Семинар 2 Основные теоретические сведения

СЕМИНАР 2
13
Семинар 2
Гармонические колебания. График гармонических колебаний. Математический и пружинный маятники.
Основные теоретические сведения
Гармонические колебания. График гармонических колебаний.
На прошлом семинаре мы узнали, что такое колебания, и рассмотрели основные характеристики колебаний. На этом семинаре мы рассмотрим самый распространенный вид
колебаний – гармонические колебания.
Гармоническими являются колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению колеблющегося тела относительно положения равновесия и
направленной противоположно этому смещению.
Мы знаем, что под действием такой силы происходят колебания груза на пружине.
Поэтому колебания груза на пружине могут служить примером гармонических колебаний.
С помощью опыта, изображенного на рис. 2.1, можно выяснить, по какому закону меняется с течением времени координата колеблющегося пружинного маятника и как выглядит
график этой зависимости.
В данном опыте в качестве груза берут какой-нибудь небольшой, но массивный сосуд с маленьким отверстием внизу
(например, воронку), а под него кладут длинную бумажную
ленту. Сосуд с предварительно насыпанным в него песком
(или налитой в него красящей жидкостью) приводят в колебательное движение. Если ленту перемещать равномерно в
направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, то на
ней останется волнообразная дорожка из песка, каждая точка
которой соответствует положению колеблющегося груза в
тот момент, когда он проходил над ней.
На рис. 2.2 показан вид полученной
кривой. Она называется синусоидой (такой
график имеют функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 и 𝑦 =
𝑐𝑜𝑠 𝑥). Через точки, соответствующие положению равновесия маятника, проведена
ось времени 𝑡, а перпендикулярно ей – ось
смещения от положения равновесия 𝑥.
Рис. 2.1
𝑥, м
𝐴
0
𝑇
2𝑇
3𝑇
𝑡
Маятник начал движение из положения −𝐴
равновесия с координатой 𝑥 = 0. За время,
Рис. 2.2
равное периоду 𝑇, маятник совершил полное колебание, то есть, максимально отклонился, дойдя до точки 𝑥 = 𝐴, на мгновение задержался в ней, изменив направление скорости на противоположное, затем миновав положение равновесия, дошел до противоположной крайней точки с координатой 𝑥 = −𝐴,
снова поменял направление движения и вернулся в то же самое место, откуда начал (𝑥 =
0).
Если в ходе опыта был измерен промежуток времени 𝑡, за который маятник совершил
показанные на графике колебания, то можно определить их период 𝑇, разделив это время
на число колебаний:
𝑡
𝑇 = 𝑁.
Зная период, можно найти частоту колебаний:
ФИЗИКА, 9 КЛАСС, ЧАСТЬ 2
14
1
𝜈= .
𝑇
Если график зависимости координаты от времени какого-нибудь тела представляет
собой синусоиду (косинусоиду), то есть если координата меняется со временем по закону
синуса (косинуса), то в этом случае говорят, что и координата, и само тело совершают
гармонические колебания.
Периодические изменения во времени физической величины, происходящие по закону
синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.
Математический маятник.
На рис. 2.3 изображен опыт, аналогичный рассмотренному выше, только для нитяного маятника. С помощью этого опыта можно показать, что и для нитяного маятника график зависимости координаты от времени тоже
представляет собой синусоиду, то есть что его колебания
являются гармоническими.
Теоретически колебания нитяного маятника были бы
строго гармоническими в том случае, если бы он представлял собой материальную точку, колеблющуюся без
трения с малой амплитудой и находящуюся на не меняющемся со временем расстоянии до точки подвеса.
Материальная точка, колеблющаяся на не меняющемся со временем расстоянии до точки подвеса, называется
математическим маятником.
Рис. 2.3
Математический маятник – это абстрактная модель, реально таких маятников не бывает. В действительности колебания, близкие к гармоническим, совершает тяжелый шарик (например, стальной), подвешенный на легкой и малорастяжимой нити, длина которой значительно больше диаметра этого шарика, при малой амплитуде и малом трении.
Подвесим два одинаковых шарика на нитях различной длины и приведем их в колебательное движение. Мы увидим, что за один и тот же промежуток времени короткий маятник совершит больше колебаний, чем длинный. Следовательно, период колебаний математического маятника 𝑇 зависит от длины нити 𝐿.
Во второй раз подвесим на одинаковых нитях шарики разной массы. Заметим, что в
этом случае маятники колеблются с одинаковой частотой, а значит, и с одинаковым периодом. Следовательно, период колебаний математического маятника не зависит от массы
материальной точки.
Теоретически доказано и экспериментально проверено, что период колебаний математического маятника определяется формулой:
𝐿
𝑇 = 2𝜋√𝑔.
