О классическом радиусе электрона

1
О классическом радиусе электрона
А.Г. Кирьяко
Показано, что классический радиус электрона не определяет радиус электрона, а
является характеристикой распределения энергии электрона в пространстве. Этот
результат позволяет снять противоречие между классическими и квантовыми
представлениями о частицах, связаному с понятием размера частицы.
-----------
1. Возникновение понятия «Классический радиус электрона»
В физике существует величина, называемая классическим радиусом
электрона (КРЭ). Она была введена в то время, когда в отношении электрона и
других элементарных частицах не существовало серьезных экспериментальных
результатов. В качестве первичной модели рассматривалось представление об
электроне, как о шарике определенного радиуса. Попытка рассчитать величину
этого радиуса привело к понятию КРЭ. Развитие физики показало, что подобная
модель несостоятельна. Но, тем не менее, величина КРЭ сохранилась в физике, как
одна из фундаментальных постоянных. В чем ее физических смысл с точки зрения
современных представлений, мы попытаемся определить в данной статье.
С точки зрения классической физики «Классический радиус электрона (Физ.
Энциклопедия) - фундаментальная. константа размерности длины, входящая во мн.
ф-лы классич. и квантовой электродинамики, r0 = e 2 me c 2 = 2,81794.10-13 см (е и
mе - заряд и масса электрона). К. р. э. имеет смысл радиуса заряж. шара с зарядом е
(распределённым сферически-симметрично), при к-ром энергия эл.-статич. поля
шара ε = ae 2 r0 ( a - коэф. ~ 1 , характеризующий распределение заряда по радиусу)
равна энергии покоя электрона mес2. В нек-рых задачах классич. электродинамики
электрон ведёт себя как частица с радиусом r0. Напр., полное сечение рассеяния
эл.-магн. волн ( hν << me c 2 ,ν - частота) одиночным электроном имеет порядок
площади круга с радиусом r0 (см. Томпсоновское рассеяние света).
К. р. э. определяются малые расстояния, на к-рых классич. электродинамика
становится внутренне противоречивой. Однако расхождение между классич.
электродинамикой и опытом начинает наблюдаться на значительно больших
расстояниях - расстояниях порядка комптоновской длины волны электрона
λC = r0 α ≈ 137r0 , на к-рых становятся существенными квантовые эффекты ( α постоянная тонкой структуры )».
2. Электрон в современной физике
С точки зрения современной теории, электрон есть некоторое поле
(А. Эйнштейн. Работы по теории относительности. Изд. «Амфора», 2008 г.
III. Поле и относительность http://elementy.ru/lib/430770/430774 )
“В физике появилось новое понятие, самое важное достижение со времени
Ньютона — поле”…
2
"Не можем ли мы отказаться от понятия вещества и построить чистую физику
поля? То, что действует на наши чувства в виде вещества, есть на деле огромная
концентрация энергии в сравнительно малом пространстве. Мы могли бы
рассматривать вещество как такие области в пространстве, где поле чрезвычайно
сильно… С этой точки зрения брошенный камень есть изменяющееся поле, в
котором состояния наибольшей интенсивности поля перемещаются в пространстве
со скоростью камня. В нашей новой физике не было бы места и для поля, и для
вещества, поскольку единственной реальностью было бы поле."
На сегодняшний день нет никакого свидетельства о какой бы то ни было
субструктуре фундаментальных частиц – электрона, нейтрино или кварка.
В современных статьях и учебниках этот факт часто выражается следующим
образом (см. например, Гелл-Манн, «Кварк и ягуар», 1994; Матвеев. Электричество
и магнетизм. М., ВШ, 1983): «с точки зрения современной науки понятие радиуса
электрона не имеет смысла, поскольку во всех известных экспериментах
электрон проявляет себя как бесструктурная точечная частица.» Но здесь
отождествляются две разные характеристики электрона: «бесструктурный» и
«точечный»
«Бесструктурный» - означает, что нет никаких экспериментальных результатов,
свидетельствующих о том, что кварк, электрон или нейтрино состоят из каких-либо
других составных частей. (см. Приложение 1)
«Точечный» же - означает (Ландау и Лившиц. Теория Поля), что частица
описывается своим уравнением (например, уравнением электрона Шредингера или
Дирака) как движение точки с координатами (x, y, z, t).
