Проверка соотношения неопределённостей при дифракции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА»
Кафедра «Общая и ядерная физика»
ПРОВЕРКА СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ПРИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ
Методические указания к лабораторной работе 4-3 по атомной физике
для студентов ИЯЭиТФ всех форм обучения
Нижний Новгород
2015
Составители: А.А.Басов, С.В.Хорьков, А.Н.Яшина
УДК 530.3
Проверка соотношения неопределенностей при дифракции электронов: метод. указания к лаб. работе по атомной физике № 4-3 для студентов ИЯЭиТФ всех форм обучения/ НГТУ им. Р.Е.Алексеева; сост.:
А.А.Басов, С.В.Хорьков, А.Н.Яшина. – Нижний Новгород, 2015. - 11 с.
Изложены элементы теории дифракции электронов на кристаллических структурах. Дана методика проверки соотношения неопределенностей при дифракции электронов.
Научный редактор А.А.Радионов
Редактор Э.Б.Абросимова
Подп. к печ.12.01.2015. Формат 60х84 116 .Печать офсетная. Бумага газетная.
Усл. печ. л. 0,75. Уч.- изд. л. 0,5. Тираж 200 экз. Заказ
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева.
Типография НГТУ, 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.
© Нижегородский государственный
технический университет
им. Р.Е.Алексеева, 2015
Цель работы. С помощью эксперимента по дифракции электронов
определить расстояние между плоскостями атомов углерода. Проверить
справедливость соотношения неопределенностей
Теоретическая часть
Достижения современной микроэлектроники и бурное развитие информационных технологий базируются на факте наличия у потока микрочастиц волновых признаков.
Исторически сложилось так, что первым материальным объектом
двойственной природы явился свет – электромагнитная волна, у которой
по мере уменьшения длины волны стали проявляться свойства подобные
свойствам частиц (корпускул). Такие достаточно локализованные распространяющиеся от источника порции энергии электромагнитного поля, обладающие определенным импульсом и массой, были названы М. Планком
квантами. В области длин волн излучения от инфракрасного диапазона до
мягкого рентгена их называют фотонами. Таким образом, электромагнитное излучение проявляет свойства, как волн, так и частиц.
Таким образом, в некоторых явлениях монохроматический свет рассматривается как электромагнитная волна, характеризуемая длиной  ,
круговой частотой  , видом поляризации, величиной напряженности
электрического вектора. В других явлениях объяснить наблюдаемое нельзя, если не наделить это электромагнитное излучение корпускулярными
признаками.
Идея о неразрывном единстве материального мира, об отсутствии резкой границы между полем и веществом легла в основу гипотезы Л. деБройля о наличии у частиц, имеющих ненулевую массу покоя, т.е. представляющих материю в виде вещества, волновых признаков. В частности,
если использовать формулу, определяющую импульс фотона через длину
волны излучения р  h  (h – постоянная Планка), и для частиц с известным импульсом вычислить соответствующую величину  , то это и будет
характеристикой пространственной периодичности волнового процесса,
«приписываемого» частице. Таким образом, частице можно сопоставить
волну с длиной

h
.
p
(1)
Гипотеза де-Бройля подтверждается в частности в опыте по дифракции
микрочастиц на кристаллических структурах. При движении микрочастицы в области малых размеров (порядка 10-10м) невозможно использовать
понятие траектории, и результат «наблюдения» за отдельной частицей
3
оказывается случайным. Но, если опыт в одинаковых условиях повторяется многократно или мы имеем дело с потоком одинаковых частиц, то
начинают работать законы статистики, и результат наблюдения оказывается таким, как его предсказывает квантово-механическая теория. Поэтому волну де-Бройля называют волной вероятности.
Соотношение неопределенностей
Классическая механика при исследовании движения объектов пользуется кинематическими уравнениями, которые получают решением дифференциальных уравнений динамики. При этом для определения состояния
частицы в данный момент нужно знать координаты и скорость (импульс)
частицы в начальный момент времени. Естественно точность решения задач по изучению движения объектов зависит от точности задания начальных условий, и к определению значений координат и скорости предъявляются достаточно жесткие требования. При этом серьезных ограничений
на точность одновременного измерения координат и импульса не накладывается.
