ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.

Методическая разработка: Финогенов Сергей Евгеньевич
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТ
ЕСТЕСТВЕННО – НАУЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ФИЗИКИ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПРОБЕГА АЛЬФА-ЧАСТИЦ В ВОЗДУХЕ.
Тула, 2005 г
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПРОБЕГА АЛЬФА-ЧАСТИЦ В ВОЗДУХЕ.
Цель работы: получение кривой прохождения α - частиц через вещество,
определение длины среднего пробега и энергии α -частиц.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ.
Закон радиоактивного распада
Способность ядер самопроизвольно распадаться, испуская частицы, называется радиоактивностью. Радиоактивный распад — статистический процесс. Конкретное радиоактивное ядро может распасться в любой момент, и
закономерности процесса наблюдаются только в среднем в случае распада
достаточно большого количества ядер.
Если в образце в момент времени t имеется N(t) радиоактивных ядер, то
количество ядер dN, распавшихся за время dt пропорционально N(t).
dN = −λ N (t ) ⋅ dt
(1.1)
Интегрируя (1.1), получим закон радиоактивного распада
N (t ) = N 0 ⋅ e − λt
(1.2)
где N 0 — количество радиоактивных ядер в момент времени t = 0.
Постоянная распада λ — вероятность распада ядра в единицу времени.
Период полураспада T1 — время, в течение которого первоначальное
2
количество радиоактивных ядер уменьшится в два раза. Непосредственной
N
подстановкой в закон радиоактивного распада в качестве N(t)= 0 получим:
2
T1 =
2
Среднее время жизни τ=
ln 2 0.693
=
λ
λ
(1.3)
1
λ
Активность образца А — среднее количество ядер образца, распадающихся в единицу времени
A(t) = λN(t)
(1.4)
Измеряя активность, можно определить постоянную распада λ. Для изотопов с малыми постоянными распада и соответственно большими периодами полураспада используется соотношение (1.4). В этом случае количество
ядер N во время измерения практически не изменяется и может быть определено методами масс-спектрометрии. Для изотопов с малыми периодами полураспада используется соотношение (1.2).
Распад исходного ядра 1 в ядро 2 с последующим его распадом в ядро 3
описывается системой дифференциальных уравнений:
(1.5)
где N1 (t ) и N 2 (t ) — количества ядер, a и λ1 и λ2 — постоянные распада
ядер 1 и 2 соответственно. Решением системы (1.5) с начальными условиями
N1 (0) = N10 , N 2 (0) = 0 будет
(1.6)
Если λ2 >> λ1 ( T (1) 1
активности A1 (t )
ниями:
И
2
T (2) 1 ), то в начальный период времени e
2
− λ1t
≅ 1,
A2 (t ) первого и второго изотопов описываются соотноше-
(1.7)
В этом случае активность второго изотопа будет стремиться к активности первого и по прошествии времени t > 5T (2) 1 практически сравняется с
2
ней. В дальнейшем активности как первого так и второго изотопов будут меняться во времени одинаково.
(1.8)
Устанавливается так называемое вековое равновесие, при котором число
ядер изотопов в цепочке последовательных распадов, связано с постоянными
распада (периодами полураспада) простым соотношением.
(1.9)
Можно обобщить этот результат для большего числа последовательных
T (2) 1 .
распадов, когда T (1) 1
2
2
(1.10)
Поэтому в естественном состоянии все изотопы, генетически связанные
в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных
соотношениях, зависящих от их периодов полураспада.
α – распад
α-распад — распад атомных ядер, сопровождающийся испусканием α частиц (ядер 4Не).
Часть изотопов могут самопроизвольно испускать α-частицы (испытывать α-распад), т. е. являются α-радиоактивными. Подавляющее большинство α-радиоактивных изотопов (более 200) расположено в периодической системе в области тяжелых ядер (Z > 83). (Известно также около 20 αрадиоактивных изотопов среди редкоземельных элементов, кроме того, αрадиоактивность характерна для ядер, находящихся вблизи границы протонной стабильности). Это обусловлено тем, что α - распад связан с кулоновским
отталкиванием, которое растет по мере увеличения размеров ядер быстрее
(как Z2), чем ядерные силы притяжения, которые растут линейно с ростом
массового числа А.
