 4. 7500
14.
На какое расстояние (в см) был перемещен заряд 70 мкКл вдоль линии напряженности однородного
электрического поля, если при этом полем была совершена работа 1,4 мДж? Напряженность
электрического поля 200 В/м.
1. 2 2. 8 3. 10 4. 15
12
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
Какую работу (в мДж) надо совершить, чтобы переместить заряд 70 мкКл в однородном поле с
напряженностью 10 кВ/м на расстояние 0,5 м, если перемещение происходит под углом 60° к
силовым линиям поля? В ответе указать модуль работы.
1. 125 2. 150 3. 175 4. 200
15.
ОТВЕТЫ:
1
2
2
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
2
3
3
2
3
3
3
4
4
3
3
13
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.04. Принцип суперпозиции.
Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными
телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный
заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического
поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме
напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:
E  E1  E2  E3  ...
Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции. В соответствии
с законом Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на
расстоянии r от него, равна по модулю
Q kQ
1
E
 2  2.
4 0 r
r
ВАЖНО: Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора E зависит от знака
заряда Q: если Q > 0, то вектор E направлен от заряда, если Q < 0, то вектор E направлен к заряду.
Величина напряжённости зависит от величины заряда, среды, в которой находится заряд, и уменьшается
с увеличением расстояния.
Графически это поле изображают так:
Такой рисунок означает, что в точке А вектор напряжённости электрического поля,
созданного зарядом q0, направлен от положительного заряда. Т.е., если в точку А
поместить положительный заряд q, то на него будет действовать сила отталкивания,


k  q0
равная F  E q , где E 
.
  r2
Аналогично в случае отрицательного заряда. Только теперь вектор напряжённости
электрического поля, созданного зарядом q0, направлен к заряду, создавшему поле.
Т.е., если в точку А поместить положительный заряд q, то на него будет действовать


k  q0
сила притяжения, равная F  E q , где E 
.
  r2
Принцип суперпозиции электрических полей:
напряжённость электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённости полей,
создаваемых каждым из них в отдельности.




E  E1  E 2  ...  E N
где: N – количество зарядов, создающих поле.
Пусть электрическое поле создаётся двумя зарядами: положительным q1 и
отрицательным q2. Тогда в точке А эти заряды создают электрическое
поле, напряжённость которого мы найдём, сложив вектора
напряжённости полей, созданных каждым из зарядов в отдельности.

Обратите внимание, что вектор E 1 направлен от положительного заряда,


а вектор E 2 к отрицательному заряду. Результирующий вектор E найдём
по правилу сложения векторов.
14
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ПРИМЕР. Расстояние между двумя точечными зарядами 64 нКл и -48 нКл равно 10 см. Определите
напряженность поля (в кВ/м) в точке, удаленной на 8 см от первого и на 6 см от второго зарядов.
k q
k q
Найдём величину векторов E1  2 1 и E 2  2 2 . Очевидно, что угол
r1
r2


между векторами E 1 и E 2 равен 900, а значит, результирующий вектор Е
найдём по теореме Пифагора.
ОТВЕТ: 150 кВ/м.
В более сложных случаях используйте теорему косинусов.
Если надо найти точку, в которой напряжённость поля двух зарядов равна нулю, то поступают по
аналогии с нахождением местоположения заряда, находящегося в равновесии. В случае двух
положительных зарядов искомая точка А должна находиться между зарядами. В этой точке должны быть
равны по величине и противоположны по направлению вектора напряжённостей полей, созданных
каждым из зарядов.
E1  E 2
k  q1
k  q2

2
2
x
(a  x )
q1
x

q2
ax
.
В случае двух разноимённых зарядов искомая точка А должна находиться на прямой, проходящей через
заряды, ближе к меньшему по величине заряду. Чтобы в этой точке были равны по величине и
противоположны по направлению вектора напряжённостей полей, созданных каждым из зарядов, эта
точка должна находиться за пределами отрезка, соединяющего заряды.
E1  E 2
k  q1
k  q2

2
2
x
(a  x )
q1
x

q2
ax
.
ПРИМЕР. В вершинах квадрата со стороной 10 см расположены три
отрицательных заряда по 10-11 Кл каждый и один положительный 2•10-11 Кл.
Определите напряженность поля в центре квадрата.


Очевидно, что вектора E2 и E4 равны по величине и противоположны по


направлению, а значит, компенсируют друг друга. Вектора E1 и E3
сонаправлены, а значит, результирующий вектор напряженности равен их
сумме.
ОТВЕТ: 54 В/м.
Итак, если в задаче требуется определить напряженность поля системы зарядов, то надо действовать так.
1. Нарисовать рисунок.
2. Изобразить напряженность поля каждого заряда по отдельности в нужной точке. Помните, что
напряженность направлена к отрицательному заряду и от положительного заряда.
3. Вычислить каждую из напряженностей по соответствующей формуле.
4. Сложить напряженности геометрически.
15
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 9.04.
1.
Точечный заряд создает в некоторой точке в вакууме поле напряженностью 600 В/м. Какова будет
напряженность поля в этой точке, если заряд увеличится в 5 раз, а пространство вокруг него будет
заполнено керосином с диэлектрической проницаемостью 2?
1. 600 2. 900 3. 1500 4. 3000
2.
Напряженность поля, создаваемого небольшим зарядом на расстоянии 10 см от него, равна 800 В/м.
Найдите напряженность поля в точке на расстоянии 20 см от заряда.
1. 200 2. 400 3. 600 4. 700
3.
Два разноименных точечных заряда одинаковой величины 4 нКл находятся на расстоянии 60 см
друг от друга. Найдите напряженность поля в точке, которая находится на середине отрезка,
соединяющего заряды. k = 9.109 м/Ф.
1. 400 2. 800 3. 1000 4. 1600
4.
Расстояние между двумя положительными точечными зарядами 8 см. На расстоянии 6 см от первого
заряда на прямой, соединяющей заряды, напряженность поля равна нулю. Найдите отношение
величины первого заряда к величине второго.
1. 3 2. 6 3. 9 4. 12
5.
Найдите величину напряженности поля, создаваемого двумя точечными зарядами 2 нКл и –4 нКл,
в точке, лежащей на середине отрезка, соединяющего заряды, если напряженность поля,
создаваемого в этой точке только первым зарядом, равна 2 В/м.
1. 3 2. 5 3. 6 4. 9
6.
В вершинах острых углов ромба со стороной 1 м помещены положительные заряды по 1 нКл, а в
вершине одного из тупых углов – положительный заряд 5 нКл. Определите напряженность
электрического поля в четвертой вершине ромба, если меньшая диагональ ромба равна его стороне,
k = 9.109 м/Ф.
1. 45 2. 50 3. 54 4. 60
7.
В вершинах квадрата со стороной 10 см расположены три положительных заряда по 10–11 Кл
каждый и один отрицательный 2.10–11 Кл. Определите напряженность поля в центре квадрата.
k = 9.109 м/Ф.
1. 40 2. 45 3. 50 4. 54
8.
Разноименные точечные заряды одинаковой величины 36 нКл расположены в двух вершинах
равностороннего треугольника со стороной 2 м. Определите напряженность электрического поля в
третьей вершине треугольника. k = 9.109 м/Ф.
1. 60 2. 70 3. 81 4. 94
9.
Разноименные точечные заряды одинаковой величины 5 нКл расположены на расстоянии 2,4 м друг
от друга. Определите напряженность электрического поля в точке, удаленной на 3 м от каждого из
зарядов, k = 9.109 м/Ф.
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
10.
Точечные заряды 50 нКл и –32 нКл находятся на расстоянии 9 см друг от друга. Найдите
напряженность поля (в кВ/м) в точке, отстоящей на 5 см от первого заряда и на 6 см от второго
заряда, k = 9.109 м/Ф.
1. 110 2. 200 3. 220 4. 300
16
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
11.
Точечные заряды 24 пКл и 135 пКл находятся на расстоянии 11 см друг от друга. Найдите
напряженность поля в точке, отстоящей на 4 см от первого заряда и на 9 см от второго заряда.
k = 9.109 м/Ф
1. 100 2. 155 3. 165 4. 185
12.
В двух вершинах правильного треугольника со стороной 20 см находятся точечные заряды по 14
пКл каждый, а в третьей вершине – точечный заряд –2 пКл. Найдите напряженность поля в
середине стороны, соединяющей разноименные заряды, k = 9.109 м/Ф.
1. 10 2. 15 3. 20 4. 25
13.
В двух вершинах правильного треугольника со стороной 30 см находятся разноименные заряды
одинаковой величины 25 пКл, а в третьей вершине – заряд 55 пКл. Найдите напряженность поля в
центре треугольника, k = 9.109 м/Ф.
1. 18 2. 20 3. 21 4. 25
14.
В вершинах правильного шестиугольника со стороной 10 см поочередно расположены заряды +5
нКл и –5 нКл. Определите напряженность поля, создаваемого всеми зарядами в центре фигуры.
1. 0 2. 2 3. 4 4. 8
15.
В трех смежных вершинах правильного шестиугольника со стороной 10 см расположены заряды
по +5 нКл, а в трех других– заряды по –5 нКл. Определите напряженность поля (в кВ/м),
создаваемого всеми зарядами в центре фигуры, k = 9.109 м/Ф.
1. 6 2. 9 3. 18 4. 24
ОТВЕТЫ:
1
2
3
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
3
3
4
3
3
3
3
2
3
1
3
17
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.05. Потенциальная энергия взаимодействия
зарядов. ЗСЭ в электростатике.
Электрические заряды взаимодействуют друг с другом и с электрическим полем. Любое взаимодействие описывает
потенциальной энергией. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных электрических зарядов
рассчитывается по формуле:
W
kq1q2
qq
1

