( )

Лабораторная работа №7
Задание 7.1. Случайная величина Х задана функцией распределения:
⎧ 0,
⎪ 2
⎪x
F (x ) = ⎨ 2 ,
⎪N
⎪⎩ 1,
Требуется: а) найти дифференциальную
x ≤ 0;
0< x ≤ N;
x > N.
функцию (плотность вероятности); б)
найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) построить графики интегральной и дифференциальной функций.
Задание 7.2. Случайная величина Y подчинена закону равномерного распреде-
ления на интервале (− 2; N ) . Напишите выражения для плотности вероятности
и функции распределения случайной величины Y и построите их графики.
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины Y и определите вероятность попадания данной
⎛ N⎞
случайной величины в интервал ⎜1; ⎟ .
⎝ 2⎠
Задание 7.3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:
⎧ 0,
f (x ) = ⎨ − N x
⎩ Ne ,
x < 0;
x ≥ 0.
Требуется: а) найти интегральную функцию распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение,
⎛ N
N⎞
⎟ ; в) найти математическое ожидание,
;
заключенное в интервале ⎜⎜
⎟
4
2
⎝
⎠
дисперсию и среднее квадратическое отклонение; г) построить графики дифференциальной и интегральной функций распределения.
75
Задание 7.4. Напишите дифференциальную функцию нормально распределен-
ной случайной величины Z, зная, что M [Z ] = N + 5 и D [Z ] = N 2 . Определите
вероятность попадания данной случайной величины в интервал ( N + 2 ; N + 8) .
Задание 7.5. Случайная величина Z распределена по закону прямоугольного
треугольника в интервале (0 ; N ) (рис. 14). Найдите: а) дифференциальную и
интегральную функцию распределения; б) вероятность попадания в интервал
⎛N N⎞
⎜ ; ⎟ ; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
⎝4 2⎠
отклонение случайной величины Z.
f(Z)
0
N
Z
Рис. 14. График плотности вероятности
Задание 7.6. Известны математическое ожидание m X = 15 + N и среднеквадра-
тичное отклонение σ X = 2 нормально распределенной случайной величины Х.
Найдите: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (14 + N ; 16 + N ) ; б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения
( X − m X ) окажется меньше δ
= 3.
Задание 7.7. Случайная величина Z имеет нормальный закон распределения с
параметрами a и σ 2 . Найдите значение параметра a, если известно, что
σ=
N +2
и P(Z > 3) = 0,5 . Вычислите вероятность того, что значение случайN
ной величины Z окажется больше 5.
Задание 7.8. Случайная величина Х задана функцией распределения:
x ≤ 0;
⎧ 0,
⎪ 3
⎪ x
, 0 < x ≤ a;
F (x ) = ⎨
2
N
+
⎪
x > a.
⎪⎩ 1,
76
Требуется: а) найти значение параметра а; б) найти математическое ожидание и
дисперсию Х; в) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее
интервалу (0; 1); г) построить графики интегральной и дифференциальной
функций распределения.
Задание 7.9. Напишите дифференциальную и интегральную функцию распре-
деления случайной величины, распределенной по показательному закону с
параметром: а) λ = N ; б) λ =
N
; в) λ = N + 5 . Найдите математическое ожида2
ние, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Задание 7.10. Испытываются два независимо работающих элемента. Длитель-
ность безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F1 (t ) = 1 − e − 0, 01⋅ N t , а второго – F2 (t ) = 1 − e − 0, 01⋅2 N t . Найдите вероятность того,
в течение двадцати часов работы: а) оба элемента будут работать; б) откажет
хотя бы один элемент; в) откажет только один элемент.
Вопросы для самоконтроля
Сформулируйте понятие непрерывной случайной величины. Как можно
задать непрерывную случайную величину?
Что такое дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины? Как строится данная функция распределения? Может ли
дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины
принимать: отрицательные значения; значения, большие единицы?
Что такое интегральная функция распределения непрерывной случайной
величины? Как строится данная функция распределения? Может ли интегральная функция распределения непрерывной случайной величины принимать:
отрицательные значения; значения, большие единицы?
Сформулируйте определение начального момента и центрального момента k-го порядка случайной величины.
77
Какова размерность: функции распределения; плотности распределения;
математического ожидания; дисперсии; среднего квадратичного отклонения;
третьего начального момента.
78