Пружинный маятник.
В начале семинара мы рассмотрели гармонические колебания пружинного маятника.
От чего зависит период таких колебаний? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте проведем серию опытов.
В первой серии опытов будем брать грузы разной массы 𝑚, измерять время 𝑡 нескольких колебаний(𝑁). Результаты опыта занесем в таблицу (период колебаний 𝑇 будем вы𝑡
числять по формуле 𝑇 = 𝑁):
СЕМИНАР 2
15
𝑚, г
100
200
300
400
500
600
700
800
900
𝑡, с
20,0
28,3
34,6
40,0
44,7
49,0
52,9
56,6
60
𝑁
20
20
20
20
20
20
20
20
20
𝑇, с
1
1,4
1,7
2,0
2,2
2,45
2,6
2,8
3,0
По данным из таблицы построим график зависимости периода колебаний груза на
пружине 𝑇 от массы подвешенного груза 𝑚 (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Похожий вид имеет график функции 𝑦 = √𝑥. Таким образом, мы экспериментально доказали, что период колебаний пружинного маятника пропорционален корню квадратному из
массы подвешенного груза:
𝑇~√𝑚.
Аналогично мы можем провести серию опытов для одного и того же груза, меняя при
этом пружину. Таким образом, мы сможем исследовать зависимость периода колебаний
от жесткости пружины.
Теоретически можно доказать, что период колебаний пружинного маятника определяется формулой:
𝑚
𝑇 = 2𝜋√ 𝑘 .
На примере периода колебаний математического маятника мы с вами рассмотрели методику проведения эксперимента по исследованию зависимости физической величины от
каких-либо параметров.
ФИЗИКА, 9 КЛАСС, ЧАСТЬ 2
16
Примеры решения задач
Задача 1. Частица массой 𝑚 совершает гармонические колебания под действием силы
𝐹 = −𝑘𝑥. Максимальная скорость частицы 𝑣0 . Найти полную энергию частицы и амплитуду колебаний. Потерями энергии на трение и сопротивление воздуха пренебречь.
Дано:
Решение:
1) При колебаниях тела на пружине жесткости 𝑘 возникает сила
упругости 𝐹упр = −𝑘𝑥, поэтому можно считать, что колебания
𝐸−?
частицы эквивалентны колебаниям тела массой 𝑚 на пружине
𝐴−?
жесткости 𝑘.
2) Потерями энергии можно пренебречь. Следовательно, полная механическая
энергия тела сохраняется и ее можно найти как сумму потенциальной и
кинетической энергии тела в момент, когда скорость тела максимальна. Но
скорость колеблющегося на пружине тела максимальна в положении равновесия. А
в положении равновесия энергия пружина равна нулю. Поэтому:
𝑚, 𝑣0 , 𝑘;
𝑚𝑣 2
𝑚𝑣 2
𝐸 = 𝐸кин + 𝐸пот = 2 0 + 0 = 2 0 .
3) Запишем выражение для полной механической энергии тела в момент времени,
когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия (в
этом положении скорость тела равна нулю, а растяжение пружины равно
амплитуде колебаний 𝐴):
𝑘𝐴2
𝑘𝐴2
𝐸 = 𝐸кин + 𝐸пот = 0 + 2 = 2 .
4) Подставим в левую часть этого уравнения выражение для полной механической
энергии тела из пункта 3:
𝑚𝑣02
𝑘𝐴2
= 2 .
2
Выразим из этого уравнения амплитуду колебаний 𝐴:
2∙
𝐴=√
𝑚𝑣2
0
2
𝑘
𝑚𝑣02
=√
𝑘
.
5) Проверим ответ по размерности:
2
[𝑚]∙[𝑣0 ]2
𝑚𝑣
[√ 𝑘 0 ] = √
[𝑘]
кг∙(м⁄с)2
Н⁄
м
=√
кг∙м2⁄
с2
кг⁄
с2
=√
= м,
что соответствует размерности амплитуды колебаний.
Ответ: 𝐸 =
𝑚𝑣02
2
,𝐴=√
𝑚𝑣02
𝑘
.
Текстовые задачи
I
Задача 2.1. Амплитуда гармонических колебаний тела равна 6 см. Какой путь прошло
это тело за половину периода колебаний?
Задача 2.2. Амплитуда свободных колебаний тела равна 50 см. Какой путь прошло это
тело за 5 периодов колебаний?
СЕМИНАР 2
17
Задача 2.3. (ГИА) Шар подвешен на пружине и совершает свободные колебания с амплитудой 4 см и периодом 1 с. Каково расстояние от верхнего
положения А до нижнего положения С (см. рис. 2.5) и за какое время шар
проходит это расстояние?
