5. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Момент силы. Моментом силы относительно точки называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы: r r r i j k r r r r r r M = r , F = x y z = i ⋅ y ⋅ Fz − z ⋅ Fy − j ⋅ (x ⋅ Fz − z ⋅ Fx ) + k ⋅ x ⋅ Fy − y ⋅ Fx . Fx Fy Fz [ ] ( ) ( ) Для модуля момента силы имеем M = F ⋅ r ⋅ sin α = F ⋅ l . r Плечом l силы F относительно точки O называется расстояние l от точки O до r линии действия силы F : ( )⎞⎟ r r ⎛ r,F l = r ⋅ sin α = r ⋅ 1 − cos2 α = r ⋅ 1 − ⎜⎜ ⎝ r ⋅F 2 ⎟ = ⎠ (x ) (x ⋅ FF + +y F⋅ F ++Fz ⋅ F ) 2 2 + y 2 + z2 − x y 2 x z 2 y 2 z r r r К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j , r r r r r сила F = 1,5i + 2j . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O. r r r 5.2. К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j , r r r r r сила F = −1,5i − 2j . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O. r r r 5.3. К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j , r r r r r сила F = −2i + 1,5j . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O. r r r 5.4. К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j , r r r r r сила F = 2i − 1,5j . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O. r r r 5.5. К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j , r r r r сила F = 2i . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O. 5.1. . приложена приложена приложена приложена приложена Момент импульса материальной точки. Моментом импульса материальной точки относительно точки O называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки на вектор импульса материальной точки: r r r L = [r , m v ] . r r r r i j k r r r r r L = [r , v ] = x y z = i ⋅ y ⋅ v z − z ⋅ v y − j ⋅ (x ⋅ v z − z ⋅ v x ) + k ⋅ x ⋅ v y − y ⋅ v x m vx vy vz ( ) ( ) Для модуля момента импульса имеем L = m ⋅ v ⋅ r ⋅ sin α = m ⋅ v ⋅ l . 42 r Плечом l вектора импульса m v материальной точки относительно точки O назыr вается расстояние l от точки O до линии, на которой лежит вектор m v . r r 2 ⎛ (r , v ) ⎞ l = r ⋅ sin α = r ⋅ 1 − cos2 α = r ⋅ 1 − ⎜ ⎟ = ⎝ r ⋅v ⎠ (x ) (x ⋅ v v + +y v⋅ v ++vz ⋅ v ) 2 2 + y 2 + z2 − x y 2 x 2 y z 2 z r r r Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr r r r ной точки равен p = 1,5i + 2j . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O. r r r 5.7. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr r r r ной точки равен p = −1,5i − 2j . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O. r r r 5.8. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr r r r ной точки равен p = −2i + 1,5j . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O. r r r 5.9. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr r r r ной точки равен p = 2i − 1,5j . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O. r r r 5.10. Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr r r ной точки равен p = 2i . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O. 5.6. Уравнение моментов r r dL =M dt или закон изменения момента импульса. r r r Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = vt i + l j . Импульс этой материальr r ной точки равен p = mv i . Здесь v - величина постоянной скорости материальной точки. Найдите момент импульr r dL са L материальной точки относительно точки O. Затем найдите производную . После этого определите вектор силы, dt действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно начала координат O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов. 5.11. r at 2 r r i + l j . Импульс этой материРадиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 2 r r альной точки равен p = mat i . Здесь a - величина постоянного ускорения материальной точки. Найдите момент имr r dL пульса L материальной точки относительно точки O. Затем найдите производную . После этого определите вектор dt силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно начала координат O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов. 5.12. r r r Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = r ⋅ cos(ωt )i + r ⋅ sin(ωt )j . Импульс r r r этой материальной точки равен p = − mv ⋅ sin (ωt )i + mv ⋅ cos(ωt )j . Здесь v и ω- постоянные величины. Найдите моr r dL мент импульса L материальной точки относительно точки O. Затем найдите производную . После этого определите dt вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно начала координат O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов. 5.13. r Небольшое тело массой m брошено со скоростью v 0 под углом α к горизонту в однородном поле сил тяжести (ускореr r ние свободного падения равно g ). Найдите момент импульса L материальной точки относительно стартовой точки O. 5.14. 