Движение частиц в магнитных полях

2. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Для описания движения частиц в электромагнитных полях, как
правило, используется цилиндрическая система координат, причем ось
симметрии магнитного поля нормальна к орбите частиц, лежащей в средней
плоскости
между
происходящее
полюсными
в
(горизонтальным),
средней
а
наконечниками
плоскости,
движение,
параллельное
магнита.
называется
оси
Движение,
радиальным
магнитного
поля,
называется вертикальным (аксиальным).
Рассмотрим простейший случай движения заряженной частицы в
магнитном поле однородном в пространстве и постоянном во времени.
Выберем ось Oz цилиндрической системы координат таким образом, чтобы
B  Bz iz . Второй закон Ньютона в этом случае имеет вид:
d  dR  e  dR 
m
   , B ,
dt  dt  c  dt 
(2.1)
где m – релятивистская масса, R - радиус-вектор, направленный к частице из
произвольного центра O, e – заряд частицы и c – скорость света. Будем
считать, что центр O совпадает с началом цилиндрической системы
координат (r=z=0). Тогда при любом θ имеем R  rir  ziz . Учитывая данное
выражение и соотношения
dir
di
  i и    ir преобразуем (2.1) к виду:
dt
dt
d  dR   d
1d
d
2
mr 2 i   mz  iz .
m
    mr   mr  ir 
dt  dt   dt
r dt
dt



(2.2)
С учетом (2.2) и ориентации магнитного поля второй закон Ньютона
может быть записан в проекциях как
dE  E 2 e
 r   r  r Bz ,
dt  c 2  c 2
c
(2.3а)
dE 2 
e
 2 r     rrBz ,
dt  c
c

(2.3б)
dE

dt  c 2

z  0.

(2.3в)
Уравнение (2.3а) показывает, что производная по времени от радиальной
проекции импульса определяется центробежной силой инерции (первое
слагаемое справа) и радиальной компонентой силы Лоренца (второе
слагаемое справа). В качестве дополнительного уравнения присоединим к
уравнениям (2.3а-2.3в) выражение для энергии в цилиндрической системе
координат:
E

m0c 2
 
1
1  2 r 2  r
c
2
z
2

(2.3г)
.
Для циклических ускорителей недостаточно, чтобы магнитное поле
обеспечивало только круговое движение, необходимо, чтобы это движение
было устойчивым, поскольку в реальных ускорителях всегда имеют место
процессы, возмущающие рассмотренное выше движение. Так как частицы
совершают большое количество оборотов, действие этих возмущений может
полностью нарушить движение частиц. При всяком малом отклонении
истинного движения частиц от движения по идеальной расчетной траектории
частицы не должны удаляться от этой траектории.
В
однородном
магнитном
поле
отсутствуют
силы,
которые
обеспечивали бы «вертикальную» устойчивость при движении. Наличие
компоненты скорости, направленной вдоль оси Oz приведет к тому, что
частица будет двигаться не по окружности, а по спирали, и ее осевое
смещение будет возрастать со временем (как это следует из уравнения (2.3в).
Движение, обладающее «вертикальной» и «радиальной» устойчивостью
возможно в так называемых «бочкообразных полях» (рис.2.1), которые
обладают следующими свойствами:
1) магнитное поле обладает цилиндрической симметрией относительно
оси Oz;
2) Силовые линии пересекают плоскость z=0 и симметричны
относительно ее (поле обладает плоскостью симметрии);
3) вертикальная компонента поля Bz при z=const монотонно убывает с
радиусом.
Рис. 2.1. Бочкообразное магнитное поле. Полюса магнита NS представляют собой
тела вращения относительно оси Z.
«Бочкообразное» поле имеет две компоненты Br и Bz1, причем
радиальная компонента равна нулю в плоскости симметрии (медианной
плоскости) и направлена в разные стороны выше и ниже этой плоскости.
Пусть силовые линии вертикальной проекции магнитного поля направлены
вниз (рис.2.1), и положительно заряженная частица, обращающаяся
относительно оси Oz, находится слева от нее и движется на нас. Тогда
независимо от того выше или ниже медианной плоскости находится частица
радиальная компонента магнитного поля обуславливает силу Лоренца
направленную к плоскости z=const, т.е. обеспечивает вертикальную
устойчивость. Отметим, что если бы силовые линии были выгнуты не
1
Компонента Bθ=0, что является следствием цилиндрической симметрии и уравнения Максвелла rotB=0.
Однако если интерес представляет только кольцевая область, а точка r=0 не рассматривается, то из
указанных свойств не следует равенство нулю аксиальной компоненты. Необходимо только, чтобы была
равна нулю циркуляция вектора магнитного поля по контуру охватывающему r=0. В частности, чтобы
отсутствовал ток вдоль оси Oz. В дальнейшем будем считать, что это требование выполнено.
наружу (как на рис.1) а внутрь, то магнитное поле бы обеспечивало
вертикальную неустойчивость.
Если в однородном поле любая окружность, лежащая в плоскости z=0,
могла бы быть орбитой частицы соответствующей энергии, то теперь центр
орбиты должен лежать на оси симметрии поля. Так как только на таких
окружностях вертикальная составляющая поля постоянна. Радиус r0 и
частота обращения частицы 0 будут определяться формулами:
r0  
E
,
eB0
0  
(2.4а)2
ceB0
,
E
(2.4б)
где B0  Bz  r , z  r r0 .
z 0
Наличие радиальной компоненты магнитного поля приводит к тому,
что в уравнениях (2.3б) и (2.3в) появляются дополнительные слагаемые
dE 2 
e
e
 2 r     rrBz  rzBr ,
dt  c
c
c