Иное дело в механике микромира. В 1924 году В. Гейзенберг показал,
что одновременное точное измерение координаты и проекции импульса на
эту координату имеет ограничение, определяемое выражением, называемым соотношением неопределенностей Гейзенберга:
(2)
х  р х  , у  р у  , z  p z   .
Здесь под x, y, z понимают неопределенности в значениях координат (среднеквадратичные отклонения от средних значений), а p x , p y , p z
- соответственно неопределенности проекций импульсов.
Можно сказать, что соотношение неопределенностей является следствием внутренне присущего микрочастицам свойства,
называемого корпускулярно – волновым дуализмом.
Другими словами, для полного описания микрообъектов необходимо неразделимое сочетание волновых и
Рис.1
корпускулярных представлений. Качественное подтверждение существования
соотношений неопределенностей дает известный эксперимент дифракции электронов на щели в непрозрачном экране (рис.1).
4
Слева от щели электроны имеют импульс р, определенный очень точно
по направлению, так что неопределенность проекции импульса на ось х
равна нулю. Однако неопределенность координаты х бесконечно велика,
так как невозможно определить положение электрона в потоке. В плоскости щели неопределенность координаты уменьшается до b, и появляется
неопределенность проекции импульса р х . Благодаря этому поток электронов оказывается размытым по экрану, и распределение мест попадания
отдельных частиц в различные точки экрана описывается формулой дифракции на щели:
(3)
b  sin  n ,
где  
h
− длина волны де-Бройля. Подавляющая часть электронов окаp
зывается на экране в пределах центрального максимума (п = 1). Тогда, полагая sin  p x p и х  b , из (3) получим
х  р х   .
Дифракция электронов на кристаллической структуре
Соотношение неопределенностей можно проверить, как уже было сказано, изучая дифракцию электронов на кристаллической структуре. Метод
основан на условии брэгговского отражения рентгеновских лучей от
группы параллельных плоскостей, содержащих узлы кристаллической
решетки. Известно, что при падении рентгеновского излучения на кристалл от различных параллельных атомных плоскостей кристалла исходят
волны как бы испытавшие зеркальное отражение от каждой из этих плоскостей (рис.2). Разность хода волн, отразившихся зеркально от соседних
плоскостей, равна
где d2d  sin  ,
межплоскостное расстояние,   угол скольжения. Если она кратна целому числу длин
волн, то эти волны усиливают друг друга, в
результате чего и возникает отраженная
волна. Это требование называется условием
Брега – Вульфа:
(4)
2d  sin   n , (п=1,2,…).
Рис.2
Электроны подобно рентгеновским
лучам испытывают дифракцию на кристаллах. Дифракция проявляется в том, что при отражении электронов от кристалла максимумы наблюдаются в строго определенных направлениях,
которые можно найти с помощью условия Брега – Вульфа (4), где  
длина волны де-Бройля.
5
Существенно, что в кристалле имеется не одно, а целый
набор различных межплоскостных расстояний, величина которых зависит от положения
соответствующих
кристаллографических
плоскостей
(рис.3). Каждая система параллельных плоскостей может проРис.3
являть себя в явлении дифракции. Таким образом, при неизменном направлении падающего пучка мы можем наблюдать несколько
совокупностей дифракционных линий.
Теперь рассмотрим поликристалл, на который в некотором
направлении (О – О на рис.4) падает параллельный пучок моноэнергетических электронов. В силу малости размеров, составляющих поликристалл, кристаллитов в облучаемом объеме будет находиться великое множество. Пусть в кристаллите 1 плоскости с межплоскостным расстоянием
d1 находятся в отражающем положении. Как видно из рис.4 и 3, дифрагированный этим кристалликом пучок будет составлять угол 21 с
продолжением первичного пучка.