 1 2.
R
4 0 R
Обратите внимание на отсутствие модулей у зарядов! Для разноименных зарядов энергия взаимодействия имеет
отрицательное значение. Такая же формула справедлива и для энергии взаимодействия равномерно заряженных
сфер и шаров. Как обычно, в этом случае расстояние r измеряется между центрами шаров или сфер. Если же
зарядов на два, а больше, то энергию их взаимодействия следует считать так: разбить систему зарядов на все
возможные пары, рассчитать энергию взаимодействия каждой пары и просуммировать все энергии для всех пар.
Задачи по данной теме решаются, как и задачи на закон сохранения механической энергии: сначала находится
начальная энергия взаимодействия, потом конечная. Если в задаче просят найти работу по перемещению зарядов,
то она будет равна разнице между начальной и конечной суммарной энергией взаимодействия зарядов. Энергия
взаимодействия так же может переходить в кинетическую энергию или в другие виды энергии. Если тела находятся
на очень большом расстоянии, то энергия их взаимодействия полагается равной 0.
ПРИМЕР. Чему равна энергия (в мДж) взаимодействия системы четырех зарядов 2 мкКл каждый,
расположенных вдоль прямой линии так, что расстояние между соседними зарядами равно 30 см.
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна сумме энергий взаимодействия между всеми парами
зарядов:
W  3k
q2
q2
q 2 13 q 2
 2k
k
 k
 520 мДж.
a
2a
3a 3 a
ЗАПОМНИТЕ ОЧЕНЬ КРЕПКО:
Если в задаче требуется найти минимальное или максимальное расстояние между телами (частицами) при
движении, то это расстояние будет в тот момент времени, когда частицы движутся в одну сторону с одинаковой
скоростью. Поэтому решение надо начинать с записи закона сохранения импульса, из которого и находится эта
одинаковая скорость. А далее следует писать закон сохранения энергии с учетом кинетической энергии частиц во
втором случае.
ТЕСТ 9.05.
1.
Чему равна энергия (в мДж) взаимодействия точечных зарядов 2 мкКл и 4 мкКл, находящихся на
расстоянии 30 см друг от друга? k = 9.109 м/Ф.
1. 24 2. 200 3. 240 4. 480
2.
Чему равна энергия (в мДж) взаимодействия системы трех зарядов 2, 1 и 3 мкКл, расположенных в
указанном порядке вдоль прямой линии, если расстояние между соседними зарядами равно 30 см?
k = 9.109 м/Ф.
1. 24 2. 200 3. 240 4. 480
3.
Чему равна энергия (в мДж) взаимодействия системы трех зарядов 2, –1 и 3 мкКл, расположенных
в вершинах равностороннего треугольника со стороной 10 см? k = 9.109 м/Ф.
1. 30 2. 60 3. 80 4. 90
4.
Найдите энергию (в мДж) взаимодействия системы четырех зарядов 1, 2, 3 и 4 мкКл,
расположенных в вершинах правильного тетраэдра с ребром 50 см. k = 9.109 м/Ф.
1. 200 2. 300 3. 630 4. 650
18
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
5.
Четыре одинаковых заряда 2 мкКл расположены на прямой линии. Расстояние между соседними
зарядами равно 60 см. Какую надо совершить работу (в мДж), чтобы разместить эти заряды в
вершинах правильного тетраэдра с ребром 60 см? k = 9.109 м/Ф.
1. 50 2. 100 3. 150 4. 200
6.
В вершинах острых углов ромба закреплены заряды 7 нКл, а в вершинах тупых углов находятся две
частицы массой 2 мг и зарядом 2 нКл каждая. Частицы одновременно отпускают, и они приходят в
движение. Чему будет равна скорость частиц после их разлета на большое расстояние? Сторона
ромба 3 см, а его острый угол 60°. k = 9.109 м/Ф.
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
7.
В одной вершине равностороннего треугольника со стороной 2 см закреплен точечный заряд 40
нКл, а в двух других находятся частицы массой 5 мг и зарядом 10 нКл каждая. Частицы отпускают,
и они приходят в движение. Чему будет равна их скорость на большом расстоянии от заряда? k =
9.109 м/Ф.
1. 3 2. 5 3. 7 4. 9
8.
Три одинаковых шарика, несущие одинаковый заряд 2 мкКл, соединены попарно тремя
одинаковыми пружинами и удерживаются на расстоянии 5 см друг от друга. Шарики отпускают,
и они приходят в движение. Найдите жесткость каждой пружины, если в начальном положении
они не деформированы, а максимальное расстояние между шариками в процессе движения в три раза
больше начального. k = 9.109 м/Ф.
1. 96 2. 300 3. 800 4. 1250
9.
Два небольших тела массой 5 г каждое, заряженные одинаковым зарядом 10 мкКл, находятся на
горизонтальной плоскости на расстоянии 10 м друг от друга. Коэффициент трения тел о
плоскость равен 0,5. Какую минимальную начальную скорость надо сообщить одному из тел, чтобы
сдвинуть с места второе тело? k = 9.109 м/Ф.
1. 8 2. 16 3. 64 4. 76
10.
Два небольших тела массой 100 г каждое, несущие заряды 10 мкКл, удерживают на горизонтальной
плоскости на расстоянии 1 м друг от друга. Коэффициент трения тел о плоскость 0,1. Тела
одновременно освобождают. Найдите максимальную скорость тел в процессе движения. k = 9.109
м/Ф.
1. 2 2. 4 3. 8 4. 16
11.
Два маленьких шарика массой 150 г, лежащие на гладкой горизонтальной плоскости, соединены
недеформированной пружиной длиной 40 см и жесткостью 10 Н/м. После сообщения шарикам
зарядов одного знака длина пружины стала равна 80 см. Какую минимальную одинаковую скорость
надо сообщить шарикам навстречу друг другу, чтобы они сблизились до прежнего расстояния?
1. 2 2. 4 3. 8 4. 16
12.
На высоте 3 м над землей закреплен заряд –4 мкКл, а под ним на высоте 2,2 м находится частица
массой 0,9 г с зарядом 1 мкКл. Какую скорость надо сообщить частице вертикально вниз, чтобы
она достигла поверхности земли? k = 9.109 м/Ф, g = 10 м/с2.
1. 3 2. 5,4 3. 36 4. 54
13.
На расстоянии 1 мот закрепленного заряда –100 нКл расположена частица массой 0,1 г с зарядом
2 мкКл. Заряды находятся в однородном внешнем поле, напряженность которого равна 100 В/м и
направлена от отрицательного заряда к положительному. Какую минимальную скорость надо
сообщить частице в направлении силовых линий, чтобы она улетела на бесконечность? k = 9.109
м/Ф. Силу тяжести не учитывать.
1. 2 2. 4 3. 8 4. 16
19
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
14.
Две частицы, имеющие массы 2 и 3 г и заряды 3 и –12 мкКл, удаляются друг от друга. В некоторый
момент они находятся на расстоянии 10 м и имеют одинаковые скорости 3 м/с. Найдите
наибольшее расстояние между частицами в процессе движения. k = 9.109 м/Ф.
1. 20 2. 30 3. 60 4. 90
15.
Две частицы имеют массу 1 г каждая и заряды 1 и –1 мкКл. В начальный момент расстояние
между частицами 3,2 м, одна из частиц покоится, а другая удаляется от нее со скоростью 3 м/с.
Найдите максимальное расстояние между частицами в процессе движения. k = 9.109 м/Ф.
1. 4 2. 16 3. 24 4. 32
16.
Две частицы имеют массы 4 и 5 г и заряды 1 и –1 мкКл. В начальный момент расстояние между
частицами 10 см, первая частица неподвижна, а вторая удаляется от нее со скоростью . При
каком минимальном значении  эта частица не столкнется с первой частицей?
1. 3 2. 9 3. 15 4. 27
17.
Два диэлектрических шара равномерно заряжены одинаковым зарядом 3 мкКл. Масса первого шара
6 г, масса второго 12 г, радиус каждого шара 1 см. Вначале шары удерживают так, что они
касаются друг друга, а затем отпускают. Найдите конечную скорость первого шара.
1. 15 2. 20 3. 25 4. 30
18.
Два диэлектрических шара равномерно заряжены по объему, первый зарядом 1 мкКл, второй –
зарядом 0,6 мкКл. Масса первого шара 6 г, второго – 4 г, радиус каждого шара 1 см. Вначале первый
шар покоится, а второй издалека приближается к нему со скоростью . При каком минимальном
значении  шары коснутся друг друга? k = 9.109 м/Ф.
1. 10 2. 15 3. 20 4. 25
19.
Два диэлектрических шара радиусом 1 см каждый равномерно заряжены одинаковым зарядом 0,4
мкКл. В начальный момент один из шаров массой 16 г покоится, а второй массой 8 г издалека
приближается к нему со скоростью 6 м/с. Найдите скорость первоначально покоившегося шара
сразу после их соударения, считая его абсолютно упругим. k = 9.109 м/Ф.
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
20.
В вершинах правильного 2009-угольника закреплены точечные заряды 1 мкКл каждый. В
некоторый момент времени один из зарядов отрывается и улетает. Спустя большое время
отрывается и улетает соседний с ним заряд. Установлено, что максимальная кинетическая
энергия второго заряда на 1 Дж меньше, чем первого. Найдите сторону 2009-угольника (в мм).
1. 3 2. 9 3. 30 4. 90
21.
В вакууме из бесконечности вдоль одной прямой линии движутся со скоростями  навстречу друг
другу два электрона. На какое минимальное расстояние сблизятся эти электроны?
1.
ke 2
2.
m 2
ke 2
2ke 2
ke 2
3.
4.
m 2
m 2
2m 2
В вакууме из бесконечности вдоль одной прямой линии движутся со скоростями  и 3 навстречу
друг другу два электрона. На какое минимальное расстояние сблизятся эти электроны?
ke 2
ke 2
ke 2
ke 2
1.
2.
3.
4.
m 2
4m 2
5m 2
9m 2
22.
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
3
4
3
2
2
4
1
1
1
2
12
13
14
15
16
17
18
19
21
22
2
2
2
2
2
4
2
3
1
2
20
20
2
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.06. Потенциал. Разность
потенциалов. Напряжение.
Электростатическое поле обладает важным свойством:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не
зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и
величиной заряда.
Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как
гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями.
Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории
равна нулю.
На рисунке изображены силовые линии кулоновского
поля точечного заряда Q и две различные траектории
перемещения пробного заряда q из начальной точки (1)
в конечную точку (2). На траекториях I и II,
изображенных на рисунке, работы кулоновских сил
одинаковы. Если на одной из траекторий изменить
направление
перемещения
заряда
q
на
противоположное, то работа изменит знак. Отсюда
следует, что на замкнутой траектории работа
кулоновских сил равна нулю.
Если
электростатическое
поле
создается
совокупностью точечных зарядов Qi, то при
перемещении пробного заряда q работа A
результирующего поля в соответствии с принципом
суперпозиции будет складываться из работ Ai
кулоновских полей точечных зарядов: A   Ai . Так
как каждый член суммы Ai не зависит от формы
траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только
положением начальной и конечной точек.
Свойство потенциальности (независимости работы от формы траектории) электростатического поля
позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в
пространстве условно выбирается некоторая точка, и потенциальная энергия заряда q, помещенного в эту
точку, принимается равной нулю.
Потенциальная энергия заряда q, помещенного в любую точку (1) пространства, относительно
фиксированной точки (0) равна работе A10, которую совершит электрическое поле при
перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):
Wp1 = A10
(В электростатике энергию принято обозначать буквой W, так как
буквой E обозначают напряженность поля.)
Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины,
зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии
не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная
энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в
точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути
перемещения заряда и от выбора точки (0).
A12 = A10 + A02 = A10 – A20 = Wp1 – Wp2
Потенциальная энергия заряда q, помещенного в электрическое поле, пропорциональна величине этого
заряда.
21
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в
электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:
 = Wp / q
Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля.
Работа A12 по перемещению электрического заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна
произведению заряда на разность потенциалов (φ1 – φ2) начальной и конечной точек:
A12 = Wp1 – Wp2 = qφ1 – qφ2 = q(φ1 – φ2)
Разность потенциалов еще называют напряжением, которое обозначают U, т.е. U = Δφ = φ1 – φ2, тогда
формула выше принимает вид:
A = qU = q∙Δφ
В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала (а значит и разности потенциалов, т.е.
напряжения) является вольт [В].
1 В = 1 Дж / 1 Кл.
Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0), где значения
потенциальной энергии и потенциала обращаются в ноль, удобно принять бесконечно удаленную точку.
В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом: Потенциал поля в
данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении
единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
Вспомнив формулу для потенциальной энергии взаимодействия двух точечных зарядов W  kqQ  r  и
разделив ее на величину одного из зарядов в соответствии с определением потенциала   W q 
получим, что потенциал φ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно
удаленной точки вычисляется следующим образом:
1
Q kQ

 
4 0 r  r
Потенциал рассчитанный по этой формуле может быть положительным и отрицательным в зависимости
от знака заряда создавшего его. Эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара
(или сферы) при r ≥ R (снаружи от шара или сферы), где R – радиус шара.
Для наглядного представления электрического поля наряду с силовыми линиями используют
эквипотенциальные поверхности.
Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения,
называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.
Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На
рисунке представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых
электростатических полей (a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных
заряда. В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему
параллельных плоскостей.
22
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
Если пробный заряд q совершил перемещение l = d вдоль силовой линии однородного электрического
поля из точки (1) в точку (2), то можно записать:
ΔA12 = F∙Δl = qE∙Δl = q(φ1 – φ2) = q∙Δφ
где: Δφ = φ1 – φ2 – изменение потенциала. Отсюда следует:
 U
E

l d
где: U – разность потенциалов (напряжение).
Это соотношение выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Поэтому напряженность
электростатического поля часто выражают в 1 В/м. Соответственно работу поля можно считать, как:
A = qEd = qU
где: U – разность потенциалов, которую прошла заряженная частица.
Работа поля будет положительной, если положительно заряженная частица движется вдоль силовых
линий, отрицательна – если против. Для отрицательного заряда правило обратное. Одним словом, работа
электрического поля положительна тогда, когда происходит «то, что и должно происходить», например,
положительные или отрицательные заряды разлетаются (отталкиваются), или положительный и
отрицательный сближаются (притягиваются). Если же происходит нечто несвойственное естественному
ходу вещей, например, кто-то насильно сближает два положительных заряда, то электрическое поле будет
сопротивляться этому и совершит отрицательную работу.
Возможно Вы до сих пор ничего не поняли в этом параграфе. Тогда просто запомните следующее:
Электрическое напряжение и разность потенциалов это одно и то же, т.е.:
U    1  2
В однородном поле существует связь между напряженностью поля и напряжением:
U  Ed или   E  l
Работа электрического поля в общем случае может быть вычислена по одной из формул:
A  W1  W2
A  qU  q    q 1  2 
В однородном поле при перемещении заряда вдоль его силовых линий также:
A  qEd
Определение потенциала:
W

q
И в соответствии с определением потенциал, который создает точечный заряд или заряженная сфера:
kQ

