1 3.8. Момент импульса в квантовой механике 3.8.1. Оператор момента импульса. Ранее (см §3.1) мы записывали оператор импульса: p̂ i . В классической механике момент импульса материальной точки относительно начала отсчета определяется: L r , p mr , v (3.8.1) где r – радиус-вектор частицы, а p – ее импульс. Аналогично этому определению вводится оператор момента импульса в квантовой механике: ˆ ˆ L r , p̂ i r , (3.8.2) Это векторный оператор, поэтому его можно представить как сумму операторов проекций: ˆ L L̂ x e x L̂ y e y L̂ z e z , (3.8.3) где операторы проекций момента импульса определяются: L̂ x i y z y z L̂ y i z x z x L̂ z i x y x y (3.8.4) Легко получить коммутатор для двух проекций момента импульса: L̂ x , L̂ y 2 y z z x z x y z y x z x z z y z (3.8.5) 2 y x i i x y iL̂ z y x x y Т.е. для всех проекций получаем: L̂ x , L̂ y iL̂ , L̂ z y , L̂z iL̂ x , L̂ , L̂ iL̂ z x (3.8.6) y Коммутаторы проекций отличны от нуля, т.е. любые 2 проекции момента импульса не могут быть одновременно измеримы. Отсюда следует важный вывод: Две любые проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения. Следовательно, и сам вектор момента импульса L не имеет определенного направления в пространстве. В классической механике при движении частицы в центральном поле помимо энергии сохранялись вектор момента импульса и соответственно его проекция, что говорило о плоской траектории частицы. В квантовой механике в центральном поле векторная величина момента импульса, оказывается, не может иметь определенное значение. Определенное значение имеют одновременно абсолютная величина момента импульса (квадрат момента импульса сохраняется) и одна из его проекций. 3.8.2. Оператор проекции момента импульса (МИ). Поскольку нас будет интересовать приложение теории МИ к движению частицы в центральном поле, то удобнее представлять его в сферической системе координат (r,,): (3.8.7) x rSinCos, y rSinSin, z rCos Пусть меняется только одна координата – угол (т.е. осуществляется вращение вокруг оси z): , и найдем производную от функции по координате x y z rSinSin rSinCos 0 x y x y z x y z x y Тогда помножая последнее равенство на множитель “-i“, имеем: 2 i x y L̂ z (3.8.8) x y Итак, в сферической системе координат оператор проекции МИ на ось z определяется соотношением: (3.8.9) L̂ z i В принципе ось z – произвольная, т.к. нет выделенного направления в центральном поле, если нет каких-то i внешних условий. Решим уравнение на собственные значения и собственные функции оператора проекции момента импульса: L̂z Lz i Lz или (3.8.10) i L z Решением уравнения (3.8.10) является осциллирующая экспонента: i m A exp L z (3.8.11) Условие однозначности решения означает, что функция должна остаться той же при повороте на целое число оборотов (2 – полный оборот), в частности на 2,т.е. (3.8.12) m m 2 Тогда подставляя (3.8.11), имеем: i Lz Ae i i Lz Lz 2 Ae e i 2 Lz e и 1 и получаем условие на собственные значения Lz Lz m, (3.8.13) m 0,1,2,3,... Число m определяет проекцию момента импульса частицы Lz и называется магнитным квантовым числом. Подставляя (3.8.13) в (3.8.11), имеем собственную функцию оператора проекции момента импульса m Ae im (3.8.14) Коэффициент А определяем из нормировки собственной функции: 2 0 2 *m m d A 2 0 e im im e d 2A 2 1 Откуда получаем нормировочный множитель: A 1 2 (3.8.14) Легко видеть, что выполняется условие ортонормированности: 2 0 m' m d m' m * (3.8.15) Окончательно получаем собственные функции и собственные значения оператора проекции МИ: m expim 2 L̂ z m m m 1 (3.8.16) (3.8.17) 3 Итак, проекция МИ на выделенное направление квантована, т.е. проекция МИ может принимать только значения кратные . Хотя направление оси z произвольно, но после выбора z – направления проекции Lz квантуются и принимают определенные дискретные значения, а другие проекции остаются неопределенными.