«Бесструктурный» не означает, что частица, как объект, точечна Электрон
описывается волновой функцией, которую в первом приближении можно
представить волновым пакетом. Очевидно, такое образование не имеет никаких
составных частей, не имеет определенного размера, не имеет никакой
субструктуры. Это некоторая особенная часть поля: «огромная концентрация
энергии в сравнительно малом пространстве», как характеризует ее А. Эйнштейн.
Эту особенность в настоящее время не совсем удачно называют точечностью
электрона. Очевидно, такая условная характеристика не несет никакого
физического смысла, поскольку точечный объект есть математическая абстракция,
не существующая в природе (см. Приложение 2).
Но, как известно, электрон
имеет определенное пространственное
распределение ЭМ поля и связанной с ним энергии, которые определяют его
взаимодействие с другими частицами. Опираясь на это, можно попытаться,
используя распределение поля электрона, ввести эффективный размер электрона,
как характеристику взаимодействия его поля с другими полями.
На раннем этапе развития физики считалось, что электрон имеет только
электрическое поле. Поскольку магнитное поле электрона на большом расстоянии
практически не проявляется, это, действительно, дает основание в первом
приближении считать, что энергия электрона обеспечивается в основном
электрическим полем.
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что на достаточном
расстоянии от электрона электрическое поле сферически симметрично и
3
e
. Если интерполировать закон Кулона на все
r2
пространство, то мы получим величину от бесконечности в центре сферы до нуля
на бесконечном расстоянии от сферы.
Действительно, мы не можем задать точную геометрическую границу
электрона, как, например, у металлического шарика. Но можем утверждать, что
электрон представляет собой какое-то симметричное (сферическое или
торроидальное) распределение ЭМ поля по бесконечной области пространства с
максимумом в некоторой точке или области пространства. К сожалению, мы не
знаем точного распределения ЭМ поля электрона на очень малых радиусах. Но,
основываясь на законе сохранения энергии можно быть уверенным, что поле
электрона нигде не является бесконечной величиной, иначе полная энергия
электрона должна была быть бесконечной.
Например, если предполагать, что этот максимум достигается в центре
распределения,
то
его
можно
представить
условно
в
виде
центральносимметричного колоколообразного распределения типа распределения
Гаусса (рис. 1).
подчиняется закону Кулона E =
Рис.1
В данном случае, всё, что мы можем сделать, это задать некоторые
характеристики распределения энергии электрона в пространстве. Поскольку поле
электрона спадает по закону Кулона очень быстро, то основная часть энергии поля
должна помещаться в довольно ограниченном объеме. В частности, по рис.1 мы
видим, что около 70 процентов энергии будет располагаться в довольно узкой
области пространства; при вдвое большем радиусе поле будет содержать около 95
процентов энергии, а втрое больший радиус будут заключать в себя 99% энергии.
Пользуясь таким подходом, мы не можем указать точного радиуса этого
полевого распределения (его просто не существует), но мы можем договориться
считать за таковой радиус, который содержит, скажем, 95% энергии.
Если пользоваться предположением о том, что поле электрона в основном
является электростатическим и описывается законом Кулона, можно определить
радиусы, на которых распределение энергии содержит 70, 95, 99% или больше
энергии. Покажем это.
Обычно для простоты предполагается сферическая симметрия поля, хотя еще
Паули (Паули. Теория относительности.) отмечал, что у нас нет доказательства
этого предположения. Для вычисления энергии объем интегрирования условно
разделим на две части некоторой сферической поверхностью. Распределение поля
внутри поверхности принимается либо равномерным по поверхности сферы, либо
равномерным по объему, либо подчиняющимся некоторой модификации закона
4
Кулона, при которой в центре сферы поле конечно. Вне этой поверхности поле
подчиняется обычному закону Кулона и спадает до нуля на бесконечности.