r
В этих формулах:
o φ – потенциал электрического поля.
o ∆φ – разность потенциалов.
o W – потенциальная энергия заряда во внешнем электрическом поле.
o A – работа электрического поля по перемещению заряда (зарядов).
o q – заряд, который перемещают во внешнем электрическом поле.
o Q – величина электрического точечного заряда (или заряд сферы), который создаёт
электрическое поле (и потенциал).
o U – напряжение.
o E – напряженность электрического поля.
o d или ∆l – расстояние на которое перемещают заряд вдоль силовых линий.
o r – расстояние от точечного заряда создающего электрическое поле (и потенциал), до точки в
которой этот потенциал вычисляется (или измеряется).
o ε – диэлектрическая проницаемость среды; k = 9∙109 м/Ф.
23
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ПОТЕНЦИАЛА: Из принципа суперпозиции напряженностей полей,
создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов (при этом
знак потенциала поля зависит от знака заряда, создавшего поле):
φ = φ1 + φ2 + φ3 + ...
Обратите внимание, насколько легче применять принцип суперпозиции потенциала, чем напряженности.
Потенциал – скалярная величина, не имеющая направления. Складывать потенциалы – это просто
складывать численные значения.
ПРИМЕР. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной 30 см находятся заряды 200 нКл
каждый. Найдите потенциал (в кВ) в двух других вершинах квадрата. k = 9 .109 м/Ф.
Потенциал, создаваемый каждым из зарядов в свободной вершине квадрата, равен 1 = 2 = kq/a, где а –
сторона квадрата. Потенциал поля двух зарядов в этой точке находим по принципу суперпозиции для
потенциала:  = 1 + 2 = 2kq/a = 12 кВ.
ТЕСТ 9.06.01. Суперпозиция потенциала.
1.
Во сколько раз уменьшится значение потенциала поля точечного заряда при увеличении расстояния
до заряда в 4 раза?
1. 2 2. 4 3. 8 4. 16
2.
При переносе точечного заряда из первой среды во вторую потенциал поля на расстоянии 1 м от
заряда изменился со 180 В до 100 В. Во сколько раз относительная диэлектрическая проницаемость
второй среды больше, чем первой?
1. 1,2 2. 1,4 3. 1,6 4. 1,8
3.
Определить потенциал (в кВ) электрического поля точечного заряда 2 мкКл в точке, расположенной
на расстоянии 3 м от заряда.
1. 2 2. 6 3. 8 4. 16
4.
В двух противоположных вершинах квадрата со стороной 30 см находятся заряды 200 нКл каждый.
Найдите потенциал (в кВ) в двух других вершинах квадрата. k=9•109 м/Ф.
1. 2 2. 4 3. 8 4. 12
5.
Металлический шар радиусом 5 см заряжен до потенциала 150 В. Чему равна напряженность поля
в точке, находящейся на расстоянии 5 см от поверхности шара?
1. 150 2. 450 3. 750 4. 1200
6.
В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 0,5 м расположены два одинаковых
положительных заряда по 1 мкКл. Найти потенциал и напряженность электрического поля в третьей
вершине треугольника, а также посредине между зарядами.
1. 72 кВ; 144 кВ; 62 кВ/м; 0 кВ/м
2. 36 кВ; 72 кВ; 62 кВ/м; 0 кВ/м
3. 36 кВ; 72 кВ; 31 кВ/м; 0 кВ/м
4. 72 кВ; 144 кВ; 124 кВ/м; 0 кВ/м
7.
Рассмотрим две точки поля положительного заряда. В первой точке потенциал поля в 3 раза больше,
чем во второй. Во сколько раз модуль напряженности электрического поля в первой точке больше,
чем во второй?
1. 9 2. 16 3. 3 4. 2
24
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
8.
На рисунке показаны эквипотенциальные поверхности отрицательного
заряда: –q. На какой из них потенциал больше?
1. 1 2. 2 3. 3 4. Потенциалы одинаковы.
9.
Электрическое поле в вакууме образовано точечным зарядом 4∙10-9 Кл.
Разность потенциалов (в В) между двумя точками, удаленными от заряда на
6 и 9 см, равна:
1. –100 2. 100 3. -200 4. 200
10.
Металлический шар радиусом 9 см заряжен до потенциала 16 В. Число электронов, находящихся на
поверхности шара, равно:
1. 107 2. 108 3. 109 4. 1010
11.
Два металлических шара радиусами R и 2R заряжены до одинакового потенциала. Что можно
сказать о зарядах на шарах?
q
q
1. q2  2q1 2. q 2  1 3. q1  2q2 4. q1  2
4
4
12.
Электрическое поле образовано неким положительным зарядом,
находящимся в керосине. В точках А и В потенциалы равны  А и  В .
Потенциал точки С, лежащей посередине между точками А и В, равен:
 А В
  
 А В
2 А  В
1.
2. А В
3.
4.
 А  В
 А  В
 А   В 
 А  В
13.
В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 30 см находятся заряды 50 нКл
каждый. Найдите потенциал (в кВ) в третьей вершине. k = 9.109 м/Ф.
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
14.
В вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника находятся точечные заряды 1, 2 и 3 нКл.
Чему равен потенциал в середине гипотенузы, если ее длина 20 см? k = 9.109 м/Ф.
1. 200 2. 300 3. 340 4. 540
15.
В трех вершинах правильного тетраэдра с ребром 30 см находятся точечные заряды 3, 5 и –2 нКл.
Найдите потенциал в четвертой вершине. k = 9.109 м/Ф.
1. 180 2. 200 3. 300 4. 350
16.
В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной 27 см находятся заряды 1 нКл, а в трех
других – заряды 2 нКл. Найдите потенциал в центре шестиугольника. k = 9.109 м/Ф.
1. 200 2. 300 3. 350 4. 370
17.
По тонкому кольцу радиусом 6 см распределен заряд 4 нКл. Найдите потенциал поля кольца в точке,
лежащей на оси кольца на расстоянии 8 см от его центра. k = 9.109 м/Ф.
1. 300 2. 360 3. 400 4. 1410
18.
В центре сферы, несущей равномерно распределенный положительный заряд 10 нКл, находится
маленький шарик с отрицательным зарядом –5 нКл. Найдите потенциал электрического поля в
точке, находящейся вне сферы на расстоянии 9 м от ее центра. k = 9.109 м/Ф.
1. 5 2. 10 3. 15 4. 20
25
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 9.06.02. Связь напряженности и напряжения.
19.
Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии 0,03 м друг от друга и
лежащими на одной силовой линии однородного электрического поля, равна 12 В. Найдите разность
потенциалов между точками, лежащими на той же силовой линии на расстоянии 15 см друг от друга.
1. 30 2. 50 3. 60 4. 65
20.
Напряженность электрического поля в плоском конденсаторе 30 кВ/м. Разность потенциалов между
обкладками 300 В. Каково расстояние (в мм) между обкладками конденсатора?
1. 10 2. 30 3. 99 4. 100
21.
Две параллельные металлические пластины, находящиеся на расстоянии 0,1 м друг от друга в
вакууме, заряжены до разности потенциалов 1 кВ. Какая сила будет действовать на заряд 10–4 Кл,
помещенный между пластинами? Поле между пластинами считать однородным.
1. 1 2. 2 3. 10 4. 15
22.
Между горизонтальными пластинами плоского конденсатора находится в равновесии пылинка
массой 4,8.10–12 кг. Во сколько раз заряд пылинки больше заряда электрона, если напряжение на
конденсаторе 3000 В, а расстояние между пластинами 2 см? Заряд электрона 1,6 .10–19 Кл. g = 10
м/с2.
1. 1000 2. 2000 3. 20000 4. 30000
23.
Между горизонтальными пластинами плоского конденсатора на пластмассовой пружине подвешен
заряженный шарик. Когда конденсатор присоединяют к источнику напряжения с ЭДС 500 В,
пружина растягивается на 1 см. Найдите заряд (в мкКл) шарика, если жесткость пружины 10 Н/м, а
расстояние между пластинами конденсатора 20 см.
1. 20 2. 30 3. 40 4. 80
24.
Отрицательно заряженная пылинка массой 10–9 г находится в равновесии внутри плоского
конденсатора, пластины которого расположены горизонтально. К конденсатору приложена разность
потенциалов 500 В. На сколько вольт надо изменить разность потенциалов между пластинами, чтобы
пылинка осталась в равновесии после того, как с нее стекло 500 электронов? Расстояние между
пластинами 5 мм. Заряд электрона 1,6.10–19 Кл, g = 10 м/с2.
1. 500 2. 1500 3. 2000 4. 2500
25.
Электрон через отверстие в обкладке влетает в поле плоского конденсатора в направлении линий
напряженности и полностью теряет свою скорость, пройдя путь 0,003 м. На каком расстоянии (в мм)
электрон потеряет скорость, если его начальную скорость и разность потенциалов конденсатора
уменьшить в 3 раза?
1. 1 2. 1/3 3. 9 4. 27
26.
Заряженная частица движется против линий напряженности однородного электрического поля.
Начальная скорость частицы 1 Мм/с, ее удельный заряд 1011 Кл/кг. Какое расстояние (в см) пройдет
частица до остановки, если напряженность поля равна 100 В/м?
1. 5 2. 10 3. 50 4. 100
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
2
4
3
2
1
3
4
10
11
12
13
14
15
16
17
18
3
1
4
2
4
1
2
2
1
19
20
21
22
23
24
25
26
3
1
1
2
3
3
1
1
26
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.07. Расчет работы электростатического поля.
Работу электростатического поля следует считать по одной из формул.

Сказано, что перемещается один заряд в однородном поле. Тогда работа поля по перемещению
заряда:
A = qEd = qU,
где: d – расстояние, на которое заряд сместился вдоль силовой линии поля.
Электростатическое поле может остановить заряд, который движется с некоторой скоростью 
вдоль или против линий поля, то есть оно может забрать у него кинетическую энергию:
m 2
 qEd ,
2
где: d – расстояние, пройденное зарядом до остановки. Если известно, какую разность потенциалов
прошел заряд, то
m 2
 qU .
2
Поле может не только останавливать, но и просто изменять его кинетическую энергию. При этом
применяется теорема о кинетической энергии
m22 m12

 qEd .
2
2

Перемещается один заряд в неоднородном поле. Тогда работа поля
A  q .

Перемещаются несколько зарядов. Применяем закон сохранения энергии
A  W1  W2  W ,
где: W – энергия системы зарядов.

Наконец, если в задаче говорится, что «работу надо совершить», или идет речь о «работе
внешних сил», то эту работу следует считать так же, как и работу поля, но с противоположным
знаком.
ПРИМЕР. Частица массой 10 мг, несущая заряд 2 нКл, движется издалека в сторону тяжелого
однородно заряженного шара радиусам 10 см. Какую минимальную скорость должна иметь частица на
большом расстоянии от шара, чтобы долететь до его поверхности, если заряд шара равен 1 мкКл?
Если частица остановится у самой поверхности шара, то изменение ее кинетической энергии будет равно:
W  0  m02 / 2.
Работа электрического поля над частицей с зарядом q при перемещении ее из бесконечности к
поверхности шара равна:
kQ 

