ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №16 ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №16
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы − определение приведенной длины и момента инерции физического маятника; определение ускорения силы тяжести.
1. Теоретические основы работы
Ф
О
Физическим маятником называется твердое тело, совершающее
под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса (рис.1). Покажем, что будучи отклоненным на
малый угол ϕ и предоставленный самому себе, маятник будет совершать гармонические колебания (силами трения и сопротивления воздуха пренебрегаем). Обозначим через J момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. Пусть масса колеблющегося тела – m; центр масс расположен в точке С ; расстояние от точки качания до центра масс − l. На отклоненный от положения равновесия маятник действует момент силы тяжести
M = − mgl sin ϕ.
(1)
Знак «минус» отражает тот факт, что момент силы тяжести стремится вернуть маятник в положение равновесия, т.е. уменьшить угол ϕ.
Движение физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса,
описывается основным уравнением динамики вращательного движения J ε = ∑ M i , которое с
учетом (1) может быть записано в виде
J ε = − mgl sin ϕ,
(2)
где ε − угловое ускорение; J − момент инерции относительно оси вращения; m − масса маятника; l − расстояние от оси вращения до центра масс; ϕ − угол отклонения маятника от положения равновесия.
иЯ
С
d 2ϕ
dt
2
+ mglϕ = 0 , или
dt 2
d 2ϕ
dt
2
+
, при малых
углах отклонения (sin ϕ ≈ ϕ) можно записать
У
И
J
d 2ϕ
Н
Учитывая, что ε =
mgl
mgl
ϕ = 0. Обозначив ω02 =
, запишем полученное уравнение в виде
J
J
d 2ϕ
dt
2
+ ω02 ϕ = 0.
(3)
М
где ϕm − амплитуда колебаний; ω0 =
mgl
J
И
Э
Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его
решением является гармоническая функция, описывающая зависимость угла отклонения от
времени:
ϕ = ϕ m cos (ω 0t + α),
(4)
− собственная частота незатухающих гармониче-
ских колебаний; α − начальная фаза.
Поскольку ω0 = 2π/T, для периода колебаний физического маятника получим
T = 2π
J
.
mgl
(5)
Частым случаем физического маятника является математический маятник. Математический маятник это маятник, состоящий из невесомой и нерастяжимой нити и подвешенного на
ней тела, размеры которого много меньше длины подвеса (массу тела можно считать сосредоточенной в одной точке).
Момент инерции математического маятника относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса, вычисляем по формуле J = ml 2 . Подставив выражение для момента инер-
ции математического маятника в (5), получим, что период колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести:
T = 2π
l
.
g
(6)
Длина математического маятника lпр, при которой его период колебаний равен периоду
колебаний физического маятника называется приведенной длинной физического маятника.
Из равенства периодов колебаний (5) и (6) найдем выражение для приведенной длины
lпр =
J
,
ml
(7)
где J – момент инерции физического маятника, m – его масса; l − расстояние от точки подвеса до центра масс физического маятника.
Ф
О
Постановка задачи
иЯ
Исследовать колебания физического маятника (рис.
2), представляющего собой стержень, на который надеты
два груза. На стержне закреплены две призмы 1 и 2, с
помощью которых маятник может быть подвешен на
опору как в прямом, так и в перевернутом положении.
Такой маятник называется оборотным.
Экспериментально измеряется период колебаний оборотного маятника, подвешенного на призме 1 (рис. 2, а)
или на призме 2 (рис. 2, б).
Призма 1 и грузы закреплены неподвижно, призма 2
может перемещаться. Необходимо определить приведенную длину маятника, его момент
инерции относительно оси, проходящей через призму 1, и ускорение силы тяжести.
Указания к решению
С
Н
T1 = 2π
J1
,
mgl1
У
И
Если маятник подвесить на призме 1, то его период колебаний T1 можно определить по
формуле
(8)
J2
,
mgl 2
(10)
И
Э
T2 = 2π
М
где m – масса маятника; l1 −расстояние от опоры до центра масс; J1 – момент инерции, определяемый по теореме Гюйгенса–Штейнера
J1 = J 0 + m l12 .
(9)
Здесь J0 − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс.
Аналогично при качании маятника на призме 2 период колебаний
где l2 −расстояние от второй призмы до центра масс, а момент
инерции
J 2 = J 0 + ml22 .
(11)
1
2
Экспериментально подберем такое положение второй призмы
на стержне, при котором периоды колебаний при качании на
призме 1 и на призме 2 будут равны T1 = T2 = T. Исключая из (8)
− (11) J0 и m, найдем
T = 2π
l1 + l 2
,
g
(12)
где l1+l2 = lпр − расстояние между призмами, равное приведенной
длине физического маятника.
Точка, которая находится на расстоянии приведенной длины от опоры (отрезок отложен
вдоль линии, проходящей через точку опоры и центр масс), называется центром качания K.