Подсчитаем энергию поля внутри сферы и вне ее. Зададим радиус сферы как
некоторую произвольную величину R и текущий радиус распределения энергии
как r (рис. 2)
Рис. 2
Напряженность поля внутри шара, радиусом R , равномерно заряженного по
q
q
объему, равна Ein = 3 r . Вне шара: E out = 2
R
r
Полное распределение от центра шара до бесконечности приведено на. рис.3:
Рис. 3
приближении
(Отметим, что при таком
напряженность поля в центре
распределения равно нулю).
Энергия электрического поля вне заряженной сферы:
∞
∞
1
e 2 dr 1 e 2
2
E dτ = ∫ 2 =
ε out =
8π ∫R
2 Rr
2 R
Для энергии внутри шара в случае заряда, равномерно распределенного по
3 e2
. А в общем случае, при том или ином
объему, нетрудно получить ε in =
5 R
e2
распределении заряда ε in = a , где a - постоянная порядка единица.
R
Суммируя энергию вне шара и внутри шара мы определим полную энергию
электрона, а, приравняв ее к полной механической энергии, получим соотношение:
1 e2 3 e2
+
= mc 2 . Отсюда следует, что полную энергию электрона можно
2 R 5 R
«собрать» в сфере радиусом R = 1,1(e 2 me c 2 ) = 1,1 ⋅ r0 . Или в общем случае:
R = a'⋅r0 , где a ' некоторое число порядка единицы.
Очевидно, конечность этой величины обязана тому, что кулоновское поле хотя
и бесконечно, но быстро спадает по абсолютной величине.
5
Этот результат показывает, что при самых общих предположениях
распределение энергии электрона определяется константой, которая по
историческим причинам (!) называется КРЭ. Условность этого названия легко
понять, если вычислить радиус, заключающий некоторую наперед заданную часть
полной энергии поля электрона.
Для этого вычислим энергию поля, которая заключается в слое между радиусом
R и некоторым радиусом rk > R :
rk
r
⎛1 1
⎜⎜ −
⎝ R rk
R
Вся энергия в сфере от r = 0 до r = rk будет равна:
ε ' out =
1
8π
2
∫ E dτ =
e 2 k dr e 2
=
2 ∫R r 2
2
⎞
⎟⎟
⎠
⎛
R⎞
⎜⎜ a + 1 − ⎟⎟
rk ⎠
⎝
Пусть радиус rk заключает часть полной энергии электрона величиной k ≤ 1 .
εk =
e2
R
Тогда имеет место соотношение: ε k = kmc 2 . Откуда, подставляя соответствующие
величины, получим:
R
rk =
R
1 + a '− k
r0
Нетрудно видеть, что при увеличении k радиус rk растет, как это и должно
быть (ср. с распределением по рис. 1). Но этот радиус, хотя и связан с КРЭ, но не
пропорционален ему, а связан с ним довольно сложной зависимостью.
Возникает вопрос: почему энергетический радиус оказывается привязанным к
константе КРЭ? Почему возникает такая константа? Нетрудно понять, что КРЭ
возникает благодаря двум физическим результатам. Первый заключается в том, что
электрическое поле заряженного малого тела в нашем приближении распределено
e2
e
. Второй
по закону Кулона 2 , а энергия поля, в соответствие с этим, по закону
r
r
факт заключается в том, что полная энергия частицы равна mc 2 . Отсюда следует,
что в объеме радиуса r всегда заключена часть энергии частицы, равная k ⋅ mc 2 ,
где k ≤ 1 .
В случае, если нам станет известным точное пространственное распределение
полей электрона, мы, по-видимому, сможем найти точное значение численного
коэффициента a' . Это даст возможность точно рассчитывать размер сферы,
содержащей определенное, заранее заданное количество энергии электрона.
Можно предположить, что полное описание распределения поля должно
основываться на решении нелинейного уравнения электрона. В качестве первого
приближения можно использовать решение уравнения Борна-Инфельда (см. стр.
47, глава 5 книги http://kyriak.socionet.ru/files/2ndA4Kniga11pt.pdf )
e2
r = 1,2351... 2 = 1,2351... ⋅ r0 ,
ε
mc
что не меняет наших выводов.
6
Насколько изменит этот результат наличие магнитного поля, сказать заранее
трудно. Но поправка, видимо, будет невелика.