A  q 1  2   q  0 
.
R 

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии, откуда получаем:
2kqQ
0 
 6 м/с.
mR
27
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 9.07.
1.
Точечный заряд 10 мкКл закреплен в начале прямоугольной системы координат (X, Y). Определить
работу по переносу точечного заряда 1мкКл из точки с координатами (2 м, 0) в точку с
координатами (0, 2 м).
1. 0 2. 3 3. 4 4. Зависит от траектории.
2.
Точечный заряд q создает электрическое поле, в котором перемещается точечный заряд q1 из точки
А в точки В, С, D, Е. Работа поля при перемещении заряда:
1. максимальна по траектории АЕ.
2. минимальна по траектории АВ.
3. одинакова по всем траекториям АВ, АС, AD и АЕ.
4. одинакова по всем траекториям АВ, AC, AD и АЕ и равна нулю.
3.
Работа по переносу заряда 130 нКл из бесконечности в некоторую точку электрического поля равна
65 мкДж. Найдите потенциал этой точки. Потенциал в бесконечности принять равным нулю.
1. 200 2. 300 3. 400 4. 500
4.
Какую работу (в мДж) надо совершить, чтобы переместить заряд 70 мкКл в однородном поле с
напряженностью 10 кВ/м на расстояние 0,5 м, если перемещение происходит под углом 600 к
силовым линиям поля? В ответе указать модуль работы.
1. 125 2. 150 3. 175 4. 200
5.
На анод двухэлектродной лампы подан потенциал 150 В, а катод лампы заземлен. Какую работу
совершают силы электрического поля при прохождении через лампу электрического заряда,
равного 0,03 Кл?
1. 2 2. 3 3. 4,5 4. 5
6.
Работа электрического поля (в Дж) при перемещении заряда -3 Кл из точки поля с потенциалом 15
В в точку поля с потенциалом 30 В равна:
1. -45 2. -90 3. 45 4. 90
7.
Силовые линии однородного электрического поля напряженностью 300 В/м направлены вдоль оси
X прямоугольной системы координат (X, Y). Определить работу по переносу заряда 1 мкКл из точки
с координатами (2 м, 1 м) в точку с координатами (2 м, 4 м).
1. 0 2. 1 3. 2 4. 3
8.
Какую работу в микроджоулях совершает однородное электрическое поле напряженностью 200 В/м
при перемещении заряда значением 3 мкКл на 4 см в направлении, составляющем угол 120° с
направлением силовых линий?
1. -12 2. -6 3. 6 4. 12
9.
Заряженная частица движется против линий напряженности однородного электрического поля.
Начальная скорость частицы 1 Мм/с, ее удельный заряд 1011 Кл/кг. Какое расстояние (в см) пройдет
частица до остановки, если напряженность поля 100 В/м?
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
28
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
10.
Работа электрического поля при перемещении отрицательно заряженной частицы по направлению
к закрепленной частице, заряженной положительно, равна 9 Дж. При этом частица переместилась
на половину первоначального расстояния до закрепленной частицы. Какая работа совершена
электрическим полем на первой половине этого пути?
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
11.
Два точечных заряда 3,2 мкКл и 8 мкКл находятся в вакууме на расстоянии 72 см. Какую работу
надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния 32 см?
1. 0,2 2. 0,4 3. -0,2 4. -0,4
12.
Три точечных заряда +q, +2q и -q находятся в вершинах правильного треугольника со стороной а.
Какую работу нужно совершить, чтобы удалить заряд -q на большое расстояние?
q2
3q 2
3q 2
q2
1. 
2. 
3.
4.
4 0 a
4 0 a
4 0 a
4 0 a
13.
Четыре положительных точечных заряда по 1 мкКл каждый находятся в вакууме на достаточно
большом расстояний друг от друга. Какую минимальную работу в миллиджоулях необходимо
совершить, чтобы расположить эти заряды в вершинах квадрата со стороной 9 см?
1. 200 2. 337 3. 494 4. 541
14.
Какая работа совершается при переносе заряда 8 мкКл из точки поля с потенциалом 20 В в другую
точку с потенциалом 12 В? В ответе укажите абсолютную величину работы в мкДж.
1. 64 2. 96 3. 160 4.256
15.
При переносе точечного заряда 10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 20
см от поверхности равномерно заряженного шара, необходимо совершить работу 0,5 мкДж. Радиус
шара 4 см. Найдите потенциал на поверхности шара.
1. 150 2. 200 3. 300 4. 350
16.
Работа электрического поля при перемещении отрицательно заряженной частицы по направлению
к закрепленной частице, заряженной положительно, равна 9 Дж. При этом частица переместилась
на половину первоначального расстояния до закрепленной частицы. Какая работа совершена
электрическим полем на первой половине этого пути?
1. 1 2. 3 3. 6 4. 8
17.
Скорость заряженной частицы массой 2 г в начальной точке движения равна 0,02 м/с, а в конечной
0,1 м/с. Найдите разность потенциалов между этими точками, если заряд частицы равен 30 нКл.
1. 160 2. 200 3. 320 4. 360
18.
Возле поверхности шара радиусом 6 см, равномерно заряженного зарядом 4 нКл, находится частица
массой 30 мг с зарядом 2 нКл. Частицу освобождают. Найдите скорость (в см/с) частицы в тот момент,
когда она удалится от поверхности шара на расстояние, равное его радиусу. k = 9.109 м/Ф.
1. 10 2. 15 3. 20 4. 30
19.
В трех вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника закреплены одинаковые точечные заряды
по 20 нКл каждый. Посередине гипотенузы помещают заряженную частицу массой 3 мг и зарядом 40 нКл и
отпускают. Какую скорость приобретет частица на большом расстоянии от зарядов? Гипотенуза треугольника
5 см. k = 9.109 м/Ф.
1. 12 2. 20 3. 24 4. 30
29
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
20.
В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 12 см закреплены точечные заряды по
6 нКл каждый, а в третьей вершине находится частица массой 6 мг, несущая заряд –30 нКл. Частицу
отпускают, и она приходит в движение. Чему равна скорость частицы в тот момент, когда она
находится точно между зарядами? k = 9.109 м/Ф.
1. 3 2. 6 3. 9 4. 12
21.
По тонкому кольцу радиусом 4 см равномерно распределен заряд 50 нКл. На оси кольца на расстоянии 3 см
от его центра помещают частицу с зарядом –18 нКл и массой 1 мг и отпускают. Найдите скорость
частицы в тот момент, когда она будет пролетать через центр кольца. k = 9.109 м/Ф.
1. 3 2. 6 3. 9 4. 12
22.
Шарик массой 10 г, имеющий заряд 100 мкКл, подвешен на нити длиной 50 см. Он находится в
однородном электрическом поле с напряженностью 100 В/м, силовые линии которого горизонтальны
и направлены слева направо. Шарик отвели влево так, что он оказался на 30 см ниже точки подвеса
нити, и отпустили. Найдите силу натяжения (в мН) нити в тот момент, когда она проходит
вертикальное положение, g = 10 м/с2.
1. 19 2. 196 3. 300 4. 320
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
3
4
3
3
3
1
1
4
2
2
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
3
4
1
3
2
3
3
3
1
3
2
30
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.08. Электрическая емкость. Плоский конденсатор.
При сообщении проводнику заряда всегда существует некоторый предел, более которого зарядить тело
не удастся. Для характеристики способности тела накапливать электрический заряд вводят понятие
электрической емкости.
Емкостью уединенного проводника называют отношение его заряда к потенциалу.
q
C .

В системе СИ емкость измеряется в Фарадах (Ф). 1 Фарад – чрезвычайно большая емкость. Для
сравнения, емкость всего земного шара значительно меньше одного фарада.
Емкость проводника не зависит ни от его заряда, ни от потенциала тела (самая типичная ошибка!!!)
Аналогично плотность не зависит ни от массы, ни от объема тела. Емкость зависит лишь от формы тела,
его размеров и свойств окружающей его среды.
ПРИМЕР. Вычислить емкость уединенного шара радиусом R и рассчитать на основе полученной
формулы емкость Земли.
Применим формулы для емкости проводника и для потенциала шара:
q
C ,


Путем несложных подстановок получаем:
C
kq
.
R
R
.
k
Подставляя данные для Земли (   1 , так как Земля находится в вакууме), получаем:
6, 4 106 м
C
 0, 71 мФ .
9 109 м
Ф
Если двум изолированным друг от друга проводникам сообщить заряды q1 и q2, то между ними возникает
некоторая разность потенциалов Δφ, зависящая от величин зарядов и геометрии проводников. Разность
потенциалов Δφ между двумя точками в электрическом поле часто называют напряжением и обозначают
буквой U. Наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников
одинаковы по модулю и противоположны по знаку: q1 = – q2 = q. В этом случае можно ввести понятие
электрической емкости системы проводников.
Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая
как отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов Δφ между ними:
q
q
C
 .
 U
Величина электроемкости проводников зависит от
формы и размеров проводников и от свойств
диэлектрика, разделяющего проводники. Существуют
такие конфигурации проводников, при которых
электрическое поле оказывается сосредоточенным
(локализованным) лишь в некоторой области
пространства. Такие системы называются конденсаторами, а
проводники, составляющие конденсатор, называются обкладками.
Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих
пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по
сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем
диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое
31
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами (см. рисунок).
Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи поверхности электрическое поле,
модуль напряженности которого выражается соотношением:

E1 
,
2 0
где  = q / S – поверхностная плотность зарядов (заряд, приходящийся на единицу поверхности, q – заряд,
а S – площадь каждой пластины). Согласно принципу суперпозиции, напряженность E поля,
создаваемого обеими пластинами, равна сумме напряженностей E  и E  полей каждой из пластин:
E  E  E.
Внутри конденсатора вектора E  и E  сонаправлены; поэтому модуль напряженности суммарного поля
равен:

E  2 E1 
.
 0
Вне пластин вектора E  и E  направлены в разные стороны, и поэтому E = 0. Учитывая, что
поверхностная плотность σ заряда пластин равна q / S и разность потенциалов Δφ между пластинами в
однородном электрическом поле равна Ed, где d – расстояние между пластинами из этих соотношений
можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора:
q   S  0 S
C


.
 E  d
d
Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин
(обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками
заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в  раз.
Основные характеристики плоского конденсатора.
Перечислим основные величины, которые Вам придется рассчитывать.
1.
Емкость конденсатора. Обратите внимание, что S в этой формуле есть площадь только одной
обкладки конденсатора. Когда в задаче говорят о «площади обкладок», то имеют в виду именно эту
величину. На 2 умножать не надо никогда!
 S
q
C
 0 .

d
2.
Заряд конденсатора. Под зарядом конденсатора понимают только заряд его положительной
обкладки.
q  CU .
3.
Напряженность поля внутри конденсатора.
U

.
E 
d  0
4.
Сила притяжения пластин конденсатора. Сила,
действующая на каждую обкладку, определяется не
полным полем конденсатора, а полем, созданным
противоположной обкладкой (сама на себя обкладка не
действует). Напряженность этого поля равна половине
напряженности полного поля: Е1 = E/2, и сила
взаимодействия пластин:
qE
.
F
2
5.
Энергия конденсатора. Ее же называют энергией электрического поля внутри конденсатора. Опыт
показывает, что заряженный конденсатор содержит запас энергии. Энергия заряженного
конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить
конденсатор.
32
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
qU q 2

.
2
2C
Формулу, выражающую энергию заряженного конденсатора, можно переписать в другой эквивалентной
форме, если воспользоваться соотношением q = CU.
q 2 CU 2 qU
WC 


.
2C
2
2
WC  A 
Особое внимание обращайте на фразу: «Конденсатор подключён к источнику». Это означает, что
напряжение на конденсаторе не изменяется, т.е.:
q1 q 2

,
U1  U 2 
С1 С 2
где: 1 и 2 – состояния конденсатора. Фраза «Конденсатор зарядили и отключили от источника»
означает, что заряд конденсатора не изменится, т.е.:
q1  q 2  С1  U1  С 2  U 2
ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что напряженность поля в воздушном конденсаторе с изолированными
обкладками не зависит от расстояния между ними, а выражается через поверхностную плотность заряда на
пластинах:
U q/C
q

E 

 .
d
d
0S 0
Напряженность поля одной пластины, равная напряженности поля бесконечной равномерно заряженной
плоскости, имеет вид:

E
.
2 0
Сила взаимодействия между обкладками:
q2
F
2 0 S
также не зависит от расстояния между ними (при неизменных зарядах).
ТЕСТ. 9.08.
1.
Чему равна емкость (в мкФ) конденсатора, если при увеличении его заряда на 30 мкКл разность
потенциалов между пластинами увеличивается на 10 В?
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
2.
Во сколько раз увеличится емкость плоского конденсатора, если площадь пластин увеличить в 8 раз,
а расстояние между ними уменьшить в 2 раза?
1. 2 2. 4 3. 8 4. 16
3.
Конденсатор образован двумя квадратными пластинами, отстоящими друг от друга в вакууме на
расстояние 0,88 мм. Чему должна быть равна сторона (в см) квадрата, чтобы емкость конденсатора
составляла 1 пФ? 0 = 8,8.10–12 Ф/м.
1. 1 2. 5 3. 10 4. 15
4.
Емкость плоского конденсатора равна 6 мкФ. Чему будет равна его емкость (в мкФ), если
расстояние между пластинами увеличить в 2 раза, а затем пространство между пластинами
заполнить диэлектриком с  = 5?
1. 5 2. 12 3. 15 4. 20
5.
Плоский воздушный конденсатор емкостью 1 мкФ соединили с источником напряжения, в
результате чего он приобрел заряд 10 мкКл. Расстояние между пластинами конденсатора 5 мм.
Определите напряженность поля (в кВ/м) внутри конденсатора.
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
33
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
6.
Расстояние между пластинами заряженного плоского конденсатора уменьшили в, 2 раза. Во сколько раз
увеличится при этом напряженность поля конденсатора, если он все время остается присоединенным
к источнику постоянного напряжения?
1. 2 2. 4 3. 6 4. 8
7.
Плоский воздушный конденсатор присоединен к источнику напряжения 200 В. На сколько уменьшится
напряженность (в кВ/м) электрического поля в конденсаторе, если расстояние между пластинами
увеличить от 1 см до 2 см?
1. 5 2. 10 3. 20 4. 40
8.
Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 см. Пластины заряжены до разности
потенциалов 100 В. Чему будет равна разность потенциалов между пластинами, если, не изменяя заряда,
расстояние между ними увеличить до 8 см?
1. 25 2. 200 3. 400 4. 800
9.
Между обкладками изолированного плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов
400 В, находится пластина с диэлектрической проницаемостью 5, примыкающая вплотную к
обкладкам. Какова будет разность потенциалов между обкладками конденсатора после удаления
диэлектрика?
1. 400 2. 1000 3. 2000 4. 3000
10.
На точечный заряд, находящийся внутри плоского конденсатора емкостью 100 мкФ, действует
некоторая сила. Напряжение на конденсаторе 20 кВ. Во сколько раз увеличится сила, действующая
на заряд, если конденсатор в течение двух минут подзаряжать током 0,1 А?
1. 2 2. 3 3. 7 4. 9
11.
С каким ускорением поднимается вертикально вверх пылинка массой 10–7 г, несущая заряд
1,77 пКл, в плоском конденсаторе с поверхностной плотностью заряда на обкладках 6 нКл/м 2?
0 = 8,85.10–12 Ф/м, g = 10 м/с2.
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
12.
Внутри конденсатора, расстояние между обкладками которого 1 мм, находится пластина из
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 3 и толщиной также 1 мм. С какой силой (в мН) давят
обкладки на пластину, если заряд конденсатора 2 мкКл, а напряжение на конденсаторе 200 В?
1. 60 2. 600 3. 700 4. 1000
13.
Внутрь плоского конденсатора, подключенного к источнику постоянного напряжения, вводят пластину
из диэлектрика, целиком заполняющую пространство между обкладками. Во сколько раз возрастет при
этом сила притяжения между обкладками, если диэлектрическая проницаемость диэлектрика
равна 4?
1. 4 2. 8 3. 16 4. 32
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
3
2
1
2
3
3
3
1
2*
3
* Обкладки конденсатора находятся снаружи по отношению к диэлектрику внутри которого
электрическое поле ослаблено в ε раз. Поэтому:
qEСнаружи
F
2
E
U
U
EВнутри  Снаружи 
 EСнаружи 

