колебания. Параметры колебательного движения. Уравнение

12.
Механические и электромагнитные колебания и волны.
Гармонические колебания. Параметры колебательного движения.
Уравнение свободных гармонических колебаний.
В технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти
периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют
колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям.
Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми
уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной
природы с единой точки зрения.
Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в
механике значительный интерес представляют и колебательные движения.
Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся
точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени.
Механические колебания, как и колебательные процессы любой
другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными.
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил
системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия.
Колебания груза на пружине или колебания нитяного маятника являются
свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил,
называются вынужденными.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе
колебаний, повторяются через равные промежутки времени. (В противном случае колебания называют апериодическими).
Отличительными признаками колебательного движения являются:
повторяемость движения;
возвратность движения (движение как в прямом, так и в обратном направлении).
Условия возникновения механических колебаний:
хотя бы одна сила должна зависеть от координат
при выведении тела из положения устойчивого равновесия возникает равнодействующая, направленная к
положению равновесия. С энергетической точки зрения это значит, что возникают условия для постоянного
перехода кинетической энергии в потенциальную и обратно.
малое трение в системе.
Для возникновения колебания тело необходимо вывести из положения равновесия, сообщив либо кинетическую
энергию (удар, толчок), либо – потенциальную (отклонение тела).
Основными характеристиками механических колебаний являются: смещение, амплитуда, частота, период, фаза
колебаний.
Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания.
Гармонические колебания — это колебания, при которых координата (смещение) тела изменяется со временем по
закону косинуса или синуса и описывается уравнениями:
x xm sin( t 0 ) или x xm cos( t 0 ) ,
где х – координата тела (смещение тела из положения равновесия) в момент времени t;
амплитуда xm – максимальное смещение тела из положения равновесия (амплитуда колебания зависит только от
начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе));
циклическая (или круговая) частота ω –– число полных колебаний за промежуток времени Δt , равный 2π секунд:
2
2
T
Фаза колебаний
(рад/с);
–– аргумент периодической функции, определяющей значение смещения
0
(колеблющейся величины) в данный момент времени t (рад);
Начальная фаза φ0 – определяет положение тела в начальный момент времени.
Период Т – время одного полного колебания, т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого
повторяются значения всех величин, характеризующих колебание
(1с): T
t .
N
t
Частота ν – число полных колебаний в единицу времени
(1Гц).:
N
t
Таким образом, частота и период колебаний связаны соотношением
1.
T
На рисунке справа во всех трех случаях для синих кривых φ0=0:
а – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой
(x'm>xm);
b – красная кривая отличается от синей только значением периода
(T'=T/2);
с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы
(
рад).
'0
4
Нами рассмотрен простейший вид периодических колебаний. Выбор
конкретного вида функции (синус или косинус) для описания колебаний зависит
от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение
происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0 смещение х=0,
следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0=0. При
отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при
t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0.
С учетом взаимосвязей между различными характеристиками
колебательного движения уравнение свободных гармонических колебаний можно
переписать, например, следующим образом:
x xm cos( t
0
)
или
x xm cos(2
t
0
)
или
x xm cos(
2
t
T
0
)
Поскольку мгновенная скорость движения равна по определению первой производной координаты по времени,
получаем уравнение колебаний проекции скорости в процессе свободных гармонических колебаний:
v x' (xm cos( t
))'
x sin( t
)
0
m
0
Таким образом, скорость при таком движении тоже совершает гармонические колебания по закону
xm - амплитуда колебаний скорости.
v vm sin( t 0 ) , где vm
Поскольку мгновенное значение ускорения по определению равно первой
производной скорости по времени, получаем уравнение колебаний проекции
ускорения в процессе свободных гармонических колебаний:
2 x cos( t
a v' ( vm sin( t 0 ))'
)
m
0
Таким образом, ускорение при таком движении тоже совершает
гармонические
колебания
по
закону
a
am cos( t
0
),
где
2x
m - амплитуда колебаний ускорения.
На рисунке справа показаны графики координаты x(t), скорости υ(t) и
ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания. Из анализа
процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических
выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения
равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела
максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции). А при
достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение
максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).
2 x cos( t
2 x показывает, что для гармонических колебаний
Выражение a v' x''
)
m
0
вторая производная смещения пропорциональна и противоположна по знаку самому смещению. Это важнейший признак
гармонических колебаний. А уравнение
2x
x''
am
называют основным уравнением гармонических колебаний.