Задача 2.4. Сколько раз за один период колебаний груза на пружине потенциальная энергия пружины и кинетическая энергия груза принимают
равные значения?
Рис. 2.5
Задача 2.5. Сколько раз за один период колебаний груза на пружине потенциальная
энергия пружины принимает максимальное значение?
Задача 2.6. Гирьку массой 𝑚 = 0,5 кг подвесили на пружине, после чего пружина удлинилась на Δ𝑙 = 2 см. Найдите коэффициент жесткости этой пружины.
Задача 2.7. Груз, подвешенный на пружине, совершает свободные колебания между точками 1 и 3 (см. рис. 2.6). В каком (-их) положении (-ях)
скорость груза будет минимальна?
Задача 2.8. Определить период колебаний груза массой 𝑚 = 0,1 кг, подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости 𝑘 = 10 Н⁄м.
1
2
3
Задача 2.9. Во сколько раз нужно увеличить коэффициент жесткости
пружины, чтобы период колебаний груза, подвешенного на ней, уменьшился в 4 раза?
Задача 2.10. Как изменился период колебаний пружинного маятника, если
его масса уменьшилась в 𝑛 = 9 раз?
Рис. 2.6
Задача 2.11. Груз какой массы следует прикрепить к пружине жесткостью 𝑘 = 10 Н⁄м,
чтобы его период колебаний был равен 𝑇 = 5 𝑐?
Задача 2.12. Период гармонических колебаний 𝑇 = 4 𝑐. Определите время 𝑡1 , за которое
тело, совершающее эти колебания, пройдет путь, равный амплитуде, если в начальный
момент времени тело проходило положение равновесия; а также время 𝑡2 , за которое это
тело проходит путь, равный 3 амплитудам.
Задача 2.13. Какую длину имеет математический маятник с периодом колебаний 𝑇 =
1 𝑐?
Задача 2.14. Во сколько раз изменится частота колебаний математического маятника при
увеличении длины нити в 3 раза?
Задача 2.15. Определить длину нити математического маятника, если он перемещается
из крайнего левого положения в крайнее правое за секунду.
Задача 2.16. Небольшая тележка при помощи
пружины жесткости 𝑘 = 12 Н/м прикреплена
к стене. Тележка совершает свободные колебания в горизонтальной плоскости. На рис. 2.7
изображен график зависимости потенциальной
энергии пружины от времени. Определить по
графику амплитуду колебаний.
𝐸пот , Дж
60
𝑥, м
30
0
45
105
Рис. 2.7
165
𝑡, с
𝑡, с
ФИЗИКА, 9 КЛАСС, ЧАСТЬ 2
18
Задача 2.17. (ГИА) На рис. 2.8 представлен
график зависимости смещения 𝑥 тела от положения равновесия с течением времени 𝑡 при
гармонических колебаниях. Чему равны амплитуда 𝑥0 колебаний и период 𝑇 колебаний?
Рис. 2.8
Задача 2.18. Груз на пружине жесткости 𝑘 =
6 Н/м колеблется в горизонтальной плоскости.
На рис. 2.9 изображен график зависимости потенциальной энергии пружины от времени.
Определить по графику амплитуду колебаний.
𝐸пот , Дж
30
15
0
30
II
60
90
𝑡, с
Рис. 2.9
Задача 2.19. На рис. 2.6 изображен график зависимости потенциальной энергии колеблющегося тела массы 𝑚 = 7,5 кг от времени. По графику определите период колебаний
тела, полную механическую энергию и максимальную скорость тела.
Задача 2.20. На рис. 2.8 изображен график зависимости потенциальной энергии колеблющегося тела массы 𝑚 = 15 кг от времени. По графику определите период колебаний
тела, полную механическую энергию и максимальную скорость тела.
Задача 2.21. Период колебаний груза на пружине 𝑇 = 0,4 𝑐. Найдите период колебаний
кинетической энергии этого груза.
Задача 2.22. Частота колебаний потенциальной энергии математического маятника 𝜈 =
10 Гц. Найдите частоту колебаний математического маятника.
Задача 2.23. Если к пружине подвесить поочередно два разных груза, пружина удлиняется на 𝛥𝑥1 = 1 см и 𝛥𝑥2 = 2 см соответственно. Определить период колебаний, когда к
пружине подвешены оба груза.
Задача 2.24. Период колебаний груза на пружине 𝑇 = 0,5 𝑐. На сколько уменьшится длина пружины, если снять с нее груз?
Задача 2.25. Если на резиновом шнуре подвесить груз, то шнур растягивается на Δ𝑥 =
39,2 см. Найти период малых вертикальных колебаний груза.