d
d
qU
F
 0, 6 Н  600 мН
2d
34
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.09. Соединения конденсаторов.
Параллельное соединение – для увеличения ёмкости. Конденсаторы соединены одноимённо
заряженными обкладками, как бы увеличивая площадь одинаково заряженных пластин. Напряжение на
конденсаторах одинаковое.
q  q1  q 2 q3  ...  qn
U  U1  U 2  ...  U n
C  C1  C2  ...  Cn
Можно даже продемонстрировать краткий вывод последней формулы:
q  q  ...  qn q1 q2
q
C 1 2
   ...  n  C1  C2  ...  Cn
U
U U
U
При последовательном соединении общая ёмкость батареи конденсаторов всегда меньше, чем ёмкость
наименьшего конденсатора, входящего в батарею. Применяется последовательное соединение для
увеличения напряжения пробоя конденсаторов.
1 1
1
1
 
 ... 
C C1 C2
Cn
Из закона сохранения заряда следует, что заряды на соседних обкладках равны:
q1  q2  q3  ...  qn
Напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах.
U  U1  U 2  ...  U n
Теперь становится понятно откуда взялась такая странная формула для общей емксти последовательно
соединенных зарядов:
U
q
q
1 U1  U 2  ...  U n U1 U 2
1 1
1
C 


 
 ... n    ... 
U U1  U 2  ...  U n
C
q
q
q
q C1 C2
Cn
Для двух последовательно соединённых конденсаторов полученная формула даст нам следующее
выражение для общей емкости:
CС
С 1 2 .
C1  C2
Для N одинаковых последовательно соединённых конденсаторов:
C
C 1.
N
35
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 9.09.
1.
Какой должна быть емкость (в пФ) конденсатора, который надо соединить последовательно с
конденсатором емкостью 800 пФ, чтобы получить батарею конденсаторов емкостью 160 пФ?
1) 100.
2) 200.
3) 300.
4) 400.
2.
Воздушный плоский конденсатор емкостью 5 мкФ заполняют жидким диэлектриком с
диэлектрической проницаемостью 6. Конденсатор какой емкости (в мкФ) надо соединить
последовательно с данным, чтобы такая батарея вновь имела емкость 5 мкФ?
1) 2.
2) 3.
3) 4.
4) 6.
3.
Два конденсатора емкостями 2 и 3 мкФ соединены последовательно, а к внешним их концам
параллельно подсоединен третий конденсатор емкостью 0,8 мкФ. Какова емкость (в мкФ) всей
системы конденсаторов?
1) 1.
2) 2.
3) 4.
4) 6.
4.
Конденсаторы емкостями 10 и 1,5 мкФ соединены параллельно. Суммарный заряд конденсаторов
2,3 мкКл. Определите заряд (в мкКл) конденсатора большей емкости.
1) 1.
2) 2.
3) 4.
4) 6.
5.
Два конденсатора, рассчитанные на максимальное напряжение 300 В каждый, но имеющие
различные емкости 500 и 300 пФ, соединены последовательно. Какое наибольшее напряжение
можно приложить к такому составному конденсатору?
1) 200.
2) 340.
3) 480.
4) 600.
6.
Два конденсатора, емкости которых 2 и 4 мкФ, соединены последовательно и подключены к
источнику напряжения с ЭДС 75 В. Найдите разность потенциалов на конденсаторе большей
емкости.
1) 5.
2) 25.
3) 40.
4) 120.
7.
На батарею конденсаторов С1=1 мкФ, С2=2С1, С3=3С1, подали напряжение
U=100 В. Заряд на конденсаторе С3 и отношение зарядов на конденсаторах
С1, С2 и С3 равны:
1) q3=10-4 Кл; q1:q2:q3 = 3:2:1.
2) q3=3•10-4 Кл; q1:q2:q3 = 1:2:3.
3) q3=3•10-4 Кл; q1:q2:q3 = 1:1:1.
4) q3=10-4 Кл; q1:q2:q3 = 1:2:3.
8.
Три плоских конденсатора с одинаковой емкостью соединили,
как показано на рисунке. Батарею зарядили до напряжения 900
В и отключили от источника тока. Чему будет равно напряжение
между точками А и В, если расстояние между пластинами
конденсаторов С2 и С3 увеличить вдвое и пространство между
обкладками заполнить диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью   4 ?
1) 100 В. 2) 500 В. 3) 600 В. 4) 900 В.
ОТВЕТЫ:
1
2
2
3
4
5
6
7
8
4
2
2
3
2
2
2
36
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.10. Энергия конденсатора.
Рассчитать энергию конденсатора можно исходя из графика зависимости напряжения между обкладками
конденсатора от заряда на обкладке. Это прямо пропорциональная зависимость: q  CU .
Площадь треугольника равна работе по зарядке конденсатора, а, значит, и запасённой им энергии.
qU q 2 CU 2
W


2
2C
2
Энергия электрического поля.
Электрическую энергию WС следует рассматривать как потенциальную энергию, запасенную в
заряженном конденсаторе. Формулы для WС аналогичны формулам для потенциальной энергии Ep
деформированной пружины. По современным представлениям, электрическая энергия конденсатора
локализована в пространстве между обкладками конденсатора, то есть в электрическом поле. Поэтому ее
называют энергией электрического поля. Энергия заряженных тел сосредоточена в пространстве, в
котором есть электрическое поле, т.е. можно говорить об энергии электрического поля. Например, у
конденсатора энергия сосредоточена в пространстве между его обкладками.
В случае однородного электрического поля с напряженностью Е (например, в плоском конденсаторе):
CU 2  0 S 2 2  0 SdE 2  0VE 2
W

E d 

2
2d
2
2
Тогда объёмная плотность энергии:
 0 E 2
W
 
- энергия единицы объёма электрического поля.

2
V
ПРИМЕР. Конденсатор емкостью 8 мкФ подключен к источнику тока напряжением 100 В. Вычислить
работу, совершаемую при вдвигании в конденсатор пластины с относительной диэлектрической
проницаемостью, равной 4. Пластина заполняет весь объем конденсатора.
Как всегда, работу найдём, как разность энергий в состояниях 1 и 2. Учтём, что конденсатор подключен,
т.е. напряжение на конденсаторе не изменяется.
C2U 2 C1U 2
A

,
2
2
где: С1 = 8 мкФ, С2 = 32 мкФ.
ОТВЕТ: 0,12 Дж.
ТЕСТ 9.10.
1.
Во сколько раз увеличится энергия электрического поля в конденсаторе, если заряд на пластинах
конденсатора увеличить в 2 раза?
1) 1.
2) 2.
3) 4.
4) 16.
2.
Расстояние между пластинами заряженного и отключенного от источника напряжения плоского
воздушного конденсатора увеличивается в 2 раза. Во сколько раз возрастает при этом энергия
электростатического поля в конденсаторе?
1) 1.
2) 2.
3) 4.
4) 8.
37
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
3.
Как изменится энергия заряженного и отключенного от источника тока плоского конденсатора, если
из него убрать пластинку с диэлектрической проницаемостью  , полностью заполняющую
конденсатор?
1) увеличится в  раз.
2) станет равной нулю.
3) уменьшится в  раз.
4) не изменится.
4.
Определить энергию конденсатора емкостью 3 мкФ, заряженного до разности потенциалов 3000 В.
1) 4,5.
2) 9,0.
3) 13,5.
4) 27.
5.
Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 0,01 Кл. Обкладки конденсатора соединили
проводником. Найдите количество теплоты, выделившееся в проводнике при разрядке
конденсатора.
1) 25.
2) 50.
3) 100.
4) 200.
6.
Пластины плоского конденсатора площадью S расположены на расстоянии d друг от друга.
Пространство внутри конденсатора заполнено средой с диэлектрической проницаемостью  . Заряд
на пластинах конденсатора равен q. Объемная плотность энергии электрического поля конденсатора
равна:
q2
q2
q2
q2
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
2 0 Sd
2 0 S 2
2 0 S 2 d
4 0 S 2
7.
Напряженность электрического поля плоского воздушного конденсатора емкостью 4 мкФ равна
1000 В/м. Расстояние между обкладками конденсатора 1 мм. Определите энергию (в мкДж)
электрического поля конденсатора.
1) 1.
2) 2.
3) 4.
4) 8.
8.
При разрядке батареи, состоящей из 20 параллельно включенных конденсаторов одинаковыми
емкостями 4 мкФ, выделилось количество теплоты 10 Дж. До какой разности потенциалов были
заряжены конденсаторы?
1) 50.
2) 100.
3) 200.
4) 500.
9.
Конденсаторы 2 мкФ и 0,8 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику
напряжения. Определить отношение энергии первого конденсатора к энергии второго
конденсатора.
1) 0,4.
2) 1.
3) 2.
4) 4.
10.
Расстояние между обкладками плоского воздушного конденсатора 0,3 см. Во сколько раз
увеличится энергия электрического поля конденсатора, если обкладки конденсатора раздвинуть до
расстояния 1,2 см? Конденсатор после сообщения ему электрического заряда был отключен от
источника напряжения.
1) 1.
2) 2.
3) 4.
4) 8.
11.
Конденсатор емкостью 14 мкФ, заряженный до напряжения 3 кВ, разрядили через сопротивление,
погруженное в сосуд с водой. На сколько увеличится температура (в мК) воды, если ее масса 100 г?
Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг•К), теплоемкостями сопротивления и сосуда пренебречь.
1) 150.
2) 250.
3) 400.
4) 500.
12.
Конденсатор емкостью 8 мкФ подключен к источнику тока напряжением 100 В. Вычислить работу,
совершаемую при вдвигании в конденсатор пластины с относительной диэлектрической
проницаемостью, равной 4. Пластина заполняет весь объем конденсатора.
1) 0,06.
2) 0,08
3) 0,12.
4) 0,16.
ОТВЕТЫ:
1
2
3
2
3
1
4
3
5
1
6
2
7
2
38
8
4
9
1
10
3
11
1
12
3
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.11.П. Сложные задачи по электростатике.
Если система из трёх и большего количества зарядов находится в равновесии, то задачу решают,
расписывая силы на заряд, который НЕ находится в центре симметрии.
ПРИМЕР. Небольшой заряженный шарик, подвешенный на непроводящей
нити, вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 3 рад/с,
причем в центре описываемой им окружности расположен точно такой же
заряд, что имеет шарик. Если вращающийся шарик зарядить зарядом
противоположного знака (но такой же абсолютной величины), то при том же
радиусе вращения угловая скорость станет 4 рад/с. Найдите расстояние (в см)
от точки подвеса шарика до плоскости его вращения.
Т.к. радиус вращения одинаков в обоих случаях, то угол отклонения нити от
вертикали также не изменяется. Поэтому сила натяжения нити в обоих случаях
равна:
mg
T
cos 
Запишем второй закон Ньютона для обоих случаев вращения в проекциях на
горизонтальную ось. Составим систему уравнений и решим её.
ОТВЕТ: 80 см.
Пусть заряд q влетает в однородное электрическое поле, например созданное
пластинами конденсатора. Тогда на заряд в каждой точке траектории действует