Ядро α-радиоактивно, если выполнено условие, являющееся следствием
закона сохранения энергии
(1.11)
где M(A, Z) и М(А—4, Z—2) — массы исходного и конечного ядер соответственно, Мα — масса α - частицы. При этом в результате распада конечное ядро и α - частица приобретают суммарную кинетическую энергию:
(1.12)
которая называется энергией α - распада. Ядра могут испытывать α-распад
также на возбужденные состояния конечных ядер и из возбужденных состояний начальных ядер. Поэтому соотношение (1.12) для энергии α - распада
можно обобщить следующим образом:
(1.13)
где Ei воз и E f воз — энергии возбуждения начального и конечного ядер соответственно. α - частицы, возникающие в результате распада возбужденных
состояний ядер, получили название длиннопробежных. Для большинства
ядер с А > 190 и для многих ядер с 150 < А < 190 условие (1.11) выполняется.
Однако, далеко не все они считаются α -радиоактивными. Дело в том, что современные экспериментальные возможности не позволяют обнаружить αрадиоактивность для нуклидов с периодом полураспада большим, чем 1016
лет. Кроме того, часть «потенциально» α - радиоактивных ядер испытывают
также β - распад, который конкурирует с α - распадом.
Основную часть энергии α - распада (около 98%) уносят α - частицы.
Используя законы сохранения энергии и импульса, для кинетической энергии
α -частицы Тα можно получить соотношение
(1.14)
Периоды полураспада известных α - радиоактивных нуклидов варьируются от 0.298 мкс для 212Ро до (2-5) · 1015 лет для 142Се, 144Ne, 174Hf.
Энергия α -частиц, испускаемых тяжелыми ядрами из основных состояний,
составляет 4-9 МэВ, ядрами редкоземельных элементов — 2 - 4.5 МэВ.
Важным свойством α - распада является то, что при небольшом изменении энергии α - частиц периоды полураспада изменяются на много порядков.
Так у 232Th Qα = 4.08 МэВ, Т1/2 = 1.41·1010 лет, а у 218Th Qα = 9.85 МэВ,
T1/2= 10 мкс. Изменению энергии в 2 раза соответствует изменение периода
полураспада на 24 порядка.
Для четно-четных изотопов элемента (это означает, что у элемента четное число нейтронов A-Z=N и четное число протонов Z) зависимость периода полураспада от энергии α - распада хорошо описывается эмпирическим
законом Гейгера-Неттола:
(1.15)
где А и В — константы, слабо зависящие от Z. С учетом заряда дочернего ядра Z связь между периодом полураспада T1/2 и энергией α - распада Qα может
быть представлено в виде (В.A. Brown, Phys. Rev. C46, 811 (1992)):
(1.16)
где T1/2 в сек, Qα в МэВ. На рис. 1 показаны экспериментальные значения периодов полураспада для 119 α-радиоактивных четно-четных ядер (Z от 74 до
106) и их описание с помощью соотношения 1.16.
Рис.1
Для нечетно-четных, четно-нечетных и нечетно-нечетных ядер общая
тенденция сохраняется, но их периоды полураспада в 2-1000 раз больше, чем
для четно-четных ядер с данными Z и Qa.
Основные особенности α - распада, в частности, сильную зависимость
вероятности α-распада от энергии α-частиц удалось в 1928 г. объяснить Гамову. Он показал, что вероятность α – распада в основном определяется вероятностью прохождения α-частицы сквозь потенциальный барьер.
Рассмотрим модель α-распада Гамова. Предполагается, что α - частица
движется в сферической области радиуса R, где R — радиус ядра. Т.е. в этой
модели предполагается что α-частица постоянно существует в ядре.
