Международный институт экономики и финансов (Государственный университет Высшая Школа Экономики). Лекции по линейной алгебре Владимир Черняк Лекция 13. Собственные значения и собственные векторы. Читать под музыку “Baby be mine” (Suite Chic) Собственные значения и собственные векторы Определение Пусть A - n × n матрица. Действительное число λ является собственным значением A тогда и только тогда, когда существует ненулевой n -вектор x , такой, что Ax = λx . Соответственно, любой ненулевой вектор x , такой, что Ax = λx является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ . В ряде учебников собственные значения называются также характеристическими числами, а собственные векторы называются также характеристическими векторами. Если x является вектором, соответствующим собственному значению λ для n × n матрицы A , то, согласно приведенному выше определению, матричное произведение Ax эквивалентно умножению на скаляр λx . Таким образом, Ax является параллельным вектору x , удлиненным по отношению к x , если | λ | >1, или укороченным по отношению к x если | λ | <1. Разумеется, если λ = 0, то Ax = 0 . Заметим, что собственное значение может быть нулем. Однако, согласно определению, собственный вектор никогда не может быть нулевым вектором. ПРИМЕР 1. Рассмотрим 3× 3 матрицу − 4 8 − 12 A = 6 − 6 12 6 − 8 14 Заметим, что λ = 2 является собственным значением для A , так как 4 − 4 8 − 12 4 8 4 A 3 = 6 − 6 12 3 = 6 = 2 ⋅ 3 0 6 − 8 14 0 0 0 Легко убедиться, что x = ( 4, 3, 0) является собственным вектором, соответствующим собственному значению 2, так как Ax = 2x . Фактически любой пропорциональный ему вектор c ( 4, 3, 0) также является собственным вектором, соответствующим 2, поскольку A( cx ) = cAx = c( 2x ) = 2( cx ) . Следовательно, существует бесконечно много собственных векторов, соответствующих данному собственному значению. 1 Определени. Пусть A - n × n матрица, и предположим, что λ является собственным значением A . Тогда множество называется собственным E λ = {x | Ax = λ x } подпространством для λ . Собственное подпространство Eλ для конкретного собственного значения λ для матрицы A состоит из всех собственных векторов для A , соответствующих λ , вместе с нулевым вектором 0 , поскольку A0 = 0 = λ 0 , для любого x . Таким образом, для матрицы A в примере 1, E2 содержит (по крайней мере) все векторы, параллельные ( 4, 3, 0) . Характеристический многочлен матрицы Наше цель состоит в том, чтобы найти метод определения всех собственных значений и всех собственных векторов для любой n × n матрицы A . Если x является собственным вектором для A , соответствующим собственному значению λ , то Ax = λx = λI n x , or ( λI n − A )x = 0 . где I n представляет собой единичную n × n матрицу. Следовательно, x является нетривиальным решением однородной системы линейных уравнений с матрицей коэффициентов ( λI n − A ) . Это означает, что | λI n − A | = 0 . Так как все шаги приведенного рассуждения обратимы, то мы фактически доказали следующее: Теорема 1. Пусть A - n × n матрица. Тогда λ является собственным значением A тогда и только тогда, когда | λI n − A | = 0 . Собственные векторы, соответствующие λ , представляют собой нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений ( λI n − A )x = 0 . Собственное подпространство Eλ совпадает с полным набором решений этой однородной системы уравнений. ПРИМЕР 2. Рассмотрим снова матрицу − 4 8 − 12 A = 6 − 6 12 6 − 8 14 из Примера 1 1. Чтобы найти собственные значения A теорема предлагает записать уравнение | λI n − A | = 0 , рассматриваемое относительно x : λ + 4 −8 8 − 12 12 λ 0 0 − 4 12 = − 6 λ + 6 − 12 = 0 0 λ 0− 6 −6 0 0 λ 6 −8 14 −6 8 λ − 14 После упрощения этого уравнения получаем λ3 − 4λ2 + 4λ = 0 , или λ ( λ − 2) 2 = 0 , 2 что дает два решения: λ1 = 2 и λ2 = 0 . Мы можем найти собственные векторы, соответствующие λ 1= 2, используя преобразования строк матрицы ( λI n − A )x = 0 , где λ = 2. 