постоянная по величине и направлению электростатическая сила F  E q , где Е –
напряжённость электрического поля. Например, в конденсаторе вектор напряжённости
направлен от положительной пластины к отрицательной.
Вектор силы, с которой поле действует на заряд, и вектор напряжённости
совпадают по направлению, если заряд положительный. Если заряд
отрицательный, то вектора силы и напряжённости противоположно направлены.
Движение заряда аналогично движению тела под углом к горизонту в поле силы
тяжести Земли, где на тело также действует постоянная по величине и
направлению сила тяжести. При решении задач надо заменить силу тяжести на
силу F  q  E , действующую со стороны поля на заряд.
Очевидно, что траектория движения заряда также представляет
собой параболу. Начертим траекторию заряда аналогично
траектории полёта тела под действием силы тяжести.
Не пытайтесь в задаче сразу искать неизвестную величину. Сначала
составьте систему уравнений:
 Оу: ma  qE , где m – масса заряда, а – его ускорение.
 Ох: vx  v0 c o s – не изменяющиеся во время движения
проекция скорости заряда в направлении перпендикулярном
линиям напряжённости поля;
 Ох: lx  v0t cos  – смещение заряда в направлении перпендикулярном линиям напряжённости
поля;
 Оу: vy  v0 sin  at - проекция скорости заряда в направлении совпадающем с направлениями
линий напряжённости поля – во время движения эта проекция скорости уменьшается при
движении заряда в направлении противоположном направлению электростатической силы и
увеличивается при движении заряда в направлении совпадающем с направлением
электростатической силы.
39
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________


at 2
– смещение вдоль линий поля;
2
v 2  vx2  v y2 – скорость тела в произвольной точке траектории.
Оу: l y  v0t sin  

Если заряд влетает в поле параллельно пластинам (перпендикулярно силовым линиям), то
примите:   0 .
U
Вам может понадобиться формула E  , связывающая напряжённость поля E, напряжение между
d
пластинами конденсатора U и расстояние между пластинами конденсатора d. Ещё могут понадобиться
формулы: q  CU , где q – заряд одной из обкладок конденсатора, U – напряжение между ними, C –
 S
ёмкость конденсатора и С  0 , где S – площадь обкладки, d – расстояние между ними, 0 –
d
электрическая постоянная, - диэлектрическая проницаемость диэлектрика.
ТЕСТ 9.11.
1.
В центре квадрата, в вершинах которого находятся заряды по 4 мкКл каждый, помещен некоторый
отрицательный заряд. Определить в микрокулонах модуль этого заряда, если вся система находится
в равновесии.
1) 3,82.
2) 5,21.
3) 7,87.
4) 9,54.
2.
Небольшой заряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, вращается в горизонтальной
плоскости с угловой скоростью 3 рад/с, причем в центре описываемой им окружности расположен
точно такой же заряд, что имеет шарик. Если вращающийся шарик зарядить зарядом
противоположного знака (но такой же абсолютной величины), то при том же радиусе вращения
угловая скорость станет 4 рад/с. Найдите расстояние (в см) от точки подвеса шарика до плоскости
его вращения. g=10 м/с2.
1) 10.
2) 40.
3) 60.
4) 80.
3.
Два одинаковых маленьких проводящих шарика подвешены на длинных непроводящих нитях к
одному крючку. Шарики заряжены одинаковыми зарядами и находятся на расстоянии 5 см друг от
друга. Один из шариков разрядили. Каким стало расстояние между шариками (в см)?
5
5
1)
.
2) 5 2 .
3) 3 .
4) 53 4 .
2
4
4.
Несколько одинаково заряженных шариков одного размера и массы подвешены на нитях
одинаковой длины, закрепленных в одной точке. Опуская шарики в жидкий диэлектрик, заметили,
что угол отклонения нитей от вертикали в воздухе и в диэлектрике остается одним и тем же.
Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если его плотность в 1,25 раза меньше плотности материала шариков.
1) 1,25.
2) 2,50.
3) 5.
4) 10.
5.
Пылинка массой 10-3 г падает в воздухе с постоянной скоростью 0,2 м/с. С какой установившейся
скоростью (в см/с) будет подниматься пылинка, если ее поместить в электрическое поле с
напряженностью 10 кВ/м и сообщить ей заряд 1,2 нКл? Сила сопротивления воздуха прямо
пропорциональна скорости. g=10 м/с2.
1) 1.
2) 2.
3) 3.
4) 4.
40
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
6.
Шарик массой 10 г, имеющий заряд 100 мкКл, подвешен на нити длиной 50 см. Он находится в
однородном электрическом поле с напряженностью 100 В/м, силовые линии которого
горизонтальны и направлены слева направо. Шарик отвели влево так, что он оказался на 30 см ниже
точки подвеса нити, и отпустили. Найдите силу натяжения (в мН) нити в тот момент, когда она
проходит вертикальное положение. g=10 м/с2.
1) 121.
2) 144.
3) 196.
4) 225.
7.
Заряженная частица массой 1 г с зарядом 1 нКл влетает в однородное электрическое поле с
напряженностью 20 В/м перпендикулярно линиям напряженности поля. Найдите отклонение (в
мкм) частицы от первоначального направления через 2 с после попадания в поле. Силу тяжести не
учитывать.
1) 10.
2) 20.
3) 30.
4) 40.
8.
Электрон, пролетая между обкладками конденсатора, длина которых 30 см, отклоняется на 1,8 мм
от первоначального направления, параллельного обкладкам конденсатора. Определите начальную
скорость (в Мм/с) электрона, если напряженность электрического поля между обкладками
конденсатора 200 В/м. Отношение заряда электрона к его массе 1,8•1011 Кл/кг.
1) 10.
2) 20.
3) 30.
4) 40.
9.
Электроны, получившие свою скорость в результате прохождения разности потенциалов 5 кВ,
влетают посередине между пластинами плоского конденсатора (параллельно пластинам). Какое
наименьшее напряжение должно быть приложено к конденсатору, чтобы электроны не вылетали из
него? Длина конденсатора 5 см, расстояние между пластинами 1 см.
1) 100.
2) 200.
3) 300.
4) 400.
10.
Электрон влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора под углом 30° к
пластинам. Во сколько раз возрастет его кинетическая энергия за время движения в конденсаторе,
если электрон вылетает из конденсатора под углом 45° к пластинам?
1) 0,5.
2) 1,0.
3) 1,5.
4) 2,0.
11.
Пылинка массой 3•10-3 г и зарядом 10-8 Кл находится в однородном электрическом поле и движется
горизонтально с ускорением 4,6 м/с2. Чему равна напряженность электрического поля?
1) 3300 В/м. 2) 2500 В/м. 3) 1700 В/м. 4) 800 В/м.
ОТВЕТЫ:
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4
3
3
4
3
4
3
4
3
1
41
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.12. Проводящая сфера и кольцо.
Напряженность поля внутри заряженного проводника равна нулю. В противном
случае на свободные заряды внутри проводника действовала бы электрическая сила,
которая вынуждала бы эти заряды двигаться внутри проводника. Это движение, в
свою очередь, приводило бы к разогреванию заряженного проводника, чего на самом
деле не происходит.
Факт того, что внутри проводника нет электрического поля можно понять и подругому: если бы оно было то заряженные частицы опять таки двигались бы, причем
они бы двигались именно так, чтобы свести это поле к нолю своим собственным полем, т.к. вообще-то
двигаться им не хотелось бы, ведь всякая система стремится к равновесию. Рано или поздно все
двигавшиеся заряды остановились бы именно в том месте, чтобы поле внутри проводника стало равно
нолю.
На поверхности проводника напряжённость электрического поля максимальна. Величина напряжённости
убывает по мере удаления от проводника. В случае заряженного шара радиусом R0 напряжённость на
поверхности шара равна:
kq
E 2
R0
А за пределами шара:
kq
E
 R2
где: R – расстояние от центра шара до данной точки поля.
Т.к. напряженность поля внутри заряженного проводника равна нулю, то потенциал во всех точках
внутри и на поверхности проводника одинаков (только в этом случае разность потенциалов, а значит и
напряжённость равна нулю).
В случае заряженного шара радиусом R0 учтём, что потенциал во всех точках внутри и на поверхности
шара одинаков и равен:
kq
 .
R0
Тогда получается, что разность потенциалов между двумя любыми точками шара равна нулю. За
пределами шара:
kq

R
где: R – расстояние от центра шара до данной точки поля.
Ёмкость и энергия заряженного проводника.
Ёмкость проводника характеризует его способность накапливать электрический заряд.
q
С

где: φ - потенциал проводника, q – заряд. В случае шара радиуса R:
kq q
R
 С   4 0 R


R С
k
Если шар окружен диэлектриком, то:
С  4 0 R
Энергия заряженного проводника:
q q 2 C 2
W


2 2C
2
42
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ПРИМЕР «Слияние капель». Пусть N капелек радиусом r и зарядом q каждая сливаются в одну
большую каплю.
Заряд большой капли Q  N  q . Радиус большой капли R  r  3 N . Это следует из равенства объёма
4


4

большой капли     R3  и суммы объёмов маленьких капель  N    r 3  . Учтём, что напряжённость
3


3

k q
k Q
на поверхности маленькой капли: E0  2 , а на поверхности большой E  2 . Потенциал на
r
R
k q
k Q
поверхности маленькой капли 0 
, а на поверхности большой капли  
.
r
R
Заряженное кольцо.
Заряженное кольцо можно представить как совокупность точечных зарядов,
равномерно распределённых по кольцу. В центре кольца напряжённость равна
нулю, а на оси кольца вычисляется по формуле:
kqa
E
3
2
2 2
r

a


и направлена вдоль оси (вывести эту формулу несложно, используя принцип
суперпозиции полей, созданных каждым из элементов заряженного кольца).
Потенциал в центре кольца равен:
kq

r
а на оси кольца:
kq

2
r  a2
Часто удобно ввести величину: γ - линейная плотность заряда, тогда:
q  2 r
1.
2.
3.
4.
5.
Свойства проводника в электрическом поле (ЗАПОМНИТЬ!).
Внутри проводника напряженность поля всегда равна нулю.
Потенциал внутри проводника во всех точках одинаков и равен потенциалу поверхности
проводника. Когда в задаче говорят, что «проводник заряжен до потенциала … В», то имеют в
виду именно потенциал поверхности.
Снаружи от проводника вблизи от его поверхности напряженность поля всегда перпендикулярна
поверхности.
Если проводнику сообщить заряд, то он весь распределится по очень тонкому слою вблизи
поверхности проводника (обычно говорят, что весь заряд проводника распределяется на его
поверхности). Это легко объясняется: дело в том, что сообщая заряд телу, мы передаем ему
носители заряда одного знака, т.е. одноименные заряды, которые отталкиваются. А значит они
будут стремиться разбежаться друг от друга на максимальное расстояние из всех возможных, т.е.
скопяться у самых краев проводника. Как следствие, если из проводника удалить сердцевину, то
его электростатические свойства никак не изменятся.
Снаружи проводника напряженность поля тем больше, чем кривее поверхность проводника.
Максимальное значение напряженности достигается вблизи остриев и резких изломов
поверхности проводника.
43
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 9.12.
1.
Металлическая сфера диаметром 0,6 м имеет заряд 0,3 мкКл. Определить максимальное значение
модуля напряженности электрического поля, созданного заряженной сферой. Ответ записать в
киловольтах на метр.
1) 10.
2) 20.
3) 30.
4) 40.
2.
Какое количество электронов нужно удалить из медного шара радиусом r, чтобы напряженность на
его поверхности была бы равна E?
2
4 0 eE
4 0 Er
Ee
Er 2
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
2
2
4 0 e
e
4 0 r
r
3.
На расстоянии 30 см от центра проводящего шара радиусом 10 см напряженность электрического
поля 200 В/м. Поверхностная плотность заряда на шаре равна:
1) 8•10-9 Кл/м2.
2) 1,6•10-8 Кл/м2.
3) 5,3•10-9 Кл/м2.
4) 1,6•10-10 Кл/м2.
4.
Заряд металлического шара радиусом 2 м равен 5 мкКл. Определить модуль напряженности
электрического поля на расстоянии 1,5 м от центра шара.
1) 0.
2) 1.
3) 2.
4) 3.
5.
Модуль вектора напряженности электрического поля, образованного заряженным проводящим
шаром радиусом R, в зависимости от расстояния до центра шара, представлен на рисунке:
6.
Найдите потенциал проводящего шара радиусом 0,1 м, если на расстоянии 10 м от его поверхности
потенциал равен 20 В.
1) 1050.
2)1600.
3) 2020.
4) 2000.
7.
Металлический шар радиусом 5 см заряжен до потенциала 150 В. Чему равна напряженность поля
в точке, находящейся на расстоянии 5 см от поверхности шара?
1) 250.
2) 500.
3)750.
4) 1000.
8.
При переносе точечного заряда 10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 20
см от поверхности равномерно заряженного шара, необходимо совершить работу 0,5 мкДж. Радиус
шара 4 см. Найдите потенциал на поверхности шара. Потенциал на бесконечности принять равным
нулю.
1) 100.
2) 200.
3) 300.
4) 400.
9.
На расстоянии 1 м от центра заряженного металлического шара радиусом 3 м потенциал
электрического поля равен 3 В. Определить потенциал электрического поля на расстоянии 2 м от
центра шара.
1)1.
2) 3.
3) 5.
4) 7.
44
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
10.
Радиус металлической сферы 5 см. Электроемкость такой сферы в вакууме равна:
1) 5,56 Ф.
2) 5,56 мФ.
3) 5,56 мкФ.
4) 5,56 пФ.
11.
Капля росы в виде шара получилась в результате слияния 216 одинаковых заряженных капелек
тумана. Во сколько раз напряженность поля на поверхности капли росы больше напряженности на
поверхности капельки тумана?
1) 6.
2) 36.
3) 216.
4) 1296.
12.
1000 одинаковых шарообразных капель воды заряжены до одинакового потенциала 0,01 В.
Определить потенциал большой шарообразной капли, получившейся в результате слияния малых
капель.
1) 1.
2) 2.
3) 3.
4) 4.
13.
Тонкое кольцо радиусом R равномерно заряжено зарядом Q. В вакууме на оси кольца на расстоянии
l от его центра помещен точечный заряд q. Сила, действующая на заряд q, равна:
qQR
qQR
1)
.
2)
.
2
2
3
4 0 R  l
2
2 2
4 0 R  l
qQl
qQlR
3)
.
4)
.
3
2
2 2
2
2 2
4 0 R  l
4 0 R  l
14.