Вероятность α – распада λ (и - и) равна произведению вероятности найти
α – частицу на границе ядра f на вероятность её прохождения сквозь потенциальный барьер D – прозрачность барьера.
ln 2
λ = fD =
(1.17)
T1
2
Величину f можно отождествить с числом соударений в единицу времени, которые испытывает α – частица о внутренние границы барьера. Другими
словам, вероятность того, что зародыш α-частицы окажется на верхних уровнях энергии внутри ямы и вблизи ее стенок будет пропорциональна числу
столкновений этого зародыша со стенками.
1
υ
υ
c  2 ( Eα + V0 )  2
(1.17а)
≅
≅
Тогда f =


2 R 2r A 13 2r A 13  µα c 2 
0
0
где υ0 — скорость α - частицы внутри ядра, µα — приведенная масса α частицы, V0— глубина ядерного потенциала,
(1.18)
Еα — энергия α -частицы определяется соотношением (1.14). Подставив в выражение (1.17) V0 = 35 МэВ, Еα = 5 МэВ, получим для ядер с
A ≅ 200, f ≅ 1021 c −1.
На рис. 2 показана зависимость потенциальной энергии взаимодействия
между α-частицей и конечным ядром от расстояния между их центрами.
Рис. 2
Отметим, что Eα – кинетическая энергия α – частицы далеко за пределами ядра (потенциальная энергия при этом равна нулю), внутри же ядра кинетическая энергия равна Еα + V0 ). Т. о. кинетическую энергию Eα можно рассматривать как полную энергию альфа частицы, которая не изменяется.
Кулоновский потенциал обрезается на расстоянии R, которое приблизительно равно радиусу образовавшегося в результате α-распада ядра. Высота
кулоновского барьера Bk определяется соотношением
zZe 2 zZe2
2Z
Bk =
≅
≅
МэВ
(1.19)
1
1
R
rA3 A3
o
Здесь Z и z — заряды (в единицах заряда электрона е) остаточного ядра и
α -частицы соответственно, r0=1.3 Фм - радиус ядра атома водорода. (1 Фермиметр=10-15 м). Например, для 238U Bk ≈ 30 МэВ.
Можно выделить три области.
1. r < R — сферическая потенциальная яма глубиной V0. В классической
механике α-частица с кинетической энергией Еα + V0 может двигаться в этой
области, но не способна ее покинуть. В этой области существенно сильное
взаимодействие между α-частицей и остаточным ядром.
2. R < r < rе — область потенциального барьера, в которой потенциальная энергия больше энергии α-частицы, т.е. это область запрещенная
для классической частицы.
3. r > rе — область вне потенциального барьера.
В квантовой механике возможно прохождение α-частицы сквозь барьер
(туннелирование). Аналогично влияние кулоновского барьера и в случае ядерной реакции, когда α-частица подлетает к ядру. Если ее энергия меньше высоты кулоновского барьера, она скорее всего рассеется кулоновским полем
ядра, не проникнув в него и не вызвав ядерной реакции. Вероятность подбарьерных реакций очень мала.
Вероятность прохождения частицы сквозь барьер D (коэффициент прозрачности барьера) определяется соотношением

2µα
D = exp  −2
2

re
∫ (V (r ) − Qα )
R
1
2

dr 

(1.20)
Рассчитанные по формулам (1.17), (1.17а) и (1.20) периоды полураспада
правильно передают важнейшую закономерность α-распада — сильную зависимость периода полураспада T1/2 от энергии α - частиц Еα (энергии αраспада Qα).
Для грубой оценки зависимости периодов полураспада от энергии α распада заменим кулоновский потенциал на прямоугольный. Его высоту, от( B − Qα )
, а ширину —
считываемую от энергии Qα ≈ Eα , положим равной k
2
( r − R ) . Прозрачность барьера тогда можно записать в виде
равной e
2


mα c 2 ( Bk − Qα )
⋅ ( re − R )  . Для Z ≈ 90 , Bk = 34 МэВ, f = 3 ⋅ 1021 c −1
D ≈ exp  −


c


(см 1.17а), тогда для Qα = 6 МэВ получим re≈43 Фм, постоянную распада
λ≈10-4 с-1 (T1/2≈104 c); для Qα = 5 МэВ λ≈10-11 с-1 (T1/2≈103 лет); Qα = 4.3 МэВ
T1/2≈109 лет.