8 − 12 2 0 0 − 4 2I 3 − A = 0 2 0 − 6 − 6 12 0 0 2 6 − 8 14 12 0 6 −8 Так что получаем − 6 8 − 12 0 − 6 8 − 12 0 1 − 43 2 0 0 0 0 После выполнения операций над строками 0 0 0 0 0 Далее используем метод определения базиса для выражения множества решений как множества линейных комбинаций базисных решений, в итоге получаем E2 = {a ( 4, 3, 0) + b( −2, 0, 1) | a, b ∈ R} Далее находим собственные векторы, соответствующие λ2 = 0 , решая (0I 3 − A )x = 0 , точно так же, как были найдены собственные векторы для λ1 = 2 путем решения системы ( 2I 3 − A )x = 0 . Более подробно это происходит следующим образом: 8 − 12 − 4 12 из 6 − 6 6 −8 14 0 0 0 1 1 0 получаем 0 1 − 1 0 0 0 0 0 0 что дает множество решений E0 = { c( −1, 1, 1) | c ∈ R }. Следовательно, z = (−1, 1, 1) и все пропорциональные ему векторы представляют собой собственные векторы A , соответствующие λ2 = 0 . Для проверки этого факта достаточно заметить, что 8 − 12 − 1 0 − 4 − 1 Az = 6 − 6 12 1 = 0 = 0 ⋅ 1 = 0z 6 −8 1 14 1 0 Ввиду того, что определители вида | λI n − A | оказываются полезными для нахождения собственных значений, мы можем дать следующее определение: Определение Если A является n × n матрицей, то характеристический многочлен A представляет собой многочлен степени n вида pA ( x ) = | xI n − A | . Используя данную терминологию, мы можем перефразировать первое предложение теоремы 1 следующим образом: Теорема 2. Собственные значения A совпадают с действительными корнями характеристического многочлена pA ( x ) = | xI n − A | . 3 12 − 51 ПРИМЕР 3. Характеристическим многочленом для A = служит 2 − 11 x − 12 − 51 x 0 12 − 51 pA ( x ) = = − = 2 x + 11 0 x 2 − 11 = ( x − 12)( x + 11) + 102 = = x 2 − x − 30 = ( x − 6)( x + 5) . Следовательно, собственные значения A являются решениями уравнения pA ( x ) = 0 , или, λ1 = 6 и λ2 = −5 . 1 −1 7 Аналогично, характеристическим многочленом для B = − 11 − 3 2 является 18 2 − 4 x − 7 −1 1 pB ( x ) = 11 x + 3 − 2 − 18 − 2 x + 4 что упрощается до pB ( x ) = x 3 − 12 x − 16 или pB ( x ) = ( x + 2) 2 ( x − 4) . Следовательно, λ1 = −2 и λ2 = 4 являются собственными значениями для B . Вычисление характеристического многочления для матриц размерности 4 × 4 и более может быть весьма утомительным. Еще большие трудности может представить определение корней характеристического многочлена. Поэтому на практике для вычисления собственных значений обычно используется калькулятор или компьютер с соответствующим программным обеспечением. Теорема 3 Собственные значения матрицы A , соответствующие различным собственным значениям A , являются линейно независимыми. Доказательство. Пусть x1 , x 2 , … , x k - собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям λ1 , λ2 ,…, λk . Для k = 1 теорема, очевидно, верна. Пусть теорема верна для k = m − 1 , и предположим, что для k = m она не выполняется: c1x1 + c2 x 2 + ... + cm x m = 0; c1 ≠ 0 . Умножая A на эту линейную комбинацию, получаем A( c1x1 + c2 x 2 + ... + cm x m ) = c1Ax1 + c2 Ax 2 + ... + cm Ax m = . = c1λ1x1 + c2 λ2 x 2 + ... + cm λm x m = 0 . (*) С другой стороны, умножая линейную комбинацию на λ1 , получаем c1λm x1 + c2 λm x 2 + ... + cm λm x m = 0 . (**). Вычитая (**) из (*), имеем c1 ( λ1 − λm )x1 + c2 ( λ2 − λm )x 2 + ... + cm ( λm − λm )x m = 0 или c1 ( λ1 − λm )x1 + c2 ( λ2 − λm )x 2 + ... + cm −1 ( λm−1 − λm )x m = 0 что невозможно, так как c1 ≠ 0 и λ1 ≠ λm (линейная зависимость). Библиография Carl P. Simon, Lawrence Blume. Mathematics for Economists. W.W.Norton&Company. New-York, London. 1994. Chapter 23 4