3. О связи КРЭ с современными результатами
Как известно, все сечения взаимодействия фотоном (гамма-кванта) с
электроном при разных энергиях, вычисленные в невозмущенном приближении,
содержит всегда КРЭ (см. Приложение 3). Этот результат понятен, поскольку
взаимодействие должно определяться энергетическим распределением поля
частицы, а значит, в нем по необходимости должна появиться постоянная КРЭ, как
характеристика этого невозмущенного распределения.
Другой вопрос касается известных результатов вычислений квантовых
поправок к сечениям взаимодействия частиц: почему в них не проявляется
никакого размера? Тот факт, что в сечения взаимодействия высших порядков,
рассчитанных по теории возмущения, нет константы КРЭ, не доказывает, что
электрон точечный. Эти члены являются только поправками к первому члену,
который уже содержит основной параметр сечения взаимодействия. Можно
сказать, что эти члены содержат только поправки к невозмущенному
энергетическому распределению.
За счет чего возникают эти поправки вообще и в случае радиуса, в частности?
Невозмущенный результат (так сказать, нулевой значащий член разложения)
соответствует неподвижной и невзаимодействующей частице, которая
характеризуется энергией mc 2 . При движении кинетическая энергия частицы
возрастает соответственно с релятивистским выражением (см. стр. 123, глава 11
http://kyriak.socionet.ru/files/2ndA4Kniga11pt.pdf ), которое можно представить как
сумму степенного ряда. Члены разложения составляют небольшую часть от
энергии неподвижной частицы.
Теория возмущений используется для расчета добавок движущихся и
взаимодействующих частиц. Можно предполагать, что расчет энергии по теории
возмущений учитывает два вклада: 1) вклад от кинетической энергии движущейся
свободной частицы, и 2) вклад за счет потенциальной энергии взаимодействия
данной частицы с другой частицей.
Поскольку
всю
«механическую»
энергию
мы
отождествляем
с
электромагнитной энергией, то можно предположить, что малость этих членов
будет определяться постоянной тонкой структуры. Эти добавочные величины дают
поправки и в энергетический радиус электрона.
Если вспомнить, что энергетические поправки вычисляются по диаграммам
Фейнмана, можно предполагать, что каждый член Фейнмановских диаграмм
соответствует такой поправке, учитывая оба вклада.
Заключение
В силу всего сказанного, очевидно, что никакие эксперименты не могут
показать наличие у электрона какого-то геометрического радиуса или наличия
некоторого керна. Электрон – это концентрация поля в данной области
пространства, непрерывно распределенного в пространстве и спадающая более или
менее быстро в удалении от частицы. Поэтому электрон не может быть
охарактеризован определенным размером. Но, разумеется, у этого распределения,
7
как и у всякого другого, имеются определенные характеристики, необходимые для
его описания. Энергетическое распределение поля электрона, выраженное через
константу классического радиуса, является одной из таких характеристик.
Таким образом, электрон действительно является бесструктурной частицей, но,
конечно не точечной. При этом, как частица – отдельный объект в пространстве с
совершенно определенным постоянным распределением энергии, электрон может
быть задан координатами одной характерной его точки. При этом все остальные
точки распределения однозначно определяются положением этой движущейся
точки, т.е. учитываются как бы автоматически.
-------------------
Приложения
Приложение 1. Частицы как солитоны, см.:
«Мир лазерных солитонов» http://elementy.ru/lib/430478
Приложение 2. Точка в физике и математике
1) И. Яглом. Что такое математика http://ega-math.narod.ru/Quant/Sawyer.htm
(Из книги И. Яглома «Математические структуры и математическое
моделирование», М.: Советское радио, 1980).
