Общее уравнение кривой второго порядка на проективно

Лекция№6
Тема: Общее уравнение кривой второго порядка на проективной плоскости.
Взаимное расположение кривой и прямой. Касательная кривой.
Полюс, поляра, поляритет
1.
2.
3.
4.
План лекции
Общее уравнение кривой второго порядка на проективной плоскости.
Взаимное расположение кривой второго порядка и прямой на проективной плоскости.
Касательная кривой второго порядка.
Полюс, поляра, поляритет.
Общее уравнение кривой второго порядка на проективной плоскости
Пусть на проективной плоскости
задан какой - либо проективный репер
. Кривой второго порядка на проективной плоскости называется
множество
всех точек
координаты которых удовлетворяют уравнению:
(1)
или, в свернутом виде,
, где
- квадратичная форма, определенная на
векторном пространстве
над полем
.
Замечание. Идексы коэффициентов в уравнении (1) - перестановочны:
;
.
Введем обозначение:
. Имея квадратичную форму
, мы можем определить билинейную форму:
.
Очевидно, что ψ(X,X)=Ф(X). Билинейная форма ψ называется полярной относительно
квадратичной формы
.
Взаимное расположение кривой второго порядка
и прямой на проективной плоскости
Пусть дана кривая второго порядка
определена двумя точками
.
(1) и пусть прямая
. Найдем пересечение
(2).
Решим уравнения (1) и (2) в системе. После подстановки выражения (2) в уравнение
(1) получим:
49
(3)
разделим обе части этого уравнения на квадрат одной из переменных. Поскольку
не
могут быть равны нулю одновременно, то хотя бы обно из них ненулевое.
Пусть
, после деления на
, получим
Возможны три случая:
1 случай.
тогда уравнение превращается в квадратное относительно
решения:
. Это уравнение имеет два
.
2 случай.
,
тогда уравнение (3) примет вид
Таким образом, в данном случае прямая
и кривая
имеют:
3 случай.
В данном случае любые значения
лежит на кривой
удовлетворяют уравнению (3), следовательно,
.
Выберем проективный репер так, чтобы вершины
прямой
, тогда уравнение прямой
этого репера лежали на
будет таким:
Тогда координаты любой точки
удовлетворяют уравнению
, тогда подставив уравнение кривой
, получим:
.
50
Каждое уравнение этой совокупности определяет прямую, поэтому в данном случае кривая
распадается на пару пересекающихся прямых, одна из которых -
.
Теорема 13. Пусть на проективной плоскости даны кривая второго порядка
и
прямая . Тогда возможны два случая:
1) пересечение
- две точки (действительные различные, совпадающие или
мнимые);
, при этом
2)
распадается на пару прямых, одна из которых - прямая .
Касательная кривой второго порядка
Прямая
пересечения
и кривой
называется касательной к кривой
второго порядка, если две точки
совпадают. При этом точка
называется точкой касания прямой
.
Прямая
называется касательной кривой
, если две точки пересечения
совпадают.
Если
, то
- точка касания.
Найдем уравнение касательной кривой
в точке
Рис. 18
Пусть
текущая точка касательной не совпадающая с точкой
параметрическое уравнение касательной примет вид:
Для отыскания общих точек
По условию
следует решить уравнение:
, поэтому
51
, тогда
Чтобы вторая точка пересечения совпала с точкой
, необходимо и достаточно чтобы
, тогда
Если коэффициенты точки
точка
удовлетворяли системе уравнений
называется особой точкой кривой
то
.
В особой точке кривая не имеет определенной касательной.
Кривая, имеющая особую точку, называется вырожденной. Она представляет собой
пару прямых пересекающихся в этой точке.
Если же точка
неособая, то есть
то уравнение (4) является
уравнением прямой. Эта прямая является касательной кривой
в точке .
Полюс, поляра, поляритет
Пусть на проективной плоскости
дана кривая второго порядка
Возьмём какую-либо точку
каждая из которых вместе с точкой
и рассмотрим множество
:
всех точек
обращает в нуль билинейную форму
,
:
(1)
или подробнее:
(2)
Если точка
не является особой точкой кривой
(и значит,
одновременно), то, как показывает уравнение (2), множество
называется полярой точки , а сама точка
Особая точка
кривой
не равны нулю
- прямая. Эта прямая
называется полюсом прямой .
не имеет определенной поляры (уравнение (2)
становится тождеством).
Пусть кривая
не имеет особых точек: ранг
. Тогда для каждой точки
существует определенная поляра (2), и, обратно, для каждой прямой
существует определенный полюс , координаты которого находим из системы уравнений:
,
определитель которой
Если точки
.
и
различны, то их поляры тоже различны.
Действительно, предположив противное, будем иметь:
.
Получаем систему линейных однородных уравнений:
52
,
определитель которой
Отсюда
.
,
что
противоречит условию.
Таким образом, всякая невырожденная кривая второго порядка
определяет
биекцию
проективной плоскости
на множество
её прямых. Эта биекция
называется
поляритетом.
, то полярой точки
Eсли
Обратно, если точка
служит касательная к кривой
в точке .
лежит на своей поляре, то
.
Пусть теперь
пересекающую кривую
. Проведем через точку
в двух различных точках, обозначим эти точки через
Поставим задачу: на прямой
разделяла
какую-либо прямую
найти точку
. Ясно, что
Всякая точка
,
такую, чтобы пара точек
и
.
гармонически
.
порождается вектором
.
Для точек
, пересечения
отношения
(или ) и для двух значений этого
отношения найдем:
,
(здесь каждое из чисел
,
отлично от нуля). Отсюда
,
т. е. равна нулю сумма корней квадратного уравнения
и, следовательно,
,
точка
лежит на поляре точки .
53
Легко проверить, что имеет место и обратное предположение: пусть
лежит на поляре точки
. Тогда если прямая
, то
пересекает кривую
и точка
в двух точках
.
Так как
, то получаем следующую теорему взаимности
поляритета.
Теорема о взаимности поляритета. Если точка
точка
лежит на поляре точки
, то и
лежит на поляре точки .
A
Рис. 19
Следствие. Пусть прямая
различных точках
кривой
в точке
Значит,
и
пересекает кривую второго порядка
- полюс прямой
в двух
. (рис. 19). Касательная
является полярой точки
к
, и по теореме о взаимности
.
.
Обратно, если через точку
касания, то прямая
проходят две касательные к кривой
и - точки
- поляра точки .
Если через точку
проходят две касательные к кривой второго порядка
называется внешней точкой относительно кривой
(поляра точки
, то
пересекает кривую
в двух точках).
Если через точку
что точка
нельзя провести ни одной касательной к кривой
внутренняя относительно кривой
общих точек с кривой
).
54
(поляра точки
, то говорят,
не имеет вещественных