Движение и взаимодействие одноименно заряженных частиц Петров К.А. , Развина Т.И., Развин Ю.В. , Соколова С.Н. Анализ выполнения заданий централизованного тестирования по физике показывает, что учащиеся испытывают значительные трудности при решении задач, основанных на комплексном применении законов механики и электромагнетизма. В настоящей работе проведен анализ решения ряда задач, в условиях которых представлено движение заряженных частиц относительно друг друга. Задача 1а. Частица массой m =1г с зарядом q = 1 мкКл движется к закрепленному одноименно заряду q0 = 2 мкКл. На расстоянии r0 = 10 см от заряда скорость частицы 0 = 30 м/с. Определим минимальное расстояние, на которое частица приблизится к закрепленному заряду. Сопротивлением воздуха и гравитационным взаимодействием пренебречь. Решение Двигаясь в электрическом поле одноименно заряда q0 , частица приближается к заряду на некоторое минимальное расстояние rmin и останавливается. Система «частица» – «закрепленная частица» является замкнутой. Для определения расстояния rmin воспользуемся законом сохранения энергии: kq0 q kq0 q m02 kq0 q kq0 q m 2 , где – кинетическая энергия частицы, и – 2 r0 rmin 2 r0 rmin начальная и конечная энергии взаимодействия заряда q0 и заряженной частицы q . Покажем несколько нетрадиционный подход к расчету минимального расстояния rmin между частицами. kqq0 (r0 rmin ) m 2 2kqq0 0, 4r0 r min 0, 4 rmin 3см r0 rmin 2 r0 rmin mr0 1, 4 1б. Изменим условие задачи. Пусть частица массой m1 и зарядом q1 движется со скоростью 1 из бесконечности к покоящейся вначале частице массой m2 и зарядом q2 . Определим в данном случае минимальное расстояние rmin между заряженными частицами. Решение По мере приближения первой заряженной частицы ко второй, вторая начинает движение по направлению от первой. Минимальное расстояние между частицами будет в тот момент, когда относительная скорость частиц станет равной нулю, т.е. скорости частиц будут направлены в одну сторону и равны по величине u1 u2 u . x Воспользуемся законом сохранения импульса в проекции на ось Ох: m11 m1 m2 u p (импульс системы p const ). m112 m1 m2 u kq q 1 2 2 2 rmin 2 Воспользуемся законом сохранения энергии: или 2kq1q2 m1 m1 m2 2kq1q2 m1 m2 kq q p2 p2 1 2 . Отсюда rmin . 2m1 2 m1 m2 rmin p 2 m2 m1m212 r Hм2 Кл 2 кг с 2 кг м с 2 2 м Кл2 кг 2 м2 с кг 1.в. Рассмотрим случай, когда эти две одноименно заряженные частицы ( m1 > m2 )движутся навстречу друг другу со скоростями 1 и 2 , соответственно Первоначальное расстояние между ними r0 . Определим минимальное расстояние на которое сблизятся частицы. В процессе движения мгновенные силы кулоновского отталкивания будут равны. Из второго закона Ньютона следует, что модуль мгновенного ускорения будет больше у частицы меньшей массы. На некотором расстоянии r ее скорость становится равной нулю, и она начинает движение в противоположном направлении, совпадающим с направлением движения первой частицы. x В момент времени, когда скорости частиц станут одинаковыми ( u1 u2 u ), т.е. их относительная скорость частиц станет равной нулю, расстояние между частицами станет минимальным. Запишем сохранения импульса в проекции на ось Ох: m11 m22 (m1 m2 )u Закон сохранения энергии будет закон иметь вид: kq q (r r ) m m (m1 m2 )u m m kq q (m m2 )u kq q 1 2 1 1 2 1 2 0 min . 