При изменении периодов полураспада более чем на 20 порядков отличия
экспериментальных значений от расчетных всего 1-2 порядка. Конечно, такие расхождения все же довольно велики. Давайте подумаем, где их источ-
ник и как надо усовершенствовать теорию, чтобы эти расхождения с экспериментом уменьшить? Какие факторы должны быть дополнительно учтены?
1. Приведенные выше формулы описывают эмиссию α-частиц с нулевым
орбитальным моментом l. Однако возможен распад и с ненулевым орбитальным моментом, более того, в ряде случаев распад с l =0 запрещен законами
сохранения. В этом случае к кулоновскому потенциалу Vk (r ) добавляется
центробежный потенциал Vц (r ) :
V (r ) = Vk (r ) + Vц ( r ),
l ( l + 1)
2 µα r 2
2
Vц (r ) =
(1.21)
Хотя высота центробежного барьера для тяжелых ядер при l = 8 составляет всего около 10% от высоты кулоновского барьера и центробежный потенциал спадает быстрее, чем кулоновский, эффект вполне ощутим и для
больших l может приводить к подавлению α-распада более, чем на 2 порядка.
2. Результаты расчетов прозрачности барьера чувствительны к средним
радиусам ядер R. Так, изменение R всего на 4% приводит к изменению периода полураспада T1/2 в 5 раз. Ядра с А ≥ 230, как правило, сильно деформированы, что приводит к тому, что α - частицы преимущественно вылетают
вдоль большой оси эллипсоида, а средняя вероятность вылета отличается от
таковой для сферического ядра. Сильную зависимость периода полураспада
от радиуса ядра можно использовать, определяя радиусы ядер по экспериментальным значениям периодов полураспада.
3. В рассматриваемой модели никак не учитывалась структура состояний начального и конечного ядер и тесно связанная с этим проблема образования α-частицы в ядре, вероятность которой полагалась равной 1. Для четно-четных ядер это приближение довольно хорошо описывает эксперимент.
Однако, если перестройка структуры исходных ядер в конечные заметно затруднена, то необходимые для учета этих эффектов модификации предэкспоненциального множителя f, могут приводить к изменению расчетных значений приблизительно на два порядка.
В естественных условиях на Земле существует около 40 α-радиоактивных изотопа, которые объединены в три радиоактивных ряда которые
начинаются с 236U (A = 4n), 238U (А = 4n + 2), 235U (A = 4n+ 3). К ним можно с
некоторой долей условности отнести четвертый ряд (А = 4n + 1), который
начинается с 237Np, так как изотопы этого ряда успели распасться за время
существования Земли. После ряда последовательных распадов образуются
стабильные ядра с близким или равным магическим числам количеством
протонов и нейтронов (Z = 82, N = 126) соответственно 208Pb, 206Pb, 207Pb,
209
Bi. α-распады перемежаются β-распадами, так как при α-распадах конечные ядра оказываются все дальше от линии β-стабильности, т. е. перегружены нейтронами.
Взаимодействие α – частиц с веществом
При прохождении через вещество тяжелая заряженная частица теряет
кинетическую энергию на ионизацию и возбуждение атомов вещества. Эти
потери и определяют пробег частицы. Вероятность ионизации атомов среды
при энергиях в несколько МэВ примерно в 103 раз больше вероятности ядерного взаимодействия. Величина ионизационных потерь, обусловленных кулоновским взаимодействием пролетающей частицы заряда z с электронами
вещества, определяется главным образом ее зарядом, скоростью v и плотностью электронов в веществе пе. В нерелятивистском случае удельные ионизационные потери тяжелой заряженной частицы массы М >> те, (те — масса
электрона), определяются зависимостью:
2
 dE  z ne
(1.22)
−
∼ 2
 dx  υ
Поэтому с уменьшением скорости удельные потери заряженной частицы
в веществе возрастают.