43 r dL . После этого определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, Затем найдите производную dt найдите момент силы относительно точки O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов. 5.15. Небольшой брусок массой m скользит по гладкой наклонной плоскости с углом наклона α в одr нородном поле сил тяжести (ускорение свободного падения равно g ) из состояния покоя. Найдите моr мент импульса L материальной точки относительно точки O ( см. рис. ). Затем найдите произr dL . После этого определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найводную dt дите момент силы относительно точки O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов. 5.16. Небольшое тело массой m подвешено на легкой нерастяжимой нити длины l в однородном поле сил тяжести (ускореr ние свободного падения равно g ) и движется по окружности в горизонтальной плоскости («конический маятник»). Найдите r r dL момент импульса L материальной точки относительно точки подвеса. Затем найдите производную . После этого dt определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно точки подвеса. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов. 5.17. Горизонтальный гладкий диск вращают с постоянной угловой скоростью Ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр – точку O. Из этой точки в момент t = 0 пустили шайбу массы m со скоr ростью v 0 . Найдите момент импульса шайбы L (t ) относительно точки O в системе отсчета, связанной с диском. Убедитесь, что этот момент импульса обусловлен действием силы Кориолиса. 5.18. Однородный шар массы m и радиуса R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найдите зависимость от времени модуля момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент времени. Сохранение момента импульса. r Если импульс момента силы M ⋅ dt , вычисленный относительно некоторой точки равен нулю, то момент импульса, вычисленный относительно той же точки, сохраняется: r r если M ⋅ dt = 0 , то L = const . 5.19. Частица движется в центральном поле сил с центром в точке О (см. рис.). На рисунке показан участок траектории. Считая известными v1 , α, r1, β и r2 , найдите v 2 . 5.20. Спутник движется по эллиптической орбите вокруг планеты. Напишите формулу, связывающую скорости v1 , v 2 и соответствующие расстояния r1, r2 (от спутника до планеты) для моментов максимального и минимального удаления спутника от планеты. 44 Собственный момент импульса. Собственным моментом импульса материальной точки называется ее момент импульса, вычисленный в системе отсчета центра масс: r ~ ~ r ~ r L = r , mv , [ ] r ~ при этом вектор L от выбора начала отсчета радиус-вектора не зависит. Момент импульса системы материальных точек определяется как сумма (конечно векторная) моментов импульса материальных точек, причем все моменты импульсов вычисляются относительно одной и той же точки пространства. Наконец приведем формулу, связывающую момет импульса системы материальных точек в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета центра масс: r ~ r r r L = L + Rc , P . [ ] Здесь второе слагаемое в правой части равенства – векторное произведение радиус – вектора центра масс системы материальных точек на импульс системы материальных точек в лабораторной системе отсчета. r r Две частицы массами m1 и m2 движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v 1 и v 2 , причем r r r v1 = v 2 = v . Известен радиус-вектор l , проведенный от частицы 1 к частице 2. Вектор v 1 перпендикулярен l , а r r вектор v 2 направлен вдоль l . Непосредственным вычислением найдите собственный момент импульса этой системы частиц. 5.21. r 5.22. Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v0 испытал упругое лобовое столкновение с шариком массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2m, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите r ~ собственный момент импульса L гантели после соударения. r 5.23. Шарик массы 2m, двигавшийся со скоростью v0 испытал упругое лобовое столкновение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели. Масса каждого шарика гантели равна m/2, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, r ~ найдите собственный момент импульса L гантели после соударения. r 5.24. Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v0 приклеился к шарику массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2m, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите собственный r ~ момент импульса L гантели после соударения и приращение ΔE механической энергии системы тел. r 5.25. Шарик массы 2m, двигавшийся со скоростью v0 приклеился к шарику массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 3m, длина легкого соединительного стержня равна l. r ~ Считая шарики материальными точками, найдите собственный момент импульса L гантели после соударения. r 5.26. Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v0 приклеился к шарику массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2m, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите ΔE приращение кинетической энергии системы тел в результате соударения и количество N оборотов гантели за время t. 45 Ответы 5.1 r M . = 0; 5.2 l . = 0. r M . = 0; l . = 0. 5.3 r r M . = 12,5 ⋅ k ; M = 5 м. F r r M . = −12,5 ⋅ k ; l. = 5.4 l . = 5 м. 5.5 r r M . = −8 ⋅ k ; 5.6 l . = 4 м. r L . = 0. r L . = 0. 5.7 5.10 r r L . = 12,5 ⋅ k . r r L . = −12,5 ⋅ k . r r L . = −8 ⋅ k . 5.18 L . = mgR ⋅ sin α ⋅ t . 5.8 5.9 r1 sin α ⋅ . r2 sin β 5.19 v 2. = v 1 ⋅ 5.20 v1 ⋅ r1. = v 2 ⋅ r2 . 5.21 r ~ m1 ⋅ m 2 r r L. = v1 , l . m1 + m 2 5.22 2 ~ L . = mv 0l ; 3 5.23 ~ 2 L . = mv 0l . 5 5.24 ~ 1 L . = mv 0l ; 2 [ ] ΔE. = − mv 02 . 4 5.25 ~ L . = mv 0l . 5.26 ΔE. = − N. = r ~ Вектор L . направлен от читателя, за лист. mv 02 ; 4 v0 ⋅ t . 4π ⋅ l 46