2 2 r0 2 rmin r0 rmin 2 2 1 1 2 2 2 2 r0 rmin r0 (m112 m222 (m1 m2 )u 2 ) rmin 2kq1q2 2 1 1 2 2 2 2 Если m1 2 103 кг, m2 103 кг,1 5 м м м ,2 4 , q1 2 106 Кл, q2 106 Кл, r0 10 м, то u 2 . с с с r0 rmin 10(2 103 25 103 16 3 103 4) 15 . Тогда rmin 0,625 м=62,5 см rmin 2 9 109 2 1012 2а. Два тела с зарядом q 10 мкКл и массой m 5г каждое удерживают на горизонтальной поверхности на расстоянии r 1м друг от друга. Тела отпускают, и они начинают скользить по поверхности, коэффициент трения о которую =0,5. Определим максимальную скорость, которую разовьют тела, и расстояние, которое они пройдут до остановки. Решение В начальный момент сила кулоновского отталкивания Fк kq 2 больше, r2 чем максимальная сила трения Fтр mg ( Fк > Fтр ) . Поэтому, как только max тела освобождают, они начинают двигаться ускоренно до тех пор, пока сила кулоновского отталкивания не станет равна силе трения по модулю. х х В этот момент времени ускорение становится равным нулю (а=0), а скорость каждого тела – максимальной (max ). Для определения этой скорости воспользуемся теоремой об изменении энергии системы: m 2 kq 2 kq 2 kq 2 2 x 2 max 2 mgx(1) max 2 gx . r 2x 2 r mr (r 2 x) Где kq 2 – потенциальная энергия электрического взаимодействия тел r 2x 2 mmax на расстоянии ( r 2 x ); – максимальная кинетическая энергия каждого тела 2 kq 2 на расстоянии ( r 2 x ) друг от друга; – начальная потенциальная энергия r электрического взаимодействия тел на расстоянии r ; mgx – работа силы трения, действующей на каждое тело при прохождении расстояния x . Определим ( r 2 x ) и взаимодействия равна силе трения Чтобы не из условия, что сила кулоновского 2x kq 2 mg r 2 x ( r 2 x) 2 усложнять r 2 x 6 м, 2 x 5 м;max 13, 2 расчеты, kq 2 ; 2x mg сразу kq 2 r mg определим м . с Для определения расстояния S , после прохождения которого тела остановятся, также воспользуемся теоремой об изменении энергии и запишем: kq 2 kq 2 kq 2 2 mgS mg. r 2S r r (r 2S ) Тогда r 2S kq 2 kq 2 r S . mgr 2 mgr 2 Н м 2 Кл 2 м. S 2 Кл м Н S 17,5 м. 2б. Изменим условие предыдущей задачи. Пусть два тела находятся на расстоянии r0 10 м друг от друга. Определим минимальную скорость, которую нужно сообщить одному из тел, чтобы второе тело сдвинулось с места. Расчет показывает, что в начальный момент времени сила трения покоя больше силы кулоновского отталкивания. Поскольку частицы одноименно заряженные, то очевидно, что скорость необходимо сообщить одному телу в направлении ко второму. Когда оно окажется на некотором расстоянии r от второго тела, сила кулоновского отталкивания, действующая на второе тело, станет равной силе трения и в этот момент оно сдвинется с места. Так как требуется определить минимальную скорость, сообщаемую первому телу, чтобы сдвинуть второе, то считаем, что первое тело в этот момент остановится. Это случится на некотором расстоянии r между телами. Определим это расстояние из условия равенства: mg kq 2 r r2 kq 2 6 м. mg И вновь воспользуемся теоремой об изменении энергии системы: 2 kq 2 kq 2 mmin mg (r0 r ) . r r0 2 Определим минимальную скорость min = 2(r0 r )(kq 2 mgrr0 ) м 8 . mrr0 с 3а. Перейдем к рассмотрению взаимодействия двух маленьких m =150г шариков массой каждое, соединенных непроводящей Н . После м сообщения шарикам одинаковых зарядов длина пружины становится l 100см недеформированной пружиной длиной l0 50см , жесткостью k 10 . Определим минимальную скорость, которую надо сообщить каждому шарику, чтобы они смогли сблизится до прежнего расстояния l0 . При сообщении шарикам одинаковых зарядов на каждый из них начинают действовать сила упругости со стороны пружины и сила кулоновского отталкивания. Момент времени, когда эти две силы становятся равными, соответствует максимальному растяжению пружины до длины l . Поверхность гладкая – силы трения отсутствуют. Силы упругости и кулона являются потенциальными (консервативными), воспользоваться законом сохранения энергии: следовательно можем 2 k (l l0 )2 mmin q2 q2 q2 и –начальная и конечная 2 (1) , где 4 0l 2 2 4 0l0 4 0l 4 0l0 q2 энергии электрического взаимодействия шариков; 2 mmin –минимальная 2 кинетическая энергия, сообщаемая каждому шарику(т.