«Таким образом, понятие (математической) точки само по себе вне рамок
планиметрии никакому определению не подлежит: точка, как и пресловутый
поручик Киже, «фигуры не имеет», так что не склонный задумываться над
происхождением математических понятий «чистый» математик, пожалуй, сочтёт,
что знакомое каждому общежитейское понятие точки как мельчайшей
(«неделимой») области физического пространства или как следа однократного
касания бумаги карандашом или иным заостренным пишущим предметом имеет к
понятию математической точки не больше отношения, чем индийский или
африканский слон — к шахматному. Таким образом, наблюдаемое органами чувств
и регистрируемое приборами физическое пространство не связано с абстрактноматематическим пространством, формально описываемым относящимся к нему
набором аксиом. Более того, эти два «пространства» относятся даже к совсем
разным кругам понятий — к области математических наук и к области
естественных наук, или, используя терминологию Платона, — к «миру видимому»
и к «миру умопостигаемому».
Однако подобное рассуждение оставляет у нас смутное чувство
неудовлетворённости, сознание, что мы говорим что-то не совсем то...
Таким образом, мы явно имеем две совсем разные «геометрии». «Геометрияфизика» является одной из естественнонаучных дисциплин и изучает
8
специфические свойства реальных тел, в первую очередь, их размеры и форму, в то
время как «геометрия-математика» относится к кругу математических наук и
изучает определённые математические структуры, во всей («идеальной») полноте в
практической жизни не реализуемые (т.е. не существующие). При этом возникла
«геометрия-физика» раньше «геометрии-математики» (чем снимается всякая
загадочность с факта появления геометрии до математики);
2) Гильберт начинает «Основания геометрии»[6] так: “Мы мыслим три различные
системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем A, B,
C…”
3)
Анри Пуанкаре. Наука и метод. Книга II МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
РАССУЖДЕНИЕ. Глава III....
“Итак, некоторые недоказуемые аксиомы математики суть лишь скрытые определения”.
4) Евклид "Начала"
Книге I предпосланы 23 определения понятий, используемых в дальнейшем.
Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической
реальности:
"Точка есть то, что не имеет частей" (сээмэйон эстин у мэрос уthэн – букв.:
точка есть, где часть ничто) .
"Линия же - длина без ширины".
“Границы линии суть точки”.
"Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на
ней".
"Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину".
«Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению
ко всем прямым, на ней лежащим».
В "Схолиях" к "Началам" Евклида приводится пифагорейское определение
точки как единица, имеющая положение.
Риман, подобно пифагорейцам, вводит линию как траекторию двигающейся
точки, плоскость как след двигающейся линии и т. д.
Приложение 3. Взаимодействие γ-квантов с веществом.
Томсоновское рассеяние
В электромагнитной волне на заряженную частицу действует периодическая сила
Лоренца. Периодически движущийся заряд будет излучать волны той же частоты.
Впервые этот процесс рассеяния объяснил английский физик Дж.Дж.Томсон.
2
8π ⎛ e 2 ⎞ 8π 2
σT =
re = 0, 665 барн
⎜
⎟ =
3 ⎝ mc 2 ⎠
3
Рэлеевское рассеяние
⎛
⎞
e2
r
=
≅ 2,82 × 10−13 см ⎟ .
⎜ e
2
me c
⎝
⎠
9
В 1871 г. английский физик лорд Рэлей вывел формулу для сечения рассеяния
света с частотой ν на осцилляторе с массой m, зарядом q и частотой ν0 (>> ν) :
Эффект Комптона
Рассеяние фотона на покоящемся электроне (Ei >> I):
Формула Кляйна-Нишины (1929 г.; e- покоится, γ и e- не поляризованы):
Сечение рождения пары электрона-позитрона
В нерелятивистской области полное сечение:
⎛ E
⎞
σ = Z αr ⎜ γ 2 − 2⎟
12
⎝ me c
⎠
π
2
3
2
e
⎛
⎞
e2
r
=
≅ 2,82 Фм ⎟ .
⎜ e
2
me c
⎝
⎠
В ультрарелятивистской области полное сечение:
⎛ 28 2 Eγ 218 ⎞
σ = Z 2α re2 ⎜ ln
−
⎟
2
27 ⎠
⎝ 9 me c
⎛ 28 183 2 ⎞
σ = Z 2α re2 ⎜ ln 1 3 − ⎟
27 ⎠
⎝ 9 Z
(m c
e
(E
γ
2
<< Eγ << 137me c 2 Z −1 3 ) ,
>> 137me c 2 Z −1 3 ) .