ïî Ïàðåòî ñ ìíîæåñòâîì êðèòåðèåâ (Hsk )k=1,...,r , ãäå r ÷èñëî ìàæîðàíòíî ñòàáèëüíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà êðèòåðèåâ J îòíîñèòåëüíî ïîðÿäêà ω . ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ 1. Ðîçåí Â. Â. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé ïî êà÷åñòâåííûì êðèòåðèÿì. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013. 284 ñ. ÓÄÊ 514.133 Ë. Í. Ðîìàêèíà ÄËÈÍÀ ÄÓÃÈ ÎÐÈÖÈÊËÀ ÍÀ ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÎÉ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎÉ ÊÐÈÂÈÇÍÛ b ïîëîæèòåëüíîé êðèâèç ãåîìåòðèè ãèïåðáîëè÷åñêîé ïëîñêîñòè H íû [1] ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ âûðàæåíèÿ äëèíû äóãè îðèöèêëà ÷åðåç äëèíó ñòÿãèâàþùåé åå õîðäû. Ïîêàçàíî, ÷òî äëèíà äóãè îðèöèêëà, ñòÿãèâàåìîé ïàðàáîëè÷åñêîé õîðäîé, ðàâíà äâóì ðàäèóñàì êðèâèçíû ïëîñb. êîñòè H b äåéñòâèòåëüíîãî ðàäèóñà êðèâèçíû ρ Òåîðåìà. Íà ïëîñêîñòè H äëèíà l äóãè îðèöèêëà, ñòÿãèâàåìîé ýëëèïòè÷åñêîé (ãèïåðáîëè÷åñêîé) õîðäîé äëèíîé a, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå a l = 2ρ sin 2ρ a l = 2ρ ch , 2ρ (1) äëèíà äóãè îðèöèêëà, ñòÿãèâàåìîé ïàðàáîëè÷åñêîé õîðäîé, ðàâíà 2ρ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ξ íàïðàâëåíèå îáõîäà àáñîëþòíîé ëèíèè γ b , îïðåäåëÿþùåå íà H b îðèåíòàöèþ â ñåìåéñòâå ðåïåðîâ âòîïëîñêîñòè H b ñ öåíòðîì â òî÷ðîãî òèïà (ñì. [2, ï. 3.4.1]), ω îðèöèêë ïëîñêîñòè H êå K , OM õîðäà îðèöèêëà ω . Âûáåðåì ïðàâûé êàíîíè÷åñêèé ðåïåð R = {K, A2 , A3 , E} âòîðîãî òèïà òàê, ÷òîáû âåðøèíà A2 ëåæàëà íà ïðÿìîé OK : γ ∪ OK = A2 , A2 6= K ; âåðøèíà A3 áûëà ïîëþñîì ïðÿìîé OK îòíîñèòåëüíî γ ; òî÷êà E ëåæàëà íà êàñàòåëüíîé OE ê àáñîëþòó. Ïîñêîëüêó ðåïåð R ïðàâûé, òî íàïðàâëåíèå îáõîäà äóãè KEA2 ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ξ . Êîîðäèíàòû óêàçàííûõ òî÷åê â ðåïåðå R èìåþò âèä K (1 : 0 : 0), A2 (0 : 1 : 0), A3 (0 : 0 : 1), E (1 : 1 : 1), O (1 : −1 : 0), (2) 58 à îðèöèêë ω çàäàí óðàâíåíèåì x22 + x1 x2 − x23 = 0. (3) Ïðèñîåäèíèì ê ðåïåðó R îðòîãîíàëüíóþ îðèöèêëè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò Co ñ íóëåâûì îðèöèêëîì ω è íà÷àëîì O [3].  ñèñòåìå Co b èìååò êîîðäèíàòû (u; v), îïðåäåëåííûå êàæäàÿ òî÷êà X ïëîñêîñòè H ðàâåíñòâàìè vρ = δ|XX1 |, u = ((KX)(KE)(KO)(KA3 )), (4) ãäå X1 òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé XK ñ îðèöèêëîì ω ; δ = 1 (δ = −1), åñëè òî÷êà X íå ïðèíàäëåæèò (ïðèíàäëåæèò) ëó÷ó X1 K . Çàïèñûâàÿ ðàâåíñòâà (4) â êîîðäèíàòàõ (2) äëÿ òî÷êè M , ïîëó÷èì ñâÿçü åå êîîðäèíàò (m1 : m2 : m3 ) â ðåïåðå R ñ êîîðäèíàòàìè (u; v) â ñèñòåìå Co : m3 = um2 , v = 0. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî M ïðèíàäëåæèò îðèöèêëó (3), âûðàçèì ÷åðåç u êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè â ðåïåðå R: M u2 − 1 : 1 : u . (5) b â ñèñòåìå Co ñ åå ñîáñòâåíÑâÿçü êîîðäèíàò (u; v) òî÷êè ïëîñêîñòè H íûìè êîîðäèíàòàìè (x̄1 : x̄2 : x̄3 ) â ðåïåðå R óñòàíàâëèâàþò ôîðìóëû (1) èç [3]: x̄1 = ρ u2 ev − e−v , x̄2 = ρev , x̄3 = ρuev . Ñëåäîâàòåëüíî, äëèíà l äóãè OM ìåæäó òî÷êàìè O (0; 0) è M (u; 0) íà êîîðäèíàòíîé ëèíèè ω (v = 0) ñèñòåìû Co îïðåäåëåíà ôîðìóëîé Z l=ρ u du = ρu. (6) 0 Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè äëÿ õîðäû OM . 1. Õîðäà OM ïðèíàäëåæèò ýëëèïòè÷åñêîé ïðÿìîé.  ýòîì ñëó÷àå, ïðèìåíÿÿ êîîðäèíàòû òî÷åê O è M èç (2) è (5), ïî ïåðâîé ôîðìóëå (4.33) èç [1] íàõîäèì |OM | 2 − u2 cos = , ρ 2 = ±1. (7) Îïðåäåëèì ÷èñëî â âûðàæåíèè (7). Ïîëÿðà òî÷êè O îòíîñèòåëüíî àáñîëþòà çàäàíà â ðåïåðå R êîîðäèíàòàìè (1 : −1 : 0) è ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ OM (1 : 1 : −u) â òî÷êå O∗ (u : u : 2), óäàëåííîé îò O íà ðàññòîÿíèå πρ/2. Òî÷êà Q ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ OM è KA3 (0 : 1 : 0) çàäàíà â R êîîðäèíàòàìè (u : 0 : 1) 59 è ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé îòíîñèòåëüíî ω , ïîñêîëüêó ëåæèò íà åãî êàñàòåëüíîé KA3 . Íàñ èíòåðåñóåò äëèíà a âíóòðåííåé ýëëèïòè÷åñêîé õîðäû OM îðèöèêëà ω . Äàííàÿ õîðäà OM ÿâëÿåòñÿ êîðîòêèì (äëèííûì) îòðåçêîì ýëëèïòè÷åñêîé ïðÿìîé (ñì. [1, ï. 4.2.2]) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ñîäåðæèò (ñîäåðæèò) òî÷êó O∗ , ò. å. òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (OM O∗ Q) > 0 ((OM O∗ Q) < 0), èìåþùåå â êîîðäèíàòàõ âèä 2 >0 2 − u2 2 <0 . 2 − u2 (8) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÷èñëà a âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: πρ ⇐⇒ 2 − u2 > 0 a< 2 πρ 2 a> ⇐⇒ 2 − u < 0 . 2 (9) Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèÿì (9) â âûðàæåíèè (7) = 1. Ïîýòîìó u = 2 sin a . 2ρ (10) Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå u èç (10) â (6), ïîëó÷èì ïåðâóþ ôîðìóëó èç (1). 2. Õîðäà OM ïðèíàäëåæèò ãèïåðáîëè÷åñêîé ïðÿìîé. Äëÿ êîîðäèíàò (1 : 1 : −u) ãèïåðáîëè÷åñêîé ïðÿìîé OM ñîãëàñíî ïåðâîìó òðåáîâàíèþ (4.9) èç [1] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 4 − u2 < 0, à ñëåäîâàòåëüíî, è íåðàâåíñòâî 2 − u2 < 0. Ïîýòîìó ïî âòîðîé ôîðìóëå (4.33) èç [1] äëèíà a ãèïåðáîëè÷åñêîé õîðäû OM óäîâëåòâîðÿåò âûðàæåíèþ ch a u2 − 2 = . ρ 2 Îòêóäà u = 2 ch a . 2ρ (11) Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå u èç (11) â (6), ïîëó÷èì âòîðóþ ôîðìóëó èç (1). 3. Õîðäà OM ïðèíàäëåæèò ïàðàáîëè÷åñêîé ïðÿìîé. Îòëè÷íóþ îò K òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé KE ñ îðèöèêëîì ω îáîçíà÷èì T . Ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå òî÷êà M ïðèíàäëåæèò ïàðàáîëè÷åñêîé ïðÿìîé OE , ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî îñè KE îðèöèêëà ω , òî õîðäû OT è M T ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî KE è ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè. Ïî òåîðåìå 2.4.27 èç [2] äëèíà a êàæäîé èç õîðä OT è M T ðàâíà πρ/3. Ïðèìåíÿÿ äàííîå çíà÷åíèå a è äîêàçàííóþ â ï. 1 ïåðâóþ ôîðìóëó èç (1), 60 íàéäåì äëèíó l (OT ) äóãè OT : l (OT ) = ρ. Ïîñêîëüêó êîíãðóýíòíûå õîðäû îðèöèêëà ñòÿãèâàþò åãî êîíãðóýíòíûå äóãè, òî äëèíà l äóãè OM îðèöèêëà ω , ñòÿãèâàåìîé ïàðàáîëè÷åñêîé õîðäîé OM , ðàâíà 2ρ. Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî çàêëþ÷èòåëüíîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Òåîðåìà äîêàçàíà. b , ñòÿãèâàåìóþ ïàðàáîëè÷åñêîé õîðäîé, Äóãó îðèöèêëà ïëîñêîñòè H íàçîâåì ïàðàáîëè÷åñêîé, à åå ïîëîâèíó åäèíè÷íîé äóãîé îðèöèêëà. b ïàðàáîëè÷åñêóþ è åäèÑîãëàñíî äîêàçàííîé òåîðåìå íà ïëîñêîñòè H íè÷íóþ äóãè îðèöèêëà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðûé ýòàëîí èçìåðåíèÿ äóã îðèöèêëîâ. ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ 1. Ðîìàêèíà Ë. Í. Îðòîãîíàëüíàÿ îðèöèêëè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ãèïåðáîëè÷åñêîé ïëîñêîñòè ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû // Äíè ãåîìåòðèè â Íîâîñèáèðñêå, 2013 : òåç. äîêë. Ìåæäóíàð. êîíô. Íîâîñèáèðñê : Èí-ò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ, 2013. Ñ. 74, 75. 2. Ðîìàêèíà Ë. Í. Ãåîìåòðèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ïëîñêîñòè ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû : â 4 ÷. ×. 1 : Òðèãîíîìåòðèÿ. Ñàðàòîâ : Èçä-âî Ñàðàò. óí-òà, 2013. 244 ñ. 3. Ðîìàêèíà Ë. Í. Ãåîìåòðèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ïëîñêîñòè ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû : â 4 ÷. ×. 2 : Ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðîñòûå ðàçáèåíèÿ. Ñàðàòîâ : Èçä-âî Ñàðàò. óí-òà, 2013. 274 ñ. ÓÄÊ 517.518.82 Ð. Î. Ðîìàíîâ, Ñ. È. Äóäîâ Î ÂÍÅØÍÅÉ ÎÖÅÍÊÅ ÑÅÃÌÅÍÒÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÎÉ ÏÎËÎÑÎÉ 1. Ïóñòü ñåãìåíòíàÿ ôóíêöèÿ F (t) = [f1 (t), f2 (t)] çàäàíà íà êîìïàêò- íîì ìíîæåñòâå T âåùåñòâåííîé îñè ôóíêöèÿìè f1 (t) è f2 (t), ïðè÷åì f1 (t) ≤ f2 (t) äëÿ âñåõ t ∈ T . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn (A, t) = a0 + a1 t+ + · · · + an tn àëãåáðàè÷åñêèé ïîëèíîì ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè n è âåêòîðîì êîýôôèöèåíòîâ A = (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Rn+1 . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ϕ(A, r) ≡ max max [Pn (A, t) − f2 (t) + r, f1 (t) − Pn (A, t) + r] → min , t∈T (A,r)∈D n+1 D = {(A, r) ∈ R × R+ : ψ(A, r) ≡ ≡ max max{[Pn (A, t) − f1 (t) − r, f2 (t) − Pn (A, t) − r] ≤ 0}}. (1) t∈T Ïîä ïîëèíîìèàëüíîé ïîëîñîé ñ îñüþ, çàäàâàåìîé ãðàôèêîì ïîëèíîìà Pn (A, t), è øèðèíîé 2r áóäåì ïîíèìàòü ãðàôèê ñåãìåíòíîé ôóíêöèè 61