(2.5а)
dE

dt  c 2
(2.5б)
e

z    r Br .
c

Для выяснения закона убывания магнитного поля с радиусом, при котором
обеспечивается устойчивость движения, положим, что
B0  Bz  r , z  z 0  Ar  n ,
(2.6)
где А и n – постоянные величины. Величина n, определяемая в соответствии с
(2.6) формулой
n
2
r dB
,
B dr
(2.7)
Знак минус в уравнение (2.4а) выбран исключительно из соображений удобства записи последующих
уравнений.
называется «показателем спада» магнитного поля. Это выражение также
может быть записано в виде n  
d  ln B 
. Знак «-» вводится условно, чтобы
d  ln r 
получить положительное значение спада для слабофокусирующего поля.
В циклотронах и синхроциклотронах магнитное поле уменьшается с
увеличением радиуса, однако это уменьшение составляет всего несколько
процентов (при увеличении радиуса от значения инжекции до конечного),
поэтому величина Br растет с радиусом r. При приближении к краю полюса
спад поля происходит быстрее, чем нарастание радиуса, поэтому величина Br
проходит через максимум и начинает уменьшаться. На радиусе магнита,
соответствующему данному максимуму, могут удерживаться частицы с
наибольшим импульсом (энергией). В аксиально-симметричном поле
значение градиента в центре равно нулю, следовательно, равен нулю и
показатель спада поля. По мере возрастания радиуса r величина магнитного
поля B несколько уменьшается и dB/dr возрастает по абсолютной величине,
становится отрицательным. Поэтому показатель спада начинает расти
сначала медленно, а по мере приближения к краю полюса все быстрее.
Частицы, обладающие самым большим импульсом, можно получить,
если ускорять их до тех пор, пока они не окажутся на радиусе,
соответствующем значению n  1 . Однако, по некоторым причинам (см.
главу про резонансы), это невозможно. В циклотронах частицы желательно
ускорить до конечной энергии за как можно меньшее число оборотов.
Конечный радиус, до которого ускоряют частицы соответствует n  0.3 , в
синхроциклотронах n  0.2 .
В случае бочкообразного поля можно показать, что энергия частицы
является интегралом движения. Доказательство можно провести если
умножив уравнение (2.3а) на E
c2
r , (2.5а) на E
c2
 и (2.5б) на E
c2
z
сложить их, также следует воспользоваться уравнением (2.3г). Положим
r  r0   и будем в дальнейшем пренебрегать всеми величинами более
высокого порядка нежели  r0 , z r0 ,  0r0 и z 0 r0 . При этом, согласно