Кольцо диаметром 20 см равномерно заряжено зарядом 50 мкКл. Определить напряженность
электрического поля в центре кольца.
1) 0.
2) 1.
3) 2.
4) 4.
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
5
6
7
3
1
2
1
3
3
3
8
9
10
11
12
13
14
3
2
4
1
1
4
1
45
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.13.П. Соединения проводников и конденсаторов.
ПРИМЕР «Соединение проводников». Пусть два проводящих шара радиусами R1 и R2 заряжены q1 и
q2 соответственно.
Потенциалы шаров:
k  q1
k  q2
и 2 
R1
R2
Если шары соединят проволокой, то произойдёт перераспределение заряда. Заряды перестанут
перемещаться, если станут равны потенциалы шаров:
1/   2/  
Т.е. разность потенциалов станет равна 0. Решение задачи состоит из решения системы уравнений:
q1  q 2  q1/  q 2/ - закон сохранения заряда.
1/   2/ - условие прекращения перераспределения зарядов.
1 
Можно найти энергию, выделившуюся в системе:
C1  12 C 2   22
WI 

- энергия системы до соединения;
2
2
(C  C 2 )   2
WII  1
- энергия системы после соединения;
2
Q  WI  WII - выделившаяся энергия.
  2
По закону Ома: I  1
, можно найти силу тока I, проходящую через сопротивление R.
R
ПРИМЕР «Соединения двух конденсаторов».
а) Одноимёнными пластинами.
Пусть параметры первого и второго конденсаторов до соединения описываются
формулами:
q1  C1  U1 ,
q 2  C2  U 2 .
Тогда после соединения их напряжения станут одинаковы:
q1/  C1  U ;
q 2/  C 2  U .
Закон сохранения заряда:
q1  q 2  q1/  q 2/ .
Найдём неизвестные параметры задачи. Например:
C1  U1  C 2  U 2  (C1  C 2 )  U ,
Тогда:
C  U  C2  U 2
U 1 1
.
C1  C 2
46
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
Можно найти энергию, выделившуюся в системе:
C  U2 C  U2
WI  1 1  2 2 - энергия системы до соединения;
2
2
(C  C 2 )  U 2
WII  1
- энергия системы после соединения;
2
Q  WI  WII - выделившаяся энергия.
Кстати, разного рода работу также считайте, как разность энергий в начальной и конечной
ситуациях.
б) Разноимёнными пластинами.
Отличие от пункта а) только в записи закона сохранения заряда:
q1  q 2  q1/  q 2/ .
ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ: Заземление чего либо означает соединение проводником данного объекта с
Землей. При этом потенциалы Земли и имеющегося объекта выравниваются, а необходимые для этого
заряды перебегают по проводнику с Земли на объект либо наоборот. При этом нужно учитывать
несколько факторов, которые следуют из того, что Земля несоизмеримо больше любого объекта
находящегося не ней:
 Общий заряд Земли условно равен нолю, поэтому ее потенциал также равен нолю, и он останется
равным нолю после соединения объекта с Землей. Одним словом, заземлить – означает
обнулить потенциал объекта.
 Для обнуления потенциала (а значит и собственного заряда объекта, который мог быть до этого
как положительным так и отрицательным), объекту придется либо принять либо отдать Земле
некоторый (возможно даже очень большой) заряд, и Земля сможет обеспечить такую возможность.
ТЕСТ 9.13.
1.
Будут ли переходить заряды от одного металлического шара к другому, имеющих разные диаметры,
если их зарядить до одинакового потенциала относительно Земли и соединить их проводом?
1) перейдет с большего шара на меньший. Заряд большего шара больше.
2) перейдет с меньшего шара на больший. Заряд меньшего шара больший.
3) переходить не будут, так как одинаковые потенциалы.
4) перейдет с большего на меньший. Емкость больше у большего шара.
2.
Проводящий шар радиусом 10 см, потенциал которого 400 В, соединяют длинным проводником с
проводящим шаром радиусом 20 см с потенциалом -80 В. Потенциал шаров после соединения равен:
1) 200 В.
2) 100 В.
3) 80 В.
4) 60 В.
3.
Металлические шары, заряженные одинаковым зарядом, имеют потенциалы 20 В и 30 В. Каким
будет потенциал этих шаров, если соединить их проволокой? Емкостью соединительной проволоки
пренебречь. Расстояние между шарами велико по сравнению с их радиусами.
1) 12.
2) 18.
3) 24.
4) 30.
4.
Незаряженный металлический шар емкостью 2 мкФ соединяют длинной тонкой проволокой с
шаром емкостью 3 мкФ, на котором находится заряд 5 мкКл. Определить в микрокулонах заряд
первого шарика после перераспределения заряда.
1) 2.
2) 3.
3) 5.
4)7.
47
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
Проводящий шар емкостью С1 зарядили до потенциала  1 , а шар емкостью С2 - до потенциала  2 .
Шары удалены друг от друга на большое расстояние. Какое количество теплоты выделится при
соединении шаров проволокой, емкостью которой можно пренебречь?
2
2
C C    2 
C C    2 
1) 1 2 1
.
2) 1 2 1
.
2(C1  C 2 )
C1  C 2
5.
C1C 2 1   2 
.
2(C1  C 2 )
2
3)
4)
C1C 2 1 2
.
2(C1  C 2 )
6.
Два удаленных шара с зарядами -2 мкКл и +1 мкКл соединили резистором в 12 Ом. Определить
максимальную силу тока через резистор, если емкость каждого шара относительно земли 0,001 мкФ.
1) 250.
2) 500.
3) 750.
4) 1000.
7.
Конденсатор емкостью 1 мкФ, заряженный до 500 В, подключили параллельно незаряженному
конденсатору емкостью 4 мкФ. Найдите разность потенциалов на конденсаторах.
1) 100.
2) 250.
3) 400.
4) 500.
8.
Конденсатор, заряженный до разности потенциалов 100 В, подключается параллельно конденсатору
вдвое большей емкости, заряженному до разности потенциалов 250 В. Какая разность потенциалов
установится между обкладками конденсаторов?
1) 200.
2) 250.
3) 400.
4) 500.
9.
Обкладки конденсатора емкостью 30 мкФ, заряженного до напряжения 200 В, соединяют с
противоположно заряженными обкладками конденсатора емкостью 10 мкФ, заряженного до
напряжения 400 В. Какое количество теплоты (в мДж) выделилось при этом?
1) 500.
2) 1000.
3) 1350.
4) 1500.
10.
Два одинаковых плоских воздушных конденсатора емкостью 1 мкФ каждый соединили
параллельно и зарядили до напряжения 300 В. Конденсаторы отключили от источника тока. Затем
один из конденсаторов поместили в керосин, диэлектрическая проницаемость которого 2. Какой
заряд прошел по соединительным проводам?
1) 10-4 Кл.
2) 1,5•10-4 Кл. 3) 2•10-4 Кл.
4) 2,5•10-4 Кл.
11.
Два одинаковых по размерам плоских конденсатора соединены параллельно, заряжены до
напряжения 200 В и отключены от источника напряжения. Один из конденсаторов пуст, а другой
содержит стеклянную пластину, целиком заполняющую зазор между его обкладками. Какую работу
(в мДж) надо совершить, чтобы медленно извлечь пластину из конденсатора, если емкость пустого
конденсатора 6 мкФ? Диэлектрическая проницаемость стекла 1,5.
1) 25.
2) 50.
3) 75.
4) 100.
ОТВЕТЫ:
1
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
3
1
3
1
1
1
3
1
3
48
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.14.П. Концентрические сферы.
Пусть сферы радиусами R1 и R2 имеют общий центр и заряжены соответственно зарядами q1 и q2. Найдём
потенциалы в точках:
А – внутри обеих сфер,
В – на поверхности внутренней сферы,
С – между сферами,
D – на поверхности внешней сферы,
Е – за пределами внешней сферы.
Будем учитывать, что:
 Внутри и на поверхности сферы потенциал во всех точках одинаков и равен:
k q

R
где: R - радиус сферы.
 За пределами сферы потенциал равен:
k q

r
где: r - расстояние от центра сферы до данной точки.
 Потенциал в каждой точке равен сумме потенциалов, создаваемой каждой из сфер.
k  q1 k  q 2
A 

;
R1
R2
A  B ;
k  q1 k  q 2
C 

;
rC
R2
k  q1 k  q 2
D 

;
R2
R2
k  q1 k  q 2
E 

.
rE
rE
Теперь найдём величину напряжённости поля в каждой из точек. Будем учитывать, что:
 Внутри сферы напряжённость поля, созданного ею, во всех точках равна 0.
k q
 На поверхности сферы напряжённость равна E  2 , где R0 - радиус сферы.
R0
k q
 За пределами сферы напряжённость равна E 
, где R – расстояние от центра сферы до
R2
данной точки поля.
 Напряжённость в каждой точке равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемой
каждой из сфер.
EA  0 ;
k q
EB  2 1  0;
R1
k q
EC  2 1  0 ;
rC
k  q1 k  q 2
ED 

;
R 22
R 22
k q
kq
EE  2 1  2 2 .
rE
rE
49
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ПРИМЕР. Проводящий шар радиуса R имеет положительный заряд +q. На расстоянии 2R от центра
шара помещают точечный отрицательный заряд –2q. Как изменится потенциал в центре шара?
Хотя в этой задаче точечный отрицательный заряд помещают не в центре шара, рассуждения здесь
аналогичны случаю концентрических сфер. Т.к. шар радиуса R имеет положительный заряд +q, то в
k q
центре шара потенциал равен 1 
. Точечный отрицательный заряд –2q создаёт в центре шара
R
2k q
потенциал  2  
. Просуммируем потенциалы и получим, что потенциал в центре шара станет
2R
равен нулю.
ТЕСТ 9.14.
1.
В центре металлической сферы, несущей положительный заряд 10 нКл, находится маленький шарик
с отрицательным зарядом -5 нКл. Найдите потенциал электрического поля в точке, находящейся
вне сферы на расстоянии 9 м от ее центра. k=9•109 м/Ф.
1) 1.
2) 3.
3) 5.
4) 7.
2.
На двух проводящих концентрических сферах с радиусами 10 см и 50 см находятся одинаковые
заряды по 0,02 мкКл. Определить модуль напряженности электрического поля на расстоянии 30 см
от центра сферы.
1) 0.
2) 500.
3) 1000. 4) 2000.
3.
На двух проводящих концентрических сферах с радиусами 20 см и 40 см находятся заряды -0,2 мкКл
и 0,3 мкКл. Определить модуль напряженности электрического поля на расстоянии 60 см от
поверхности внешней сферы.
1) 0.
2) 300.
3) 900.
4) 1500.
4.
Проводящий шар радиуса R имеет положительный заряд +q. Если на расстоянии 2R от центра шара
поместить точечный отрицательный заряд –2q, то потенциал в центре шара:
1) уменьшится в 2 раза.
2) не изменится.
3) станет равным нулю.
4) увеличится в 3 раза.
5.
Уединенная проводящая сфера радиусом 2 см заряжена зарядом 10 нКл. Во сколько раз уменьшится
ее потенциал, если на расстоянии 3 см от ее центра поместить точечный заряд –12 нКл?
1) 1.
2) 3.
3) 5.
4) 8.
6.
Проводящий шар радиусом R зарядили до потенциала  и на расстоянии 2R от центра шара
поместили точечный заряд -3q. Потенциал шара будет равен:
3q
3q
1)  
.
2)  
.
4 0 R
4 0 R
3q
3q
3)  
.
4)  
.
8 0 R
8 0 R
7.
Проводящий шар радиусом R зарядили до потенциала  и окружили концентрической проводящей
оболочкой радиусом r. Оболочку заземлили. Потенциал шара станет равен:
R
r