В одном акте ионизации в воздухе α-частица теряет около 35 эВ. Т. е. если начальная кинетическая энергия α-частицы равна 4 МэВ, то она полно4 ⋅ 106
≅ 105 актов ионизации.
стью затормозится в результате
35
Взаимодействие α -частиц с ядрами вещества в основном сводится к кулоновскому рассеянию на малые углы. Таким образом, при движении в среде
заряженные частицы с указанной энергией будут постепенно тормозиться на
длине пробега R. Траектория движения тяжелой заряженной частицы в среде
как правило прямолинейна, а пробег определяется интегралом:
0
dE
R = −∫
(1.23)
dE
E
dx ион
Пробег R измеряется в сантиметрах или, помножая R (см) на плотность
вещества ( г 3 ), получаем размерность в г 2 .
см
см
(
)
Рис. 3
Пробег Rα определяется как толщина слоя вещества, при прохождении
которого поглощается половина α-частиц (см. рис. 3). Иногда также используется понятие экстраполированного пробега Re . Он определяется с помощью
экстраполяции по касательной к кривой пробега из точки, соответствующей
поглощению половины частиц.
Как видно из рис. 3, пробеги имеют разброс значений пробега (страгглинг), описываемый функцией Гаусса. Он обусловлен в частности статистическими флуктуациями ионизационных потерь.
Действительно, если среднее число ионов, образуемое α-частицей на
длине ее пробега равно N, то среднеквадратичное отклонение от этого числа,
будет N . Кроме того, при прохождении через вещество α-частица может
испытать перезарядку превращаясь в однозарядный ион гелия (4Не+) или в
атом гелия (4Не). Разный заряд частицы на всем пути вызывает дополнительные флуктуации в ионизации и, следовательно, в пробеге.
Пробег α-частиц Rα с энергией 4-15 МэВ в воздухе при комнатной температуре и нормальном давлении связан с их энергией эмпирической формулой:
3
Rα (см) = 0,32 Eα 2 ( МэВ )
(1.24)
Для Еα<4 МэВ связь между пробегом и энергией частицы представлена в
виде номограммы (рис 4):
рис.4
при помощи которой по пробегу частицы можно найти ее энергию, и наоборот.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Приборы и оборудование.
Принципиальная схема установки приведена на рис.5
Рис. 5
Установка состоит из двух блоков - электронного блока управления и
индикации (БУИ) и блока детектирования, соединенных между собой кабелем.
Блок детектирования содержит источник и счетчик α-частиц, высоковольтный выпрямитель для питания счетчика. Расстояние между источником
и счетчиком измеряется по шкале на скамье, по которой перемещается источник.
Электронный блок установки содержит таймер, максимальный измеряемый интервал времени которого tmax = 999 с, и блок пересчета импульсов.
В электронном блоке имеются следующие кнопки управления:
“Сеть” (на задней панели прибора) включает питание счетчиков 220в.
“Пуск” включает таймер и отсчет измеряемых импульсов.
“Стоп” одновременная их остановка.
“Сброс” обнуляет их показания.
“Время” устанавливает необходимое время измерения.
На табло измерительного блока индикатор “Кол. частиц” показывает
число зарегистрированных частиц, а индикатор “сек” показывает время измерения.
Проведение измерений
1. Включить кнопку "Cеть'', при этом должны высветиться индикаторы
(рис.4).
2. Дать установке прогреться 30-60 cекунд.
3. Нажать кнопку "Сброс", при этом на всех разрядах индикаторов должны высветиться нули.
4. Установить приемлемое время измерения (до переполнения показания
датчика, показывающего количество частиц N – например 2 мин).
5. Выставить минимальное расстояние х между α - источником и детектором.
6. Нажать кнопку "Пуск". После остановки таймера снять показания с
индикатора блока пересчета. Обнулить индикаторы, нажав кнопку "Сброс".