Задача 2.26. Под действием силы 𝐹 = 2 𝐻 пружина растягивается на Δ𝑥 = 1 см. К этой
пружине прикрепили груз массой 𝑚 = 2 кг. Найти период колебаний данного пружинного
маятника.
Задача 2.27. Определить массу груза, который на пружине жесткостью 𝑘 = 250 Н⁄м делает 𝑁 = 20 колебаний за время 𝑡 = 16 𝑐.
СЕМИНАР 2
19
Задача 2.28. С какой скоростью проходит груз пружинного маятника, имеющего массу
0,1 кг, положение равновесия, если жесткость пружины 10 Н⁄м, а амплитуда колебаний
5 см?
Задача 2.29. Частица массой 𝑚 совершает гармонические колебания под действием силы
упругости 𝐹 = −𝑘𝑥. Максимальная скорость частицы 𝑣0 . Найти полную энергию частицы
и амплитуду колебаний.
Н
Задача 2.30. На пружине жесткостью 𝑘 = 40 м подвешен груз массой 𝑚 = 500 г. Построить график зависимости смещения этого груза, если амплитуда 𝐴 = 10 см, а в начальный
момент времени груз проходил положения равновесия.
Задача 2.31. Математический и пружинный маятники совершают колебания с одинаковым периодом. Определить массу груза пружинного маятника, если коэффициент жесткости пружины 𝑘 = 20 Н/м. Длина нити математического маятника 𝑙 = 0,4 м.
Задача 2.32. Как относятся длины математических маятников, если за одно и тоже время
один совершил 𝑛1 = 10, а другой 𝑛2 = 30 колебаний?
Задача 2.33. Изменится ли период колебаний качелей, если вместо одного человека на
качели сядут двое?
Задача 2.34. Маятник длиной 𝑙 = 2 м совершает за время 𝑡 = 1 ч 𝑁 = 1268 колебаний.
Определить по этим данным ускорение свободного падения.
Задача 2.35. Один математический маятник имеет период 𝑇1 = 3 𝑐, а другой – 𝑇2 = 4 𝑐.
Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин
данных маятников?
Задача 2.36. Два математических маятника начинают колебаться одновременно. Когда
первый маятник совершил 𝑁1 = 20 полных колебаний, второй совершил только 𝑁2 = 10
полных колебаний. Какова длина 𝑙1 первого маятника, если длина второго 𝑙2 = 4 м?
Задача 2.37. Маятниковые часы за 𝑡 = 1 сут отстают на 𝛥𝑡 = 1 ч. Что надо сделать с маятником, чтобы они шли верно?
Задача 2.38. Частота гармонических колебаний равна 𝜈 = 0,5 Гц, а амплитуда – 𝐴 =
80 см. Построить график зависимости смещения от времени, если колебания происходят
по синусоидальному закону.
III
Задача 2.39. На легкой, вертикально расположенной пружине подвешена пластина массой 𝑚0 = 20 г, на которой лежит грузик массой 𝑚1 = 5 г. Период колебаний такой системы равен 𝑇 = 1 𝑐. Затем грузик заменяют другим, массой 𝑚2 = 25 г. Каким станет
удлинение пружины в положении равновесия?
Задача 2.40. На двух пружинах подвешены грузы массами 𝑚1 = 100 г и 𝑚2 = 50 г соответственно. При этом изменение длины у пружин одинаково. Определить отношение периодов колебаний этих систем. Каков период колебаний первого груза, если жесткость
Н
второй пружины 𝑘2 = 10 ? Найти жесткость первой пружины.
м
Задача 2.41. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его поднимают по вертикали
до точки подвеса, второй раз отклоняют на небольшой угол. В каком из этих случаев шарик быстрее возвратится к начальному положению?
20
ФИЗИКА, 9 КЛАСС, ЧАСТЬ 2
Задача 2.42. Два математических маятника, один длиной 𝑙 = 10 см, а другой длиной 2𝑙,
совершают колебания с одинаковыми угловыми амплитудами. Определить периоды колебаний маятников и отношение их энергий, если массы шариков одинаковы.
Задача 2.43. С каким ускорением должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в
ней секундный маятник за 2 мин 30 с совершил 100 колебаний?
Задача 2.44. Из-за вращения Земли значения ускорения свободного падения на экваторе
м
м
(𝑔1 = 9.780 с2) и на полюсе (𝑔2 = 9.832 с2 ) отличаются. На сколько будут отличаться показания маятниковых часов, расположенных на экваторе, от показаний таких же часов,
расположенных на полюсе, если первые показывают время 𝑡1 = 6 ч утра. Часы синхронизировали в полночь.