Если перпендикулярно направлению падающего пучка О-О поставить экран, то на нем появится
точка. Однако, в образце найдутся
и другие кристаллиты (например
1 ), в которых плоскости с тем же
межплоскостным расстоянием d1 ,
Рис.4
составляя с осью О –О угол 21 ,
также будут находиться в отражающем положении, но ввиду беспорядочной ориентации окажутся иначе
развернуты относительно оси О–О. Дифрагированный кристалликом 1
пучок даст свою точку на экране. В результате электроны, отраженные
кристаллитами, различным образом ориентированными вокруг оси, в которых плоскости с межплоскостным расстоянием d1 находятся в отражающем положении, образуют в пространстве поверхность конуса с углом
раствора 41 и на экране, перпендикулярном оси О–О, возникнет кольцо.
Кроме того, в поликристаллическом образце всегда есть кристаллики,
которые также окажутся в отражающем положении, но в отражении будут
6
участвовать системы плоскостей другого семейства с другим значением d (см. рис.3). Отраженные от таких кристалликов электроны
образуют конус с другим значением угла 4 ,
и на экране возникнет другое кольцо (рис.5).
В целом число дифракционных конусов (и
число колец на экране) зависит от числа различных по межплоскостным расстояниям систем атомных плоскостей, участвующих в отражении в различных кристалликах.
Если на пути рассеянных электронов перпендикулярно падающему
пучку расположить экран, то получим серии концентрических окружностей, расположенных вокруг центрального пятна, отвечающего месту пересечения экрана с падающим первичным пучком.
Экспериментальная часть
Схема установки для наблюдения дифракции электронов
приведена на рис.6. Она пред2Ѳ
ставляет собой вакуумную колбу,
D
UA UH
2Ѳ
расширенная часть которой являR
ется сферой.
В цилиндрической части ваРис.6
куумной колбы расположена
электронная пушка. Она состоит
из катода, нагреваемого нитью накаливания U н  , системы фокусирующих
электродов и анода, питаемого регулируемым постоянным напряжением
U A  . В непосредственной близости за анодом расположена прозрачная
пластинка с нанесенным на нее тонким слоем поликристаллического графита. Внутренняя часть сферической поверхности колбы, удаленная от
электронной пушки, покрыта люминофором, который начинает светиться
при попадании на него электронов, дифрагировавших при прохождении
через графитовую пленку.
Дифракционные кольца возникают при дифракции электронов на тех
плоскостях кристаллической решетки монокристаллов, которые удовлетворяют условию Брега – Вульфа (4). Кристаллическая структура графита
представлена на рис.7. Система кристаллических плоскостей, участвующих в дифракции электронов, – на рис.8. Таким образом, дифракционная
картина п – го порядка состоит из двух дифракционных колец. Множество
7
иных направлений периодических плоскостей в кристалле приводит лишь
к фоновой засветке на экране.
Рис.7
Рис.8
Кольца на экране оказываются достаточно размытыми, что связано с
конечной шириной пучка электронов, различной скоростью электронов в
пучке, а также наличием аморфной структуры материала подложки, на которую наносится порошок графита.
Рассчитаем радиус дифракционного кольца на экране r (рис.6). Если
провести радиус сферической части колбы к дифракционному кольцу, он,
очевидно, составляет с направлением первичного пучка электронов угол
4 Радиус сферы - R. Тогда r  R  sin4 . Ввиду малости угла, полагаем
sin4  4 . Из условия Брега – Вульфа (4)   n ,
поэтому
2d
r  2 Rn .
d
(5)
2R
n .
r
(6)
Радиус сферической части баллона R =65мм.
Отсюда, измерив радиус дифракционного кольца, можно определить
соответствующее межплоскостное расстояние
d
Напомним, что длина волны де-Бройля для электронов, ускоренных
электрическим полем с разностью потенциалов U A , равна

h
h

,
p
2meU A
(7)
где т – масса электрона, а е – его заряд.
Как следует из соотношений (6) и (7), для наблюдения при том же размере экрана колец порядка п > 1 нужно увеличивать U A . Однако такое
увеличение напряжения, а, следовательно, увеличение энергии электро8
нов, приводит к быстрому выгоранию люминофора экрана. Кроме того,
увеличение напряжения приводит к возникновению мягкого рентгеновского излучения, что опасно для экспериментатора. Поэтому в работе
наблюдаются только два кольца первого порядка.
