Как решать задачи B4 ЕГЭ 2011 по математике.

Академический Международный Институт
Как решать задачи B4 ЕГЭ 2011 по математике.
Задачи с прямоугольными треугольниками.
Для начала напомним самый минимум знаний, необходимых для решения задач с
прямоугольными треугольниками.
1. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90о (такой угол
называется прямым).
). На нашем рисунке прямой угол С.
Сторона, которая лежит напротив
апротив прямого угла называется гипотенузой..
B
В нашем треугольнике AB – гипотенуза.
Остальные две стороны называются катетами.
В нашем случае АС и ВС – катеты.
C
A
2. Теорема Пифагора:: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Т.е. для нашего треугольника AB2 = AC2 + BC2.
3. В прямоугольном треугольнике один угол уже известен (и равен 90о), для нахождения двух
других часто приходится пользоваться синусами, косинусами и тангенсами.
Синус угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Непонятное многим слово «противолежащий» обозначает сторону, которая находится напротив
этого угла.
Например, в нашем треугольнике для угла А противолежащим катетом является сторона ВС,
ВС
поэтому , а для угла В противолежащим катетом будет АС и Косинус угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего
щего катета к гипотенузе.
По сути, этот угол образован двумя сторонами треугольника, одна из которых гипотенуза, а другая
- и будет прилежащим катетом.
Например, в нашем треугольнике для угла А прилежащим катетом является сторона АС,
АС поэтому
, а для угла В прилежащим катетом будет АС и http://ami-map.ru/ege
Страница 1
Академический Международный Институт
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к
прилежащему. Например, для нашего треугольника верно: Тангенс также обозначают как tan. Например, tan , 4. При решении задач с прямоугольными треугольниками часто приходится пользоваться
следующими формулами:
1 1 sin cos То же верно и для угла В.
Примечание. Полезно понимать
нимать, что в общем случае
√1 , √1 .
Но поскольку в прямоугольном треугольнике эти углы меньше 90о, то их синусы и косинусы
положительны.
5. Необходимо также запомнить таблицу для самых распространенных углов.
Функция
Угол
30о или
45о или
60о или
http://ami-map.ru/ege
sin
1
2
√2
2
√3
2
cos
√3
2
√2
2
1
2
1
√3
3
√3
1
√3
Страница 2
Академический Международный Институт
Теперь разберем задание B4
B из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике на официальном
портале единого государственного экзамена http://www1.ege.edu.ru/demovers
Задача 1. В треугольнике ABC угол С равен 90о, AB=5, cos A=0,8. Найдите BC.
BC
B
C
A
Решение. Рассмотрим два способа решения.
1-ый способ. Для начала найдем AC. Зная косинус угла А, мы легко можем это сделать. Поскольку
в прямоугольном треугольнике косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе,
то в нашем случае , отсюда 5 0,8 4.
По теореме Пифагора AB2 = AC2 + BC2. Отсюда √ √25 16 3.
2-ой способ. Сначала найдем синус угла А по формуле √1 1 #0,8$ √1 0,64 √0,36 0,6
В прямоугольном треугольнике синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе,
поэтому в нашем случае , отсюда 5 0,6 3.
Ответ: 3
Разберем еще некоторые характерные задания В4.
Задача 2. В треугольнике ABC угол C равен 90о, угол B равен 30о, 3√
√3. Найдите AC.
(Поскольку
Поскольку угол С прямой, то рисунок будет как в предыдущей задаче)
B
A
http://ami-map.ru/ege
C
Страница 3
Академический Международный Институт
Решение.
Приведем самый быстрый способ решения.
В прямоугольном треугольнике тангенс угла – это отношение противолежащего катета к
прилежащему, поэтому . Отсюда tg 3√3 30°
30 3√3
3.
√
Ответ: 3
Задача 3. В треугольнике ABC угол С равен 90о, AB = 5, АС = 4. Найдите sin A.
B
C
A
Решение. Сначала найдем BC.
BC Поскольку AB2 = AC2 + BC2 (по теореме Пифагора), то
√ √5 4 √25 16 √9 3
Теперь найдем синус угла А: 0,6
Ответ: 0,6
Задачи с равнобедренными треугольниками
Задачи с равнобедренными треугольниками обычно сводятся к задачам, которые мы разобрали
чуть выше.
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.
Эти стороны называются боковыми.
боковыми
В нашем треугольнике
ке это стороны AB и BC.
B
Третья сторона называется основанием.
основанием
В данном случае AC – это основание.
Первым
ым свойством равнобедренного треугольника является
тот факт, что углы при основании равны.
В нашем тр-ке ∠A = ∠C
A
http://ami-map.ru/ege
C
Страница 4
Академический Международный Институт
Второе свойство равнобедренного треугольника:
ка: если провести высоту к основанию,
основанию
то она будет одновременно еще и медианой, и биссектрисой.
B
Поэтому на нашем рисунке:
BH – высота (т.е. BH перпендикулярна АС)
BH – медиана (т.е. AH = HC)
BH – биссектриса (т.е. ∠ABH
ABH = ∠CBH)
По сути, BH делит наш равнобедренный треугольник
на два одинаковых прямоугольных треугольника.
A
H
Разберем некоторые типичные примеры.
Задача. В треугольнике ABC AC = BC = 12, sin √
.
Найдите АВ.
Решение. Построим треугольник
треугольни и проведем в нем высоту к основанию CH.
CH
C
A
H
B
Рассмотрим прямоугольный треугольник BСH.
Дальше можно, например, найти косинус угла B:
1
15
1
1
√15
(1 )
( * (1 4
16
16 4
Затем находим BH,, пользуясь тем, что .
Отсюда + 12
Поскольку CH является еще и медианой, то 2 + 2 3 6
3
Ответ: 6.
http://ami-map.ru/ege
Страница 5
C
Академический Международный Институт
Задача. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8. Найдите tg A.
C
Решение. Проведем в треугольнике высоту к основанию CH.
Т.к. треугольник равнобедренный, то высота, проведенная
к основанию, будет еще и медианой.
Поэтому AH = HB = ½ AB = 4.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC.
В задаче нас просят найти тангенс угла А.
Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике это противолежащий катет к прилежащему.
Поэтому A
B
H
Чему равняется AH, мы уже знаем, осталось найти CH.
Воспользуемся теоремой Пифагора + , + , отсюда + + , а значит
+ + 5 4 √25 16 √9 3
Теперь мы можем найти 0,75
Ответ: 0,75
Если у Вас есть вопросы, пожелания, не получается решить какую-то
какую то задачу,
задачу или просто хочется
обсудить ЕГЭ по математике, то это можно сделать в нашей группе в контакте:
http://vkontakte.ru/topic-17408156_24050696
17408156_24050696
Все задачи мы могли бы придумать и сами, но специально разобрали
разобрали задачи из книг (см. ниже),
авторами которых являются составители ЕГЭ 2011 по математике. Соответственно, задачи на
экзамене будут, скорее всего, очень похожи на те, что разобраны здесь.
http://ami-map.ru/ege
Страница 6
Академический Международный Институт
Список используемой литературы
1. Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 по математике на официальном портале единого
государственного экзамена http://www1.ege.edu.ru/demovers.
2. «ЕГЭ
ЕГЭ 2011. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов» под
редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.
3. «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ : 2011 : Математика ». АвторыАвторы
составители И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В.
Ященко.
http://ami-map.ru/ege
Страница 7