(2.6) будем иметь B  B0 1  n  (покажите это самостоятельно). Из
r0 

уравнения Максвелла rotB  0 имеем
Bz Br
. Разлагая Br в ряд и

r
z
ограничиваясь линейным слагаемым получаем
Br  z   Br  z  0  
Bz  r   nB0
Br
B
z
z  z z  nB0 ,
z
r
r0
r
.
r0
(2.8а)
(2.8б)
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что в медианной плоскости
радиальная компонента магнитного поля равна нулю. Используя выражения
для компонент магнитного поля (2.8) и линеаризуя уравнения движения
получаем:
  02 1  n    0 ,
(2.9а)
  0 1   r0  ,
(2.9б)
z  02 z  0 .
(2.9в)
Из (2.9а-в) видно, что движение частицы с энергией E по окружности
радиуса r0 будет устойчивым, если показатель спада магнитного поля
удовлетворяет условию 0<n<1 (так называемая мягкая фокусировка), т.е.
магнитное поле убывает по радиусу, но слабее чем r-1. Частоты колебаний
около орбиты, определяющие, как говорят, жесткость фокусировки, равны
r  0 1  n и z  0 n . Из уравнений (2.9а-в) следует, что чем больше
частоты вертикальных и радиальных колебаний, тем меньше амплитуды
отклонений. Использование областей магнитного поля, в которых n
1
получило название жесткой фокусировки.
Область поля, в которой обеспечивается фокусировка в радиальном
направлении, в тоже время дефокусирует частицы в радиальном направлении
и наоборот. При чередовании фокусирующих и дефокусирующих участков
при
определенных
результирующего
условиях
эффекта.
Это
можно
добиться
связано
с
тем,
фокусирующего
что
действующие
фокусирующие силы пропорциональны отклонениям частицы от положения
равновесия.
Критерии
устойчивости
орбит
в
сильнофокусирующем
ускорителе гораздо сложнее, чем при слабой фокусировки. Очень грубо
показатель спада магнитного поля можно оценить из соотношения
N   2  3 n , где N – число элементов периодичности системы за один
оборот.
Невозмущенная траектория, вокруг которой совершаются колебания,
называется равновесной орбитой. Она связана с равновесной частицей,
имеющей фиксированную энергию, и является замкнутой. В некоторых
типах ускорителей имеются области, свободные от магнитного поля, они
расположены между частями магнита и называются прямолинейными
промежутками. В этом случае равновесная орбита представляет собой
совокупность
Колебательные
кривых,
движения
соединенных
около
между
собой
равновесной
орбиты
касательными.
известны
под
названием бетатронных или свободных колебаний.
В заключение рассмотрим радиальные колебания частицы с импульсом
p+dp. Такая частица также имеет свою равновесную орбиту и совершает
вокруг нее колебания. Получим уравнение, описывающее движение данной
частицы с помощью параметров, характеризующих орбиту частицы с
импульсом p. Изменение импульса связано с изменением скорости частицы и
ее массы. Уравнение движения будет иметь вид
d2
 m  dm  v  dv   q v  dv B  dB  0 ,
m

dm

 2  re  x  



dt
re  x
2
(2.10)
где re – радиус равновесной окружности, x=r-re – радиальное отклонение
частицы от равновесной окружности, q – заряд частицы. Представим
1
1
x
 1   и пренебрежем всеми членами выше первого порядка
re  x re  re 
малости. В результате получаем
v
v2
v2
mx  2m dv  dm  m 2 x  qvdB  qBedv  0 .
re
re
re
(2.11)
Вводя показатель спада магнитного поля и учитывая, что dB  nBe x re , а
следовательно, qvdB  m 2nx , получаем, после приведения подобных
слагаемых:
mx  m 2 1  n  x  mdv  vdm .
Поскольку
dv  v dv v   2re dv v   2re  dp p  dm m  ,
(2.12)
то
из
(2.12)
окончательно получаем
x   2 1  n  x  re 2 dp p .
(2.13)
При выводе уравнений было сделано предположение, что азимутальная
скорость остается постоянной, такое упрощение было законно, пока мы
рассматривали решения, справедливые для малых промежутков времени. Для
большого интервала времени (всего периода ускорения) необходимо
учитывать изменение скорости. С учетом этого изменения уравнение,
например, вертикального движения запишется как
d
 Mz    2nz  0 .
dt
(2.14)
Продифференцировав (2.14) и разделив все члены на M получаем
z
M
z   2nz  0 ,
M
(2.15)
где коэффициенты зависят от времени. Будем искать решение в виде
z  zmax f  t  exp  i  b  t dt  ,


(2.16)
где f  t  - требующая определения функция времени. Найдя первую и
вторую производные (2.16) и подставив в (2.15) получаем, после сокращения
экспоненциального члена
f  t   2if b  fb  i
fb M
M

f i
f b  fb  0 .
M
2 b M
(2.17)
Так как предполагается, что величины f и M слабо меняются со временем, то
члены, содержащие f и fM , можно опустить. Поделив на 2i b f , получаем

f
b
M


 0.
f 4b 2M
(2.18)
Умножая на dt, найдем
df
db dM
 
,
f
4b 2M
(2.19)
или
f 
C
,
b M1 2
(2.20)
14
где C – константа интегрирования. Но M  qB  , поэтому окончательно
имеем
z
const
exp  i  n1 2dt  .
14 12
n B
(2.21)
Полученное выражение показывает, что движение может быть описано
синусоидой с затухающей амплитудой. Аналогичный анализ радиального
движения приводить к результату
x
const
1  n 
14
 i  1  n 1 2 dt  .
exp
 

B1 2
(2.22)
В циклотронах и синхроциклотронах магнитное поле меняется слабо,
тогда,
как
показатель
спада
меняется
от
0
до
значения
0.2-0.3,
соответствующего максимальной энергии. Поэтому в течении времени
ускорения вертикальные колебания затухают, а амплитуда радиальных
увеличивается. В синхрофазотронах показатель спада остается почти
постоянным (по модулю), а величина поля увеличивается примерно в 50 раз,
поэтому амплитуды поперечных колебаний уменьшаются.