Методика эксперимента
Общий вид установки для наблюдения дифракции электронов представлен на рис.9. Она состоит из электронной дифракционной лампы 1,
укрепленной на держателе 4, высоковольтного источника 2 и соединительных проводов 3.
Рис.9
Блок питания вырабатывает стабильное напряжение накала(нерегулируемое), и постоянное стабилизированное высокое ускоряющее напряжение, величина которого измеряется внутренним вольтметром
и в киловольтах, указывается на дисплее блока.
Порядок проведения эксперимента
1. При выключенном блоке питания выведите регулировку U A против
часовой стрелки до упора.
2. Включите блок питания тумблером на задней панели прибора. Выждать 1 минуту.
3. Поворачивая ручку регулировки U A по часовой стрелке, убедитесь,
что при UА>2кВ экран начинает светиться зеленым светом. (Напряжение
на аноде выводится на дисплей высоковольтного источника питания.)
9
4. Выставьте напряжение накала катода 5,5кВ, чтобы появились четкие
дифракционные кольца. Определите диаметр дифракционных колец D ,
измеряя штангенциркулем внутренний и внешний край колец, рассчитайте
среднее значение и занесите результаты в табл. 1.
5. Меняя ускоряющее напряжение, как указано в табл. 1, повторите измерения диаметров колец.
UА, ,
кВ
внеш
D1
мм
,
Таблица 1
внеш
D1 ,
D2
,
мм
мм
внут
D1 ,
мм
внут
D1 ,
мм
D2 ,
мм
5,5
6
7
8
9
10
10,5
6. По результатам измерений рассчитайте радиусы дифракционных колец r, длину волны де-Бройля  (формула(7)) и межплоскостные расстояния d (формула (5)). Результаты занесите в табл. 2.
UА, ,кВ
λ, пм
r1, мм
Таблица 2
d1, пм
r2, мм
d2,пм
5,5
6
7
8
9
10
10,5
7. Найдите средние значения межплоскостных расстояний d1 и d2.
8. Убедитесь в справедливости соотношения неопределенностей следующим способом. При прохождении пучка электронов через поликристаллическую пластинку можно считать, что неопределенность координаты
электрона при взаимодействии с узлами кристаллической решетки для одного из множества возможных направлений расположения кристаллических плоскостей принимает значение х  d . Неопределенность проекции
импульса на ось х можно полагать равной (см. рис.1 и рис.5)
10
r
r
 2meU A
. Используя эти значения, убедитесь, что
2R
2R
х  р х   . Проверьте это соотношение для различных х и р х .
р х  р  2  р
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Контрольные вопросы
Сформулируйте суть корпускулярно–волнового дуализма. Волна деБройля. Ее физический смысл.
Соотношение неопределенностей. В чем заключается его смысл?
В каких случаях электрон проявляет корпускулярные, а в каких – волновые свойства?
Выведите формулу Брэгга – Вульфа.
Как объяснить наличие нескольких дифракционных максимумов первого порядка при дифракции на графите?
Как изменяется картина при увеличении (уменьшении) напряжения на
аноде? Почему?
Каковы причины «размытия» дифракционных колец на экране?
Почему в эксперименте не наблюдаются дифракционные максимумы
высших порядков?
Почему опыты по дифракции частиц легче осуществлять для электронов?
Указания по технике безопасности
1. Включение приборов должно проводиться только в присутствии лаборанта или преподавателя.
2. Запрещается оставлять работающую установку, разбирать приборы и
отдельные узлы лабораторной установки.
3. Напряжение несколько киловольт опасно для жизни. Поэтому при выполнении работы нужно быть особенно внимательным и осторожным.
Список литературы
1. Иродов, И.Е. Квантовая физика. Основные законы/ И.Е.Иродов – М.:
Лаборатория базовых знаний, 2007.
2. Савельев, И.В. Курс физики,Т.3/ И.В.Савельев – СПб:. Лань, 2006.
3. Сивухин, Д.В. Общий курс физики/ Д.В.Сивухин – Атомная и ядерная
физика, ч.1. М.: Физматлит,2005.
11