7. Повторить измерения для этого же расстояния 6-7 раз.
8. Увеличить расстояние и повторить измерения.
9. Провести измерения для 6-7 расстояний.
12. Выключить установку, нажав кнопку "Сеть".
13. Рассчитать поправку на телесный угол. Для построения кривой I(x)
необходимо внести поправку на телесный угол с учетом реальных размеров
окон детектора и источника, так как в детектор попадает лишь часть излучения.
Увеличение расстояния уменьшает телесный угол, в котором счетчик
"видит" испускаемые частицы, и приводит к уменьшению регистрируемых
частиц. Для получения полного числа частиц надо зарегистрированное
число частиц поделить на поправку, взятую из таблицы 1:
таблица 1
0.1
0.2
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1.25 1.5
x/r0
Поправка 0.286 0.253 0.197 0.175 0.158 0.127 0.102 0.080 0.062
где x - расстояние между окном детектора и α -препаратом,
r0 - радиус окошка детектора. Измерьте r0 - радиус окошка детектора!
N
- интенсивность пучка частиц. (Есt
ли время измерения во всех опытах одинаково, то можно строить зависиdI
dN
мость не I(x),
( x) , а N(x) и
( x) ).
dx
dx
dI
( x) . Для этого следу15. Построить на этом же графике зависимость
dx
ет построить в нескольких точках касательные (особенно следует обратить
внимание на точку, соответствующую половинному поглощению частиц
I
I = 0 - это «изгиб» графика; здесь модуль производной начинает умень2
14. Построить график I(x). Где I =
шаться). Т. о. тангенс угла наклона к положительному направлению оси х и
будет производной в данной точке. Следует взять её по модулю. Из-за различия в масштабах рекомендуется производную домножать на некоторый постоянный множитель (например на 103), и, таким образом, строить не график
dI
dI
( x) , а, например
( x) ⋅ 103 (это сделано, чтобы имелась возможность
dx
dx
построить все кривые в одном масштабе ).
16. Найти R0 и оценить Eα (см. рис. 3, рис. 4 и формулу (1.24)).
17. Все измерения и вычисления занести в таблицу 2.
x, м
N за- N
фак- < N >
<N>
< I >=
рег.
тич.
(с фактиt
поправкой ческое фактичена телесская
ный угол)
…
…
…
…
Rα , см
Re , см
Eα ,
МэВ
Контрольные вопросы
1. Что такое радиоактивность? Что называется периодом полураспада?
Постоянной распада λ? Активностью образца?
2. Исходя из закона радиоактивного распада вывести формулу, определяющую период полураспада в зависимости от постоянной распада λ
(формулу (1.3)).
3. Что такое α – частица?
4. Чем обусловлено нахождение α-радиоактивных изотопов в периодической системе в области тяжелых ядер (Z > 83).
5. Какая связь существует между периодом полураспада T1/2 и энергией
α - распада Qα?.
6. В чем состоит закон Гейгера – Неттола?
7. С помощью модели α-распада Гамова провести оценку зависимости
периодов полураспада от энергии α – распада?
8. Какие факторы, приводящие к различию экспериментальных данных
периодов полураспада от расчетных неучтены в модели Гамова?
9. Как в нерелятивистском случае определяются удельные ионизационные потери тяжелой заряженной частицы?
10. В результате α-распада радий 226Ra превращается в радон 222Rn. Какой
объем радона при нормальных условиях будет находиться в равновесии с 1 г радия? Период полураспада 226Ra T1/2(Ra) = 1600 лет, 222Rn
T1/2(Rn) = 3.82 дня. (Воспользоваться соотношением векового равновесия).
11. Возможны ли реакции
α+ 7Li
α + 12C
10
B+n;
14
N+d
под действием α -частиц с кинетической энергией T = 10 МэВ?
12. Что называется длиной пробега α – частицы Rα?
13. Объяснить схему установки на рис. 5.
14. Как в данной работе вы оценивали энергию α – частиц?