Точка опоры О и центр качания обладают свойством взаимности: если маятник подвесить
так, чтобы ось подвеса прошла через K, то точка O станет центром качания и период колебаний маятника не изменится. На этом свойстве оборотного маятника, основано его использование для определения ускорения силы тяжести.
Ускорение силы тяжести можно найти из (12), измерив период колебаний при расстоянии
между призмами равном приведенной длине маятника:
g=
4π 2lпр
T2
(13)
.
Ф
О
Приведенную длину маятника можно найти графически, как это показано на рис.3. Необходимо построить график зависимости периода колебаний T2 от расстояния l между призмами и провести параллельно оси абсцисс прямую линию T=T1 до пересечения с кривой T2(l).
Точка пересечения будет соответствовать l = lпр.
2. Описание экспериментальной установки
иЯ
Экспериментальная установка представлена на рис.4. На вертикальной стойке 1 закреплен кронштейн 2 с опорой, на которую
подвешивается маятник – стержень 3 с двумя грузами 4. Маятник
подвешивается на опору с помощью опорных призм 5. Грузы и
опорные призмы могут перемещаться по всей длине стержня.
Стержень имеет проточки, нанесенные через 10 мм.
Толщина грузов 20 мм, высота призм 30 мм. Винты фиксации
грузов находятся строго посредине, это облегчает определение
положения грузов и призм на стержне. Абсолютная погрешность
определения фиксированных расстояний между опорными призмами и грузами по всей длине стержня не превышает 1 мм.
На нижнем кронштейне 6 смонтирован фотоэлектрический
датчик 7, подающий сигнал окончания счета времени и числа периодов колебаний на цифровой секундомер 8. Кронштейн 6 может перемещаться вдоль стойки.
Призма 1
4
С
Н
Призма 2
У
И
00
00,000
3. Порядок выполнения работы
М
И
Э
1. Заполните табл. 1 спецификации измерительных приборов и запишите данные установки.
2. Расположите грузы и призмы на стержне согласно указаниям преподавателя.
3. Определите период колебаний маятника при его качании на призме 1, для чего:
− установите оборотный маятник на кронштейне (призма 1 наверху);
− расположите фотодатчик на стойке установки так, чтобы нижний конец стержня перекрывал световой поток в датчике;
− нажмите кнопку СЕТЬ;
− отведите нижний конец стержня на небольшой угол и, придерживая его, нажмите кнопку СБРОС;
− отпустите маятник. При первом прохождении маятником положения равновесия начинается отсчет времени и числа полных колебаний маятника. Когда на индикаторе числа колебаний появится число (N − 1), где N − число измеряемых периодов (обычно измеряется
время десяти колебаний), нажмите кнопку СТОП. Запишите показания секундомера τ1 в
табл. 2. Повторите измерения не менее пяти раз.
4. Определите зависимость периода колебаний маятника от расстояния l между призмами
при его качании на призме 2:
− не изменяя положения грузов и призмы 1, переверните маятник и установите его на
кронштейне (призма 2 сверху).
− измерьте время τ2 десяти колебаний маятника, как это было описано в п. 3, для различных расстояний l между призмами (призму 2 перемещать от груза 2 к призме 1 с шагом 1
см). Результаты измерений запишите в табл. 2. Для каждого значения l проведите по пять
измерений.
Таблица 1
Спецификация измерительных приборов
Название
прибора и его тип
Пределы
измерения
Цена
деления
Инструментальная погрешность
Ф
О
Таблица 2
Измерение времени десяти колебаний маятника
№
Призма 1
l1 =
Призма 2
l3 =
l4 =
τ2, с
l2 =
τ1, с
l5 =
иЯ
Среднее
С
4. Обработка результатов эксперимента
Н
1. По данным табл.2 рассчитайте средние значения времени десяти колебаний и период
колебаний маятника для каждого значения расстояния между призмами.
2. Постройте график зависимости периода колебаний маятника от расстояния между
призмами (рис. 3). По графику определите приведенную длину lпр маятника.
3. Рассчитайте ускорение силы тяжести по формуле
У
И
g=
4π 2 lпр
T12
,
δ g = 2δT2 + δ l2
1
пр
.
И
Э
Запишите окончательный результат в стандартной форме.
М
где T1 – период колебаний маятника на призме 1.
4. Рассчитайте относительные погрешности периода δT1 и приведенной длины δlпр.
5. Рассчитайте погрешность ускорения силы тяжести по формуле
5. Контрольные вопросы
1. Дайте определение физического маятника и математического маятника.
2. Момент какой силы вызывает колебания физического маятника? Запишите выражение
для момента этой силы.
3. Запишите дифференциальное уравнение малых колебаний маятника.
4. Напишите формулу для периода колебаний физического маятника. Покажите, при каких условиях она переходит в формулу для периода колебаний математического маятника.
5. Дайте определение понятию «приведенная длина» физического маятника.
6. Какой маятник называют оборотным? Какая точка называется центром качания? В чем
заключается основное свойство оборотного маятника?