1)  1   .
2)  1   .
r
R


r

 R
3)  1   .
4)  1   .
r
 R

50
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
8.
Какой заряд (в мкКл) появится на заземленной проводящей сфере радиусом 3 см, если на расстоянии
10 см от ее центра поместить точечный заряд -20 мкКл?
1) 2.
2) 4.
3) 6.
4) 8.
9.
Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы 19 и 20 см. Внутренняя сфера заряжена,
заряд внешней равен нулю. Во сколько раз уменьшится потенциал внутренней сферы, если
внешнюю сферу заземлить?
1) 10.
2) 20.
3) 40.
4) 80.
10.
Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы 2 и 12 см. Внутренняя сфера заряжена,
заряд внешней равен нулю. Во сколько раз уменьшится потенциал внутренней сферы, если ее
соединить с внешней сферой тонкой проводящей проволокой?
1) 1.
2) 4.
3) 6.
4) 7.
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
3
3
1
4
4
3
2
3
51
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.15.П. Еще раз о сохранении энергии.
ПРИМЕР. С какой скоростью должен двигаться заряд q1, чтобы приблизиться к заряду q2 с расстояния
а до расстояния b. Массы тел, несущих заряды, m1 и m2.
Рассмотрим простой случай, когда второй заряд закреплён. В
начальный момент времени энергия системы равна сумме кинетической
энергии первого заряда и потенциальной энергии взаимодействия
зарядов:
k  q 1  q 2 m1  v 2
W1 

a
2
На минимальном расстоянии между зарядами скорость первого заряда равна нулю, поэтому энергия
системы равна потенциальной энергии взаимодействия зарядов:
k  q1  q 2
W2 
.
b
По закону сохранения энергии:
k  q 1  q 2 m1  v 2 k  q 1  q 2


.
a
2
b
Сложный случай.
Заряд q2 не закреплён и при приближении заряда q1 отталкивается от него. Решим систему уравнений:
m1v1  m1u1  m2u2  закон сохранения импульса,

 m1v12 kq1q2 m1u12 m2u22 kq1q2




 закон сохранения энергии.

a
2
2
b
 2
где: u1 и u2 – скорости тел в тот момент, когда расстояние между телами равно b.
Расстояние между телами минимально в тот момент, когда их скорости становятся равны по
величине и направлены в одну сторону (относительная скорость зарядов равна нулю):
u1 = u2 = u
В этот момент потенциальная энергия взаимодействия зарядов максимальна.
ТЕСТ 9.15.
1.
Электрон в вакууме движется к закрепленному шарику радиусом 3 см с зарядом — 10-9 Кл. При
какой минимальной скорости электрона на достаточно большом расстоянии от шарика он сможет
достичь его поверхности?
1) 106 м/с.
2) 3•106 м/с.
3) 5•106 м/с.
4) 107 м/с.
2.
Частица массой 10 мг, несущая заряд 2 нКл, движется издалека в сторону тяжелого однородно
заряженного шара радиусом 10 см. Какую минимальную скорость должна иметь частица на
большом расстоянии от шара, чтобы долететь до его поверхности, если заряд шара равен 1 мкКл?
k=9•109 м/Ф.
1) 2.
2) 6.
3) 8.
4) 10.
3.
На тонком кольце радиусом R равномерно распределен заряд Q. В центре кольца в вакууме
находится бусинка массой m и зарядом q того же знака, что и заряд Q. Скорость бусинки, когда она
удалится от кольца на большое расстояние, составит:
2qQ
qQ
qQ
qQ
1)
.
2)
.
3)
. 4)
.
4 0 mR
2 0 mR
 0 mR
 0 mR
4.
Два электрона, находящиеся на большом расстоянии один от другого, двигаются навстречу друг
другу со скоростями v и 3v. Наименьшее расстояние, на которое сблизятся электроны, равно:
q2
q2
q2
q2
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
2 0 mv 2
4 0 mv 2
8 0 mv 2
16 0 mv 2
52
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
5.
Три одинаковых шарика, несущие одинаковый заряд 2 мкКл, соединены попарно тремя
одинаковыми пружинами и удерживаются на расстоянии 5 см друг от друга. Шарики отпускают, и
они приходят в движение. Найдите жесткость каждой пружины, если в начальном положении они
не деформированы, а максимальное расстояние между шариками в процессе движения в три раза
больше начального.
1) 48.
2) 60.
3) 96.
4) 120.
6.
Два одинаковых шарика, имеющих заряды по 400 нКл, соединены пружиной и находятся на
гладком горизонтальном столе. Шарики колеблются так, что расстояние между ними меняется от L
до 4L. Найдите жесткость пружины, если известно, что ее длина в свободном состоянии равна 2L,
где L=2 см.
1) 48.
2) 60.
3) 90.
4) 120.
7.
На тонком кольце радиусом R равномерно распределен заряд Q. На оси кольца в вакууме на
расстоянии L от его центра закреплена маленькая бусинка массой m и зарядом q того же знака, что
и заряд кольца. Если бусинку освободить, то на большом расстоянии от оси кольца ее скорость
составит:
qQ
qQ
1)
.
2)
.
2 0 mL
2 0 m R 2  L2
3)
qQ
4 0 m R 2  L2
.
4)
qQ
 0 m R 2  L2
.
8.
Тонкое закрепленное кольцо радиусом R равномерно заряжено так, что на единицу длины кольца
приходится заряд   . В вакууме на оси кольца на расстоянии L от его центра помещен маленький
шарик, имеющий заряд +q. Если шарик освободить, то в процессе движения он приобретает
максимальную кинетическую энергию, равную:
qR
q
1)
.
2)
.
2
2
2
2
2 0 R  L
2 0 R  L
qR
qR
3)
.
4)
.
2
4 0 L
2 0 L
9.
Частица массы m, имеющая заряд q, движется в вакууме вдоль оси закрепленного тонкого кольца
радиуса R перпендикулярно его плоскости. Кольцо равномерно заряжено зарядом, равным по
модулю и знаку заряду частицы. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на очень
большом расстоянии от кольца, чтобы, двигаясь к кольцу, достичь его центра?
1
q
1) q
.
2)
.
2 0 Rm
4 0 Rm
3)
q
1
.
2  0 Rm
4)
q
2 0 Rm
.
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
2
4
4
3
3
1
1
1
53
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
9.16. Хитрые конденсаторы.
Пусть дан конденсатор ёмкостью: c 
 0 S
d
1. Пусть теперь, в конденсатор помещают металлическую пластину толщиной х и площадью,
равной площади пластин конденсатора. Тогда расстояние между обкладками конденсатора
 S
становится равным (d – x). Ёмкость становится равной: c  0
dx
При этом, не имеет значения, помещают ли пластину вплотную к обкладкам или где-то между
ними.
2. Если же в конденсатор помещают пластинку из диэлектрика с проницаемостью ε толщиной х и
площадью, равной площади пластин конденсатора:
То образуются два последовательно соединённых конденсатора ёмкостями:
 S
 S
c1  0
и c2  0
x
dx
Их общую емкость придется рассчитать по формуле:
1 1 1
  .
с с1 с2
3. И наконец если конденсатор погружают в жидкий диэлектрик так, что погружённой оказывается
площадь пластины х. Образуются два параллельно соединённых конденсатора:
 x
 ( S  x)
c1  0
и c2  0
d
d
Чья общая емкость может быть найдена по формуле:
c  c1  c2
4. Очевидно, что если обкладки конденсатора соеденить проводником (вместо диэлектрика, как в
предыдущем случае), то данное изделие перестанет быть конденсатором, а станет просто
проводником странной формы.
54
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 9.16.
1.
Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d, на треть
погрузили в масло с диэлектрической проницаемостью  . На какое расстояние следует
дополнительно раздвинуть пластины, чтобы емкость конденсатора не изменилась?
d
d
d
d
1)   1 .
2)   1 .
3)   1 .
4)   1 .
2
2
3
3
2.
Если плоский воздушный конденсатор емкостью Со наполовину заполнить
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью  , то его емкость будет равна:
C   1
2C 0 
C0
1) C0   1 .
2)
.
3) 0
.
4)
.
2
1 
2  1
3.
Если плоский воздушный конденсатор емкостью С0 наполовину заполнить диэлектриком с
диэлектрической проницаемостью  , то его емкость будет равна:
C   1
C0
1) 2C0   1 . 2) 0
.
3)
.
4) C 0  .
2
2  1
4.
Во сколько раз увеличится емкость плоского воздушного конденсатора, если в пространство между
его пластинами ввести параллельно им металлическую пластину, толщина которой в 3 раза меньше
расстояния между пластинами конденсатора?
1) 1.
2) 1,5.
3) 2.
4) 3.
5.
Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к
источнику напряжения. Когда один из конденсаторов погрузили в жидкий диэлектрик, заряды на
пластинах конденсаторов увеличились в 1,5 раза. Найдите диэлектрическую проницаемость
диэлектрика.
1) 1,5.
2) 2.
3) 3.
4) 6.
6.
Плоский изолированный конденсатор емкостью 1 пФ с зарядом 1 нКл на обкладках погрузили на
2/3 его объема в жидкий диэлектрик с   2 так, что его пластины перпендикулярны поверхности
жидкости. Какова разность потенциалов между пластинами погруженного конденсатора?
1) 100.
2) 300.
3) 500.
4) 600.
7.
Внутрь плоского конденсатора параллельно его обкладкам помещают диэлектрическую пластину,
площадь которой равна площади обкладок, а толщина вдвое меньше расстояния между ними. На
сколько процентов возрастет емкость конденсатора, если диэлектрическая проницаемость пластины
равна 4?
1) 20.
2) 40.
3) 50.
4) 60.
8.
Плоский конденсатор емкостью 5 пФ с расстоянием между пластинами 2 мм подключен к
источнику напряжения с ЭДС 2 В. В пространство между обкладками вводят параллельно им
плоскую металлическую пластину толщиной 1 мм так, что она полностью перекрывает полость
внутри конденсатора. Определите величину заряда (в пКл), который пройдет через источник при
введении пластины.
1) 10.
2) 20.
3) 30.
4) 40.
9.
Плоский конденсатор, пластины которого расположены вертикально, погружают до половины в
жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 5. Во сколько раз нужно после этого
увеличить расстояние между пластинами, чтобы емкость конденсатора стала такой же, как до
погружения?
1) 1.
2) 2.
3) 3.
4) 5.
55
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Физика
9. Электростатика
___________________________________________________________________________________________________________
10.
Изолированный конденсатор, имеющий заряд 10 нКл, площадь пластин 10 см2 и расстояние между
пластинами 17,7 мм, погружают в керосин при вертикальном положении пластин на 2/3 его объема.
Чему равно напряжение (в кВ) на таком конденсаторе? Диэлектрическая проницаемость
керосина 2.
1) 8.
2) 12.
3) 16.
4) 20.
11.
Внутрь плоского конденсатора параллельно его обкладкам помещают диэлектрическую пластину,
площадь которой равна площади обкладок, а толщина втрое меньше расстояния между ними. Чему
равна диэлектрическая проницаемость пластины, если емкость конденсатора возросла на 20%?
1) 2.
2) 3.
3) 4.
4) 5.
12.
Внутри плоского конденсатора параллельно его обкладкам находится стеклянная пластина,
площадь которой равна площади обкладок, а толщина — вдвое меньше расстояния между ними.
Конденсатор заряжают до напряжения 300 В и отключают от источника. Какую работу (в мДж) надо
совершить, чтобы медленно извлечь пластину из конденсатора? Емкость конденсатора без пластины 4 мкФ, диэлектрическая проницаемость стекла 2.
1) 10.
2) 40.
3) 80.
4) 120.
ОТВЕТЫ:
1
2
3
4
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
2
3
4
4
1
3
2
1
2
56