к. имеется в виду минимальная скорость, сообщаемая шарикам, то конечная кинетическая энергия их должна стать равной нулю); k (l l0 ) 2 – потенциальная энергия 2 упругодеформированной пружины в начальный момент времени. Заряды, сообщаемые шарикам неизвестны. Определим их из условия, что при растяжении пружины до длины l , силы упругости и кулона q2 q2 становятся равными: k (l l0 ) kl 2 (l l0 )(2). 2 4 0l 4 0 q 2 (l l0 ) k l l0 . 4 0ll0 2 2 2 Преобразуем выражение (1) к виду: mmin Воспользуемся min выражением (2) получим kl (l l0 ) k (l l0 ) k (2l l0 ) м (l l0 ) . min 5 . mll0 2m 2ml0 с 2 2 3б. Теперь представим, что после сообщения одинаковым шарикам, соединенным непроводящей недеформированной пружиной, длиной l0 8см , заряда q 1мкКл каждому, шарики приходят в колебательное движение на горизонтальной поверхности. Постепенно колебания прекращаются, длина пружины остается равной l 10см. Определим количество энергии, перешедшей в тепло, при затухании колебаний. В начальный момент времени система обладает потенциальной 2 энергией электрического взаимодействия шариков W q . 4 0l0 После прекращения колебаний энергия системы станет равной сумме потенциальных энергий электрического взаимодействия шариков и упруго 2 2 деформированной пружины. W q k (l l0 ) . 4 0l 2 Количество энергии Q , перешедшей в тепло, в этих затухающих колебаниях определится разностью энергий начального и конечного состояний системы: или Q W W Q q2 4 0l0 q2 4 0l k (l l0 )2 q 2 (l l0 ) k (l l0 ) 2 (1) 2 4 0l0l 2 Для нахождения коэффициента жесткости пружины k воспользуемся конечным состоянием системы, когда сила кулоновского отталкивания q2 q2 становится равной силе упругости: k (l l0 ) k (2) 4 0l 2 4 0l 2 (l l0 ) q 2 (l l0 ) q 2 (l l0 )2 q 2 (l l0 )(2l l0 ) Подставим (2) в (1), получим: Q . 4 0l0l 8 0l 2 (l l0 ) 8 0l0l 2 Расчет показал, что в тепло перешло Q 0,135 Дж энергии. 3в. Рассмотрим два заряженных шарика, соединенных непроводящей пружиной и расположенных на гладкой горизонтальной поверхности. Шарик с зарядом q0 1мкКл закреплен, шарик массой m 10г и зарядом q 2 мкКл подвижен и колеблется так, что минимальная длина пружины составляет l1 10см , а длина ее в недеформированном состоянии l0 30см . Определим максимальную скорость движения колеблющегося шарика, если в этот момент, длина пружины l2 40см . Данная система замкнутая, воспользуемся законом сохранения энергии: 2 k (l2 l0 )2 mmax k (l1 l0 )2 q1q2 q1q2 (1) 4 0l2 2 2 4 0l1 2 В этом выражении левая часть представляет сумму энергий: электрического взаимодействия заряженных шариков, упругой деформации пружины и максимальной кинетической энергии шарика соответственно. Правая часть – сумма энергий системы в состоянии максимальной деформации пружины: энергия электрического взаимодействия заряженных шариков на расстоянии l1 и потенциальная энергия упругой деформации пружины соответственно. Из m 2 2 max выражения (1): q1q2 (l2 l1 ) k q q (l l ) k ((l1 l0 )2 (l2 l0 )2 ) 1 2 2 1 (l12 2l0 (l1 l2 ) l22 )(2) 4 0l1l2 2 4 0l1l2 2 Жесткость пружины определим из условия задачи: скорость шарика максимальна, когда его ускорение равно нулю, что означает на расстоянии l2 силы кулоновского отталкивания и упругости становятся равными: k (l2 l0 ) (2), определим максимальную скорость каждого шарика: q1q2 (l2 l1 ) q1q2 (l 2l0 (l1 l2 ) l ) q1q2 l2 l1 l 2l0 (l1 l2 ) l ( ), 2 2 0 ml1l2 4 0l2 (l2 l0 )m 2 0 m l1l2 2l22 (l2 l0 ) м 5,5 . с max max q1q2 q1q2 жесткость пружины k (3) .Подставив (3) в 2 4 0l2 4 0l22 (l2 l0 ) 2 1 2 2 2 1 2 2 Литература. 1.Черноуцан А.И. Физика. Задачи с ответами и решениями.– М:КДУ,2005.–352с. 2. Физика:3800 задач для школьников и поступающих в вузы.–М.: «Дрофа»,2000.–672с. 3. Развина Т.И. Физика. Электродинамика. –Минск.: БНТУ, 2011.–389с.